Một số tính chất của các phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều trên không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH——————————————– NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU TRÊN KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2015..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

——————————————–

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU

TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

——————– * ———————

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT

KHẢ TÍCH ĐỀU TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TS Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An, 2015

Mục lục

1.1 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 3

1.1.1 Không gian xác suất 3

1.1.2 Biến ngẫu nhiên 4

1.1.3 Kỳ vọng 5

1.1.4 Các dạng hội tụ 7

1.2 Phần tử ngẫu nhiên 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên 10

1.2.3 Các dạng hội tụ 11

1.2.4 Một số bất đẳng thức 12

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU 14 2.1 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều 14

2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích 14

2.1.2 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều 16

2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro 19

2.2.1 Dãy phần tử ngẫu nhiên khả tích đều theo nghĩa

Cesàro 192.2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo

nghĩa Cesàro 212.3 Compact khả tích đều đối với mảng 222.3.1 Khả tích đều đối với mảng 222.3.2 Nghiên cứu tính compact khả tích đều đối với mảng 232.4 Một số định lý giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện com-

pact khả tích đều 27Tài liệu tham khảo 33

LỜI NÓI ĐẦU

Khả tích đều là một khái niệm quan trọng của giải tích hàm và lí thuyếtxác suất Mặt khác, luật số lớn đóng vai trò quan trọng trong lí thuyếtxác suất Điều kiện độc lập và khả tích, cùng phân phối là nền tảng trongcác luật số lớn của Bernoulli, Borel và N Kolmogorov Từ đó đến nay, cácđiều kiện trên đã không ngừng được giảm nhẹ Nhằm giảm điều kiện khảtích, cùng phân phối, người ta đưa ra các điều kiện yếu hơn, trong đó cóđiều kiện khả tích đều Đây là điều kiện được sự quan tâm của nhiều nhàtoán học Khi nghiên cứu các định lý giới hạn đối với các phần tử ngẫunhiên nhận giá trị trên không gian Banach, người ta thường phải thay thếđiều kiện khả tích đều bởi điều kiện mạnh hơn Đó là điều kiện compactkhả tích đều Để tìm hiểu sâu hơn về điều kiện này, chúng tôi quyết địnhchọn đề tài luận văn là: "Một số tính chất của các phần tử ngẫunhiên compact khả tích đều trên không gian Banach"

Mục đích của luận văn là nghiên cứu một số tính chất của các phần tửngẫu nhiên compact khả tích đều trên không gian Banach và một số định

lí giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích đều

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn này gồm

có hai chương:

Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơbản về biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên Các kết quả của chương

này sẽ được sử dụng ở chương 2.

Chương 2 trình bày một số tính chất của các phần tử ngẫu nhiên pact khả tích đều Chương này gồm 4 mục Mục 2.1 trình bày về họ cácphần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều Mục 2.2 đề cập đến việc mởrộng khái niệm compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro Mục 2.3 compactkhả tích đều đối với mảng Mục 2.4 dành cho việc trình bày một số bổ đề

com-và định lí giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích đều.Luận văn được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa thầy giáo GS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy về sự quan tâm và sự nhiệt tình hướng dẫn màthầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đềtài

Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tổXác suất thống kê và Toán ứng dụng, khoa sư phạm Toán học, Phòng Đàotạo sau đại học, đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình tác giả họctập tại trường

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếusót Kính mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp củaquý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 8 năm 2015

Tác giả

Chương 1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơbản về biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên Các kết quả của chươngnày sẽ được sử dụng ở chương sau

1.1 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên

1.1.1 Không gian xác suất

Giả sử Ω là một tập tuỳ ý khác rỗng, F là một σ− đại số các tập concủa Ω Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo

Giả sử (Ω, F) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi

là độ đo xác suất trên F nếu

i) P(A) ≥ 0 với ∀A ∈ F (tính không âm)

ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá)

iii) Nếu An ∈ F , (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅(i 6= j) thì

Bộ ba (Ω, F ,P) được gọi là không gian xác suất.

Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp

σ đại số F được gọi là σ− đại số các biến cố.

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có

Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A

Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F ,P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu

mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố

1.1.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, G là σ− đại

số con của σ− đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến

ngẫu nhiên G - đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi

B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G)

Biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F − đo được thì Xđược gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên

Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G− đo được là biến ngẫu nhiên

Mặt khác, dễ thấy rằng nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ:

σ(X) = (X−1(B) : B ∈ B(R))

lập thành một σ−đại số con của σ−đại số F, σ−đại số này gọi là σ−đại

số sinh bởi X Đó là σ−đại số bé nhất mà X đo được Từ đó suy ra rằng

X là biến ngẫu nhiên G−đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G

Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị, thì nó được gọi là biếnngẫu nhiên đơn giản

Định lý 1.1.1 X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điềukiện sau đây thoả mãn

(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R

(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R.

Định lý 1.1.2 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xácđịnh trên (Ω, F ,P), f :Rn → R là hàm B(Rn)/B(R) đo được Khi đó

Y = f (X1, , Xn) : Ω → R

ω 7→ f (X1(ω), , Xn(ω))

là biến ngẫu nhiên

Hệ quả 1.1.1 Giả sử X,Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên

n→∞Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên

Định lý 1.1.4 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biếnngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn, n ≥ 1) sao cho Xn↑X (khi n → ∞)

EX = R

Ω

XdP

Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0), thì ta nói X khả tích bậc p

Đặc biệt, nếu E|X| < ∞, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.Tính chất 1.1.1 1 Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0

ElimXn ≥ limEXn

Nếu |Xn| ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì:

ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ElimXn

9 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y với mọi n ≥ 1,

Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1 ; hội tụ theotrung bình cấp p còn được gọi là hội tụ trong Lp.

Định lý 1.1.5 Xn −−→ Xh.c.c khi và chỉ khi với mọi ε > 0

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử E là không gian Banach thực khả ly, G là

σ−đại số của F, B (E) là σ−đại số các tập Borel của E.Ta nói ánh xạ

X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G−đo được nếu X là ánh xạ G/B(E)

(nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì X−1(B) ∈ G)

Định nghĩa 1.2.2 Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tửngẫu nhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được

Đặc biệt, nếu |X(Ω)|hữu hạn thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơngiản (|X(Ω)| là lực lượng của tập hợp X(Ω))

Định nghĩa 1.2.3 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1}gọi là hội tụ hầuchắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞) nếu tồn tại tập

N ∈ F sao cho P(N) = 0 và Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞),với mọi ω ∈ Ω\N Kí hiệu Xnh.c.c→ X (khi n → ∞)

Định lý 1.2.1 Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên và Xnh.c.c→ X

thì X là phần tử ngẫu nhiên

Định lý 1.2.2 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi

X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc, tức là tồn tạidãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc {Xn, n ≥ 1} sao cho

{Xn, n ≥ 1} sao cho kXn(ω)k ≤ 2 kX(ω)k với mọi n ≥ 1 với mọi ω ∈ Ω

(tức là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn, n ≥ 1} thoả mãn

lim

n→∞kXn(ω) − X(ω)k = 0 và kXn(ω)k ≤ 2 kX(ω)k với mọi n ≥ 1 vớimọi ω ∈ Ω)

Định lý 1.2.4 Giả sử E1, E2 là các không gian Banach thực khả ly,

T : E1 → E2 là ánh xạ B(E1)/B(E2) đo được và X : Ω → E1 phần tửngẫu nhiên Khi đó, ánh xạ T ◦ X : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên

Hệ quả 1.2.1 Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Khi đó,ánh xạ kXk : Ω → R là biến ngẫu nhiên.

Định lý 1.2.5 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khivới mọi f ∈ E∗ thì f(X) là biến ngẫu nhiên

Hệ quả 1.2.2 Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R và

ξ : Ω → R là biến ngẫu nhiên Khi đó aX + bY, ξX là các phần tử ngẫunhiên

Định nghĩa 1.2.4 Một tập hữu hạn các phần tử ngẫu nhiênX1, X2, , Xn

nhận giá trị trong E được gọi là độc lập nếu với mỗiB1, B2, , Bn ∈ B(E)

ta có:

P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B2, , Xn ∈ Bn) = P (X1 ∈ B1)P (X2 ∈ B2) P (Xn ∈

Bn)

Một dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} trong E được gọi là độclập nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều độc lập.

1.2.2 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.5 Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Phần tử

m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có

1 Tồn tại E(X + Y) và E(X + Y) = EX + EY

2 Tồn tại E(aX) và E(aX) = a EX

kEXk ≤ EkXk

1.2.3 Các dạng hội tụ

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên cùngxác định trên Ω và nhận giá trị trên E

Ta nói dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ đến X (khi n → ∞)

• hầu chắc chắn nếu: P ( lim

Định nghĩa 1.2.7 Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên{Xn, n ≥ 1} là dãy cơbản

• hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P( lim

m,n→∞kXm− Xnk = 0) = 1;

• theo xác suất nếu lim(kXm − Xnk > ε) = 0 với mọi ε > 0;

• theo trung bình cấp p>0 nếu lim

Định lý 1.2.13 Dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó

là dãy cơ bản theo xác suất

Định lý 1.2.14 Dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p ≥ 1)khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU

2.1 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều

2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích

Định nghĩa 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên X được gọi là khả tích nếu

Với mọiε > 0, đặt Cε = C.Vì X(ω)∈ C với mọiω ∈ Ωnên(X /∈ Cε) = ∅.

Do đó I(X /∈Cε) = 0

Vậy E kXk I(X /∈Cε)

< ε.Suy ra X là phần tử ngẫu nhiên compact khả tích

Tính chất 2.1.1 1 Phần tử ngẫu nhiên X compact khả tích thì khảtích

2 Trong không gian hữu hạn chiều, phần tử ngẫu nhiên X khả tích thìcompact khả tích

Chứng minh

1 Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên compact khả tích

Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho

E kXk I(X /∈Cε)

< ε

Vì Cε compact, nên Cε bị chặn Suy ra tồn tại M > 0 sao cho kXk <

M, với mọi x thuộc Cε Do đó

Cε ⊃ {x : kxk ≥ M }.Khi đó, với mọi a > M thì (kXk > a) ⊂ (kXk > M ) ⊂ kXk ∈ Cε
.Suy ra kXk I(kXk>a) ≤ kXk I(X /∈Cε), với mọi a > M

Vì vậy EkXk I(kXk>a) ≤ EkXk I(X /∈Cε) < ε (Mọi a > M)

Vậy lim

a→∞E kXk I(kXk>a)

= 0, nên phần tử ngẫu nhiên X khả tích

2 Giả sử E hữu hạn chiều và X là phần tử ngẫu nhiên khả tích Khi đó,với mọi ε > 0, tồn tại M sao cho khi a ≥ M thì

E(kXk I(kXk>a)) < ε

2.1.2 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều

Định nghĩa 2.1.3 Họ các phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} được gọi làkhả tích đều nếu

Với i ∈ I, xét Xi : Ω → E, Xi(ω) ∈ C, với mọi ω ∈ Ω

Với mọi ε > 0, đặt Cε = C Khi đó, với mọi i ∈ I, vì Xi(ω) ∈ C vớimọi ω ∈ Ω, nên (Xi ∈ C/ ε) = ∅, mọi i ∈ I

Do đó I(Xi∈C/ ε) = 0, mọi i ∈ I

Vì vậy sup

i∈I E kXik I(Xi∈C/ ε)

= 0 < ε, suy ra {Xi, i ∈ I} là họ compactkhả tích đều

Tính chất 2.1.2 1 Nếu họ {Xi, i ∈ I} compact khả tích đều thì họ

{kXik , i ∈ I} compact khả tích đều

2 Mọi họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều thì khả tích đều.

3 Khi E là không gian hữu hạn chiều, họ phần tử khả tích đều thì họcompact khả tích đều

4 Giả sử tồn tại phần tử ngẫu nhiên compact khả tích X sao cho

Vì vậy E(kXik I(kXik /∈kCεk)) ≤E(kXik I(Xi∈C/ ε)),

tức là họ {kXik , i ∈ I} compact khả tích đều

2 Giả sử họ phần tử ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} compact khả tích đều Khi

đó, với mọi ε > 0, tồn tại Cε ⊂ E thoả mãn

4 Giả sử ε > 0 vì X compact khả tích, nên tồn tại Cε ⊂ E compact saocho

2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo nghĩa

Cesàro

2.2.1 Dãy phần tử ngẫu nhiên khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Định nghĩa 2.2.1 Dãy {Xn, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên được gọi làkhả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu:

Do đó, với mọi ε > 0, tồn tại M > 0 sao cho với mọi a > M thì

sup

i E kXik I(kXik>a)

< ε2.Suy ra

tức là dãy {Xn, n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro

2 Ta xét ví dụ: Gọi {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên đượcxác định như sau:

2.2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Định nghĩa 2.2.2 Một dãy {Xn, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên đượcgọi là compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0 tồn tạimột tập con compact Cε ⊂ E sao cho:

tức là dãy {Xn, n ≥ 1} compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro.

2 Ta xét ví dụ: Gọi {Xn, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên đượcxác định như sau:

2.3 Compact khả tích đều đối với mảng

2.3.1 Khả tích đều đối với mảng

Định nghĩa 2.3.1 Giả sử (ank, n, k ∈ N) là mảng số thực Dãy các phần

tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} gọi là ank− khả tích đều ( hay khả tích đềuliên quan đến mảng ank; n, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n) nếu

Tính chất 2.3.1 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} khả tíchđều theo nghĩa Cesàro, thì nó ank− khả tích đều với

Vậy dãy {Xn, n ≥ 1} là ank- khả tích đều 

2.3.2 Nghiên cứu tính compact khả tích đều đối với mảng

Định nghĩa 2.3.2 Giả sử (ank, n, k ∈ N) là mảng số thực Dãy các phần

tử ngẫu nhiên{Xn, n ≥ 1} gọi là ank- compact khả tích đều ( hay compactkhả tích đều liên quan đến mảng ank, n, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n) nếu mọi ε > 0

tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho

Tính chất 2.3.2 1 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} compactkhả tích đều theo nghĩa Cesàro, thì nó ank− compact khả tích đều với

3 Khi E là không gian hữu hạn chiều, nếu dãy phần tử ngẫu nhiên

{Xn, n ≥ 1} là ank− khả tích đều thì nó là dãy ank− compact khảtích đều

4 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} compact khả tích đều và

< ε.

Vậy dãy {Xn, n ≥ 1} là ank-compact khả tích đều

2 Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1}compact khả tích đều liênquan đến mảng ank (với n, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n) Giả sử ε > 0 Khi đó,tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho

kXkk I(kXkk>a) ≤ kXkk I(Xk∈C/ ε).Vậy với mọi a>M

nên dãy {Xn, n ≥ 1} là ank- khả tích đều

3 Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} là ank- khả tích đều và

ε > 0 Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại M sao cho với mọi a>M thì