Một số tính chất của CS môđun và môđun giả nội xạ luận văn thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHLẠI TRƯỜNG DUY MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 12... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LẠI TRƯỜNG DUY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 12 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LẠI TRƯỜNG DUY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An – 12.2011

MỤC LỤC

Tra ng Các ký hiệu dùng trong luận văn 2

Lời nói đầu 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tổng và tích trực tiếp các môđun 5

1.2 Môđun con cốt yếu 5

1.3 Định nghĩa 8

1.4 Môđun đều, chiều đều 9

1.5 Môđun nội xạ 9

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ 2.1 Các điều kiện (Ci) 17

2.2 Một số tính chất của CS – môđun 17

2.3 Một số tính chất của môđun giả nội xạ 20

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

e

 , 

Hom N M : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.

I M



 : tích Descartes của họ M  I.

□ : kết thúc một chứng minh

LỜI NÓI ĐẦU

Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâmnghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh Để nghiên cứu cấu trúcmôđun và đặc trưng vành, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun Các lớpmôđun như: CS – môđun, môđun giả nội xạ, môđun tựa nội xạ đã được nghiêncứu bởi Chatters và Hajarnavis (1977), Bharadwaj và Tiwary (1982), S.K.Jain andS.Singh (1975), M.L.Teply (1975), Tiwary và Pandeya (1978), Wakamatsu(1979) và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyếtmôđun

Cho M và N là các R – môđun phải, ta nói N là M – giả nội xạ nếu với

Môđun N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ.

Hai môđun M và N được gọi là (giả) nội xạ lẫn nhau nếu

M là N – (giả) nội xạ và N là M – (giả) nội xạ.

Mục đích của luận văn là dựa vào tài liệu [3] ” A note on

pseudo–injective modules” của H Q Dinh để tìm hiểu và hệ

thống một số tính chất của CS – môđun và môđun giả nội xạ

Cấu trúc của luận văn được chia thành 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ bản

Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là tổng và tích trựctiếp các môđun, môđun con cốt yếu, môđun nội xạ, môđun giả nội xạ…

Chương 2 Một số tính chất của CS – môđun và môđun giả nội xạ

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Thầy,PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy

N

i

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong bộ mônToán, khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh và ĐH Sài Gòn, Ban GiámHiệu, Thầy Cô trường THCS Bình Trị Đông và các bạn học viên cao học Toánkhoá 17 đã hỗ trợ, giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.

Do điều kiện hạn chế nên dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận vănkhông tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được các góp ý của quýThầy Cô giáo, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

     

,

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita.

1.1 Tích và tổng trực tiếp các môđun

số hóa bởi I Ký hiệu M = I Mlà tích Descartes của họ M  I Khi đó

có thể xây dựng phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của M như sau:

Với mọi a A và mọi xI,yI M Hai phép toán vừa xác định

làm cho M trở thành một A – môđun.

A – môđun M như trên được gọi là tích trực tiếp của họ các A – môđun

M  I Nếu M N với mọi I thì ta ký hiệu I Mbởi N I

.

tử của M với các phần tử bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn thành phần

A – môđun I M được gọi là tổng trực tiếp của họ các A – môđun

M  I Nếu M N với mọi I thì ta ký hiệu I M bởi N (I)

tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nó là trùng nhau

1.2 Môđun con cốt yếu

1.2.1 Định nghĩa Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi

Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy môđun con X

AX A Vậy X = 0 hay N e M □

1.2.3 Bổ đề Cho : N  M là đẳng cấu môđun trên R Khi đó môđun con

L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi (L) cốt yếu trong M.

Chứng minh  Cho Le N, thì X M sao cho  L X 0

Suy ra: L1 X 1 L X 1 0 0 Do Le N nên1 X 0

1.2.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con

T của M sao cho A T e M

k

0

T Y  Nếu có a A và t T y Y ,  sao cho a t y  thì y a t A T    ,

ta suy ra y 0và a t 0 Như vậy AT Y 0, ta suy ra T YS

1.2.5 Mệnh đề Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M thì:

(1) K đóng trong M.

(2) K B là môđun con cốt yếu của M.

Chứng minh (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho K e N, thế thì,

Điều này vô lý Vậy, K đóng trong M □

(2) Suy ra từ Mệnh đề 1.2.4

1.3.1 Định nghĩa Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B

trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M.

1.3.2 Định nghĩa Môđun N được gọi là bao đóng của môđun M nếu N là mở

rộng cốt yếu tối đại của M.

không có một mở rộng thực sự trong M Nói khác đi, N được gọi là đóng

Ví dụ A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M = AB thì môđun B

là đóng trong M.

1.3.3 Định nghĩa Môđun U được gọi là đều nếu bất kỳ môđun con A và

B khác 0 của U thì AB0, hay mọi môđun con khác không của U là

môđun cốt yếu trong U.

1.3.4 Định nghĩa Cho môđun M và N,HM Môđun H được gọi là một phần bù giao của N trong M nếu H là môđun tối đại trong các môđun con của

M thỏa mãn HN = 0.

1.3.5 Định nghĩa Một A – môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó

thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

(i) Mọi tập hợp khác rỗng những môđun con của M đều có

một phần tử cực đại

(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

Vành A được gọi là vành Noether nếu nó là một A – môđun Noether.

1.3.6 Định nghĩa Một A – môđun M được gọi là môđun Artin nếu nó thỏa

mãn một trong hai điều kiện sau:

một phần tử cực tiểu

đều dừng, nghĩa là M k M k1với mọi kđủ lớn

Vành A được gọi là vành Artin khi nó là một A – môđun Artin.

1.4 Môđun đều, chiều đều

(khác 0) A, B của M Hay nói cách khác, M là đều nếu mọi môđun khác 0 của

1.5.1 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun.

Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi môđun con X của N, mọi

g i o f , trong đó i là phép nhúng đồng cấu.

Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.

Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và N

là M – nội xạ.

Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho

M cốt yếu trong E(M).

1.5.2 Mệnh đề Cho M là R – môđun trái Khi đó:

(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M).

(2) Nếu N e M thì E(N) = E(M).

(3) Nếu M Q và Q là môđun nội xạ thì Q E M   E'.

(4) Nếu A E M  là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì

1.5.4 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R,

mọi đồng cấu f I:  M thì tồn tại m M để f x  xm,  x I

Chứng minh Cho M là môđun nội xạ Lấy I là ideal trái của R,

 Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi môđun N

T  là cận trên của dãy (a) Theo Bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu, 

aB), ta xác định đồng cấu h H:  M cho bởi h b ra    b rm, trong

   ,

rộng của g □

Chứng minh Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ

N – nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu g N:  M Khi đó g là mở rộng A

của f trên A hay M là A – nội xạ

Do đó, tồn tại đồng cấu : N A  M sao cho

x A  x  x  x x A

Vậy,  là mở rộng của  hay M là N A – nội xạ □

1.5.6 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi  N M với mọi

( ) Giả sử M là N – nội xạ, với  Hom N E M ,   

    0

Đặt  1N,  2 N Vì N M2 0 nên  là đơn cấu và do M 2 là M 1

Lấy K  m1m1:m1M1 Với mọi n N thì n m 1m2 Ta có

 n  n

N K Nếu có m1M1 và m2M2 sao cho m1m1 m2 thì

:

chiếu và đặt g  M1,  x X thì g x   x x f x   f x   f x 

Vậy, g là mở rộng của f, hay M 2 là M 1 – nội xạ □

1.5.8 Mệnh đề Môđun N là A – nội xạ khi và chỉ khi N là aR – nội xạ,a

A.

Chứng minh Với aA thì aRA nên theo Mệnh đề 1.2.1, N là aR – nội

Ta chứng minh B cốt yếu trong A.

Y = 0 và XBYA Xác định đồng cấu  : BY N như sau :

Y, ) mâu thuẫn với (B, ) tối đại.

aRB nên K0 (Vì Be A).

Do N là aR – nội xạ nên  có thể mở rộng thành v: aR N

xạ, vì giả sử có b ’ + ar ’ = b + ar  (b ’ – b) + (ar ’ – ar) = 0

Ta có  (b ’ + ar ’ ) –  (b + ar) =  (b ’ ) + v(ar ’ ) –  (b) – v(ar ) =  (b ’ – b) + v(ar ’ – ar) Vì (b ’ –b) + a(r ’ –r) = 0 nên ta có a(r ’ – r)B Suy ra (r ’ – r)

K nên v(ar ’ – ar) =  (ar ’ – ar).Do đó:

 (b ’ + ar ’ ) –  (b + ar) =  (b ’ – b)+  (ar ’ – ar) =  (b ’ – b + ar ’ – ar) =

 (0) = 0  (b ’ + ar ’ ) =  (b+ar) Khi đó,  là đồng cấu và  là mở rộng

của 

mở rộng của hay N là A – nội xạ □

Lấy K  m1m1:m1M1 Với mọi n N thì n m 1m2 Ta có

 n  n

N K Nếu có m1M1 và m2M2 sao cho m1m1 m2 thì

2

:

chiếu Đặt g  M1,  x X thì g x   x x f x   f x   f x 

Vậy, g là mở rộng của f, hay M 2 là M 1 – nội xạ □

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN

VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

2.1 Các điều kiện (C i )

Cho môđun M Ta thường xét các điều kiện sau:

Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M.

Ta có dãy kéo theo sau đây là đúng:

2.2 Một số tính chất của CS – môđun

2.2.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là CS – môđun nếu M thỏa mãn điều

M đều là hạng tử trực tiếp của M.

2.2.2 Bổ đề Cho M là R – môđun Khi đó:

(1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M.

(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.

đóng trong M.

(2) Trước hết ta chứng minh, nếu môđun con A đóng trong M và mọi

e

bù giao của K trong L, L’ là phần bù giao của L trong M Theo Mệnh đề 1.2.5

thì LL'e M và theo kết quả chứng minh trên thì LL' Le M L

2.2.3 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun.

Chứng minh Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của M, tức là

Lấy A là môđun con đóng trong P, do P đóng trong M, theo Bổ đề 2.2.2, nên

A đóng trong M Vì M là CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa

là hạng tử trực tiếp của P hay P là CS – môđun □

2.2.4 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một

môđun con đều.

Chứng minh Giả sử M không chứa môđun con đều nào, nghĩa là tồn tại các

2 2 0

với tính chiều đều hữu hạn của M Vậy M có chứa môđun con đều □

2.2.5 Mệnh đề M là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn Khi đó M phân

tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.

Chứng minh Bởi M có chiều đều hữu hạn, theo Bổ đề 2.2.4, trong M tồn tại

1 e

U1A  U1B U1AB 0 Điều này mâu thuẩn với tính đều

trong đó X 2 là môđun con đều và M 2 là CS – môđun có chiều đều hữu hạn.

i

hữu hạn Do M có chiều đều hữu hạn, nên quá trình trên dừng lại sau một số

i

2.2.6 Hệ quả Cho môđun M Nếu M là CS – môđun thì M là (1–C1)–môđun

Chứng minh Giả sử M là CS – môđun theo định nghĩa CS – môđun, mỗi

môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

Do vậy, mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của

M, từ đó dẫn đến M là (1–C1)–môđun □

2.3 Một số tính chất của môđun giả nội xạ

2.3.1 Định nghĩa Môđun N là M – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của

M, với mọi đơn cấu f A:  N đều mở rộng thành đồng cấu g M:  N

Môđun N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ.

Hai môđun M và N được gọi là (giả) nội xạ lẫn nhau nếu M là N – (giả) nội xạ và N là M – (giả) nội xạ.

Một dãy các đồng cấu R – môđun:

Im f n ker f n Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại A n với mọi n.

khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg.

nếu Im f (hoặc ker g ) là hạng tử trực tiếp của N

2.3.2 Mệnh đề (1) Nếu N là N –giả nội xạ thì mọi đơn cấu : f N  M chẻ ra (2) N là nội xạ khi và chỉ khi N là M – giả nội xạ, với mọi M.

(3) Nếu N là M – giả nội xạ thì N là A – giả nội xạ, với mọi môđun con A của M.

(4) Mỗi hạng tử trực tiếp của môđun M – giả nội xạ cũng là môđun M – giả nội xạ.

(5)Nếu N là M – giả nội xạ thì ( )M N với mỗi đơn cấu

X M

i X

N g*

g f

xạ với mọi M.

Từ đó ta suy ra N là M – giả nội xạ, với mọi M.

đó, N là nội xạ □

(3) Xét biểu đồ:

( Do A là môđun con của M)

Vậy N là A – giả nội xạ, với mọi môđun con A của M □

(4) Giả sử N là M – giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N, tức là

'

Lấy X là môđun con của M và f X:  A là đơn cấu Đặt g X :

'

Đặt A:N  A A'  A là phép chiếu tự nhiên Khi đó, A g M*:  A là

đồng cấu và là mở rộng của f vì A .g i* X A.g f

Vậy A là M – giả nội xạ □

(5) Ta có : N là M – giả nội xạ và đơn cấu : ( )E M  E N( )

Tương tự, B cũng giả nội xạ □

2.3.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và X M N Các điều kiện sau

là tương đương:

(1) M là N – giả nội xạ.

(2) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn AM  A N 0, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho M T X

đồng cấu  : N A  M  A như sau:

Với mỗi a A ,  N a  M  a Do AN 0, nên  là đơn cấu

 2   1 Giả sử có (2) Gọi B là môđun con của N và f B:  M là đơncấu Đặt Ab f b b B :   , thế thì AM  A N 0 Theo giả thiết,

là N – giả nội xạ □

2.3.5 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C 2 ).

Chứng minh Giả sử M là môđun giả nội xạ và B là môđun con của M đẳng

cấu với hạng tử trực tiếp A của M Ta chứng minh B là hạng tử trực tiếp của

M Thật vậy, lấy f A:  B là đẳng cấu Khi đó, f cũng là đơn cấu từ A vào

M Vì M là M – giả nội xạ, theo Mệnh đề 2.3.2(4) thì A là M – giả nội xạ.

Theo Mệnh đề 2.3.2(1), đơn cấu f là chẻ ra Vậy B là hạng tử trực tiếp của M hay M có tính chất (C2) □

2.3.6 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ.

Chứng minh Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M,

thành đồng cấu : M  M Đặt   A và  : M  A B A là phépchiếu Lấyg :A A, thế thì ta có gi X i X i f A f , trong đó:

Chứng minh Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M sao cho

thành đồng cấu g M:  M Theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần bù A’ trong M sao

cho Ae A' Hiển nhiên g là đơn cấu Vậy A K g A  e g A ' Vì K là môđun con bù nên K = g(A’) Do đó, A = A’ □

Nhận xét: Theo Định lí 2.3.5 và Định nghĩa 2.1, ta thấy một môđun giả nội

xạ, CS – môđun là môđun liên tục Trong [7] trình bày một số định nghĩa sau:

môđun M được gọi là có tính biến đổi (hữu hạn) nếu với mọi tập I (hữu hạn)

M gọi là có tính triệt tiêu trong nếu M A1B1A2 B2 mà A1 A2 thì

1 2

hạng tử trực tiếp thực sự nào của M Đồng thời [7] đã chứng minh được một

số kết quả: Môđun nội xạ M có tính triệt tiêu trong khi và chỉ khi M là hữu

hạn trực tiếp [Định lý 1.29] Hạng tử trực tiếp của môđun liên tục là môđunliên tục [Mệnh đề 2.7] và mọi môđun liên tục đều có tính biến đổi [Định lý3.24] Từ những kết quả trên, ta chứng minh một số định lí sau:

2.3.8 Định lí M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và M 2 là CS – môđun.

Chứng minh Giả sử M là giả nội xạ và M 2 là CS – môđun Lấy

i