mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng

Định nghĩa 2: Hai đường kính mà trung điểm của mọi dây cung song song với đường kính này thuộc đường kính kia thì hai đường kính đó dược gọi là hai đường     d A d 0 tức là phươ

  Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Thảo Trúc đã trực tiếp hướng dẫn  và chỉ bảo tận tình cho 

em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài luận văn này. 

  Mặc dù  đã  cố  gắng rất nhiều  nhưng  cũng  không  tránh  khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được những góp 

MỤC LỤC

 

PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Mặt phẳng aphin   1 

1.1. Định nghĩa   1 

1.2. Mục tiêu, tọa độ aphin trong mặt phẳng   1 

1.3. Đường thẳng trong mặt phẳng aphin   2 

1.4. Tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng   4 

1.5. Phép biến đổi aphin   6 

1.6. Đường bậc hai trong mặt phẳng aphin   7 

1.7. Nhóm aphin và hình học aphin   8 

2 Mặt phẳng xạ ảnh   10 

2.1. Định nghĩa   10 

2.2. Tọa độ xạ ảnh   10 

2.3. Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh   11 

2.4. Tỷ số kép   13 

2.5. Hình bốn cạnh toàn phần   13 

2.6. Phép biến đổi xạ ảnh   14 

2.7. Đường bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh   15 

2.8. Cực và đối cực   16 

2.9. Một số định lí quan trọng trong P2   17 

2.10. Hình học xạ ảnh   26 

Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC APHIN VÀ HÌNH HỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG 1 Mô hình aphin của mặt phẳng xạ ảnh   28 

2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng aphin   28 

2.1. Xây dựng mô hình   28 

2.2. Một số kết quả cơ bản   29 

3 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclide   35 

3.1. Mối quan hệ giữa hình học aphin và hình học Euclide trong mặt phẳng   35 

3.2. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclide   36 

3.3. Một số khái niệm của mặt phẳng Euclide   37 

4 Vài áp dụng của các mô hình   40 

4.1. Giải bài toán xạ ảnh bằng phương tiện aphin   40 

4.2. Giải bài toán aphin bằng phương tiện xạ ảnh   42 

4.3. Sáng tạo các bài toán mới   43 

4.4. Giải bài toán aphin bằng phương tiện Euclide   44 

CHƯƠNG III BÀI TẬP ÁP DỤNG 

Dạng 2. Giải bài toán xạ ảnh bằng phương tiện aphin   58 

Dạng 3. Giải bài toán Eulide (bài toán sơ cấp) bằng phương tiện xạ ảnh   65 

Dạng 4. Giải bài toán aphin bằng phương tiện Euclide  77 

Dạng 5. Giải các bài toán hình học xạ ảnh bằng các phương pháp của hình học sơ cấp    81 

Dạng 6. Giải các bài toán sơ cấp bằng các phương pháp của hình học aphin và hình  học xạ ảnh   85 

PHẦN KẾT LUẬN   90 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   91   

PHẦN MỞ ĐẦU

 

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học aphin và hình học xạ ảnh là những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm. Mục đích của môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hình học và các mối quan hệ.  

Ở bậc đại học, em đã được học và nghiên cứu các môn hình học aphin và hình học 

xạ ảnh trong không gian n-chiều.Tuy nhiên khi vận dụng vào giải toán, chúng ta cần 

có cái nhìn  tổng quan  về các  mối liên hệ với nhau. Đồng thời, thấy được các vấn đề khó  khăn  trong  việc  học  tập  môn  hình học  ở  phổ  thông  và  mong  muốn  tìm  hiểu  sâu hơn  về  hình  học,  những  ứng  dụng  của  nó  vào  chương  trình  phổ  thông.  Điều  này  đã thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho mình là: “Mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng”. 

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Thông qua việc nghiên cứu đề tài: “Mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ ảnh  trong  mặt  phẳng”  trang  bị  cho  em  vốn  kiến  thức  về  hình  học  phẳng.  Từ  đó,  rèn luyện được tư duy lôgic trong Hình học và các phương pháp giải toán. 

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định nghĩa, tính chất, các mô hình của mặt phẳng aphin, mặt phẳng xạ ảnh và ứng dụng của nó. 

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để  hoàn  thành  luận  văn, em đã  nghiên  cứu nhiều  tài  liệu  tham  khảo  từ  sách,  giáo trình và các nguồn tài liệu từ internet. Sau khi sưu tầm được các nguồn tài liệu, em đã đọc hiểu và nghiên cứu, phân tích, tổng hợp lại kiến thức cần trình bày. 

V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Nội dung luận văn gồm có ba chương: 

Chương  I:  Trình  bày  kiến  thức  cơ  bản  như  định  nghĩa,  tính  chất,  các  phép  biến đổi,  của mặt phẳng aphin và mặt phẳng xạ ảnh. 

Chương II: Trình bày những nội dung thể hiện mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng. 

Chương  III:  Trình  bày  hệ  thống  bài  tập  giải  sẵn  liên  quan  đến  hình  học  aphin  và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng và một số bài tập ứng dụng vào giải toán sơ cấp.  

PHẦN NỘI DUNG Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

A1: Với mọi điểm AA, với mọi vectơ x 

V2 thì tồn tại duy nhất một điểm  B A sao cho xAB

A2: Với mọi điểm A B C , , A ta luôn có: ABBC AC

  

  Khi  đó,  tập  hợp A được  gọi  là  mặt phẳng aphin  trên  không  gian  vectơ  V2  và  V2 được gọi là không gian vectơ nền của A. 

Kí hiệu: A2 hoặc A2(V2) và khi đó ta thường kí hiệu A2 A2

Các tính chất

   MN  0

 khi và chỉ khi M N M N, A2.    MN NM

 M N,  A2.    MN PQ

  khi  và  chỉ  khi  MP NQ

 M N P Q, , , A2  (tính  chất  hình  bình hành). 

   MN  ON OM

 M N O, , A2. 1.2 Mục tiêu, tọa độ aphin trong mặt phẳng

1.2.1 Mục tiêu

Định nghĩa 1: Cho mặt phẳng aphin có không gian vectơ nền là V2. Hệ E e0,i1, 2

 trong  đó E 0  A2  và  ei 1, 2

  là  cơ sở  của  V2  được  gọi  là  một  mục tiêu aphin  của  mặt 

phẳng aphin. Điểm E  được gọi là điểm gốc mục tiêu; 0 e e 1, 2

 lần lượt được gọi là cơ sở thứ nhất và thứ hai của mục tiêu. 

Nhận xét:  Theo  tiên  đề  A1  thì  tồn  tại  duy  nhất  các  điểm  E E   thuộc  A1, 2 2  sao  cho 

Định nghĩa 2: Hệ 3 điểm không thẳng hàng có thứ tự E0, E E1, 2 của mặt phẳng 

aphin  được gọi là  một mục tiêu aphin mặt phẳng aphin. Điểm  E  được gọi là điểm 0

gốc, hai điểm E E  được gọi là các đỉnh thứ nhất và thứ hai của mục tiêu. 1, 2

Cơ sở  ei 1, 2

 ứng với mục tiêu aphin E0,E i1, 2 được gọi là cơ sở nền của mục tiêu. 1.2.2 Tọa độ 

Ba điểm M M1, 2,M  A  được gọi là thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại một đường 3 2

thẳng aphin  d  của A2 sao cho  i 1, 2, 3 , M id. 

A2). Khi đó, bốn điểm A B C D, , ,  được giả thiết là bộ ba điểm bất kì đều không thẳng hàng. 

1.3.4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong A2

Hai dường thẳng d d 

 và d d 

 gọi là cùng phương nếu  k 0 :dk d

•  d  và  d   song song với nhau (kí hiệu là  d // d ) khi và chỉ khi chúng cùng phương 

1.3.5 Phương trình đường thẳng aphin

Trong  mặt  phẳng  aphin  cho  đường  thẳng  d     đi  qua  A   có  phương  là  V0 1.  Gọi 

E e0,i1,2

là một  mục tiêu aphin của A2 và  a

 là cơ sở của V1. Giả sử M x x 1, 2, A x0 01, x02 / E e0,i1,2

 và aa a1, 2  / ei 1,2

  Khi đó       M  A2 A M0 ta

 phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại một số  k sao cho  CAkCB

 Số  k   được gọi là tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng  A B C, ,  theo thứ tự đó và được kí hiệu: 

ABCk. 

Như vậy ABCk  CAkCB

 Nếu  ba  điểm  A B C, ,   có  hai  điểm  trùng  nhau  thì  theo  định  nghĩa  tỷ  số  đơn  bằng quy ước, ta có: ABA  0;AAC  1;ABB  

Chú ý:  C  là trung điểm của đoạn thẳng  AB khi và chỉ khi ABC   1. Nếu thay đổi thứ tự các điểm trong cách viết tỷ số đơn thì giá trị tỷ số đơn đó thay đổi như sau: 

Định lí Thales: Cho hai đường thẳng d  và  d   khác nhau; ba điểm  , A B C  phân ,

biệt thuộc vào đường thẳng  d  và ba điểm  A B C, ,   phân biệt thuộc đường thẳng  d   

         k1k2AB1k AA1.

liên kết với phép aphin  f. Ta kí hiệu 



  1.5.2 Sự xác định

Cho  phép  biến  đổi  tuyến  tính :V2 V   và  hai  điểm 2 P P  A thì  duy  nhất  có , 2một phép aphin  f : A2  A2 mà  f P P và 

 1.5.3 Các tính chất của phép aphin

i. Phép aphin biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỷ số đơn của ba điểm đó. 

ii. Phép aphin biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau, biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. 

iii. Phép aphin biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tia thành tia. 

1.5.4 Phương trình của phép aphin

Trong mặt phẳng aphin cho phép aphin  f : A2  A2 và E0, E i1, 2

 là một mục tiêu aphin của nó. 

     Theo công thức đổi mục tiêu từ E0,E ii1, 2 sang f E 0 , f E i 1,2 đối với điểm 

 

f X  ta có:   x A x    a   , với  A là ma trận vuông cấp hai không suy biến. Khi đó    được gọi là phương trình của phép aphin đối với mục tiêu E0, E i1, 2. 1.6 Đường bậc hai trong mặt phẳng aphin

1.6.4 Đường thẳng kính liên hợp với một phương

Định nghĩa 1:  Cho  vectơ a  0

  mà  không  phải  là  phương  tiệm  cận  và  hai  điểm 

1, 2

M M  thay đổi thuộc đường bậc hai  S  sao cho đường thẳng M M  có  phương  1 2 a

 Khi đó tập hợp trung điểm các đoạn thẳng M M  nằm trên một đường thẳng (đi qua 1 2

tâm  nếu  có)  của  S   Đường  thẳng  đó  là  đường thẳng kính của  S   liên hợp với

phương a

Ngược lại phương  a

 được gọi là phương liên hợp với đường thẳng đó. 

Định nghĩa 2:  Hai  đường  kính  mà  trung  điểm  của  mọi  dây  cung  song  song  với 

đường  kính  này  thuộc  đường  kính  kia  thì  hai  đường  kính  đó  dược  gọi  là  hai đường

     d A d 0  tức  là  phương  của  đường  thẳng  không  là  phương  tiệm  cận  của đường bậc hai nên đường thẳng sẽ cắt đường bậc hai tại hai điểm phân biệt hoặc một điểm kép. 

     d A d 0  thì  phương  của  đường  thẳng  là  phương  tiệm  cận  của  đường  bậc hai. Khi đó, ta xét: 

1.6.6 Dạng chuẩn tắc của đường bậc hai

Dựa  vào  phương  trình  chuẩn  tắc,  ta  có  các  loại  đường  bậc  hai  sau  đây  và  tên  gọi tương ứng: 

iii. Phép đồng nhất idA là phép aphin. 

Ví dụ: Tập  hợp  các  phép  tịnh  tiến  của  A2  làm  thành  một  nhóm,  còn  tập  hợp  các phép vị tự không lập thành một nhóm vì tích hai phép vị tự có thể không phải là một phép vị tự. 

1.7.2 Tương đương aphin

Hình H gọi là tương đương aphin với hình H’ nếu có một phép aphin  f biến hình 

Tương  tự  ta  chọn  mục  tiêu  aphin E e0, i1, 2

 sao  cho  phương  trình  chính  tắc  của 

 E2  có dạng là: 

1

x  y   Gọi  f  là phép aphin biến mục tiêu E e0, i1, 2

 thành mục tiêu E0,ei1, 2

 Với M  f M . Nếu M x y , /E e0, i1,2

1.7.3 Bất biến aphin

Định nghĩa 1: Một tính chất nào đó của hình H gọi là tính chất aphin nếu mỗi hình 

H’ tương đương aphin với hình H đều có tính chất đó. Nói cách khác, tính chất aphin của một hình được bảo toàn qua một phép aphin bất kỳ. 

là  hình học aphin  của  mặt  phẳng  aphin”.  Như  vậy,  hình  học  aphin  chỉ  nghiên  cứu 

những khái niệm aphin và những tính chất aphin, tức là hình học aphin không nghiên cứu các khái niệm và tính chất không phải là các khái niệm aphin và tính chất aphin. 

Ví dụ: Định lí “Ba đường trung tuyến trong mọi tam giác đồng quy” là một định lí 

của hình học aphin, còn định lí “Ba đường cao trong mọi tam giác đồng quy” không phải là định lí của hình học aphin vì khái niệm đường cao không phải là một khái niệm aphin. 

2 Mặt phẳng xạ ảnh

2.1 Định nghĩa

Cho V3 là không gian vectơ trên trường K. Khi đó ta kí hiệu V3 là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của V3. Cho một tập hợp X , nếu tồn tại một song ánh: 

3:

thì bộ ba (X,  p, V3) sẽ được gọi là một mặt phẳng xạ ảnh. 

Không gian vectơ V3 được gọi là không gian vectơ sinh ra mặt phẳng xạ ảnh đó. Ta thường kí hiệu mặt phẳng xạ ảnh là P2

Hiển nhiên V3 là một mặt phẳng xạ ảnh. 

2.2 Tọa độ xạ ảnh

2.2.1 Vectơ đại diện của điểm xạ ảnh

Các  phần  tử  của  mặt  phẳng  xạ  ảnh  gọi  là  điểm.  Các  điểm  của  P2  được  kí  hiệu  là 

, , , , ,

 Qua song ánhp:V3 X, mỗi điểm  A của nó có một không gian vectơ con V1 của 

V3 mà  p(V1) A. Khi đó vectơ a 0



 bất kì của không gian vectơ con V1 được gọi là 

vectơ đại diện của điểm  A. 

Cho  mặt  phẳng  xạ  ảnh,  một  tập  hợp  gồm  bốn  điểm  có  thứ  tự A E i, 1,3  trong  đó 

không có ba điểm nào thẳng hàng, được gọi là mục tiêu xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh. 

Các điểm  A i  i, 1, 3 được gọi là đỉnh mục tiêu, điểm E gọi là điểm đơn vị. Rõ ràng 

Cho mục tiêu xạ ảnh A E i, 1,3 ứng với cơ sở  ei 1,3

 Khi đó mỗi điểm  A thuộc P2 

có  vectơ  đại  diện  là a  0

  của  V3.  Nếu  đối  với  cơ  sở  ei 1,3

     Xét mặt phẳng xạ ảnh được sinh bởi không gian vectơ sinh V3 và song ánh  p. Nếu 

V2  là  một  không  gian  con  hai  chiều  của  V3  thìp V 2   được  gọi  là  một  đường thẳng 

của P2.  

2.3.2 Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua hai điểm A a a a 1, 2, 3;B b b b 1, 2, 3 thì phương trình tham

biến của đường thẳng là:  X k A   l B  trong đó  k  và  l  không thời bằng  0  

Trong P2 cho hai đường thẳng  ,u v  phân biệt có tọa độ  u u u u 1, 2, 3 ;v v v v1, 2, 3

Khi đó, giao điểm u  v có tọa độ là:

i. Qua hai điểm phân biệt A B,  có một và chỉ một đường thẳng, kí hiệu là AB. Thật vậy, hai vectơ độc lập tuyến tính a b, 

 đại diện cho hai điểm phân  biệt A B,  xác định một và chỉ một không gian vectơ con V2 (cặp vectơ a b, 

Khi  đó  ta  có:  C 1 A 1 B ;  D 2 A 2 B   và  tỷ số kép của 4 điểm

Quy ước: AACD1;ABAD  ABCB0;ABBD  ABCA 

Nếu ABCD   1 thì ta nói rằng các điểm  ,C D  chia điều hòa các điểm  , A B  Khi 

đó vì CDAB   1 nên ta nói các điểm  ,A B  cũng chia điều hòa các điểm  , C D  Ta .nói  rằng  các  điểm  A B,   và C D, liên hiệp điều hòa  với  nhau  hay  A B C D   làm , , ,

thành một hàng điểm điều hòa. 

đồng  qui  gọi  là  một  hình bốn cạnh toàn phần.  Mỗi  đường  thẳng  đó  là  một  cạnh  (4  cạnh).  Mỗi  giao  điểm  của  hai  cạnh  là  một  đỉnh  (6  đỉnh).  Hai  đỉnh  không  thuộc  một  cạnh gọi là hai đỉnh đối diện (3 cặp đỉnh đối diện). Mỗi đường thẳng nối hai đỉnh đối  diện  là  một  đường chéo  (3  đường  chéo).  Mỗi  giao  điểm  của  hai  đường  chéo  là  một 

2.5.2 Định lí

Trong một hình bốn cạnh toàn phần, các đỉnh đối diện nằm trên một đường chéo và cặp  giao  điểm  của đường chéo  đó  với  hai  đường chéo  còn lại  liên  hiệp  điều  hoà  với nhau.  

2.6 Phép biến đổi xạ ảnh

2.6.1 Định nghĩa

Cho mặt phẳng xạ ảnh được sinh bởi không gian vectơ V3. Một ánh xạ  f :P2 P  2

được gọi là phép biến đổi xạ ảnh nếu có một phép biến đổi tuyến tính :V3 V  sao 3

cho  nếu  vectơ  a

  đại  diện  cho  điểm  A  thuộc  P2  thì  a

  đại  diện  cho  điểm  f A  thuộc P2. 

2.6.3 Các tính chất của phép biến đổi xạ ảnh

i.  Phép  biến  đổi  xạ  ảnh  biến  ba  điểm  thẳng  hàng  thành  ba  điểm  thẳng  hàng  (hay biến đường thẳng thành đường thẳng), biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. 

2.6.4 Phương trình của phép biến đổi xạ ảnh

Trong  mặt  phẳng  xạ  ảnh  cho  mục  tiêu A E i, 1,3.  Đường bậc hai  là  tập  hợp  các 

điểm trong P2 có toạ độ xạ ảnh thuần nhất    1, 2, 3 thoả mãn phương trình: 

11 1 22 2 33 3 2 12 1 2 2 23 2 3 2 13 1 3 0

trong đó a ij a ji; ,i j1, 3 và có ít nhất một a  ij 0. 

Nếu ma trận A không suy biến, tức là  detA 0 thì đường bậc hai gọi là đường bậc

hai không suy biến; ngược lại nếu  det A 0 thì gọi là đường bậc hai suy biến. 

2.7.2 Sự phân loại đường bậc hai

Dựa vào phương trình chuẩn tắc, ta có sự phân loại đường bậc hai trong mặt phẳng như sau: 

1) x12x22x32 0       Đường trái xoan không. 

2) x12x22x32 0       Đường trái xoan hay đường conic. 

3) x12x22 0       Cặp đường thẳng ảo liên hợp có tọa độ i, 1, 0     

       và i, 1, 0    4) x12x22 0       Cặp đường thẳng 1, 0, 0  và 1, 1, 0    

2.8 Cực và đối cực

2.8.1 Hai điểm liên hợp điều hoà đối với đường bậc hai

Định nghĩa: Cho  đường  bậc  hai  S ;  hai  điểm U   và  V   của  mặt  phẳng  xạ  ảnh 

được gọi là liên hợp điều hoà với nhau đối với  S  nếu đường thẳng UV  cắt đường 

bậc  hai  tại  hai  điểm  M N,   (hai  điểm  thực  hay  hai  điểm  ảo  liên  hợp)  sao  cho 

UVMN   1  (theo  qui  ước  về  hàng  điểm  điều  hoà).  Nếu U S   thì  xem U   liên 

3 , 1

2.8.2 Điểm đối cực, đường thẳng đối cực, tiếp tuyến

Định lí 1: Cho điểm U  không thuộc đường bậc hai  S  Quỹ tích những điểm V

liên hợp điều hoà với điểm U  đối với đường bậc hai  S  là một đường thẳng. 

U

M

N

V

Định lí 2: Cho điểm U  thuộc đường bậc hai  S  không suy biến. Quỹ tích những điểm V  liên hợp điều hoà với điểm U  đối với đường bậc hai  S  là tiếp tuyến tại tiếp 

điểm U  của đường bậc hai  S  

Định nghĩa: Cho  điểm  U  không thuộc hoặc thuộc đường bậc hai  S  không suy 

biến. Quỹ tích  d  những điểm V  của mặt phẳng xạ ảnh liên hợp điều hoà với điểm U  

đối với đường bậc hai  S  được gọi là đường thẳng đối cực của điểm U  và ngược lại 

điểm U  được gọi là điểm đối cực của đường thẳng đó. 

2.8.3 Đường thẳng liên hợp với đường bậc hai không suy biến

Định nghĩa: Hai đường thẳng u  và  v  gọi là liên hợp với nhau đối với đường bậc 

hai không suy biến  S  khi hai điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau đối với  S   

Các tính chất:

i. Hai đường thẳng liên hợp với nhau đối với đường bậc hai không suy biến khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua điểm đối cực của đường thẳng kia. 

ii. Đường thẳng  u  liên hợp với chính nó đối với đường bậc hai  S  khi và chỉ khi 

u  tiếp xúc với  S  tại điểm U  là đối cực của  u   

Ánh xạ xạ ảnh  f : m  m  từ đường thẳng  m  đến đường thẳng  m  được gọi là 

liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm  m  và  m  Ta kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng .điểm m  và  m  như sau: 

A B C, ,   A B C, ,  hoặc    m  m

Ta gọi O  là tâm phối cảnh. 

Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng gọi là phép phối cảnh nếu giao điểm 

của các cặp đường thẳng tương ứng luôn luôn nằm trên một đường thẳng t cố định. Ta gọi t  là trục phối cảnh. 

Ta kí hiệu sự liên hệ phối cảnh giữa hai hàng điểm hoặc giữa hai chùm như sau: 

A B C, ,   A B C, ,  hoặc    m  m  

a b c, ,   a b c  , ,  hoặc    S  S  

Định lí 2.1: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm trở thành phép phối cảnh là giao điểm của hai giá tự ứng. 

Định lí 2.2:  Điều  kiện  cần  và  đủ  để  một  ánh  xạ  xạ  xạ  ảnh  giữa  hai  chùm  đường thẳng trở thành phép phối cảnh là đường thẳng nối hai tâm của hai chùm tự ứng. 2.9.2 Định lí Steiner

Định lí thuận: Nếu  ánh  xạ  xạ  ảnh  f : A1  A2   giữa  hai  chùm  tâm  A   và  tâm 1

Định lí đảo đối ngẫu: Nếu m  và 1 m  là hai tiếp tuyến khác nhau của một đường 2

conic và m là một tiếp tuyến thay đổi của nó thì ánh xạ  f : m1  m2  sao cho giao điểm  của m  và  m   biến  thành  giao  điểm của 1 m   và  m   thì  f   là  một ánh  xạ  xạ  ảnh 2

đỉnh và a  là cạnh) sao cho cạnh  i a  đi qua hai đỉnh  i A  và  i A i1 (xem đỉnh A6 1  là A ) 1

và do đó cạnh a  và  i a i1 đi qua đỉnh A i1 (xem a6 1  là a ). 1

Khi đó các cặp đỉnh A  và 1 A ,4 A  và 2 A ,5 A  và 3 A  gọi là các cặp đỉnh đối diện, các 6

cặp cạnh a  và 1 a , 4 a  và 2 a , 5 a  và 3 a  gọi là các cặp cạnh đối diện. 6

Định lí Pascal: Điều kiện cần và đủ để một lục giác nội tiếp trong một conic là giao điểm  của  các  cặp  cạnh  đối  diện  nằm  trên  một  đường  thẳng  (đường  thẳng  này  gọi  là 

Ví dụ: Xét lục giác suy biến  AABCDE, ta xem cặp đỉnh A A,  trùng nhau và cạnh 

AA  chính là tiếp tuyến  a  của conic  S  tại đỉnh A.  

Khi  đó  lục  giác  AABCDE   nội  tiếp  conic  S   Các  điểm 

2.9.6 Phép đối hợp trên đường thẳng

Định nghĩa:  Phép  biến  đổi  xạ  ảnh  f   của  P1  được  gọi  là  phép đối hợp  nếu 

Định lí 1: Cho phép biến đổi xạ ảnh  f P: 1  P1, nếu trên P1 có hai cặp điểm phân biệt M M   sao cho , M  f M  và M  f M  thì  f  là một phép đối hợp. 

Định lí 2: Giả sử  f P: 1  P1 là một phép đối hợp không phải là phép đồng nhất. Khi  đó  nếu  f   có  một  điểm  kép  P  thì  nó  còn  một  điểm  kép  thứ  hai Q,  sao  cho 

 Phương trình của phép đối hợp trên đường thẳng

 Giả sử  đường  thẳng  P1  đã  cho  mục  tiêu  xạ  ảnh. Khi đó,  phép  đối  hợp f   có dạng 

Định lí đảo: Cho một điểm O  không thuộc conic  S  Từ một điểm M  thuộc  S  

ta lấy điểm M   thuộc  S  sao cho M M O, ,  thẳng hàng. Khi đó ánh xạ  f S:   S

sao cho  f M M là một phép đối hợp. 

Định lí đối ngẫu của định lí Frêjê: Cho đường bậc hai không suy biến  S , một 

tiếp tuyến cố định  a  của  S  và hai tiếp tuyến biến thiên  m  và  m  của  S  Điều kiện cần  và  đủ  để  có  biến  đổi  xạ  ảnh  đối  hợp g: a  a   mà  g a m   a m  là  các giao  điểm m m   biến  thiên  trên  một  đường  thẳng  cố  định  f   nào  đó  (gọi  là  đường

Định lí Desargues thứ hai: Cho  một chùm  đường bậc  hai S A B C D , , ,  và  một đường thẳng  không đi qua điểm nào trong bốn điểm  ,A B C D  Khi đó mỗi đường , , bậc hai của chùm đã cho sẽ cắt  theo hai điểm tương ứng với nhau trong một phép đối hợp của    .

ii. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A B C, ,   thẳng hàng là có một điểm E sao cho 

ba  cặp  đường  thẳng EA EA,  , EB EB,  , EC EC,    là  ba  cặp  phần  tử  tương  ứng 

Theo định lí sự xác định của phép biến đổi xạ ảnh, ta có phép biến đổi mục tiêu này thành  mục tiêu kia, tức là biến bốn đỉnh của hình bốn cạnh toàn phần này thành bốn đỉnh của hình kia. 

A

B

C A

Ví dụ 2: Mọi hình gồm ba điểm thẳng hàng luôn tương đương xạ ảnh với nhau. 

Thật vậy, giả sử hình H gồm ba điểm thẳng hàng A B C, ,  và hình H’ gồm ba điểm thẳng  hàng  A B C, ,   Ta lấy điểm  D  không  nằm  trên đường thẳng  AB  và  điểm E nằm trên đường thẳng DC  (nhưng khác với  D và C ).  

Ta được hình bốn cạnh toàn phần ABDE, mà C  ABDE. Tương tự ta cũng có hình bốn cạnh toàn phần A B D E    mà C A B D E .  

Ví dụ 2:  Ta  bổ  sung  vào  mặt  phẳng  aphin  đường  thẳng  vô  tận  để  trở  thành  mặt 

phẳng xạ ảnh (xem chương II). Khi đó ta có những bất biến aphin mà không phải bất 

biến xạ ảnh như: tính chất song song của hai đường thẳng, khái niệm trung điểm, hình bình hành,   

Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC APHIN VÀ

HÌNH HỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG

1 Mô hình aphin của mặt phẳng xạ ảnh

Cho không gian aphin A3 trên không gian vectơ V3 và A2 là một mặt phẳng aphin trong A3 có phương là V2. 

Đặt PA2V2 và định nghĩa ánh xạ p: V3  P như sau: 

Ta lấy một điểm O  của A3 nhưng không thuộc A2 với V1 V3. 

• Nếu V1V2  thì  trên A2 tồn  tại  duy  nhất  một  điểm M   sao  cho M   A2 d với 

ảnh. Ta gọi mô hình này là mô hình aphin của mặt phẳng xạ ảnh. 

Một điểm của P2 sẽ gọi là điểm thông thường nếu nó thuộc A2 và sẽ gọi là điểm bất 

thường hay điểm vô tận nếu nó là không gian con một chiều của V2. 

Như vậy, từ mặt phẳng aphin ta có thể bổ sung các “điểm vô tận” để nó trở thành mặt phẳng xạ ảnh. 

2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng aphin

Ta sẽ quy ước gọi đường thẳng  là đường thẳng vô tận (kí hiệu là  ), các điểm trên đường thẳng   là những điểm vô tận. 

Như  vậy,  một  mặt  phẳng  xạ  ảnh  bớt  đi  một  đường  thẳng  ∆  nào  đó  thì  gọi  là  mặt phẳng aphin. Mỗi một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh đem bớt đi một đường thẳng sẽ cho ta một mô hình của mặt phẳng aphin. 

Nếu ta lấy điểm M  có toạ độ không thuần nhất là X X1, 2, tức là có toạ độ xạ ảnh 

là X X1, 2, 1   Khi đó ta có: A X3 X1, X2

 hay A X3  X e1 1 X e2 2

 Vậy X1, X2 chính là toạ độ aphin của điểm M đối với mục tiêu A E3, i1, 2. 

Điều đó chứng tỏ  u  là một đường thẳng trong mặt phẳng aphin. 

Vậy, mỗi đường thẳng  u  của P2 mà không trùng với   sinh ra một đường thẳng 

u  của AP2. Ngược lại, mỗi đường thẳng  u  của AP2 sinh ra bởi một và chỉ một đường thẳng u của P2. 

2.2.3 Sự song song của các đường thẳng

Cho hai đường thẳng u và v phân biệt và không trùng với  có phương trình lần ,lượt là: 

1 1 2 2 3 3 0

u x u x u x   và v x1 1v x2 2v x3 30. 

Chúng xác định hai đường thẳng aphin  u  \u   và  v   \v   lần lượt có phương trình là: 

2.2.4 Phép biến đổi aphin

Ta xét tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn đường thẳng   nói trên, biến    thành chính nó và chứng minh chúng là các phép biến đổi aphin.  

3 0

x   Như vậy đường thẳng  là đường thẳng vô tận và ta có: 

f : AP2  AP2 Nếu đặt 

3

i i

x X

x

  với i  1,2 và 

3

i i

x X x

Có  thể  xem  nhóm  aphin  là  một  nhóm  con  của  nhóm  xạ  ảnh  nên  trong  hình  học aphin ta có tất cả các định lí của hình học xạ ảnh (ví dụ các định lí Desargues, Papus, 

Pascal, Briăngsông, ). Thật vậy, vì bất biến xạ ảnh là những tính chất hay khái niệm không  thay  đổi  qua  bất  kỳ  phép  biến  đổi  nào  mà  mỗi  phép  biến  đổi  xạ  ảnh  bảo  tồn đường thẳng   sẽ sinh ra trên A P2 một phép biến đổi aphin, từ đó ta suy ra mọi bất biến xạ ảnh đều là bất biến aphin.  

Ngoài các định lí đó ra, hình học aphin còn có những định lí riêng của nó tác động đến những khái niệm và tính chất không bất biến qua các phép biến đổi của nhóm xạ ảnh mà chỉ bất biến qua các phép của nhóm aphin (mà ta sẽ gọi là các khái niệm và các tính chất aphin). 

2.2.5 Tỷ số đơn trên mô hình

Trong mặt phẳng xạ ảnh, ta xét bốn điểm thẳng hàng A B C D, , ,  trong đó chỉ có D thuộc   Khi đó ta có ba điểm thẳng hàng  A B C, ,  trong mặt phẳng aphin AP2. Giả 

Kết luận: Nếu  A B C, ,   là  ba  điểm  phân  biệt  và  thẳng  hàng  của  AP2  thì  tỷ  số  đơn 

ABC bằng tỷ số kép ABCD trong đó D là điểm vô tận của đường thẳng xạ ảnh 

AB  Nói riêng,  C  là trung điểm của  AB (tức ABC   1) khi và chỉ khi A B,  chia điều hoà C D,  

 2.2.6 Đường conic trong mô hình AP2 P2 \ 

Trong mặt phẳng xạ ảnh với mục tiêu xạ ảnh A E i, 1,3 ta xét đường conic  S P  có phương trình: 

Khi đó đường thẳng vô tận x   cắt conic tại hai điểm 3 0 1, 1, 0 và 1, 1, 0    Những điểm còn lại của đường conic có phương trình đối với toạ độ aphin là: 

2

X Y X

12

2.2.7 Tâm, đường kính và đường kính liên hợp với một phương

a) Tâm, đường kính của đường bậc hai

Do đó trong mặt phẳng xạ ảnh ta có: ABOK   1 với K    

Vì AB là dây cung bất kì đi qua O  nên trong P2, O  liên hợp với  K    đối với đường bậc hai xạ ảnh. 

Vậy đường bậc  hai  có  tâm  thì  tâm  đó  là  cực điểm  của  đường  đối  cực    đối  với đường bậc hai xạ ảnh. 

Nhận xét:

Elip  và  hyperbol  không  tiếp  xúc  với    nên  cực  của  đường  này  là  một  điểm  O  

không  là  điểm  vô  tận.  Trong  trường  hợp  elip  thì  điểm O   này  ở  trong  elip  (vì   không  cắt  elip),  còn  trong  trường  hợp  hyperbol  thì O   ở  ngoài  hyperbol  (vì    cắt 

hyperbol). Trong trường hợp này thì thực tế  O  là trung điểm của mọi dây cung đi qua 

nó. Vậy elip và hyperbol là những đường bậc hai có tâm. 

Trong trường hợp parabol thì  O  là điểm vô tận của parabol. Thực tế thì không thể  nói là  O  là trung điểm của mọi dây cung đi qua nó nên ta nói rằng parabol không có 

tâm. 

b) Đường kính liên hợp với một phương

 Đường kính liên hợp đối với phương  c

 của đường bậc hai trong mặt phẳng aphin chính là đường đối cực của điểm D (D thuộc đường thẳng vô tận và được xác định 

bởi phương  c

) đối với đường bậc hai xạ ảnh. 

Chứng minh

Thật  vậy,  với  mỗi  phương c  0

  của  mặt  phẳng  aphin  ứng  với  một  điểm  D  duy nhất thuộc    

Khi đó I là trung điểm dây cung AB nghĩa là ABI   1 hay ABID   1.  

Do đó, tập hợp các điểm I (hay đường kính liên hợp với phương c

) là đường đối cực của D đối với đường bậc hai xạ ảnh. 

Chú ý: Trong trường hợp parabol ta sẽ gọi mọi đường thẳng đi qua điểm vô tận là 

đường kính của parabol. 

 Hai đường kính liên hợp của đường bậc hai trong mặt phẳng aphin thể hiện trong mặt phẳng xạ ảnh là hai đường thẳng liên hợp (đều có cực thuộc đường thẳng vô tận) đối với đường bậc hai xạ ảnh. 



) có I là trung điểm. 

Suy ra ABI   1 hay ABID   1.  

Do  I    nên  đường  kính  d   là  đường  đối  cực  của  d D   đối  với  đường  bậc  hai  xạ 

thẳng  vô  tận     thì  ta  có  đường  elip 

trong  AP2.  Hai  tiếp  tuyến  vẽ  từ  một 

điểm trên   tiếp xúc với conic tại hai 

tiếp  điểm.  Đường  thẳng  nối  hai  tiếp 

điểm  này  biểu  thị  một  đường  kính  của 

elip. Nếu vẽ hai đường kính của elip ta 

sẽ xác định được tâm của elip trong P2. 

Trong  P2  nếu  conic  cắt    tại  hai 

điểm thực M N,  ta có đường hyperbol 

trong  AP2.  Hai  tiếp  tuyến  của  conic  tại 

hai  giao  điểm  M N,   là  hai  tiệm  cận 

của hyperbol. Giao điểm của hai đường 

tiệm  cận  nói  trên  chính  là  tâm  O   của 

hyperbol. 

x x x x

x x x x

Trong P2  nếu conic  tiếp xúc  với  

tại  một  điểm  E  ta  có  đường  parabol 

trong AP2.  

Đường conic Đường conic Đường conic 

Cặp điểm phân biệt Một điểm Tập rỗng  

3 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclide

3.1 Mối quan hệ giữa hình học aphin và hình học Euclide trong mặt phẳng

Định nghĩa 2: Hình học Euclide nghiên cứu những bất biến của nhóm dời hình. Nói 

cách khác, tập hợp tất cả các bất biến của nhóm dời hình gọi là hình học của nhóm dời hình mà ta thường gọi là hình học Euclide.  

Định nghĩa 4: Mặt phẳng aphin có nền là một không gian vectơ Euclide V2E được 

gọi là mặt phẳng Euclide. Ký hiệu là E2. 

Như  vậy,  mặt  phẳng  Euclide  là  mặt  phẳng  aphin  được  trang  bị  các  khái  niệm  về khoảng cách (độ dài), góc nên mặt phẳng Euclide có tất cả các tính chất của mặt phẳng aphin. 

3.1.2 Mối quan hệ  

Vì trong mặt phẳng Euclide E2 có nhóm aphin  2, do đó ta cũng có hình học aphin trên E2. Vì  2 là nhóm con của nhóm  2 nên hình học aphin là một bộ phận của hình học  Euclide.  Điều  đó  có  nghĩa  là  các  tính chất aphin  (là  những  tính chất không  thay đổi  qua  các  phép  biến  đổi  aphin)  cũng  là  các  tính  chất  Euclide  và  được  nghiên  cứu trong hình học Euclide, nhưng điều ngược lại không đúng vì các tính chất bất biến qua nhóm dời  2 chưa hẳn là tính chất bất biến của aphin, thí dụ như tính vuông góc của 

x x x x