Một số tính chất của vành và môđun các thương

Mở đầu trong Đại số giao hoán, ngời ta thờng nghiên cứu vành địa phơng tức làvành chỉ có một iđêan cực đại duy nhất và môđun trên vành địa phơng.. Vì thế kỹ thuậtchuyển từ vành giao hoán

Trờng đại học vinh

Khoa toán



Một số tính chất của vành và môđun các thơng khoá luận tốt nghiệp ngành: đại số Cán bộ hớng dẫn: T.S Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Nhã Lớp : 46A- Toán Vinh_2009 mục lục mở đầu …… 1 .

chơng 1 vành các thơng 2

1.1 Một số khái niệm liên quan 2

1.2 Vành các thơng 5

1.3 Iđêan trong vành các thơng 14

chơng 2 môđun các thơng 19

2.1 Xây dựng môđun các thơng 19

2.2 Tính chất của môđun các thơng 21

kết luận 27

tài liệu tham khảo 27

Mở đầu

trong Đại số giao hoán, ngời ta thờng nghiên cứu vành địa phơng (tức làvành chỉ có một iđêan cực đại duy nhất) và môđun trên vành địa phơng bởi vì,các kết quả đó thờng đợc ứng dụng nhiều trong Hình học đại số Vì thế kỹ thuậtchuyển từ vành giao hoán sang vành địa phơng ( mà ngời ta thờng gọi là địa ph-

ơng hoá) thờng đợc sử dụng trong Đại số giao hoán

mục đích của khoá luận là dựa vào [1] để trình bày cách xây dựng vàchứng minh các tính chất của vành các thơng S 1R và mô đun các thơng S 1M ,trong đó là R vành giao hoán, có đơn vị, M là R-mô đun, S là tập nhân đóngcủa R Khi SR\P, với P là một iđêan nguyên tố của R thì vành các thơng

mặc dù đã hết sức cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót vìvậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn

Xin chân thành cảm ơn!

vinh, ngày 04 tháng 05 năm 2009.

tác giả

nguyễn thị nhã

Chơng I vành các thơng

1.1.1 định nghĩa Tập hợp R, trên đó đợc trang bị hai phép toán cộng và nhânthoã mãn các điều kiện sau:

(i) R cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán,

(ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm,

(iii) phép nhân phân phối với phép cộng: với mọi x,y,zR:

x(yz) xyyz và (xy)zxz yz

đợc gọi là vành.

phần tử đơn vị của phép cộng ký hiệu là 0 và gọi là phần tử không củavành

Nếu phép nhân là giao hoán thì ta nói vành R là vành giao hoán Nếu

phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi nó là phần tử đơn vị của vành R và thờng

1.1.3 iđêan

1.1.3.1 Định nghĩa:

i) Một iđêan trái của vành Rlà một vành con I  R thoả mãn:

I a R

Mỗi iđêan của vành R mà khác R đợc gọi là iđêan thực sự của R.

1.1.3.2.Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại.

i) Iđêan p của R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu I  R và với mọi

R

y

x,  sao cho xy  p suy ra hoặc x  p hoặcy  p.

ii) Iđêan m của R đợc gọi là iđêan cực đại nếu m  R và không tồn tạiiđêan I  m sao cho I  m và I  R

Từ định nghĩa ta suy ra nếu I là một iđêan của vành R thì I là iđêannguyên tố khi và chỉ khi vành thơng R / I là miền nguyên và I là iđêan cực đạikhi và chỉ khi vành thơng R / I là một trờng Do đó mọi iđêan cực đại của R đều

là iđêan nguyên tố

ChoR là vành giao hoán có đơn vị 1, R 0 Khi đó trong R có ít nhất

một iđêan cực đại Vì vậy nếu I là một iđêan của R, I  R thì I đợc chứatrong một iđêan cực đại nào đó của R

1.1.5 Iđêan mở rộng, iđêan thu hẹp.

Cho f :R R' là một đồng cấu vành Khi đó:

i) Nếu J là một iđêan trong R', ta ký hiệu 1 ( )

J f

 Khi đó J c là mộtiđêan của R và đợc gọi là thu hẹp của iđêan J trong vành Rbởi đồng cấu f

ii) Cho I là một iđêan trong R Ký hiệu I e f (I) là iđêan sinh bởi)

(I

f Khi đó I e là một iđêan của vành R' và đợc gọi là mở rộng của iđêan I

trong vành R' bởi đồng cấu f ( mỗi phần tử của I elà một tổ hợp tuyến tínhtrên R' của các phần tử trong f (I)

1.1.6 Mệnh đề cho f :R R' là một đồng cấu vành giao hoán, J là iđêan trong R Khi đó J ce J

 .

Chứng minh Ta có J ce  (J c)e  (f  1 (J))e f(f  1 (J)) 

1.1.7.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành noether nếu mọi dãy tăng các

iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I0 I1I2  I K  là dãy tăngcác iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên n sao cho I n I n1 

1.1.7.2 Chú ý vành R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan trong vành

R đều hữu hạn sinh

1.1.7.3 Ví dụ 1) vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của Z

đều có dạng mZ ( với m  Z) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh( sinh bởi một phần tử)

2) Mọi trờng X là vành Noether, do trờng X chỉ có hai iđêan là  0 và

X Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là  0 X , suy ra dãy dừng

1.1.8 Vành địa phơng.

1.1.8.1 Định nghĩa vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu nó chỉ có duy

nhất một iđêan cực đại

1.1.8.2 Ví dụ 1) Mỗi trờng là một vành địa phơng vì chỉ có một iđêan cực đại

i 0 là vành địa phơng vớiiđêan cực đại duy nhất là (x)

1.2 vành các thơng

1.2.1 Tập nhân đóng của một vành.

1.2.1.1 Định nghĩa Một tập SR đợc gọi là tập nhân đóng của R nếu 1S

và abS với mọi a,b S.

1.2.1.2 Ví dụ Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó tập S = R\p là một tập nhân đóng của R Thật vậy, ta có: 1R\p vì giả sử 1R\p hay 1p suy

ra a.1 = ap với mọi aR Khi đó p  R Tuy nhiên p R Vậy 1R\p.

Với mọi a, bR\p, tức là a, bp ta có abp do p là iđêan nguyên tố Do đó

ab  R\p Vậy R\p là tập nhân đóng của vành R

1.2.2 Xây dựng vành các thơng.

Giả sử R là vành giao hoán, có đơn vị S là tập nhân đóng của R Trên tích

Đề các RS ta xét quan hệ ~ sau: với (r,s) và (r' ,s' ) thuộc R  S ta nói (r,s)

~(r' ,s' ) nếu có phần tử s 1 S, sao cho s1(s'r  sr' )  0

Quan hệ ~ là quan hệ tơng đơng Thật vậy:

i) Tính phản xạ: Với mọi (r,s)  RS ta luôn có sr – sr = 0 sr = 0 Suy ra tồn

tại s 1S sao cho s 1 (sr - sr ) = 0 Vậy (r,s) ~ (r,s), với mọi (r,s)RS

ii) Tính đối xứng: Giả sử (r,s) và (r' ,s' ) là hai phần tử bất kỳ thuộc RS

sao cho (r,s) ~ (r,s) tức là tồn tại s 1S, sao cho s1(s'r sr' )  0 hay

0 )

0 2

1

1 2

tc ub ss s

sb ta us s

Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta đợc:

s 2 us 1 ta - s 1 ss 2 tc= 0, suy ra: s 2 s 1 t(ua - sc) = 0.

Vì S khép kín với phép nhân nên s 2 s 1 tS, suy ra (a,s) ~ (c,u).

Vậy quan hệ ~ là một quan hệ tơng đơng trên RS Lớp tơng đơng của phần tử

s

r =

,

, ,

ss

sr r

r

, , 1

, 1

s

r s

0 ) (

)

1

, 1

, 3 1 2 1 1 2

, 1

,

Suy ra  ( ) ( ,)  0

1

, 1 , , 1 1

1 1 , , 3

, 1 1 1 , ,

1 1

, 1 1 1

, 1

ss

sr r s s

s

r s r

1 ,

,

s

r s

r s

r s

0

, , 1 3 2

, 1

, 3

2s ss r  s s s rr 

1 1

, 1 1

, 3

s vì s2, s3 S

Đẳng thức cuối chứng tỏ: ,

, , 1 1

, 1 1

ss

rr s s

r r

1

, 1 1

1 ,

,

s

r s

r s

r s

3 2 1 2 1 1 2 3 3

3 2

1

2 1 1 2 3

3 2

2 1

) (

s s s

s s s r s r s s s

r s

s

r s r s s

r s

r s

2 1

1 3

2

3 2 2 3 1

1

s

r s

r s

r s

s

r s r s s

s r s

r s

0 1 1

0 1



ss ss

r s sr s

r s

r

Vậy S -1 R là một nhóm giao hoán với phép cộng.

Bây giờ ta chứng minh S -1 R với phép nhân là một nửa nhóm giao hoán có đơn vị.

3

3 2

2 1

s

r s

r s

r

S -1 R , ta có :

) ( )

(

) ( ) (

3

3 2

2 1

1 3 2

3 2 1

1 3 2 1

3 2 1 3

3 2

2 1

1

s

r s

r s

r s s

r r s

r s s s

r r r s

r s

r s

2 1 2

1 2 2 1

2 1

s

r s

r s s

r r s s

r r



1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

s

r s

r s

r



Vậy S -1 R là một nửa nhóm giao hoán và có đơn vị với phép nhân Trên S -1 R phép

nhân phân phối với phép cộng Thật vậy với

3 2 1 2 3 1 3

2 1

3 2 2 3 1 3

2

3 2 2

s s s

r s r r s r s

s s

r s r s r s

s

r s r

1 2

2 1

1 3 1

3 1 2 1

2 1 3

1 2 1

3 1 2 1 2 1 3 1

) )(

(

) )(

( ) )(

(

s

r s

r s

r s

r s s

r r s s

r r s

s s s

r r s s r r s s

1.2.5 Ví dụ Giả sử p là một iđêan nguyên tố trong vành R Khi đó S = R\P là

một tập nhân đóng ( Ví dụ 1.2.1.2) Trong trờng hợp này ta ký hiệu S -1 R là Rp.

Vậy Rp = r/s rr,sp cùng với phép toán cộng và phép toán nhân nói trên

' )

' (r r r r r r f r f r

f        ,với r  R

1

' 1 1

' ) ' (r r r r r r f r f r

Vậy f là đồng cấu vành.

1.2.8 Mệnh đề Giả sử g:R A là đồng cấu vành, S là tập nhân đóng của R sao cho s  S thì g (s) khả nghịch trong A Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành h:S1R A sao cho biểu đồ sau là giao hoán Nghĩa là : ghf với

 atu bsu 0  g(atu bsu) g( 0 )  0

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ).

( ).

( ).

(

) ( ).

( ).

( ) ( ).

( ).

g u g t g a g

u g s g b g u g t g a g

).

( ) (

) ( ).

( )

( ).

t

b h s

a

h

t g b g s

g a

) ' ( ) ' ( )

( ) (

) ' ( ) ( ) ' ( ) ( )

' ( ) ( ) ' ( ) (

) ) ' ( ) ( ))(

' ( ) ( ) ' ( ) ( (

) ' ( ) ' ' ( ) '

' ' ( ) '

' (

1 1

1 1

1 1

1 1

1

s

r h s

r h

s g r g s

g r g

s g s g r g s g s

g s g s g r g

s g s g s g s g s g r g

ss g sr rs g ss

sr rs h s

r s

r h

r

 ' , ' , ta có:

).

'

' ( ).

(

) ' ( ) ' ( ) ( ) (

) ' ( ) ( ) ' ( ) (

) ' ( ) ' ( ) '

' ( ) '

' (

1 1

1 1

1

s

r h s

r h

s g r g s g r g

s g s g r g r g

ss g rr g ss

rr h s

r s

r h

' )

1 (

1 1 ( ' ) (

s

r h s

g r g s h

r h s

r h s

r h s

i) Với mọi s  S thì g (s) khả nghịch trong A

ii) Nếu g(r)  0 thì s  S sao cho rs 0.

iii) Mỗi phần tử của A đều có dạng g(r)g(s)  1 , với rR,sS

Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu vành: h:S1R A , sao cho: g hf

Theo chứng minh của mệnh đề trên thì ta có đồng cấu

g  h toàn ánh Mặt khác, ta có:

r h

)

0 ) (r r R r f

R r

ơng và I là iđêan cực đại duy nhất của vành R

phần tử x  J đều không khả nghịch trong vành R Vì nếu ngợc lại, tồn tại x  J

mà x khả nghịch thì J  R Do đó ta có J  I Suy ra I là iđêan cực đại duynhất của vành R và do đó R là vành địa phơng

1.2.13 Định lý giả sử p là iđêan nguyên tố trong vành R Khi đó Rp là vành

địa phơng.

Chứng minh ta kí hiệu: pRpr/s r p,sp khi đó pRplà một iđêan trongvành Rp

Thật vậy:

2 1 1 2 2

2 1

1

s s

r s r s s

r s

r s r s



 2 1

2 1 1 2

s

r s

r



 2

2 1

1

Ta có

s s

r r s

1  pRp( vì r 1r p và s 1s p )

Tơng tự ta có pRp

s

r s

r

 1

1 Suy ra pRp là một iđêan của vành R

Rp\ pRp đều khả nghịch Mặt khác pRp  Rp( giả sửpRp  Rp, suy ra p  R

(mâu thuẫn)) Do đó theo Bổ đề 1.2.12 Rp là vành địa phơng với iđêan cực đạiduy nhất là pRp

1.2.14 Nhận xét Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R, theo Định lý trên

Rp là vành địa phơng Do đó quá trình chuyển từ vành R sang vành Rp ngời ta

gọi là địa phơng hoá vành R tại iđêan nguyên tố p

Sau đây là 3 ví dụ quan trọng của địa phơng hoá: trờng các thơng, trờngphân thức và vành các số thập phân

1.2.15 Ví dụ 1) Nếu R là miền nguyên thì S  R\   0 là một tập nhân đóngcủa R và S 1R là một trờng do mọi phần tử khác không của nó đều khả nghịch.Trờng này đợc gọi là trờng các thơng của miền nguyên R

2) Đặc biệt, trờng các thơng của vành số nguyên Z chính là trờng các sốhữu tỉ (Z \ 0 )1Z Q

Chúng ta thờng dùng hệ đếm cơ số 10 và làm quen với các số thập phân Theoquan điểm địa phơng hoá, các số này đợc xây dựng nh sau: nhận xét rằng

có dạng m n

10 , trong đó m,nZ.

3) Giả sử R  K x là vành các đa thức một ẩn với các hệ số thuộc trờng

K Khi đó: K(x) (K x \ 0 )  1K x

 đợc gọi là trờng các phân thức một ẩn với

hệ số trong K Mỗi phần tử đợc gọi là một phân thức có dạng

) (

) (

x q

x p

, trong đó

 x K x

1.3.1 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán, S là tập nhân đóng và I là một

a s

'

' ' '

r I

r s

' '



 (do aI  arI)

Vậy S 1I là một iđêan của S 1R

Định lý sau đây mô tả iđêan trong vành các thơng

1.3.2 Định lí Cho R là vành giao hoán có đơn vị và S là tập nhân đóng của vành R khi đó:

i) J là iđêan trong S 1R khi và chỉ khi tồn tại iđêan I của vành R sao cho J S 1I

( giả sử J là iđêan trong S 1R , ta sẽ chứng minh tồn tại một iđêan I của

Rsao cho J  I e ( với I e là iđêan mở rộng của I đối với đồng cấu



 1

ce ce

Đặt I  J c Khi đó:

J I e f I a aI 

1 )

r a

, ,

t

b

, = S 1I

I

S

J   1

 , với I là một iđêan trong R

ii) ( ) Giả sử S 1I S 1R S 1I chứa phần tử

1

1 của S 1R S I

P

S

 là iđêan nguyên tố của S 1R

+)Do P là iđêan trong R, suy ra Q S 1P

 là iđêan trong vành S 1R ( suy ra từMệnh đề 1.3.1)

P a P ab P S st

ab P S t

b s

(vì P nguyên tố).Vậy S 1P là iđêan nguyên tố của vành S 1R

( ) Giả sử Q là iđêan nguyên tố của vànhS 1R

*Theo (i) thì tồn tại iđêan P củaR sao cho Q S 1P



*Vì Q S 1R

  PS   ( theo (ii) )

*Cần chứng minh P là iđêan nguyên tố của vànhR

Giả sử a,bR, sao cho: ab  P Suy ra: S P Q

s

ab



  1 Vậy P iđêan nguyên tố của vành R

1.3.3 Nhận xét Cho Rlà vành giao hoán có đơn vị, S là tập nhân đóng củavành Khi đó theo định lý trên ta có:

i) Mỗi iđêan của vành các thơng S 1R đều có dạng S 1I , trong đó I làiđêan của vành R.

ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành S 1R đều có dạng S 1P trong đó P làiđêan nguyên tố của R không giao với S

iii) Cho P là iđêan nguyên tố của vành R Kỹ thuật chuyển từ vànhR

sang vành R P làm mất đi tất cả những iđêan nguyên tố ngoại trừ những iđêannguyên tố nằm trong P

Ta biết rằng mỗi iđêan của vành thơng R / P có dạng K / P, trong đó K làiđêan của vành R chứa P Do đó kỹ thuật chuyển từ vành R sang vành thơng

P

R / sẽ làm mất đi tất cả những iđêan nguyên tố ngoại trừ những iđêan nguyên

tố chứa P Do đó nếu P, Q là hai iđêan nguyên tố của vành R sao cho Q  P

thì kỹ thuật lấy địa phơng hoá tại P tức là vành Rp và lấy vành thơng R / Qtathu đợc dãy các iđêan nguyên tố nằm giữa P và Q

1.3.4 Định lý Cho S là tập nhân đóng và I là iđêan của vành R Ký hiệu S

là ảnh của S trong R / I Khi đó S 1R/S 1I S1(R/I)

' ( ) '

' (

s

r s

r g I S s

r I

ss

sr rs

' '

ss

sr rs ss

' '

'

s

r s

r ss

sr ss

s

r g I S s

s

r I S

r s

=

'

'

s s

r

r =

'

'

s

r s

'

' ( ).

s

r g I S s

g Khi đó t  S sao cho t r  0 suy ra t r  0 trong R / I hay tr  I.Khi đó: / 1 / 1 0







IS R tr ts IS R s

r

(do tr  I) hay ker(g)  0

Suy ra g đơn ánh.

*g là toàn ánh.

Với mỗi r/sS1(R/I) đều tồn tại r s S 1R

 sao cho

s

r I S s r

suy ra g là toàn ánh.

Vậy g là đẳng cấu, suy ra 1 / 1 1( / )

I R S I S R

1.3.5 Mệnh đề cho vành R là vành Noether và S là tập nhân đóng của vành

R Khi đó vành các thơng S 1R là vành Noether

J là một iđêan tuỳ ý của vành S 1R Theo Định lý 1.3.4 thì khi đó tồn tại I làiđêan trong vành R sao cho J S 1I a/s aI

, doR Noether nên I hữu hạnsinh

là hệ sinh của J  J là iđêan hữu hạn sinh

 mọi iđêan của S 1R đều hữu hạn sinh S 1R

 là vành Noether

1.3.6 Hệ quả Cho R là vành Noether và p là iđêan nguyên tố của vành R .

2.1.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán có đơn vị, tập M gọi là R

sao cho với phép cộng M là một nhóm Abel và phép nhân với vô hớng thoã mãncác điều kiện sau:

i) r(xy) rxry, rR, x,yM

ii) (r  )xrx x, r,  R, xM

iii) (r  ).xr.(  x), r,  R, xM

iv) 1 xx, xM

2.1.2 Ví dụ 1) Cho V là một không gian véctơ trên trờng K Khi đó V là K

- môđun hay là V môđun trên K

2.1.3 Môđun hữu hạn sinh.

2.1.3.1 Định nghĩa R- Môđun M đợc gọi là hữu hạn sinh nếu có một tập sinh

gồm hữu hạn phần tử Nói cách khác tồn tại các phần tử x1, ,x n M sao cho

r1x1 r2x2 r x r R,i 1 ,n,

M     n n i 

2.1.3.2 Ví dụ 1) mỗi vành R giao hoán, có đơn vị 1 là một môđun hữu hạnsinh trên chính nó ( phần tử sinh là 1)

sinh trên trờng K (mỗi cơ sở là một hệ sinh)

2.1.4 định nghĩa cho M là một R- môdun và S là tập nhân đóng của R.Trên tích Đềcác M  S ta xác định quan hệ hai ngôi ~ nh sau:

Với (m, s),(m ' s, ')M  S ta nói (m, s) ~ (m ' s, ') nếu tồn tại s 1 S saocho s1(s'm sm' )  0 Khi đó quan hệ ~ là một quan hệ tơng đơng (chứng minhtơng tự nh ở phần vành các thơng) Khi đó ta kí hiệu

'

ss

sm ms s

m s

m r s

m s

r

'.

'

.

Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện

Thật vậy, đối với phép toán cộng chứng minh tơng tự nh ở phần vành các thơng