Một số tính chất của các tập lồi trong không gian véc tơ

Nội dung chính luận văn sẽ trình bày các tính chất về lân cận ở gốc của không gian vectơ tôpô, các quan hệ giữa các tập lin, core, lõi, phần trong, bao đóng của một tập hợp, giao của các

bộ giáo dục và đào tạo

Trờng Đại học Vinh -

Lời nói đầu

1.Tập lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và nhiều ngành khoa học khác Các kết quả tổng quan về tập lồi đã đợc các nhà toán học nh Frederick A.Valentine, L.Klee, C.Caratheodory, H.Minkowski trình bày Các cấu trúc trên các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của các tập lồi, các điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và tính hội tụ của dãy tập lồi

đã đợc nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến Chúng tôi sẽ tiếp tục trình bày các vấn đề đó một cách chi tiết và các ứng dụng của chúng

2 Luận văn sẽ hệ thống và phát triển các tính chất của tập lồi và các ứng dụng của nó Nội dung chính luận văn sẽ trình bày các tính chất về lân cận ở gốc của không gian vectơ tôpô, các quan hệ giữa các tập lin, core, lõi, phần trong, bao đóng của một tập hợp, giao của các tập lồi, các phép toán bảo toàn tập lồi, vị trí tơng đối của tập lồi với siêu phẳng, tính hội tụ của dãy tập lồi, từ

đó đa ra một số điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và các ứng dụng của

định lí Hêli, định lí Caratheodory Kết quả của luận văn là đã hệ thống các tính chất cơ bản của các lân cận ở gốc không gian vectơ tôpô, chứng minh chi tiết các tính chất về bao hàm của các tập lin, core, lõi, phần trong, bao đóng của một tập hợp, giao của các tập lồi, các phép toán bảo toàn tập lồi, vị trí tơng đối của tập lồi với siêu phẳng, dãy tập lồi hội tụ và các ứng dụng của định lí Hêli về giao khác rỗng của các tập lồi, các đờng tròn, các đoạn thẳng nh các ví dụ trong mục 1.1.3.2 và ứng dụng định lí Caratheodory về bao lồi của hệ n+1 điểm độc lập để mô tả bao lồi của các tập lồi, nh định lí 2.1.3.2 và xét vị trí tơng đối của một điểm và bao lồi của một tập hợp

3 Nội dung luận văn đợc trình bày theo hai chơng

Chơng 1.Trình bày các khái niệm cơ bản về không gian vectơ tôpô, không gian Minkowski và tập lồi nhằm sử dụng vào chơng 2 Nội dung chính của chơng 1, phần thứ nhất, trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản của tập lồi Phần thứ hai, trình bày các khái niệm hàm khoảng cách, không gian

Minkowski và quan hệ giữa tập lồi và tính cộng tính dới của hàm khoảng cách Minkowski Phần thứ ba,trình bày các khái niệm cần thiết trong không gian tôpô, các tính chất của lân cận ở gốc của không gian vectơ tô pô

và các tính chất của ánh xạ liên tục

Chơng 2 Phần thứ nhất, trình bày các tính chất tôpô của bao lồi, mô tả bao lồi của một tập hợp, biểu thị đơn hình dới dạng tổ hợp lồi các đỉnh của nó

và trình bày các điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc bao lồi của một tập hợp Phần thứ hai, trình bày tính chất lồi của hạch, lin, bao đóng, phần trong, phần lõi của một tập hợp, các quan hệ bao hàm giữa chúng và một số tính chất về mặt nón Phần thứ ba, trình bày vị trí tơng đối của tập lồi và siêu phẳng.Từ các tính chất giao của các tập lồi, tính chất tách tựa các tập lồi của siêu phẳng, nhằm tìm các điều kiện cần và đủ để một tập hợp trở thành tập lồi, quan hệ giữa tính lồi của các tập với siêu phẳng và ứng dụng của định lí Caratheodory vào xét tính chất điểm và bao lồi Phần thứ t, trình bày tính lồi của hàm khoảng cách, tập song song và mêtric trên các tập lồi, nhằm sử dụng vào việc xét tính hội tụ của dãy tập lồi trong không gian Minkowski

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, TS Nguyễn Duy Bình,TS Nguyễn Việt Hải, TS Phan Thành An và các thầy cô giáo trong khoa toán Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập

Tác giả

Mục lục

Trang

Lời nói đầu ……… ……… …………1

Chơng 1 Các khái niệm cơ bản……… 3

1.1 Tập lồi trong không gian vectơ ……… ……… 3

1.1.1 Các khái niệm tập lồi, bao lồi ……… … …… 3

1.1.2 Các phép toán bảo toàn tập lồi ……… … 4

1.1.3 Giao của các tập lồi trong không gian Euclide … ……… 6

1.2 Không gian tôpô … ……… … ……… .10

1.2.1 Các khái niệm … ……… …… 10

1.2.2 Các tính chất của ánh xạ liên tục ……… … …… 11

1.2.3 Các tính chất của lân cận ở gốc của không gian vectơ tô pô ………… ……… 12

1.3 Không gian Minkowski ……… … 14

1.3.1 Hàm khoảng cách Minkowski ……… … 14

1.3.2 Định nghĩa không gian Minkowski ……… … 15

Chơng 2 tính chất của Các tập lồi trong không gian vectơ tôpô ……….……….17

2.1 Bao lồi của một tập hợp ……… ………… 17

2.1.1 Vài tính chất tôpô của baolồi ……… ………… 17

2.1.2 Các định lí mô tả bao lồi của một tập hợp … … …… 18

2.1.3 Các định lí về bao lồi của hợp các tập lồi ………… … 19

2.1.4 Các điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc bao lồi của một tập hợp ……… … 21

2.2 Hạch, lin, baođóng, phần trong, lõi của tập hợp và các tính chất của chúng ……… ……… 23

2.2.1 Hạch của tập hợp ……… ……… 23 2.2.2 Các tập có quan hệ sao đối với một điểm …… ……… 24 2.2.3 Quan hệ giữa lin, bao đóng, phần trong và phần lõi của một tập hợp ……… ……… 25 2.2.4 Tính lồi của phần trong, bao đóng, lin, lõi của một tập

2.2.5 Tính chất của thể lồi ……… 27 2.2.6 Bao đóng của hình nón lồi …… ……… 28 2.2.7 Phần bù của một tập hợp không có đoạn cắt …… … 28

2.3 Vị trí tơng đối của tập lồi và siêu phẳng ……… ……… 29 2.3.1 Siêu phẳng và một số tính chất của nó ……… ……… .29 2.3.2 Tính chất của hai tập lồi bù nhau ……… ……… .30 2.3.3 Các định lí tách các tập lồi ……… ……… .32 2.3.4 Các định lí về siêu phẳng tựa thể lồi … ……… 33 2.3.5 Định lí về mặt phẳng tựa mặt nón trong không gian vectơ tôpô lồi địa phơng ……… ……… 35

2.4 Tập lồi trong không gian Minkowski … ……… 35 2.4.1 Tính lồi của hàm khoảng cách Minkowski … ……… 35 2.4.2 Tính lồi của tập song song ……… ……… .36 2.4.3 Mêtric trên các tập lồi …… ……… 37 2.4.4 Dãy tập lồi hội tụ trong không gian Minkowski 37 … …

Kết luận …… ……… 40

Tài liệu tham khảo ……… ……… 41

chơng 1 Các khái niệm cơ bản

Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày ba nội dung chính, nội dung thứ nhất, nêu khái niệm tập lồi, bao lồi, tổ hợp lồi và chứng minh các định lí về các phép toán bảo toàn tập lồi, ứng dụng của định lí Hêli để giải bài toán về giao khác rỗng của các tập lồi trong không gian Euclide Nội dung thứ hai, nêu các khái niệm cần thiết trong không gian tôpô, các tính chất của lân cận ở gốc và các tính chất của ánh xạ liên tục của không gian vectơ tôpô Nội dung thứ ba, nêu các định nghĩa hàm khoảng cách và không gian Minkowski, nêu và chứng minh định lí về quan hệ giữa tập lồi và tính chất cộng tính dới của hàm khoảng cách Minkowski

1.1 Tập lồi trong không gian vectơ

1.1.1 Các khái niệm tập lồi, bao lồi

1.1.1.1 Định nghĩa Kí hiệu L là không gian vectơ trên R

• Nếu x ∈L, y ∈L thì đoạn thẳng xy nối x và y là tập tất cả các điểm

có dạng α x + β y , α + β = 1 , α ≥ 0 , β ≥ 0

• Tập S ⊂L gọi là tập lồi, nếu mỗi cặp điểm x ∈ S, y ∈ S thì xy ⊂ S Một tập S đợc gọi là sao đối với điểm x∈L, nếu với mỗi y∈S thì xy⊂S

• Các tập linS ={ y \ ∃ x ∈ S x, ≠ ,y ( ) xy 0⊂ S }, linS =S  linaS

• Điểm x ∈ S là điểm lõi của S nếu mỗi điểm y ∈ L, y ≠ x, tồn tại một

điểm z∈(xy)0 sao cho xz ⊂ S Tập tất cả các điểm lõi của S kí hiệu là coreS

• Trong không gian vectơ L, bao lồi của tập S là giao của tất cả các tập lồi chứa S và đợc kí hiệu là coS

Bao lồi ∆ của tập xác định n +1 điểm x1, x2 , , xn+ 1 trong không gian vectơ L đợc gọi là một đơn hình n- chiều, nếu phẳng có chiều nhỏ nhất là n chứa ∆, các điểm xi, i =1 ,n+ 1 đợc gọi là các đỉnh của đơn hình ∆

Vectơ x∈L đợc gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1, x2, , x… n ∈L, nếu ∃λi≥ 0 (i= 1,2, ,n), … ∑

=

= λ

n 1 i

i 1sao cho x = ∑

= λ

n 1 i i

i x

1.1.1.2 Hệ quả coS là tập lồi nhỏ nhất chứa S và S là tập lồi khi và chỉ

Chứng minh Xét m = 2, với mọi λ1, λ2 > 0, λ1 + λ2 =1, x1, x2 ∈ A, do A

là tập lồi nên λ1x1+ λ2x2 ∈ A Giả sử định lí đúng với m ≤ k Ta sẽ chứng minh

với mọi x1, x2, , x… k+1∈ A, mọi λi ≥ 0 (i = 1, 2, , k + 1), … ∑+

=

= λ

1 k 1 i

i 1thì x = λ1x1 + λ2x2 + + … λkxk + λk+1xk+1 ∈ A Có thể xem λk+1<1, vì nếu λk+1=1, thì λ1 =λ2 = = … λk = 0 và ta có ngay x ∈ A

Khi đó, 1 - λk+1 = λ1 + λ2 + + … λk > 0,

1 k

x

k 1

1 k

λ

−

λ + + λ

là, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1, x2, , x… m

1.1.1.4 Định lí coA trùng với tất cả các tổ hợp lồi của A.

Chứng minh Từ hệ quả 1.1.1.2, ta có coA lồi Vì A ⊂ coA, nên coA chứa tất cả các tổ hợp lồi của A Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của A là tập lồi chứa A, do đó nó chứa coA

1.1.2 Các phép toán bảo toàn tập lồi

Trong phần này, ta chỉ nêu ra phép giao, phép tịnh tiến, phép nhân vô ớng, tổ hợp hữu hạn các tập lồi, tích Đề các của các tập lồi, ảnh và nghịch ảnh

h-của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là các phép toán bảo toàn tập lồi Những phép toán bảo toàn tập lồi khác, sẽ đợc trình bày ở các phần tiếp theo.

1.1.2.1 Định lí Trong không gian vectơ L, giao của các tập lồi là tập lồi

Chứng minh Gọi Si là các tập lồi có giao khác rỗng, i = 1, 2, 3,

1.1.2.2 Hệ quả Trong không gian vectơ L, tập S là lồi khi và chỉ khi S

∩ V lồi với mọi không gian con thực sự V của L và S ∩V ≠∅

Chứng minh Gọi S là tập lồi, giả sử phép tịnh tiến biến tập S thành tập a

+S, a∈L, phép nhân vectơ với lợng vô hớng biến S thành λS, λ ∈ R Lấy

S a

1.1.2.4 Định lí Trong không gian vectơ L , cho các tập lồi Ai, λi ∈ R (i=1, , m) Khi đó, tập A = … λ1A1 + λ2A2 + + … λmAm là lồi.

Chứng minh Lấy bất kì x, y ∈ A Khi đó, x = λ1a1 + + … λmam và y=λ1b1+ +… λmbm, với ai, bi∈Ai, λi∈R (i = 1, , m) …

1.1.2.6 Định lí Giả sử L1, L2 là các không gian vectơ, ánh xạ

T: L1→L2 là tuyến tính Khi đó:

a A ⊂L1 lồi, thì T(A) lồi.

b B ⊂ L2 lồi, thì nghịch ảnh T -1(B) của B là tập lồi

Chứng minh Lấy bất kì x,y∈T(A) Khi đó tồn tại n, m∈A sao cho x=T(n), y = T(m) và αx + βy = αT(n) + βT(m) = T(αn + βm) ∈ T(A), vì

αn+βm∈A do A là tập lồi (α, β≥ 0, α + β = 1) Vậy T(A) là tập lồi

Tơng tự, ta có T-1(B) là tập lồi khi B là tập lồi trong L2

1.1.3 Giao của các tập lồi trong không gian Euclide

Ngoài giao của các tập lồi là một tập lồi, ta tiếp tục xét một tính chất giao khác rỗng của các tập lồi, với một điều kiện cho trớc trong không gian E

Định lí 1.1.3.1 a.(Hêli) Trong không gian Euclide n- chiều En, cho các tập lồi Ci, i =1, , m, (m … ≥ n+1) Biết rằng n +1 tập Ci đều có giao khác rỗng

m 1 i i

i C

Chứng minh a.Ta chứng minh bằng qui nạp theo n

1 Nếu m = n+1 thì theo giả thiết định lí đúng

2 Giả sử định lí đúng đến m = k (k > n+1).Ta đi chứng minh định lí đúng khi

m = k +1 Giả sử, với mọi n+1 tập lồi có giao khác rỗng, ta cần chứng minh

i i

C

+

≠ (j = 1,2, ,k+1)Xét hệ n+1 phơng trình tuyến tính k+1 ẩn sau đây:

=λ

1 k 1

i i

1 k 1

i i i

0

0x

Hệ này chắc chắn có nghiệm không tầm thờng(λ- 1,λ- 2, ,…λ- k+1) ≠ 0

Không mất tính tổng quát có thể cho là λ

=

− = − λ λ

r 1 i

1 k 1 r

j j

Theo trên ta có xj ∈

1 k

i j 1

j C

+ +

= , (i =1, 2, , r).…

i i

r r

i i

x x

1

1 1

1

λ

λλ

λ

(1)

Vì x1, , x… r ∈ k 1

1 r j

j C

+ +

= mà k 1

1 r j Cj

+ +

1 k 1

r 1 k 1 r j i

− +

∑

λ

− +

+ λ

j C

= (4)

Mặt khác, ta có k 1 xi 0

1 i

i = λ

=

−

− =− λλ

r 1 i

1 k 1 r

jC

+

Vậy theo nguyên lí qui nạp suy ra m

1 j

j C

= ≠∅ và ta có điều cần chứng minh

b Giả thiết phản chứng 

I i

i C

∈ =∅ Khi đó đặt Ci* = En\ Ci (Ci* là phần

bù của Ci) Theo luật De Morgan, ta có 

I i

* i C

∈

= , nên với tập

compact bất kì Ci*, i*∈I, ta có 

I i

* i i

C

∈

⊇ (5)

Vì không gian hữu hạn chiều và do Ci compact, nói riêng Ci đóng, suy ra

Ci* là mở Từ (1), suy ra có một phủ hữu hạn phủ Ci* (do Ci* compact), tức là tồn tại j = 1, , r sao cho … i *

r 1 j i

1 j

1.1.3.2 Một số ví dụ áp dụng của định lí Hêli

1.1.3.2.1 Ví dụ Trong không gian Euclide 2- chiều E2, giả sử có bốn nửa mặt phẳng lấp đầy E2 Khi đó, tồn tại ba trong bốn nửa mặt phẳng đó cũng lấp

đầy không gian

Chứng minh Giả sử P1, P2, P3, P4 là các nửa mặt phẳng lấp đầy E2, tứclà P1∪P2∪P3∪P4= E2 (1)

Giả thiết phản chứng mọi bộ ba Pi, Pj, Pk đều không lấp đầy E2, tức là:

Pi∪Pj∪Pk E2 suy ra E2\ (Pi∪Pj∪Pk) ≠∅ và (E2\ Pi)∩(E2\ Pj)∩(E2\ Pk) ≠ ∅, với mọi i, j , k.Từ định lí 1.1.3.1, suy ra:

(E2\ P1) ∩ (E2\ P2) ∩ (E2\ P3) ∩ (E2\P4) ≠∅ hay E2\ (P1∪P2∪P3∪P4) ≠∅

và P1∪P2∪P3∪P4 E 2 (2)

Từ (1), (2) suy ra điều vô lí Vậy ta có điều cần chứng minh

1.1.3.2.2 Ví dụ Trên mặt phẳng E2 cho n hình tròn (n≥3) Giả sử cứ mỗi

ba hình tròn, đều có một hình tròn bán kính r cắt cả ba hình tròn ấy Khi đó, tồn tại một hình tròn bán kính r cắt cả n hình tròn trên

Chứngminh Gọi Si là các hình tròn tâm Ai, bán kính ri , i = 1, , n Đó…

là n hình tròn đã cho Gọi Hi là các đờng tròn tâm Ai, bán kính ri + r Nh vậy, tất cả tâm đờng tròn có bán kính r mà cắt hình tròn Si đều nằm trong Hi

Theo giả thiết với mọi bộ ba i, j, k thì Hi ∩ Hj ∩ Hk ≠∅

Từ định lí 1.1.3.1 suy ra H1 ∩ H2 ∩…∩ Hn ≠∅

⊂≠

⊂≠

Giả sử A*∈n

1 i

i H

= , thì hình tròn tâm A*, bán kính r cắt cả n hình tròn Si đã cho Vậy ta có điều cần chứng minh

1.1.3.2.3.Ví dụ Cho n đoạn thẳng song song trên mặt phẳng E2(n ≥ 3) Biết rằng cứ bất kì ba đoạn thẳng nào, cũng có một đờng thẳng cắt cả ba đoạn thẳng ấy Khi đó tồn tại một đờng thẳng cắt cả n đờng thẳng đã cho

Chứng minh Vẽ hệ trục toạ độ Oxy, sao cho trục tung song song với li (li

là các đoạn thẳng song song) Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết các li nằm trên các đờng thẳng song song khác nhau Với mỗi li xét tất cả các đờng thẳng cắt li Các đờng thẳng đó có dạng y = αix+βi Mỗi đờng thẳng nh vậy đợc

đặc trng bởi hai số (αi , βi) Chú ý rằng nếu gọi Ai(xi,yi 1) , Bi(xi,yi2) thì ứng mỗi giá trị bất kì α các đờng thẳng song song y = αx + β với

β∈[yi1- αxi, yi2- αxi] sẽ cắt li

Biểu diễn số (αi, βi) trên một hệ trục toạ độ khác Theo nhận xét trên ứng với mỗi giá trị α , thì ta có một tập hợp giá trị của β và độ dài của tập này là

Theo giả thiết bất kì ba đoạn li , lj , lk nào cũng có một đờng thẳng cắt cả

ba đoạn ấy, suy ra các hình Hi, Hj, Hk có điểm chung với mỗi bộ ba i, j, k Theo

định lí 1.1.3.1, thì cả n hình H1 , H2 , , H… n có điểm chung (α*, β*) Đờng thẳng

y = α*x + β* là đờng thẳng cắt cả n đoạn l1, l2, , l… n Vậy ta có điều cần chứng minh

1.2 Không gian Tôpô

1.2.1 Các khái niệm

1.2.1.1 Định nghĩa Tập con U của không gian Tôpô X đợc gọi là lân

cận của điểm x ∈ X khi và chỉ khi tồn tại một tập mở V, sao cho x ∈ V ⊂ U

• Điểm x đợc gọi là điểm trong của tập A ⊂ X, nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho U ⊂ A Tập hợp gồm tất cả các điểm trong của A là tập mở đợc chứa trong A và gọi là phần trong của A, kí hiệu là A0

• Tập con B của X gọi là đóng nếu X\ B là mở

• Điểm x đợc gọi là điểm dính của tập A, nếu mọi lân cận U của x thì :

U ∩ A ≠∅ Tập hợp tất cả các điểm dính của A là một tập đóng chứa A và đợc gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A

• Điểm x đợc gọi là điểm biên của tập A khi và chỉ khi mỗi lân cận U của

x thì U ∩ A ≠∅ và U ∩ X\ A ≠∅

Rõ ràng biên của tập A và tập X\ A là trùng nhau và kí hiệu là δ A Một tập là đóng khi và chỉ khi biên của nó thuộc nó, một tập là mở khi và chỉ khi nó không có điểm chung với biên

• Không gian Tôpô X đợc gọi là Hausdorff nếu mỗi x ∈ X , y ∈ X , x ≠ y ,thì tồn tại các lân cận U của x và V của y, sao cho U∩V=∅

1.2.1.2 Định nghĩa Nếu X là không gian vectơ trên trờng K và một

tôpô ξtrên X ξ đợc gọi là tơng thích với cấu trúc đại số của X trên các phép toán đại số trong X, nếu phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với một lợng vô h-ớng là liên tục Một không gian vectơ trên K cùng với một tôpô tơng thích đợc gọi là một không gian vectơ tôpô

• Một không gian vectơ tôpô L đợc gọi là lồi địa phơng, nếu mỗi lân cận

U ở gốc θ của không gian, thì tồn tại một lân cận lồi V của θ sao cho V⊂U

Quá trình tiếp theo, luận văn ta sẽ sử dụng không gian vectơ L trên trờng

số thực và không gian vectơ tôpô L là Hausdorff

1.2.2 Các tính chất của ánh xạ liên tục

1.2.2.1.Định nghĩa Cho các không gian Tôpô X và Y, ánh xạ f: X → Y

đợc gọi là liên tục nếu mọi tập mở U ⊂ Y, ta có f-1(U) là tập mở trong X

Từ định nghĩa này, ta có kết quả 3 mệnh đề tơng đơng sau:

(i) f là ánh xạ liên tục

(ii) Mọi x ∈ X và mọi lân cận U của f(x) thì f-1(U) là lân cận của x

(iii) Mọi x ∈ X và mọi lân cận U của f(x), thì tồn tại lân cận V của x sao cho f(V) ⊂ U.

• ánh xạ f: X → Y từ không gian tôpô X lên không gian Tôpô Y đợc gọi là phép đồng phôi, nếu f là song ánh và f , f-1 là các ánh xạ liên tục

1.2.2.2 Định lý Trong gian vectơ tôpô L, thì phép tịnh tiến f(x) = x + a

(a ∈L) và phép nhân vô hớng f(x) = λ x(λ ≠ 0) là các phép đồng phôi của L lên chính nó

Chứng minh Đặt y = f(x) = x + a thì f-1(y) = x = y - a nên f là song ánh

và f, f-1 là liên tục Tơng tự với y = f(x) = λ x(λ ≠ 0) thì f-1(y) = λ − 1 yvà f là phép

i u c x

= β

+

1 i i i n

1 i i i n

1 i

i i

i d u c u d u

có F-1 tuyến tính

• F là liên tục, vì nó bằng tổng của các hàm liên tục.

• Ta sẽ chứng minh F-1 là liên tục tại gốc θ∈ En Với ε > 0 tuỳ ý, gọi E là

hình cầu mở trong En, có tâm θ = (0, 0, , 0), bán kính ε Gọi B = δ E, vì B là compact đối với En, nên F(B) là compact Vì θ ∈ F(B), nên tồn tại lân cận U của θ sao cho U ∩ F(B) = ∅ Khi đó, ta có một lân cận V của θ là sao đối với

θ, sao cho V ⊂ U Ta sẽ đi chứng minh V ⊂ F(E) Giả sử ngợc lại, V không là tập con của F(E), khi đó lấy:

F

\ V

v1∈ ⇒ x = F -1 1 ∉ Vì B ∩θx là một điểm của En, điểm đó là y = B ∩ θ x Vì F là tuyến tính và V là sao đợc, nên F(y) ∈ V và F(y) ∈ F(B), suy ra V ∩ F(B) ≠ ∅ Điều này mâu thuẫn với U ∩ F(B) = ∅ Do đó V ⊂ F(E) và F-1(V) ⊂ E, do vậy F-1 là liên tục tại θ và F-1liên tục trên En, từ đó Ln là đẳng cấu tuyến tính với En

1.2.3 Các tính chất của lân cận ở gốc của không gian vectơ tôpô

Do ánh xạ f(x) = x + a (a ∈ L) là một phép đồng phôi, nên toàn bộ cấu trúc tôpô của không gian vectơ tôpô đều tồn tại trên một cơ sở lân cận của điểm gốc θ Vì lý do này, nên ta chỉ cần làm việc với lân cận ở gốc của không gian

là đủ

1.2.3.1.Định nghĩa Một không gian vectơ tôpô L là sao địa phơng,

nếu mỗi lân cận U của gốc θ của nó, tồn tại một lân cận V của θ sao cho

V⊂U và V là sao đối với θ.

Trong phát biểu trên nếu V là đối xứng tâm θ (x ∈ V ⇒ − x ∈ V), thì L đợc gọi là đối xứng địa phơng

1.2.3.2.Định lý Không gian vectơ tôpô L là sao địa phơng và đối xứng

và nếu nếu

cho α < δ ∈ thì α x ⊂ U ⇒ α U0 ⊂ U nếu α < δ Do hợp của các lân cận của θ là một lân cận của θ, nên tập V= αU0 ⊂U

1.2.3.5 Hệ quả Trong không gian vectơ tôpô L, giao của các tất cả các

lân cận của θ là θ Hơn nữa, nếu N(θ) là một lân cận của θ và nếu xy (x ≠θ, y ≠

θ) là đoạn thẳng chứa θ, thì xy ∩ N(θ) là một đoạn thẳng không suy biến, có θ

nh là điểm giữa của nó

Chứng minh Gọi Ni(θ), i =1, 2, là các lân cận của θ, giả sử tồn tại x≠θ

x Khi đó, từ điều kiện Hausdorff của L, sẽ tồn tại các lân cận

U của x và lân cận Ni0( )θ của θ sao cho U ∩ Ni0( )θ =∅ Điều này mâu thuẫn

∞

=



Mặt khác từ định lý 1.2.3.4, ta có αy0 = x0 ∈ U với α < δ , δ là một số dơng đủ nhỏ và y0 ∈ U Do đó, đoạn thẳng xy (x ≠θ, y ≠θ) chứa θ, thì xy∩N(θ) là một

đoạn thẳng chứa θ nh là điểm giữa của nó

Nếu θ∈ coreS, thì p(x) < ∞

1.3.1.2 Định lý Giả sử tập S ⊂ L là sao đối với θ và mỗi đờng thẳng qua θ cắt S trong một tập đóng tơng đối Thì S là lồi khi và chỉ khi hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p tơng ứng với S, là cộng tính dới và thuần nhất d-

ơng, nghĩa là:

(i) p(x + y) ( )≤ p x + p( )y với mọi x∈L, y ∈ L

(ii) p( )λ x = λ p( )x với mọi λ ≥ 0,x∈L

Chứng minh (ii) là đúng, do định nghĩa hàm khoảng cách Minkowski

=

r

x , 0 r : r inf S

r

x , 0 r : r inf x

p

Giả sử S là tập lồi và lấy x∈L, y ∈ L

• Nếu p( )x = ∞ hoặc p( )y = ∞, thì (i) đúng

• p( )x < ∞ hoặc p( )y < ∞ thì tồn tại các số α > 0, β > 0 sao cho p(x)<α,

p(y) < β

Từ tính thuần nhất của p, suy ra p x 1 p x 1 , S ∈ S

β

∈ α

y

và x

+

⇒

∈ +

+ +

=

+

+

β α β

β α

β α β α

α

β

α

y x S

y x

y

x

và p(x+y) ≤ α + β ≤ p(x)+p(y) Vậy p(x + y) ( )≤ p x + p( )y

Ngợc lại, giả sử hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p thoả mãn (i) và (ii) Cho R là một tia, có θ nh là điểm cuối Vì giả thiết R ∩ S là đóng và ( )z 1

p ≤ nếu z∈R∩S Do đó S = {x∈L : p(x) ≤1}

Cho x ∈ S , y ∈ S , xét α x + β y, α + β = 1, α ≥ 0, β ≥ 0

Lúc đó, vì p( )x ≤ 1 , p( )y ≤ 1 nê n p(α x + β y)≤ α p( )x + β p( )y ≤ α + β = 1

Vậy αx + βy ∈ S và S là tập lồi

1.3.2 Định nghĩa không gian Minkowski

1.3.2.1.Định nghĩa Tập S trong không gian vectơ tôpô L là bị chặn, nếu

với mỗi lân cận N của θ, tồn tại một bội số vô hớng dơng của N là αN, sao cho

đợc xác định bởi N, thì hàm chuẩn , đợc gọi là chuẩn của L

1.3.2.2 Định lý Một không gian vectơ tôpô Ln chiều xác định là định chuẩn

Chứng minh Ta có Ln đẳng cấu tuyến tính với không gian Euclide En

là định chuẩn, nên Ln lồi địa phơng và cũng chứa các tập lồi mở bị chặn Vậy Ln

( )i x, x =0

( )ii x, y > 0, nếux≠ y

( )iv x, z ≤ x, y + y, z

1.3.2.3.Định nghĩa Một không gian vectơ tôpô định chuẩn với chuẩn

x =p(x), đợc gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Không gian tuyến tính

định chuẩn hữu hạn chiều gọi là không gian Minkowski

Chơng 2

Tính chất của các tập lồi trong không gian vectơ tôpô

Trong chơng này chúng tôi trình bày bốn phần , phần thứ nhất trình bày các tính chất của bao lồi của một tập hợp, nêu và chứng minh các tính chất

đóng, mở của bao lồi, mô tả bao lồi của một tập hợp, của đơn hình của một hệ

điểm độc lập và các điều kiện để một điểm thuộc bao lồi.Phần thứ hai, trình bày các tính chất của hạch, lin, bao đóng, phần trong, lõi của một tập hợp, nêu và chứng minh tính chất lồi và quan hệ giữa các tập đó Phần thứ ba, trình bày các tính chất của siêu phẳng liên quan với các tập lồi Nêu và chứng minh tính chất tách, tựa các tập lồi của siêu phẳng và một điều cần và đủ để một tập hợp là thể lồi Phần thứ t, trình bày tính chất hội tụ của dãy tập lồi trong không gian Minkowski

2.1 Bao lồi của Một tập hợp

Trong phần này ta sẽ xét một số tính chất tôpô của bao lồi và nghiên cứu cấu trúc của bao lồi thông qua các điểm thuộc nó

2.1.1 Vài tính chất tôpô của bao lồi

2.1.1.1 Định lí Trong không gian vectơ tôpô L, nếu tập S ⊂ L là tập mở, thì coS là tập mở

Chứng minh Trớc hết ta chứng minh (coS)0 là tập lồi Lấy bất kỳ

x∈(coS)0, y ∈(coS)0 và không mất tính tổng quát, giả sử y = θ, ta xét αx = z,

0≤α≤1 vì x∈(coS)0nên tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ (coS)0 suy ra

αU⊂(coS)0 với 0≤α≤1 Vậy αx ∈αU ⊂ (coS)0 và (coS)0 là tập lồi

Mặt khác, vì S⊂ coS và S∩ δ(coS) = ∅ suy ra S⊂ (coS)0 nên coS ⊂ (coS)0 (do (coS)0 là tập lồi) từ đó coS = (coS)0 và coS là tập mở

2.1.1.2 Nhận xét Qua định lý 2.1.1.1, ta có bao lồi của một tập hợp mở là

một tập mở, tuy nhiên bao lồi của một tập đóng thì không nhất thiết là tập đóng Chẳng hạn tập đóng ={ ( ) 2 = < 2< ∞}

2

2 1 2

1,x :x x ,10 xx

chiều E2 với hệ toạ độ (x1, x2) và ta có: coS={ (x1,x2):x2 >0} là tập mở

2.1.1.3.Định nghĩa Trong không gian vectơ tôpô L, bao lồi đóng của tập S

là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa S

2.1.1.4.Định lí Trong không gian vectơ tôpô L, thì bao lồi đóng của một

tập S là bao đóng của bao lồi của S

Chứng minh Kí hiệu bao lồi đóng của tập S là ccoS, ta có ccoS là tập lồi

đóng chứa S, nên coS ⊂ ccoS Bây giờ, ta sẽ chứng minh coS là tập lồi là đủ.Lấy x0, y0 ∈coS Xét αx0+βy0 với α+β=1, α≥0, β≥0

Từ tính liên tục của hàm f(x,y)= αx+βy tại (xo,y0), nên mỗi lân cận U của α

x0+βy0 trong L, thì tồn tại một lân cận V của x0 sao cho nếu x∈V, thì αx+β

y0∈U Vì x0∈coS, nên chọn x∈V∩ coS thì αx+βy0∈V∩ coS Suy ra αx0+

βy0∈coS và coS là tập lồi,vậy coS=ccoS

2.1.2 Các định lí mô tả bao lồi của một tập hợp

2.1.2.1.Định lý (Caratheodory) Nếu ∆ là một đơn hình n-chiều trong không gian vectơ L với các đỉnh xi (i=1, ,n+1), thì … ∆ gồm tất cả các điểm x trong L, thỏa mãn:

x =∑+

=1α

n

1 i

ixi, ∑+

=1α

n 1 i

i ixi , ∑+

=1α

n 1

i i=1,αi ≥0,i=1, , n+1}…Lấy bất kỳ x,y∈L(∆) thì x=∑+

=1α

n 1 i

ixi và y=∑+

=1β

n 1 i

ixi với ∑+

=1α

n 1 i

i =1, ∑+

=1β

n 1 i

[λαi +(1- λ)β i]xi (0≤λ≤1)