Mối liên hệ giữa vành tựa morphic và một số lớp vành

Mộtvấn đề đợc đặt ra đó là mối quan hệ giữa một số lớp vành nh thế nào và trênmối quan hệ đó các tính chất của các lớp vành đợc thể hiện nh thế nào?Theo hớng này, dới sự hứớng dẫn của th

Bộ giáo dục và đào tạo

tr ờng đại học vinh

phan anh tuấn

1.4 Vành địa phơng, vành nửa địa phơng 8

1.6 Vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh 91.7 Linh hóa tử và Iđêan suy biến 101.8 Điều kiện chuỗi trên vành 11Chơng 2 : Vành tựa – morphic và mối liên hệ

với một số lớp vành 12

Đ1 Vành tựa – morphic trái và một số kết quả 121.1 Phần tử tựa – morphic trái 131.2 Vành tựa – morphic trái 14

2.2 Quan hệ của vành tựa – morphic và một số lớp vành khác 27

mở đầu

Trong Toán học cao cấp nói chung và Đại số nói riêng, Lý thuyếtVành chiếm một vị trí rất quan trọng Ngoài các lớp vành lớp vành kháquen thuộc hiện nay nh vành nửa đơn, vành tựa Frobenius (QF–vành),vành Actin, vành Norther, vành nửa nguyên tố, vành nửa nguyên sơ còn cónhiều lớp vành mới đợc nghiên cứu và đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc Mộtvấn đề đợc đặt ra đó là mối quan hệ giữa một số lớp vành nh thế nào và trênmối quan hệ đó các tính chất của các lớp vành đợc thể hiện nh thế nào?Theo hớng này, dới sự hứớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng vàdựa trên cơ sở bài báo của V Camillo và W.K.Nicholson là ”Quasi-morphic Rings”, preprint, xem [10] Chúng tôi đã tập trung nghiên cứu vềlớp vành tựa-morphic và mối liên hệ của lớp vành này với một số lớp vành

khác và tên của đề tài luận văn là ” Mối liên hệ giữa vành tựa-morphic vàmột số lớp vành”.

Luận văn đợc chia làm hai chơng nh sau

Chơng I Trình bày các khái niệm cơ sở

Chơng II Giới thiệu về lớp vành tựa – morphic và mối liên hệ giữa vànhtựa - morphic với một số lớp vành

Nội dung chính của chơng II dựa trên cơ sở là bài báo của V.Camillo

và W.K.Nicholson về lớp vành - tựa morphic trái và tựa - morphic Trongbài báo này, tác giả V.Camillo và W.K.Nicholson đã nêu lên khái niệm củavành tựa - morphic trái và phải, vành tựa- morphic và từ đó nêu lên mốiquan hệ giữa vành tựa - morphic trái, vành tựa-morphic với một số lớp vành

nh vành chính quy, vành hữu hạn trực tiếp, vành p - nội xạ, vành hoàn chỉnhphải, vành đặc biệt trái, vành Kasch trái, vành nửa địa phơng, vành morphic.Chơng này chia làm hai phần

Tiết 1 Nêu lên các khái niệm và một số kết quả về lớp vành tựa morphic trái

Tiết 2 Chúng tôi trình bày định nghĩa và giới thiệu một số tính chấtnội tại của vành tựa – morphic và thông qua đó để tìm ra mối quan hệgiữa vành tựa – morphic với một số lớp vành khác nh vành morphic, vànhbezout, vành nửa hoàn chỉnh, vành iđêan chính

Tiết này chia làm hai phần

thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Cũng nhân dịp này, chúng tôi xin đợccảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại Học

- Trờng Đại Học Vinh và tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành luận văn đúng kế hoạch

Đặc biệt chúng tôi xin gửi lời cám ơn tới tổ seminar của nghiên cứusinh Lê Văn An đã tận tình trao đổi giúp đỡ chúng tôi trong quá trìnhnghiên cứu luận văn

Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu ờng THPT Phan Đăng Lu, tổ toán – tin, cùng đồng nghiệp đã hết lòng tạo

tr-điều kiện để chúng tôi hoàn thành công việc của mình

Cuối cùng, chúng tôi mong đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáocùng tất cả các bạn

Vinh, tháng 11 năm 2007

Tác giả

chơng I Các khái niệm cơ sở

Trong chơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và các kết quảcơ bản liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất cơ bản và kí hiệutrong luận văn chủ yếu đợc dựa theo [4] , [5], [8]

Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị Các môđuntrên một vành luôn đợc hiểu là các môđun phải unita (nếu không nói gìthêm)

Ta viết RR , RR để chỉ R - môđun trái và R- môđun phải R

1.1 Môđun

1.1.1 Môđun con tối đại

Môđun con A của môđun M đợc gọi là môđun con tối đại nếu A M

và nó không chứa trong một môđun con thực sự nào của M

ChoM là R – môđun phải, môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn

nếu nó là tổng của những R – môđun đơn

Ví dụ 1) Môđun 0 là môđun nửa đơn

2) Mỗi môđun đơn là một môđun nửa đơn

1.1.4 Môđun con cốt yếu

Cho M là R – môđun phải và N là một môđun con của M

Môđun N đợc gọi là cốt yếu trong M kí hiệu là N e M, nếu với mọimôđun con K  M , K  0 thì N  K  0 Khi đó ta nói Mlà mở rộng cốtyếu của N.

Chú ý Khi A  0, N e Mthì ta quy ớc M  0

Ví dụ a) Với mọi môđun M thì M e M

b) Xét vành các số nguyên Z , ta có A=nZ e

 Z, n  0 Thật vậy, lấy bất kì e

ChoM là R – môđun phải

(1) Ta gọi giao của tất cả của những môđun con tối đại của M là

căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M và kí hiệu bởiRad(M)

(2) Ta gọi tổng của tất cả các môđun con đơn của M là đế củamôđun MR và kí hiệu bởi Soc(M)

Ví dụ Giả sử K là một thể, xem KK nh một K- không gian véctơ, Rad(

K

K ) = 0 vì 0 là môđun con tối đại duy nhất của KK Soc(KK) = KK vì

K là môđun con đơn của KK

1.2 Căn và đế của vành

(1) Đối với mỗi vành R, căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của nó

đợc viết tắt là Rad(R) hoặc J(R) = J

(2) Đế phải Soc(R) là iđêan phải của R đợc sinh bởi iđêan phải tốitiểu của R

Đế trái Soc(R) là iđêan trái của R đợc sinh bởi iđêan trái tối tiểu của

R

1.3 Vành nửa đơn

Để định nghĩa vành nửa đơn ta cần một vài khái niệm và mệnh đề sau

1.3.1.Định nghĩa Giả sử R là một vành

 e R đợc gọi là phần tử luỹ đẳng nếu e 2 e

 Ta gọi hai phần tử luỹ đẳng e1, e2 trực giao nếu e1e2 = 0 = e2e1

1.3.2 Mệnh đề Giả sử R là một vành, R R là môđun nửa đơn, e R, e lũy

đẳng Khi đó :

eR là môđun đơn khi và chỉ khi Re là môđun đơn.

1.3.3 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành nửa đơn nếu RR ( hay RR)

là môđun nửa đơn

Ví dụ Mỗi thể là một vành nửa đơn

1.4 Vành địa phơng, vành nửa địa phơng

1.4.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R Rad(R ) làmột thể

1.4.2.Định lí Đối với mỗi vành R các mệnh đề sau là tơng đơng

(a) R là một vành địa phơng.

(b) Rad(R) là iđêan phải (trái) tối đại.

1.4.3 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu R J làvành nửa đơn

Ví dụ 1) Vành nửa đơn là vành nửa địa phơng

2) Vành địa phơng là vành nửa địa phơng

1.4.4 Định lí Nếu R là vành nửa địa phơng thì với mọi MR ta có

1) Rad(M) MJ

2) Soc(M) lM J x  m xr  0, r  J

1.5 Vành chính quy

1.5.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành chính quy nếu với mỗi r R

tồn tại r sao cho r  rr

Ví dụ 1) Mỗi thể đều là vành chính quy

2) Mỗi vành nửa đơn đều là vành chính quy

1.5.2 Mệnh đề Nếu R là vành chính quy thì Rad(R ) 0.

1.6 Vành nửa hoàn chỉnh – vành hoàn chỉnh

(1) Một môđun M đợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi ảnh đồng

cấu của M đều có bao xạ ảnh

(2) Một môđun M đợc gọi là hoàn chỉnh nếu mọi tập chỉ sốA,

Cho R là một vành với J = J( R ) khi đó các mệnh đề sau tơng đơng:

(a) R là vành hoàn chỉnh trái

(b) R/J là nửa đơn và J là J_lũy linh trái

(c) R/J là nửa đơn và mọi R_môđun trái khác 0 đều chứa một môđun con tối đại

(d) Mọi R_môđun trái phẳng là xạ ảnh

(e) R thỏa mãn điều kiện cực tiểu cho Iđean phải chính

(f) R chứa tập lũy đẳng trực giao hữu hạn và mọi R_môđun phải chứa một môđun con cực tiểu Xem [4]

1.7 Linh hoá tử và iđêan suy biến

1.7.1 Linh hoá tử

1.7.1.1 Định nghĩa Cho M là R– môđun phải và m M

1 Tập hợp  rR m m  R mr  0 đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m và

viết gọn r(m)

Tập hợp  rR M m  R mr  0 với mọi m Mđợc gọi là linh hoá tử của

môđun M, viết gọn là r(M ) 0 Một môđun M đợc gọi là trung thành

Nếu tập S chỉ gồm một phần tử s S ta viết r(s) hoặc l(s) tơng ứng

1.7.1.2 Mệnh đề Cho vành R và S là tập con của R Khi đó:

(i) r(S) là iđêan phải của R và l(S) là một iđêan trái của R.

(ii) Nếu S  T thì r(T) r(S)và l(T) l(S).

Chứng minh.

(i)  x  r(S )và r R ta chứng minh xr  r(S )

x 1 2   n  đều tồn tại nN sao cho x n x n1 

Ký hiệu điều kiện chuỗi tăng là ACC

-) Ta nói X thõa mãn điều kiện chuỗi giảm nếu với mọi xích ( chuỗi)

x

x

x 1 2   n  đều tồn tại nN sao cho x n x n1 

Ký hiÖu ®iÒu kiÖn chuçi gi¶m lµ DCC

vµ mèi liªn hÖ víi mét sè líp vµnh

§ 1 Vµnh tùa- morphic tr¸i vµ mét sè kÕt qu¶

1.1 PhÇn tö tùa – morphic tr¸i :

1.1.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành morphic trái nếu l a

Ra

R  ,

R

a 

 , tơng đơng nếu tồn tại b R sao cho Ra  l b và l ( a )  Rb

Vành morphic phải đợc định nghĩa tơng tự

Vành R đợc gọi là vành morphic nếu R vừa là morphic trái vừa là

morphic phải

1.1.2 Định nghĩa Một phần tử a  R đợc gọi là tựa – morphic trái nếu

nó thỏa mãn điều kiện sau:

Tồn tại b và c trong R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rc

Để tiện lợi hơn, ta có cấu trúc của linh hoá tử l(a), a R, là linh hóa tửchính trái.( Tơng tự cho thuật ngữ linh hoá tử phải)

1.1.3 Bổ đề Giả sử R là một vành và a  R

(1) Nếu a là tựa – morphic trái và r(a) = 0 khi đó R a = R

(2) Nếu a là tựa - morphic trái và u  R là đơn vị khi đó au và ua đều là tựa- morphic trái.

Tơng tự ta có R(au) l(u1b) và l(au) Rc

Suy ra (2) đợc chứng minh

1.2 Vành tựa – morphic trái:

1.2.1 Định nghĩa Một vành R đợc gọi là vành tựa- morphic trái nếu mọi

phần tử là tựa morphic trái; Khi đó Ra a  R  l ( b ) b  R

Vành tựa – morphic phải đợc định nghĩa tơng tự.

F

,F là ờng, khi đó linh hoá tử chính trái là 0, R ,

0 0

Ra không là linh hoá tử chính trái

Rõ ràng mọi vành morphic trái là tựa morphic trái nhng ngợc lại làkhông đúng (đợc chứng minh trong 1.2.1) Trong thực tế, nếu D là vành và

Nhớ lại rằng vành R đợc gọi là đặc biệt trái nếu R là morphic trái, địaphơng và J là luỹ linh, tơng đơng nếu RR là một chuỗi có chiều dài hữuhạn Do đó n

Chứng minh : Trong định nghĩa của vành morphic trái chọn b = c khi

đó vành R sẽ thỏa mãn điều kiện của vành tựa – morphic trái

1.2.3 Định nghĩa Vành R đợc gọi là nội xạ chính phải ( viết tắt là P –nội xạ phải) nếu mọi a  R mọi ánh xạ aR  R R mở rộng tới R; Tơng đ-

ơng với lr a Ra ,aRvà suy ra Ra là linh hoá tử với mọi a thuộc R

1.2.4 Bổ đề Giả sử R là tựa- morphic trái Khi đó ta có:

Vì vậy R là tựa- morphic phải

Chiều ngợc lại (2) kéo theo (1)

1.2.5 Mệnh đề Giả sử VRVS và WSWR là song môđun

0 là tựa – morphic trái hoặc phải, R và S cũng là tựa – morphic trái hoặc phải.

R

0 0

, thỏa mãn để chứng minh (1)

b a

y x

y b x a

b a

y x

.) C với phép (+) là 1 nhóm Aben

.) C với phép (.) là nửa nhóm

.) Và phép (+) phân phối với phép (.)

Vậy C là 1 vành với 2 phép toán trên

Giả sử C là tựa – morphic trái

0 a Khi đó, ta có

q

y p , q

y p l

0 0 0

0 Ra

y p

Ray Rap

0 0

V ) a ( l ) (

Tơng tự ta cũng chứng minh đợc R là vành tựa – morphic phải nếu C làtựa – morphic phải.

Đối với S, giả sử b S và viết 

0 0 Khi đó, ta có

b l

Vb R

0

0 => Sb  lS n

Vậy S là tựa – morphic trái

Nếu C là tựa – morphic phải, chứng minh tơng tự ta đợc R và S là tựa– morphic phải

1.2.6 Hệ quả Nếu vành ma trận tam giác trên có dạng tổng quát

n n

n n

R

V R

V V

R

V V

V R

0 0

0

0 0

0

1 1

2 1 2 2

1 1

1 12

1.2.7 Hệ quả Giả sử e là phần tử lũy đẳng trên R thoả mãn 1 eRe0

hoặc eR1  e 0 Nếu R là tựa – morphic trái hoặc phải thì e Re cũng là tựa – morphic trái hoặc phải.

Chứng minh

eRf Re e

R , từ 1.2.5 ta có R là tựa – morphictrái nên eRe cũng là tựa – morphic trái

Chú ý rằng, chiều ngợc lại của hệ quả 1.2.7 không đúng

Ví dụ Cho F là một trờng Khi đó xét 

0 0

thỏa mãncác điều kiện của 1.2.7 là 2   và  R ( 1   )  0

Khi đó ta có R   0 là vành tựa – morphic trái nhng 

không làtựa – morphic trái theo ví dụ ở 1.2.1

1.2.8 Mệnh đề Giả sử R là một vành tựa- morphic trái Khi đó

Nếu R có ACC trên linh hoá tử phải r a , a  R thì R là vành hoàn chỉnh phải.

Chứng minh: Nếu Ra1 Ra2  trong R, khi đó r(a1) r(a2) vì vậy, theo giả thiết => r(an) r(an1) ,  n Ta có Rai  l(bi), bi  R, i nên

Mệnh đề trên cũng đợc phát biểu tơng tự đối với vành tựa – morphicphải

1.2.10 Hệ quả Nếu R là tựa - morphic trái và a , bR , khi đó

 a l ( b ) l ( c ), c R

Chứng minh : Ta có R là vành tựa – morphic trái nên khi đó tồn tại

x,y R sao cho l(a) = Rx và l(b) = Ry Theo định lý 1.2.9 ta có

) (c

l Rz

1.2.11 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành Kasch trái nếu mọi môđun

trái đơn nhúng đợc trong R, tơng đơng r(L ) 0, mọi iđêan trái (cực đại)

(2) Mọi iđêan trái cực đại của R là linh hoá tử.

(3) Mọi iđêan trái cực đại của R là iđêan chính.

Chứng minh.

(2 ) (3) Từ (2), giả sử M  l(X ) là cực đại, X  R Khi đó

R a a

l

M  ( ), 0    suy ra M = Rb với bR( theo hệ quả 1.2.9 và do R

là tựa – morphic trái) suy ra (3)

(3 ) (1) Giả sử M Ra là cực đại, a R Khi đó M  l b ,  b  R.Vậy b  0 suy ra (1)

1.2.13 Mệnh đề Giả sử R là Kasch trái, tựa- morphic trái Khi đó, các

điều kiện sau là tơng đơng

( 1  ) ( 2 )trong câu hỏi là rõ ràng theo mệnh đề 1.2.13

Từ (2) trong câu hỏi, R là nửa địa phơng theo chứng minh của

)

(

)

( 2  1 trong mệnh đề 1.2.13 Vậy R là Kasch trái

Điều này cũng đúng nếu R là vành nửa hoàn chỉnh

Đ 2 Vành tựa morphic– morphic

2.1 Vành tựa – morphic:

2.1.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là tựa – morphic nếu nó vừa là morphic trái và tựa-morphic phải

không là vành tựa –morphic trong

đó F là 1 trờng Đã chứng minh trong 1.2.1

(3) Không có vành đa thức R[x] là tựa- morphic bởi vì:

Giả sử x là tựa – morphic, xét trên vành R[x] thì r x  0 khi đó theo1.1.2 thì R[x].x=R[x] ( vô lý) Vậy R[x] không là tựa – morphic

2.1.2 Câu hỏi : Có tồn tại một vành tựa-Morphic cũng là vành Morphic

và chính quy không?

Trả lời : Xét vành Z2=0,1 ta có : với a = 0 thì chọn b = 1 khi đó

l(0) = Z2= Z2.1 và l(1) = 0 = Z2.0

Với a = 1 thì chọn b = 0

Vậy Z2 là vành morphic trái

Tơng tự ta cũng chứng minh Z2 là vành tựa – morphic phải

Ta cũng chứng minh đợc Z2 là vành chính quy Vậy câu hỏi đợc trảlời

Ra

Ra Ra ( ) a (

) a ( ) a (

) Ra

Ra Ra ( ) Ra ( ) a ( Ra

Ra Ra

n n

n i

i n i

1

2 1 2

1

2 1 1

Đồng thời ta có

) Ra

Ra Ra

(

x

n , , i ), Ra ( ) a ( x ) a (

) a ( )

Trong vành tựa-morphic chúng ta có kết quả đối ngẫu:

2.1.4 Định lý Nếu R là tựa – morphic, khi đó mọi phần tử a 1 , a 2 , , a n

Nếu n =1 ta có lr(a1) Ra1là đúng bởi vì R là P-nội xạ phải

Nếu n 2 ta có : theo định lý 1.2.9 ta có  r(ai) là Iđêan chính vì R

là tựa –morphic phải, nên ta có r a2   r an  bR,b  R Khi đó :

Theo quy nạp ta chứng minh đợc l b  Ra2  Ran

Ra b l Ra

bR a

r l a r a

r a

) ) ( ( ]

[

2 1 1

1 2

1

Vậy phép chứng minh quy nạp đợc hoàn thành

Đẳng thức (2) đợc chứng minh tơng tự với chú ý nó đúng trong mọivành R là P- nội xạ trái

2.1.5 Mệnh đề Vành R là tựa – morphic nếu và chỉ nếu với

R c

Điều này chứng minh đợc ( b)

Chiều ngợc lại là hiển nhiên vì từ (a) và (b) đúng, khẳng định đợc rằng

R là vành tựa – morphic trái và phải và suy ra R là tựa- morphic

2.1.6 Mệnh đề Giả sử VRVS và WSWR là song môđun

0 là tựa – morphic, R và S cũng là tựa – morphic

là tựa- morphic thì R và S cũng là tựa- morphic

Chứng minh : (1) Dựa vào định lý 1.2.5 ta có nếu 

V R

0 là vành tựa– morphic trái ( hoặc phải) thì R và S cũng là tựa – morphic trái( hoặc phải tơng ứng) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

eRf Re e

R , từ 2.1.6 ta có R là tựa –morphic nên eRe cũng là tựa – morphic