Về một số tính chất của quá trình ngẫu nhiên

Chẳng hạn độ caocủa máy bay quanh giá trị mà máy bay phải giữ, chuyển động của phân tử khí Có thể biểu diễn những quá trình nh thế bằng chuyển động ngẫu nhiên củamột điểm trong không gia

Lời nói đầu

Khi nghiên cứu các hiện tợng rất khác nhau của thực tế ta gặp phải cácquá trình mà không thể nói trớc đợc sự tiến triển của chúng Chẳng hạn độ caocủa máy bay quanh giá trị mà máy bay phải giữ, chuyển động của phân tử khí

Có thể biểu diễn những quá trình nh thế bằng chuyển động ngẫu nhiên củamột điểm trong không gian cụ thể đợc chọn riêng cho mỗi bài toán Đó là hàmcủa thời gian với giá trị ngẫu nhiên trong không gian ấy Từ đó cần xây dựng môhình toán học của các quá trình ngẫu nhiên trong thế giới hiện thực là hàm của t,giá trị của nó là các biến ngẫu nhiên

Khoá luận này trình bày một số tính chất của quá trình ngẫu nhiên quantrọng Khoá luận gồm có các nội dung cơ bản sau:

Đ1 Trình bày khái niệm hàm ngẫu nhiên và ví dụ

Đ2 Trình bày quá trình có gia số độc lập

Đ3 Trình bày Martingale

Đ4 Trình bày quá trình dừng

Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh Nhân dịpnày tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS TS Phan ĐứcThành - ngời đã trực tiếp hớng dẫn khoá luận và các thầy cô giáo cùng các bạnkhoa Toán đã giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này

Do thời gian hạn hẹp, nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót,tác giả mong đợc sự góp ý của bạn đọc

một số tính chất của quá trình ngẫu nhiên

Đ1: Khái niệm hàm ngẫu nhiên và ví dụ 1.1 Khái niệm:

Vinh ngày 7 tháng 4năm 2004

Ngời thực hiện

Lê Thị Lan Hiền

Định nghĩa: Hàm ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên Xt () phụ thuộcvào tham số t, t  T (T là tập tuỳ ý).

tức là: X: T x   R

trong đó: R gọi là không gian trạng thái hay không gian pha

ngẫu nhiên

điểm nào đó…

gian xác suất (, F, P) và nhận giá trị trong không gian đo (R, B) đợc gọi là tơng

- Xét t1, t2 … , tn  T là các giá trị của tham số t thì: (Xt1 ,Xt2… , Xtn) là một

Ký hiệu:  Xt1 , Xt2 , … Xtn (A) = P [(Xt1 , Xt2 , … Xtn)  A], A  Bn

P

s t λ k

s t

Quỹ đạo của quá trình Poisson là liên tục phải

Đặt n = min (t > 0, Xt= n) ta suy ra: 1, 2… n là những biến ngẫu nhiên Thật vậy: [n < t] = [: Xt() > n] mà [: Xt() > n]  F

Tức là: n là biến ngẫu nhiên Suy ra các khoảng thời gian: 1, 2 - 1, … n

của đại lợng ngẫu nhiên: i + 1 - i, i = 1, 2 … nh sau:

Nhận thấy biến cố: [i + 1 - i > x] = { Nx = 0}

0 x

i 1

0!

e λx 0 N P x τ τ



Vậy hàm phân phối của [i + 1- i < x] = 1 - e-x

I.2.2 Quá trình Wiener (chuyển động Bơrao):

Định nghĩa: Quá trình ngẫu nhiên {Wt , t  (0, ) đợc gọi là quá trìnhWiener nếu thoả mãn các điều kiện sau:

i) Với bất kỳ 0 < to < t1 < … < tn, các biến ngẫu nhiên:

Ký hiệu: J - là xích ma đại số các tập Boren trên T

Định nghĩa: {Xt, t  T} đợc gọi là đo đợc nếu nó đo đợc đối với xích ma

Định nghĩa: {Xt , t  T} là đo đợc tiến nếu với mỗi t  T: [(, s < t : Xs

()  B)  J[0,t] x Ft

Định nghĩa: {Xt, t  T} đợc gọi là phù hợp với Ft, t  T nếu nó đo đợc đốivới Ft

Định nghĩa: {Xt, t  T} đợc gọi là liên tục ngẫu nhiên (hầu chắc chắn hay

trung bình cấp r) nếu hơn

0

lim t

bình cấp r)

t] x A, 0 < s < t, A  Ft

Đ2 quá trình có gia số độc lập

2.1 Các khái niệm

Định nghĩa: Quá trình ngẫu nhiên {Xt, t  [a,b]} đợc gọi là quá trình cógia số độc lập nếu đối với bất kỳ t0 < t1 < … < tn , a < t0 , tn < b, các đại lợng ngẫunhiên Xt0, Xt1 - Xt0, … , Xtn - Xtn-1 là độc lập

2.2 Ví dụ:

+ Quá trình Poisson là quá trình có gia cố độc lập

P

s t λ k

s t

s t λ X

X E

s t s t

, (s < t)+ Quá trình ngẫu nhiên Wiener là quá trình có gia số độc lập

Thật vậy: Với {Wt, t  T = [0, + ]} là quá trình ngẫu nhiên Wiener nếu:i) W0 = 0

0 W W E

2 t s t s t

k n 1 k

Đ3. Martingale

3.1 Thời điểm Maccốp và thời điểm dừng:

họ không giảm các xích ma đại số con của xích ma đại số F Giả sử xích ma đại

số F là đầy đủ theo độ đo xác suất P, tức là bổ sung thêm tập các xác suất bằng

0 (Tập có xác suất bằng 0 nếu A  F sao cho: P(A) = 0 và 0  A), trong trờnghợp này (, F, P) là không gian xác suất đầy đủ Ta cũng giả sử xích ma đại số

3.1.1 Định nghĩa Đại lợng ngẫu nhiên  =  () nhận giá trị trong T = [0,)

Nhận thấy: thời điểm Maccốp là đại lợng ngẫu nhiên phụ thuộc vào tơnglai

Nếu thêm vào đó P [ () < ] = 1 thì  đợc gọi là thời điểm dừng

A  F =  (tT Ft) và đối với t bất kỳ thuộc T, A  [ < t]  Ft

3.1.2 Ví dụ về thời điểm dừng:

Ví dụ 1: Nếu  ()  t (   ) thì hiển nhiên  là thời điểm Maccốp

của R

Đặt: 1 = B1 với n = 1, 2 …

min { t > t1: Xt  B2},   tT {Xt  B2}  {1 < }

 trong trờng hợp ngợc lại

3.2 Các tính chất của thời điểm dừng:

{ < t}  Ft

1 k { < t - k}  Ft-1  Ft

Điều ngợc lại nói chung không đúng

1 ^ 2 = min (1, 2), 1 V 2 = max (1, 2) và 1 + 2 là các thời điểm Maccốp

{1 V 2 < t}= {1 < t} {2 < t}

{1 + 2 = t} = t

0 k  {1 = k}  {2= t - k}

+) Tính chất 3: Nếu 1, 2, … là dãy các thời điểm Maccốp đối với{Ft,tT} thì t t = supt t,tτ  t inft τ t cũng là thời điểm Maccốp đối với {Ft,tT}

Chứng minh: Thật vậy: {supt t < t} = t {t < t}  Ft

{inft τ t < t} =

t

{t < t}  Ft

Khi đó: do P ( < ) = 1 và  - trờng Ft đầy đủ và 2 tập:

A  { < t} và A  { < t} { < t} chỉ sai khác nhau một tập có độ đo

Chứng minh: Thật vậy:  t  T , ta có:

{ <   { = t} = {  > t}  {  = t}  Ft

NÕu Z lµ biÕn ngÉu nhiªn kh«ng ©m hoÆc cã kú väng h÷u h¹n, th× ta cã:

Chøng minh:

E ( XtFs) > Xs

E (Xt  Fs) < Xs

hiện và (iii)’’’ với s > t, s, t  T, Fs  Ft  F0.

và ta có: E (XtFs) = Xs, P h.c.c

{XN-t , FN-t , 0 < t < N} là martingale

Từ định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và định nghĩa trên ta có:

+) Định nghĩa về Mart dới, Mart trên, Mart tơng đơng với:

E (XtFt-1) = Xt-1 , P h.c.cThật vậy: Xét trờng hợp Martingale chẳng hạn

Với 0 < s < t , Fs  Fs+1  …  Ft theo tính chất kỳ vọng có điều kiện ta có:

XS = E (Xt+1Fs) = E (E (Xs+2Fs+1) = E (Xs+2Fs )

và tiếp tục nh thế ta đợc: XS = E (XtFs) , 0 < s < t

* Khi không chỉ rõ họ  - trờng, thì ta ngầm hiểu đang sét họ  - trờng tự

3.3.2 Ví dụ:

Thật vậy: E (YtFs) = E (E (XFt) FFs) = E (XFs) = Ys

 T Khi đó: các tổng riêng St = X0 + … + Xt là dãy Mart đối với Ft=  (X0, … Xt)

Eg(Xt)<  , t  T thì: {g (Xt), Ft, t  T} là Martingale dới

Thật vậy: Xét trờng hợp Martingale chẳng hạn

Với 0 < s < t , Fs  Fs+1  …  Ft theo tính chất kỳ vọng có điều kiện ta có:

XS = E (Xt+1Fs) = E (E (Xs+2Fs+1) = E (Xs+2Fs )

và tiếp tục nh thế ta đợc: XS = E (XtFs) , 0 < s < t

* Khi không chỉ rõ họ  - trờng, thì ta ngầm hiểu đang sét họ  - trờng tự

3.3.2 Ví dụ:

Thật vậy: E (YtFs) = E (E (XFt) FFs) = E (XFs) = Ys

 T Khi đó: các tổng riêng St = X0 + … + Xt là dãy Mart đối với Ft=  (X0, … Xt)

Eg(Xt)<  , t  T thì: {g (Xt), Ft, t  T} là Martingale dới

Mệnh đề 2: Giả sử quá trình Xt , t  [0, ), X0 = 0 và có EXt với gia số

Định lý 1: Giả sử {Xt, t  T} là mart đối với họ  đại số (Ft, t  T) Giả sử

Chứng minh: Ta phải chứng minh rằng với bất kỳ

A s

Khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng:

y = f(x0) + f’(x0) (x - x0)

f(x) > f(x0) + f’(x0) (x - x0)thay x bởi Xt,x0 bởi Xs ta có:

f (Xt) > f (Xs) + f’(Xs) (Xt - Xs)hay f (Xt) > f (Xs) + C (Xs) (Xt- Xs)

A

S t S A

S A

t dp f X dp C X X X dp X

y f(x)

x

0

x 0

Gọi AN = A  [CXS < N]

AN

s t s AN

s AN

t dp f X dp C X X X dp X

S X X dp 0 X

f

..

Định lý 2:

liên tục trên trục thực và E f(Xt) <  thì (f(Xt), Ft, t  T) là Martingale

trên T

Chứng minh định lý này rút ra từ định nghĩa Martingale

Định lý 3: Giả sử {Xn, n  T = {0, 1, 2, … }} là Martingale đối với họ Fn ,

n  T và ,  là thời điểm dừng bị chặn với  < ,  

1 b) (a, U

N

3.4 Định lý về sự hội tụ của Martingale

Định lý 1: Nếu X = (Xn, n = 0, 1, … ) là Mart với  

n n

X E

r r Q r r, n

n n

lim : ω

' '

1 r

(r, U E lim )) r (r,

N ' '

X N N

' X

biểu thức này hữu hạn hầu chắc chắn

vế phải là biến cố xảy ra với xác suất 0

P = 0 nghĩa là tồn tại hầu chắc chắn giới hạn

n n

n

0 dp X

giới hạn hữu hạn nlim E(Xn).

Giả sử  > 0 và k sao cho: E(Xk) - nlim EXn < 

1 λ X

Định lý 3: Đối với Y  L1 (, F, P), đặt Xn = E (YFn), n  T Khi đó X=



 1

n Fn

Chứng minh: Vì X n < E (YFn), n  T nên ta suy ra:

X ; X λ EY ; Y λ

Do đó: vế phải tiến tới 0 khi 

X = nlim Xn trong L1().



 1

Theo lý thuyết tập hợp thì:

Nếu A là  - hệ thống tức là A là tập con của [0; ] x  đóng kín vớiphép giao hữu hạn, thì d (A) =  (A)

trong đó d(A) là d - hệ thống bé nhất chứa A

i

i Eξ ξ

 hội tụ h.c.c

6 Khai triÓn Martingale

An < An+1 hÇu ch¾c ch¾n víi n = 0, 1, … vµ A0 = 0 Qu¸ tr×nh t¨ng {An, n > 0}

§Þnh lý: (§Þnh lý Doob)

A0 = 0

An = An-1 + E (Xn-1/Fn-1) , n = 1, 2, …

Khai triÓn trªn lµ duy nhÊt

n + A’ n

Ta ph¶i chøng minh hai khai triÓn nµy b»ng nhau

MÆt kh¸c: E (Mn - M’

n/Fn-1) = Mn-1- M’

n-1 (víi Mn, M’

n lµ Mart) V× M0 - M’

Mn = Xn - An

Từ định nghĩa này ta suy ra rằng:

nhiên cấp 2

Định nghĩa 3: Giả sử X(t), t  R là một quá trình cấp 2 X(t) đợc gọi là

một quá trình dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số (không phụ thuộc vào t)

và hàm tự tơng quan R (s,t) chỉ phụ thuộc s-t

Nh vậy: X(t) , t  T là quá trình dừng khi và chỉ khi:

a m(t) = m = Const

b Tồn tại hàm K(t) sao cho: R(s,t) = K(s-t) ;  s, t  R

Định nghĩa tơng đơng: Quá trình X(t),t  R là quá trình dừng nếu nó cócùng hàm trung bình và hàm tự tơng quan với quá trình: Y(t) = X(t+h), h  R

Định nghĩa 4: Quá trình dừng {Xt, t  T} đợc gọi là dừng theo định nghĩa

Xt1, Xt2, … Xtn và phân phối hữu hạn chiều của Xt1+h, Xt2+h , … Xtn+h là bằng nhau,



 (A)

h n t X

h 1 t

- Nếu X là quá trình cấp 2 và dừng theo nghĩa hẹp (dừng mạnh) thì dừngtheo nghĩa rộng (dừng yếu)

- Nếu X là quá trình Gauss thì dừng theo nghĩa rộng và dừng theo nghĩahẹp là tơng đơng

tuyến tính (hữu hạn) của nó là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trên R

4.2 Tính chất

Định lý 1: Quá trình ngẫu nhiên (Xt, t  T) dừng theo nghĩa hẹp thì nó





 0 22

1 t

t  ..

Định lý 3: Hàm R(n), n = 0, + 1 … là hàm tơng quan dừng theo nghĩarộng khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dới dạng:

dF(u) e

) m (n e (m) R e

k)

1) (n m

k) u(j i n

1 k

n 1 j

2

1 (u)

1) (n m

tới độ đo hữu hạn F chính là độ đo cần tìm

Thật vậy: Với mỗi m cố định ta có:

(u) f e (u) dF e

π

π nk imu π

π

nk u m i

Định lý 4: Để hàm liên tục (t) thoả mãn điều kiện (0) = 1 là hàm tơng

quan dừng, điều kiện cần và đủ là:

trong đó: F(u) là độ đo hữu hạn nào đó trên các tập Borel, R, F đợc xác

định duy nhất bởi B

Chứng minh: Đặt (t) =

φ(0) φ(t)

Khi đó (t) là hàm liên tục xác định không âm và (0) = 1

R(s,t) = E X(s) X(t) = E [(U cos s + Vsin s) (U cos t +Vsin t)]

Ví dụ 2: Tổng quát hơn, giả sử U1, U2, … , Un và V1, V2, … , Vn là các đạilợng ngẫu nhiên có:

(Uk cos kt + Vk sin kt) , với 1, 2, … , n  R.Chứng minh tơng tự ví dụ 1 ta có X(t) là quá trình dừng với:

Giải: Giả sử N(t) là biến cố xảy ra trong thời gian (0,t) thì X(t) là biến cốxảy ra trong khoảng thời gian có độ dài L tính từ thời điểm t

Ta có: m(t) = EX(t) = E[N(t+L) - N(t)] = (t+L)  - t = L = const

μ λ

λ μ λ

μ (t)

μ λ

μ μ λ

λ (t)

p 1 (t)

μ μ λ

λ μ λ λ

2

2

e μ) (λ

λμ μ

Tµi liÖu tham kh¶o

1 §µo H÷u Hå

X¸c suÊt thèng kª

Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc quèc gia Hµ Néi, 2001

2 NguyÔn Duy TiÕn ( chñ biªn ) - §Æng Hïng Th¾ng

C¸c m« h×nh x¸c suÊt vµ øng dông

PhÇn II: Qu¸ tr×nh dõng vµ øng dông

Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc quèc gia Hµ Néi, 2001

3 NguyÔn Duy TiÕn

C¸c m« h×nh x¸c suÊt vµ øng dông

PhÇn II: Gi¶i quyÕt ngÉu nhiªn

Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc quèc gia Hµ Néi, 2001

4 NguyÔn Duy TiÕn – Vò ViÕt Yªn

Lý thuyÕt x¸c suÊt

Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc, 2001

Môc lôc

Trang

§3 Tr×nh bµy Martingale 6