Một số tính chất của vành tựa morphic trái

Hớngthứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hớngthứ hai là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđuntrên chúng.. Và tên của đề tà

mở đầu

Lý thuyết vành là một trong những lý thuyết phong phú và phát triểnmạnh mẽ trong giai đoạn hiện nay Vấn đề nghiên cứu để đặc trng các lớpvành là một bài toán đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm và đã đạt đợc nhiềukết quả sâu sắc, thú vị Có hai hớng chính để nghiên cứu lý thuyết vành Hớngthứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hớngthứ hai là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđuntrên chúng Về mặt lịch sử hớng thứ nhất phát triển sớm hơn và đã đa ra đợcnhững định nghĩa và đặc trng ban đầu về các lớp vành khá quen thuộc hiệnnay nh vành nửa đơn, vành tựa Frobenius, vành Actin, vành Noether, vành nửanguyên tố, vành nửa nguyên sơ Lớp vành tựa - morphic cũng là lớp vành đợcV.Camillo và W.K.Nicholson nghiên cứu theo hớng này Đề tài của chúng tôinghiên cứu dựa trên cơ sở của bài báo “Quasi - morphic ring” của V.Camillo

và W.K.Nicholson mà chúng tôi chỉ nghiên cứu tính trái của vành Và tên của

đề tài là Một số tính chất của vành tựa - morphic trái “ ”

Luận văn đợc chia làm hai chơng nh sau

Chơng I Dành cho việc trình bày các khái niệm cơ sở

Chơng II Một số tính chất của vành tựa - morphic trái

Xuất phát điểm của chơng này là bài báo của V.Camillo vàW.K.Nicholson về lớp vành - tựa morphic Trong bài báo này, tác giảV.Camillo và W.K.Nicholson đã nêu lên khái niệm của phần tử morphic trái,vành tựa - morphic trái và từ đó nêu lên mối quan hệ giữa vành tựa - morphictrái với một số lớp vành nh vành chính quy, vành hữu hạn trực tiếp, vành P -nội xạ, vành hoàn chỉnh phải, vành đặc biệt trái, vành Kasch trái, vành nửa địa phơng.Chơng này chia làm hai phần

Phần 1 Phần tử tựa - morphic trái

Phần 2 Nghiên cứu về vành tựa - morphic trái Kết quả chính của phầnnày là chúng tôi đã chứng minh đợc rằng giao của hai iđêan chính trong vành

R tựa - morphic trái là iđêan chính và một số kết quả khác

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tìnhcủa PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến thầy giáo hớng dẫn - ngời đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình,nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái

Trong suốt quá trình học tập và viết luận văn, chúng tôi đã nhận đợcnhững đóng góp quý báu và sự tận tình chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, côgiáo trong khoa Toán Nhân dịp này, chúng tôi xin đợc cảm ơn các thầy giáo,cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại Học - Trờng Đại Học Vinh

và tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi đểchúng tôi hoàn thành luận văn đúng kế hoạch Cuối cùng, chúng tôi mong đợc

sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn

Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả

chơng I Các khái niệm cơ sở

Trong chơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và các kết quả cơbản liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất cơ bản và kí hiệu trongluận văn chủ yếu đợc dựa theo tài liệu [7]

Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị Các môđun trênmột vành luôn đợc hiểu là các môđun phải unita (nếu không nói gì thêm)

1.1 Môđun

1.1.1 Môđun con tối đại

Môđun con A của môđun M đợc gọi là môđun con tối đại trong M nếu

A  M và A không chứa trong thực sự của một môđun con nào khác M.(Hay

A là phần tử tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập tất cả các môđun con của M)

Ví dụ Mỗi môđun đơn là một môđun nửa đơn.

1.1.4 Môđun con cốt yếu

Cho M là R - môđun phải và N là một môđun con của M

Môđun N đợc gọi là môđun con cốt yếu trong M kí hiệu là N * M, nếuvới mọi môđun con K  M, K 0 thì NK0 Khi đó ta nói là M mở rộng cốt

yếu của N

Chú ý Khi A  0, N * M thì ta quy ớc M  0

Ví dụ a) Với mọi môđun M thì M * M

Cho R và S là hai vành Nhóm M là song môđun nếu M vừa là R môđun

trái và S môđun phải thoả mãn phép nhân vô hớng r(xs)=(rx)s với r R, s  S,x 

M

1.1.6 Căn và đế của môđun

Cho M là R - môđun phải

(1) Ta gọi giao của tất cả của những môđun con tối đại của M là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M và kí hiệu bởi

Rad(M)

(2) Ta gọi tổng của tất cả các môđun đơn của M là đế của môđun M

và kí hiệu bởi Soc(M)

Ví dụ Giả sử K là một thể, xem K nh một K - không gian véctơ, Rad(K) = 0

vì 0 là môđun con tối đại duy nhất của K Soc(K) = K vì K là môđun con đơncủa K

1.2 Căn và đế của vành

(1) Đối với mỗi vành R, Rad(M) đợc gọi là căn Jacobson (hay đơn giản

là căn) của nó và đợc viết tắt Rad(R) Kí hiệu J = J(R)

(2) Đế phải Soc(R) là iđêan phải của R đợc sinh bởi iđêan phải tối tiểu

1.3.1 Định nghĩa Giả sử R là một vành

 e R đợc gọi là phần tử luỹ đẳng nếu e2 e



 Ta gọi hai phần tử luỹ đẳng e1, e2 trực giao nếu e1e2 = 0 = e2e1

1.3.2 Mệnh đề Giả sử R là một vành, R là môđun nửa đơn, e R

 eR là môđun đơn khi và chỉ khi Re là môđun đơn.

 Nếu eR là môđun đơn thì ReR là một thành phần thuần nhất của R chứa eR.

 Mỗi thành phần thuần nhất của R là iđêan hai phía đơn của vành R Vành R đợc gọi là vành nửa đơn nếu R là môđun nửa đơn.

Ví dụ Mỗi thể là một vành nửa đơn.

1.4 Vành địa phơng, vành nửa địa phơng

1.4.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R/ Rad(R) là một thể 1.4.2 Định lí Đối với mỗi vành R các mệnh đề sau là tơng đơng

(a) R là một vành địa phơng.

(b) Rad(R) là iđêan phải (trái) tối đại.

1.4.3 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu R/ J là vành

nửa đơn

Ví dụ 1) Vành nửa đơn là vành nửa địa phơng.

2) Vành địa phơng là vành nửa địa phơng

3) Vành Actin là vành nửa địa phơng

1.4.4 Định lí Nếu R là vành nửa địa phơng thì với mọi M ta có

(1) Rad(M) MJ (2) Soc(M) lM J x  m xr  0, r  J

2) Mọi vành nửa đơn đều là vành chính quy.

1.5.2 Mệnh đề Nếu R là vành chính quy thì Rad(R) = 0.

1.6 Vành nửa hoàn chỉnh - vành hoàn chỉnh

(1) Một môđun M đợc gọi là môđun nửa hoàn chỉnh nếu mọi ảnh đồng

cấu của M đều có bao xạ ảnh

(2) Một môđun M đợc gọi là môđun hoàn chỉnh nếu mọi tập chỉ sốA,

  A

M là nửa hoàn chỉnh

(3) Một vành R đợc gọi là vành nửa hoàn chỉnh nếu mọi R - môđun

phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh

(4) Một vành R đợc gọi là vành hoàn chỉnh phải nếu mọi R - môđun

phải đều có bao xạ ảnh

1.6.1 Định lý Bass

Cho R là một vành với J = J( R ) Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng

(a) R là vành hoàn chỉnh trái.

(b) R/J là nửa đơn và J là J - lũy linh trái.

(c) R/J là nửa đơn và mọi R - môđun trái khác 0 đều chứa một môđun con tối đại.

(d) Mọi R - môđun trái phẳng là xạ ảnh.

(e) R thỏa mãn điều kiện cực tiểu cho iđêan phải chính.

(f) R chứa tập lũy đẳng trực giao hữu hạn và mọi R - môđun phải chứa một môđun con cực tiểu

1.7 Linh hoá tử và iđêan suy biến

1.7.1 Linh hoá tử

1.7.1.1 Định nghĩa.

(1) Cho M là R - môđun phải và m M

Tập hợp r m {m R mr  0} đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m

và viết gọn r(m)

Tập hợp r M{m R mr  0} với mọi m M đợc gọi là linh hoá

tử của môđun M, viết gọn là r(M) 0

Một môđun M đợc gọi là môđun trung thành nếu r(M) 0.

(2) Cho R là một vành nào đó và S là tập con khác rổng của vành R

(a) Linh hoá tử phải của S trong R là

r(S ){x R sx  ,0  s  S}

(b) Linh hoá tử trái của S trong R là

l(S ) {x R xs ,0  s  S}

Nếu tập S chỉ gồm một phần tử s S ta viết r(s) hoặc l(s) tơng ứng.

1.7.1.2 Mệnh đề Cho vành R và S là tập con của R khi đó:

(i) r(S) là iđêan phải của R và l(S) là một iđêan trái của R.

(ii) Nếu S  T thì r(T) r(S) và l(T) l(S)

Chứng minh.

(i) x  r(S ) và rR ta chứng minh xr  r(S ) Vì x  r(S ) nên

S x

0

sx  ,  Do đó s(xr)(sx)r  0 r  0, s  S Vì thế xr  r(S ) Vậy r(S) làiđêan phải của R Tơng tự ta chứng minh đợc l(S) là iđêan trái của R

(ii) Giả sử S  T Ta sẽ chứng minh r(T) r(S) Lấy bất kì x  r(T ).Khi đó ta có tx ,0  t  T Vì S  T nên tx ,0  t  T Hayx  r(S ) Vậy

1.7.2.2.Hệ quả (i) Cho vành R Khi đó ta có x  Z r (R)  r(x)  * R.

(ii) Z r (R) là iđêan hai phía của R.

Nếu a = 0 thì hiển nhiên za = 0  Zr(R)

Nếu a  0 suy ra tồn tại L * R sao cho 0  aL  r(z) Do đó zaL = 0, với

L * R hay za  Zr(R) Vậy Zr(R) là iđêan hai phía

1.8 Điều kiện chuỗi trên vành

x đều tồn tại nN sao cho xn  xn1 

Ký hiệu điều kiện chuỗi tăng là ACC

-) Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm nếu với mọi xích (chuỗi)

x đều tồn tại n N sao cho xn  xn1 

Ký hiệu điều kiện chuỗi giảm là DCC

1.8.1 Mệnh đề

Nếu vành R có điều kiện ACC đối với các linh hóa tử trái thì có điều kiện DCC đối với các linh tử phải và ngợc lại

Chơng II Một số tính chất của Vành tựa – morphic trái morphic trái

Đ1 Phần tử tựa - morphic trái 2.1.1 Định nghĩa

Một phần tử a  R đợc gọi là phần tử tựa - morphic trái nếu tồn tại b

và c trong R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rc.

Một phần tử a  R đợc gọi là phần tử tựa - morphic phải nếu tồn tại b

và c trong R sao cho aR = r(b) và r(a) = cR.

2.1.2 Bổ đề Giả sử R là một vành và a  R

(1) Nếu a là tựa - morphic trái và r(a) = 0 khi đó Ra = R.

(2) Nếu a là tựa - morphic trái và u  R là đơn vị khi đó au và ua đều

là tựa - morphic trái.

(2) Nếu a là tựa - morphic trái, u  R là đơn vị ta chứng minh ua là tựa

- morphic trái Giả sử a la tựa - morphic trái suy ra tồn tại b, c thuộc Rsaocho Ra = l(b) và l(a) = Rc Do u  R là đơn vị nên Rua = Ra = l(b) Vậy Rua = l(b).(*)

Mặt khác, ta lại có l(a) = Rc nên với mọi x  R, xc  Rc suy ra xc  l(a)

do đó xca = 0  xcu-1ua = 0  xcu-1  l(ua) vậy Rcu-1 = l(ua).(**)

Từ (*) và (**) suy ra ua là phần tử tựa - morphic trái

Ta chứng minh au là tựa - morphic trái

Ta có Ra = l(b) (do a là tựa - morphic) và Ra = { xa x  R }suy ra

xal(b) xab = 0 xauu-1b = 0, u  R nên xaul(u-1b) do đó Rau = l(u-1b).Vậy Rau = l(u-1b) (I)

Mặt khác, ta lại có l(a) = Rc (do a là tựa - morphic) và Rc ={ xc x  R } suy ra xcl(a)  xca = 0  xcau = 0, u  R nên xcl(au) do đó Rc

=l(au) Vậy Rc = l(au) (II)

Từ (I) và (II) suy ra au là phần tử tựa - morphic

Từ (1) suy ra không có vành đa thức R[x] là tựa - morphic bởi vì r(x) = 0

khi đó theo (1) thì R[x].x=R[x] ( vô lý) Vậy R[x] không là tựa - morphic.Chú ý rằng (1) chỉ đòi hỏi Ra  l b , b

Đ2 Vành tựa - morphic trái 2.2.1 Định nghĩa

Một vành R đợc gọi là vành tựa - morphic trái nếu mọi phần tử của nó

là tựa - morphic trái; {Ra a R} ={l(b) b  R}

Vành R đợc gọi là vành tựa - morphic phải nếu mọi phần tử của nó là

tựa morphic phải; {aR a R} ={r(b) b  R}

Vành vừa vành là tựa - morphic phải và vừa là vành tựa - morphic trái

đ-ợc gọi là vành tựa - morphic

Trong [10] vành R đợc gọi là vành morphic trái nếu R/Ra  l(a),a  Rtơng đơng nếu mỗi a  R tồn tại b  R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb

Chú ý rằng Ra a  R l(b) b  R có thể xảy ra (nếu thay R = Z) và

0 F

0 F

1 v

0 0

0 0

a , không là linh hoá tử chính trái

Rõ ràng mọi vành morphic trái là tựa - morphic trái nhng ngợc lại làkhông đúng do vành chính quy không có đơn vị chính quy trình bày trong[10, Mệnh đề 5] Vành chính quy là tựa - morphic trái và phải nhng ngợc lại

là sai (Z 4 là morphic) Thật vậy, nếu D là vành và C  D là vành con, ta xétvành con của N

y x

C thì R  RD,C là vành morphictrái và phải với J R  0, không là chính quy, đợc trình bày [6, Ví dụ 0.1,trang 29]

2.2.2 Câu hỏi 1 Có tồn tại một vành tựa - morphic trái là vành morphic trái

Ta cũng chứng minh đợc Z2 là vành chính quy Vậy câu hỏi đợc trả lời

Vành R đợc gọi là vành hữu hạn trực tiếp nếu ba 1 trong R kéo theo

1

(  Giả sử r(a) = 0,  a R Theo Bổ đề 2.1.2 ta có Ra = R, suy

ra ba = 1,b  R kéo theo ab = 1 vì R là vành hữu hạn trực tiếp Từ ab = 1

 aR = R do đó l(a) = 0 Vậy l(a) = 0

) 1 ( )

Môđun có thuộc tính C2nếu mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực

tiếp và vành R đợc gọi là vành C 2phải nếu R có thuộc tính C 2

Vành R đợc gọi là vành nội xạ chính phải (viết tắt là P- nội xạ phải)nếu mọi a  R mọi ánh xạ aR  RR mở rộng tới R; tơng đơng [8, Bổ đề 1.1]nếu  lr a  Ra, a  R; tơng đơng nếu Ra là linh hoá tử mọi a thuộc R.

2.2.4 Bổ đề Giả sử R là tựa - morphic trái Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng

đó tồn tại b và c thuộc R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rc Ta có bR = rl(b) vì (R

là P - nội xạ trái) mà l(b) = Ra nên bR = r(Ra) = r(a) suy ra bR = r(a) và aR = rl(a)(vì R là P - nội xạ trái) mà l(a) = Rc nên aR = rl(a) = r(Rc) = r(c)

Do đó R là tựa - morphic phải

 ) Giả sử R là tựa - morphic phải ta chứng minh R là P - nội xạ trái.Thật vậy, ta có r(l(a)) = r(Rb) do l(a) = Rb nên r(l(a)) = r(Rb) = r(b) = aR (do

R là tựa - morphic phải)  rl(a) = aR Vì vậy R là P – nội xạ trái

Chiều ngợc lại của (2) kéo theo (1) Ta có l(r(a)) = l(bR) (do R là tựa morphic phải) nên l(r(a)) = l(bR) = l(b) = Ra ( do R là tựa - morphic trái) suy

-ra l(r(a)) = Ra Vì vậy, R là P - nội xạ phải

Cuối cùng, (3), (4), (5) là thuộc tính của mọi vành P - nội xạ phải [9,

ta thay F  Zp(x ) là trờng của hàm hữu tỉ,  p là nguyên tố và nếu ta định nghĩa p

a

a  , khi đó R là Actin trái

2.2.5 Ví dụ (Xem [3]) R là tựa - morphic trái (ngoài ra đặc biệt trái), nhng:

(1) R không là tựa - morphic phải.

(2) M 2 (R) không là tựa - morphic trái.

Chứng minh

(1) Giả sử R là tựa - morphic phải, t  R là phần tử tựa - morphicnên tồn tại x, y thuộc R sao cho tR = r(x) và r(t) = yR ( Chú ý rằng tR Ft) Nếu x  a  bt, a,b  F Khi đó a = 0 bởi vì x không là đơn vị, và b  0 vì

M 0

Ft Ft

r(λ ) bởi vì d  F Nếu λ là tựa

- morphic trái, giả sử S= l() với μ  S thì μ  r(λ ) Vì vậy

y x

β , chúng ta thu đợc t

= xt và  = xdt Viết t  m  nt; m,n  F suy ra t = mt và 0 = mdt Từ đó

0

d  , kéo theo t 0, mâu thuẫn Vậy M2(R) không là tựa - morphic trái

2.2.6 Mệnh đề Giả sử V R V S và W S W R là song môđun

V R

là tựa - morphic trái hoặc phải thì R và S cũng là tựa - morphic trái hoặc phải.

0 R

là tựa morphic trái hoặc phải thì R và S cũng là tựa - morphic trái hoặc phải.

Chứng minh.

V R

V R

v r

, ,

Ta chøng minh X lµ vµnh con cña vµnh ma trËn cÊp hai

0 0

0 1

s 0

v r

s 0

v r

2 1 2 1

s s 0

v v r r

s 0

v r

s 0

v r

2 1 2 1 2 1

s s 0

s v v r r r

X (v× V lµ song m«®un nªn r1v2 + v1s2 V)

W S S W

0 R

0 R R

0

W S

0 r r

0

w s

W S r

0

w s

1

s w

0 r

r 0

w s

2

s w

0 r

2 1

1

1

s w

0 r s

w

0 r

, do đóf(A1) = f(A2) Vậy f là ánh xạ

2 1 2 1

r r 0

w w s s

2 1 2 1 2 1

r r 0

s w w s s s

2 1

1

1 2 1 2 1

2 1

s w

0 r s

w

0 r s

s w w

0 r

1 2

1 2 1 2 1

2 1

s w

0 r s w

0 r s

s s w w s

0 r

r

= f(A1).f(A2)Vậy f là đồng cấu vành

r 0

w s

r 0

w s

1

s w

0 r

0 R s

w

0 r

w s

A sao cho f(A) = B Vậy ftoàn ánh

W S S

W

0 R

, thoảmãn để chứng minh (1)

Bây giờ ta chứng minh R là tựa - morphic trái.

V R

và giả sử X là tựa - morphic trái, với  α  X,

y p q

0

y p l 0 0

0 Ra

0 Ra

y p

Ray Rap

0 0

z m X S 0

V a l

lX(α ) R( ) Do đó lR a  Rm.Vậy R là tựa – morphic trái

Đối với S, giả sử b S và viết  

0 0

β X suy ra β là phần tửtựa - morphic trái Khi đó, ta có

y p X b l 0

b l R l

S

V X

) (

z m l Sb 0

Vb R

Vậy S là tựa - morphic trái

Nếu X là tựa - morphic phải, chứng minh tơng tự ta đợc R và S là tựa

- morphic phải

2.2.7 Hệ quả 1 Nếu R i là vành và V ij là song môđun thì vành ma trận tam giác trên có dạng tổng quát