Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập bất đẳng thức và cực trị trong đại số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và tăng cường mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn

bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinhLa đức sơn Xây dựng và và sử dụng hệ thống bài tập bất đẳng thức và cực trị trong đại số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ n

bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

La đức sơn

Xây dựng và và sử dụng hệ thống bài tập bất đẳng thức và cực trị trong đại số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán và tăng cờng mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn

Chuyên ngành: Lí luận và Phơng pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

luận văn thạc sĩ Giáo dục học

Vinh – 2010 2010

lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Khoa Đào tạo sau Đại học trờng ĐH Vinh và các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, hớng dẫn tôi trong quá trình học tập và định h- ớng quan trọng trong việc hình thành ý tởng nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn Chi Bộ, BGH, BCH Công đoàn, Tổ KHTN và các cán bộ giáo viên trờng THCS Thiệu Tiến đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Nguyễn Văn Thuận, ngời thầy đã trực tiếp hớng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhng do thời gian có hạn và bản thân còn những hạn chế nhất định nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Mong nhận đợc các ý kiến phê bình, góp ý của Hội đồng chấm luận văn, các thầy cô giáo và đồng nghiệp để công trình nghiên cứu đợc hoàn chỉnh hơn.

GQVĐ Giải quyết vấn đề

1.1 Vấn đề rèn luyện kĩ năng giải Toán và tăng cờng mối liên hệ giữa

Toán học với thực tiễn cho học sinh THCS

9

1.3 Nội dung về BĐT và cực trị Đại số trong chơng trình Toán THCS 351.4 Thực trạng dạy học chủ đề BĐT và cực trị trong Đại số ở trờng THCS

hiện nay

51

Chơng II: xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập bất đẳng

thức và cực trị trong đại số cho học sinh khá, giỏi cuối

cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán và tăng cờng

mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn.

54

2.1 Các quan điểm xây dựng hệ thống bài tập BĐT và cực trị 542.2 Xây dựng HTBT bất đẳng thức và cực trị trong Đại số cho HS khá,

giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải Toán và tăng cờng mối

liên hệ giữa Toán học với thực tiễn

76

2.3 Sử dụng HTBT bất đẳng thức và cực trị trong Đại số cho HS khá, giỏi

cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải Toán và tăng mối liên hệ giữa

Toán học với thực tiễn

110

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo nhằm tạo ra nguồn nhân lực

phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nớc đang là vấn đề đợc

Đảng, Nhà nớc hết sức quan tâm Đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phơngpháp dạy học nói riêng là một trong những yêu cầu bức thiết của toàn xã hội đốivới ngành giáo dục nớc ta hiện nay "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vàoviệc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyếtnhững vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của

đất nớc” (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm 2005, tr 1).

Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung ơng Đảng cộng sảnViệt Nam (khóa VIII) về định hớng chiến lợc phát triển giáo dục - đào tạo đãkhẳng định: “Phải đổi mới phơng pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyềnthụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho ngời học ” Từ định hớngchiến lợc này, trong những năm qua ngành giáo dục đã có những chỉ đạo đổi mớiphơng pháp dạy học, quản lý, tạo ra những chuyển biến và mang lại kết quả nhất

định

Luật Giáo dục (năm 2005) tiếp tục chỉ rõ: “Phơng pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh; phù hợpvới từng đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rènluyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lạiniềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”

1.2 ở trờng THCS, dạy Toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, có

thêm xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Dạy học giải

Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trờng THCS Bởi lẽ, các bài toán là

phơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vữngtri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo Hoạt động giải Toán là

điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán Do đó, tổ chức cóhiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học Toán Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học Toán ở trờng THCS có lúc, cóchỗ còn cha tốt.Việc bồi dỡng năng lực giải Toán về BĐT và cực trị Đại số của họcsinh còn hạn chế, hệ thống bài tập BĐT và cực trị không có trong chơng mục nào

cụ thể trong SGK hiện hành Bên cạnh đó giáo viên cha chú ý thích đáng đến việc

xây dựng hệ thống bài tập bất đẳng thức và cực trị cho học sinh ngay trong các giờ

học Toán Trong khi đó, bài tập bất đẳng thức và cực trị có vai trò vô cùng quan

trong trong chơng trình Toán học THCS Bài tập về bất đẳng thức và cực trị Đại

số có liên hệ chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác

nhau của khoa học và trong đời sống sản xuất ở nhiều nớc trên thế giới (nh:

CHLB Nga, CHLB Đức, Nhật Bản ) vấn đề các bài tập bất đẳng thức và cực trị

đ-ợc quan tâm một cách khá sâu sắc với chủ ý rèn luyện ý thức và khả năng sẵn sàngứng dụng vào thực tế, giáo dục ý thức tiết kiệm, coi trọng năng suất và hiệu quả

công việc Chính vì thế, chơng trình SGK của họ rất coi trọng tới bài tập cực trị,

bất đẳng thức và đợc sắp xếp, tổ chức thành một “tuyến xuyên suốt” khá rõ rệt.

ở Việt Nam, trong Dự thảo chơng trình môn Toán cải cách giáo dục (1989)cũng nêu rõ: “Cần dành nhiều chú ý cho học sinh có ý thức rèn kĩ năng giải quyết

tốt các bài tập cực trị v bất đẳng thức à bất đẳng thức ”

Hơn nữa hiện nay, bài tập bất đẳng thức và cực trị đợc đề cập nhiều trong

các kì thi học sinh giỏi các cấp và thi vào trờng chuyên lớp chọn của học sinh khá,

giỏi ở cuối cấp THCS Chính vì vậy, việc xây dựng hệ thống bài tập bất đẳng

thức và cực trị là hết sức cần thiết trong dạy học Toán ở trờng THCS cho học sinh

khá, giỏi các lớp cuối cấp ở bậc học THCS

1.3 Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đợc đa ra xoay quanh về vấn đề xây

dựng và sử dụng hệ thống bài tập bất đẳng thức và cực trị Đại số cho học sinh khá,

giỏi ở các lớp cuối cấp THCS thông qua các đợt học bồi dỡng thờng xuyên theochu kì và sự trao đổi của đồng nghiệp về vấn đề này Tuy nhiên vẫn cha đem đếnhiệu quả thực sự Hơn nữa thực trạng ở các trờng THCS hiện nay sự quan tâm, đầu

t của giáo viên tới vấn đề này cha thoả đáng và cha có công trình nào đi sau nghiêncứu về vấn đề này

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài Luận văn:

Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập bất đẳng thức và cực trị trong Đại số

“

cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải Toán và tăng cờng mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn ”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu xây dựng v sửà sử dụng hệ thống b ià sửtập bất đẳng thức và cực trị trong Đại số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS

3 Giả thuyết khoa học

Nếu tôn trọng chơng trình và SGK hiện hành và có điều chỉnh, bổ sung một

hệ thống bài tập về BĐT và cực trị trong Đại số để sử dụng cho học sinh khá, giỏi

cuối cấp THCS thì sẽ góp phần rèn luyện cho HS kĩ năng giải Toán và tăng cờng

mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đợc mục đích của đề tài, luận văn có nhiệm vụ nghiên cứu những vấn đềsau:

4.1 Góp phần làm sáng tỏ quan niệm về vai trò và ý nghĩa của hệ thống bài

tập BĐT và cực trị

4.2 Đề xuất quan điểm xây dựng hệ thống bài tập BĐT và cực trị.

4.3 Tìm hiểu về thực trạng dạy học BĐT và cực trị của giáo viên và của học

sinh

4.4 Một phơng án xây dựng hệ thống bài tập về BĐT và cực trị theo các quan

điểm đã nêu, trên nền kiến thức và bài tập của SGK hiện hành, đa ra nhng gợi ýnhằm áp dụng phát huy tính tích cực của học sinh để dạy hệ thống bài tập đó

4.5 Thực nghiệm s phạm có đối chứng, nhằm bớc đầu minh hoạ về tính khả

thi và tính hiệu quả của phơng án mà đề tài đã đề xuất

5 Phơng pháp nghiên cứu

Các phơng pháp nghiên cứu đợc sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lí luận; điều traquan sát và Thực nghiệm s phạm

5.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tìm hiểu qua các tài liệu về lí luận và

phơng pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về tâm lí giáo dục và năng lực Toánhọc của học sinh về BĐT và cực trị với t cách là một phân môn của Toán học

5.2 Điều tra, quan sát: Thực trạng qua bồi dỡng năng lực giải bài tập Toán

cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS; qua việc dự giờ thăm lớp của giáo viên vàviệc học tập của học sinh về chủ đề BĐT và cực trị

5.3 Thực nghiệm s phạm: Tiến hành thực nghiệm s phạm với lớp học thực

nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tợng

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn có thể đợc sử dụng làm tài liệu bổ ích cho việc bồi dỡng giáo viênToán góp phần nâng cao chất lợng dạy học ở các trờng THCS

7 Cấu trúc của luận văn

Luận văn, ngoài phần: Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo; còn có 3

chơng:

Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chơng 2: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập bất đẳng thức và cực trị trong đại số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán và tăng cờng mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn

Chơng 3: thực nghiệm s phạm

Chơng 1Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải Toán và tăng cờng mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn cho học sinh THCS

1.1.1 Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học môn Toán ở trờng THCS

* Nhận xét chung về thực trạng dạy học hiện nay ở nớc ta:

Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lợng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đào tạo cóchủ trơng đổi mới nội dung và phơng pháp giáo dục Việc đổi mới phơng pháp dạyhọc đợc xem là chìa khóa của vấn đề nâng cao chất lợng Thế nhng ở các trờng phổthông hiện nay, các phơng pháp dạy học đợc giáo viên sử dụng chủ yếu vẫn là cácphơng pháp truyền thống Vấn đề cải tiến phơng pháp dạy học theo hớng phát huytính tích cực của học sinh đã đợc đặt ra nhng kết quả cha đạt nh mong muốn Giáoviên đã có ý thức lựa chọn phơng pháp dạy học chủ đạo trong mỗi tình huống điểnhình ở môn toán nhng nhìn chung còn nhiều vấn đề cha đợc giải quyết Phơngpháp thuyết trình vẫn còn khá phổ biến Những phơng pháp dạy học có khả năngphát huy đợc tính tích cực, độc lập sáng tạo ở học sinh nh dạy học giải quyết vấn

đề, dạy học phân hoá thì giáo viên ít sử dụng Việc vận dụng những lý thuyết mớinh: Lý thuyết hoạt động, Lý thuyết tình huống còn ít đợc quan tâm Có tìnhtrạng đó là do phần đông giáo viên cha thật sự nắm vững các lí thuyết này Giáoviên cha đợc hớng dẫn một quy trình, một chỉ dẫn hành động để thiết kế bài giảngphù hợp Vì vậy khi vận dụng các phơng pháp dạy học mới khó hoàn thành nộidung chơng trình dạy học trong khuôn khổ thời lợng bị hạn chế Vấn đề thu hút số

đông học sinh yếu, kém tham gia các hoạt động cũng gặp không ít khó khăn Kếtquả là hiệu quả dạy học chẳng những không đợc nâng cao mà nhiều khi còn sútgiảm

Thực tế dạy học Toán hiện nay trong nhiều trờng phổ thông có thể mô tả nhsau: Phần lý thuyết giáo viên dạy từng chủ đề theo các bớc, đặt vấn đề, giảng giải

để dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp với đàm thoại nhằm uốn nắn những lệch lạcnếu có, củng cố kiến thức bằng bài tập, hớng dẫn công việc học tập ở nhà Phần bàitập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, giáo viên gọi một vài họcsinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đa ralời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho học sinh Một số bài toán sẽ đợc phát

triển theo hớng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự hoá cho đối tợng học sinh khá,giỏi

Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phơng pháp thuyết trình và đàmthoại chứ cha chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học

Hình thức dạy học cha đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt cha sinh

động, cha gây hứng thú cho học sinh Học sinh tiếp nhận kiến thức chủ yếu còn bị

động Những kĩ năng cần thiết của việc tự học cha đợc chú ý đúng mức Do vậyviệc dạy học Toán ở trờng phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều điều cần đợc đổimới Đó là học trò cha thật sự hoạt động một cách tích cực, cha chủ động và sángtạo, cha đợc thảo luận để đa ra các khám phá của mình, kỹ năng vận dụng kiếnthức vào thực tiễn còn yếu Vai trò của thầy vẫn chủ yếu là ngời thông báo các sựkiện, cùng lắm nữa thì là ngời dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một sốthói quen làm việc nhất định chứ cha phải là ngời ''khơi nguồn sáng tạo'', ''kíchthích học sinh tìm đoán'' Thực trạng dạy học Toán hiện nay ở các trờng THCS là

nh vậy Thực tế đó nói lên rằng còn rất nhiều vấn đề về mặt phơng pháp dạy họccần đợc quan tâm nghiên cứu cả về lí luận và triển khai ứng dụng trong thực tiễn.Việc nghiên cứu đề tài này dựa trên cơ sở phân tích những vấn đề lí luận và thựctiễn dạy học môn Toán hiện nay ở trờng phổ thông

Có nhiều ý kiến cho rằng, PPDH đợc sử dụng trong nhà trờng nói chung cònlạc hậu Mặc dù nhiều GV tâm huyết với nghề và có hiểu biết sâu sắc về bộ môn,

đã có những giờ dạy tốt; nhng nhìn chung, phần lớn GV vẫn sử dụng phơng pháp

thuyết trình và thậm chí là "thầy đọc - trò chép" nh nhiều tài liệu đã gọi Đó là

những hiện tợng đáng lo ngại, mà nguyên nhân có thể là bắt nguồn từ những vấn

đề sau đây:

Một là, phần lớn giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy cái gì chứ

cha nghĩ đến việc dạy nh thế nào;

Hai là, cha phá đợc vòng luẩn quẩn của việc tuyển chọn, đào tạo, bồi dỡng

giáo viên Do nhiều khó khăn khách quan nên chất lợng đào tạo, đặc biệt là chất ợng đào tạo nghiệp vụ trong các trờng S phạm cha cao;

l-Ba là, các hoạt động chỉ đạo, nghiên cứu, bồi dỡng giảng dạy còn nặng về tìm

hiểu, làm quen và khai thác nội dung chơng trình và sách giáo khoa Thiếu sựchuẩn bị đồng bộ đối với các mắt xích trong mối quan hệ rất chặt chẽ là mục tiêu,nội dung, phơng pháp, phơng tiện giảng dạy… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá Việc cụ thể hoá, quy trình hoánhững phơng pháp dạy học tốt để giúp giáo viên sử dụng trong giảng dạy cha làm

đợc bao nhiêu Ngoài ra cũng thiếu các thông tin cần thiết về đổi mới PPDH nóiriêng và đổi mới giáo dục nói chung trên thế giới;

Bốn là, các kiểu đánh giá và thi cử cũng ảnh hởng rõ rệt tới phơng pháp giảng

dạy; đánh giá và thi cử nh thế nào thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thế ấy Tóm lại, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động ngồinghe, những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận giữa thầy và trò, điều thầynói có thể coi là tuyệt đối đúng… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá Một phơng pháp giảng dạy tự phát, dựa vào kinhnghiệm, không xuất phát từ mục tiêu đào tạo, không có cơ sở kiến thức về nhữngquy luật và nguyên tắc của lý luận dạy học sẽ làm cho quá trình học tập trở nênnghèo nàn, làm giảm ý nghĩa giáo dục cũng nh hiệu quả bài giảng

Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nớc đang đòi hỏi cấp bách phải nâng caochất lợng giáo dục và đào tạo Điều này đợc phản ánh trong Nghị quyết của Hộinghị lần thứ II của Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (KhóaVIII): "Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những conngời và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, ,

có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoahọc và công nghệ hiện đại, có t duy sáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi, có tácphong công nghiệp, có tính tổ chức kỷ luật " (Văn kiện Hội nghị lần thứ II BCH

TW Đảng CS Việt Nam, Khóa VIII, 1997, tr 28, 29)

Theo tinh thần Nghị quyết này, cùng với những thay đổi về nội dung, cần phải

có những đổi mới căn bản về PPDH Phải thừa nhận rằng trong tình trạng hiện nay,việc dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan vẫn đang ngự trị PGS TS Trần Kiều đãnhận xét: "Giáo viên vẫn dạy theo cách nh đã dạy từ mấy chục năm qua, với phơngpháp "thuyết trình có kết hợp đàm thoại" là chủ yếu, về thực vẫn là "thầy truyền

đạt, trò tiếp nhận, ghi nhớ" Trong mấy năm gần đây xuất hiện một hiện tợng là sửdụng khá phổ biến cách dạy "thầy đọc trò chép" thậm chí "thầy đọc, chép và tròchép", dạy theo kiểu nhồi nhét, dạy chay, dạy theo kiểu luyện thi ." (Trần Kiều 1997, tr.11)

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời xây dựng xã hội công nghiệp hóa hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộcvận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp học Định hớng đổi mới PPDH hiện nay là tổchức cho ngời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực vàsáng tạo Định hớng này còn đợc gọi tắt là "Hoạt động hóa ngời học"

-Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định.Phát hiện đợc những hoạt động nh vậy trong một nội dung là vạch đợc một con đ-ờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợc những mục tiêu dạy học khác,cũng đồng thời là cụ thể hóa đợc mục tiêu dạy học nội dung đó và chỉ ra đợc mộtcách kiểm tra xem mục tiêu dạy học có đạt đợc hay không và đạt đợc đến mức độnào Cho nên điều căn bản của PPDH là khai thác những hoạt động nh trên tiềmtàng trong mỗi nội dung để đạt đợc mục tiêu dạy học Nó hoàn toàn phù hợp với

luận điểm cơ bản của giáo dục học Mácxít cho rằng con ngời phát triển trong hoạt

động và học tập diễn ra trong hoạt động Cụ thể hóa định hớng trên, các tác giả ờng chỉ ra những hàm ý sau đặc trng cho PPDH hiện đại:

th Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, đảm bảo tính tự giác, tích cực, chủ động,sáng tạo của hoạt động học tập đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu

Ngời học là chủ thể kiến tạo tri thức rèn luyện kỹ năng hình thành thái độ chứkhông phải là nhân vật lao động hoàn toàn làm theo mệnh lệnh của thầy giáo Với

Định hớng "hoạt động hóa ngời học", vai trò chủ thể của ngời học đợc khẳng địnhtrong quá trình học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động của bản thân mình

- Tri thức đợc cài đặt trong những tình huống có dụng ý s phạm

Chúng ta biết rằng, tri thức là đối tợng của hoạt động học tập Để dạy một trithức nào đó, thầy giáo không thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy; cáchlàm tốt nhất thờng là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để họcsinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của bản thân.Theo Lý thuyết kiến tạo trong Tâm lý học, học tập là một quá trình trìnhtrong đó ngời học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi trờngsinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và sự mất cân bằng Theo Lý thuyết tìnhhuống, một môi trờng không có dụng ý s phạm là không đủ để chủ thể (học sinh)kiến tạo đợc tri thức theo đúng yêu cầu mà xã hội mong muốn Vì vậy, điều quantrọng là thiết lập những tình huống có dụng ý s phạm để ngời học học tập tronghoạt động, học tập bằng thích nghi

* Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

Mục tiêu dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình họctập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ởcách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình học tậpmột cách hiệu quả Và đơng nhiên, ý tởng này chỉ có thể đợc thực hiện trongnhững quá trình mà ngời học thật sự hoạt động để đạt đợc những gì mà họ cần đạt.Một mặt đặc biệt quan trọng của việc dạy học là dạy tự học Kho tàng vănhóa của nhân loại là vô tận Để có thể sống và hoạt động suốt đời thì phải học suốt

đời Để học suốt đời thì phải có khả năng tự học Khả năng này cần đợc rèn luyệnngay trong khi còn là học sinh ngồi trên ghế nhà trờng Vì vậy, quá trình dạy họcphải bao hàm cả dạy tự học Việc dạy tự học đơng nhiên chỉ có thể thực hiện đợctrong một cách dạy học mà ngời học là chủ thể, tự họ hoạt động để đáp ứng nhucầu của xã hội đã chuyển hóa thành nhu cầu của chính bản thân họ

* Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân ngời học

Nói đến kết quả của hoạt động học là nói đến kết quả bên trong thể hiện ở sựchuyển biến bên trong của ngời học, tạo thuận lợi hoặc gây khó khăn cho quá trìnhhọc tập tiếp theo.

Hoạt động học tập, tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo một mặt là đòi hỏi vàmặt khác là tạo ra niềm vui: Niềm vui này có thể có đợc bằng nhiều cách khácnhau nh động viên, khen thởng, nhng quan trọng nhất vẫn là niềm lạc quan dựatrên lao động và thành quả học tập của bản thân ngời học Giải đợc một bài tập,phát hiện ra một điều mới khơi nguồn cảm hứng cho học sinh Học sinh tự mìnhvật lộn vất vả trong học tập nhng cuối cùng giải đợc một bài toán thì sẽ cảm thấyvui sớng, phấn khởi hơn nhiều so với đợc nghe thầy giải hộ 10 bài nh vậy Nếu dạyhọc không sát trình độ, luôn ra bài quá khó trên sức học sinh, để học sinh thất bạiliên tiếp trong quá trình giải toán thì sẽ giết chết niềm lạc quan học tập của họ.Cho nên, tổ chức cho học sinh học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo gắnliền với việc tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thânngời học

* Tính cấp thiết và những yêu cầu đặt ra của việc đổi mới PPDH

Trớc thực trạng dạy học của nớc ta trong những năm gần đây và hiện nay,cùng với xu thế hội nhập, toàn cầu hoá, sự phát triển của công nghệ thông tin, sựtăng lên gấp bội của tri thức… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá đòi hỏi chúng ta phải đối mặt với cuộc tranh đuatận dụng những tiến bộ nhanh chóng về khoa học, công nghệ để tăng tốc độ pháttriển và giảm nguy cơ tụt hậu Vì thế trong chiến lợc phát triển kinh tế - xã hội giai

đoạn 2001 - 2010, Đảng ta đã nêu rõ: "… Việc cụ thể hoá, quy trình hoáCNH gắn liền với HĐH ngay từ đầu vàtrong suốt các giai đoạn phát triển Nâng cao hàm lợng tri thức trong các nhân tốphát triển kinh tế - xã hội, từng bớc phát triển kinh tế tri thức ở nớc ta… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá"

Kinh tế tri thức là giai đoạn phát triển mới của lực lợng sản xuất của loài

ng-ời Đối với kinh tế công nghiệp, dựa vào máy móc và tài nguyên là chính, còn kinh

tế tri thức thì dựa vào tri thức và thông tin là chủ yếu, trong đó khoa học trở thànhlực lợng sản xuất trực tiếp và quan trọng hàng đầu

Hiện nay trên thế giới, nền kinh tế tri thức đã hình thành ở nhiều nớc Đây là

xu thế tất yếu của quá trình phát triển sức sản xuất, là thành tựu quan trọng củaloài ngời, chúng ta cần phải nắm lấy và vận dụng để phát triển kinh tế - xã hội nóichung và để phát triển giáo dục, trong đó có liên quan đến vấn đề PPDH nói riêng Bàn về đổi mới PPDH, tác giả Trần Kiều đa ra một số kiến nghị:

"… Việc cụ thể hoá, quy trình hoáDo mối quan hệ chặt chẽ của PPDH với mục tiêu, nội dung, phơng tiệndạy học và các điều kiện khác nên chiến lợc đổi mới phơng pháp không thể thựchiện một cách riêng lẻ Phải đổi mới đồng bộ mà trớc hết là từ mục đích giáo dục,

hệ thống giáo dục Chiến lợc đổi mới phơng pháp phải nằm trong chiến lợc chung

- Vai trò của ngời học nếu muốn đợc thay đổi về cơ bản thì trớc hết phảihình thành ở họ các phẩm chất, thói quen và năng lực ngay từ khi đến trờng, tức làphải đổi mới PPDH ngay từ lớp 1 Hình thành đợc thói quen, đặc biệt là thói quen

và cách thức suy nghĩ là rất khó khăn và cần đợc diễn ra trong cả một quá trình từthấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp

- Đội ngũ GV giữ vai trò quyết định trong công việc đổi mới PPDH

"Không có hệ thống giáo dục nào vơn quá tầm những giáo viên làm việc cho nó"

- Soát xét và soạn thảo lại SGK và các tài liệu hớng dẫn cho phù hợp với cácquan điểm, yêu cầu đổi mới phơng pháp "Nội dung quyết định phơng pháp nhngphơng pháp lại đợc thể hiện qua việc chọn lựa và trình bày nội dung… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá"

Ngày nay, trớc nguỡng cửa của thế kỷ XXI - đòi hỏi nhà trờng phổ thôngphải đào tạo ra những con ngời không những nắm vững đợc những kiến thức khoahọc mà loài ngời đã tích luỹ đợc mà còn phải có những năng lực sáng tạo giảiquyết những vấn đề mới mẻ của đời sống bản thân mình, của đất nớc, của xã hội

Trong vài thập kỷ gần đây, dựa trên những thành tựu Tâm lý học, Lý luậndạy học đã chứng tỏ rằng, có thể đạt đợc mục đích trên bằng cách đặt HS vào vị trí

của chủ thể hoạt động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của

bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức đồng thời hình thành và phát triển năng lực

Hoạt động hoá ngời học là một hớng cơ bản đổi mới PPDH ở các trờng Trung học

phổ thông để tạo ra một chất lợng mới trong dạy học

Có thể hình dung tóm lợc một số hớng dạy học theo phơng pháp đổi mới

ớng 3 : Phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim định hớng "hoạt động hoá ngời học" bao hàm một loạtnhững ý tởng lớn đặc trng cho PPDH hiện đại

a- Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác tích cực và sáng

tạo của hoạt động học tập;

b- Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến

thức sẵn có của ngời học;

c- Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học;

d- Dạy tự học trong quá trình dạy học;

e- Xác định vai trò mới của ngời thầy với t cách ngời thiết kế, ủy thác

1.1.1.1 Các giải pháp để đổi mới phơng pháp dạy học

Đổi mới phơng pháp theo hớng dạy học hoạt động hoá ngời học bao gồm sự

đổi mới trên các phơng diện: thiết kế bài học, thực hiện hoạt động dạy, tổ chứchoạt động học, tổ chức quá trình nhận thức cho học sinh, sử dụng các phơng tiệndạy học và cách kiểm tra đánh giá

1.1.1.2 Thiết kế bài học

*Quan niệm về mục tiêu dạy học

Theo hớng phát huy vai trò chủ thể tích cực chủ động của ngời học thì mụctiêu đề ra là cho ngời học, do ngời học thực hiện Chính ngời học thông qua cáchoạt động học tập tích cực, phải đạt đợc những mục tiêu ấy Giáo viên là ngời chỉ

đạo, tổ chức, hớng dẫn, trợ giúp ngời học đạt tới đích dự kiến của bài học

Theo hớng phát triển các phơng pháp dạy học tích cực, khi dạy học Toán ngờidạy phải đặc biệt chú ý đến phát triển năng lực nhận thức, rèn luyện các kỹ năng

và phẩm chất t duy phù hợp với nội dung Chú ý các kỹ năng học tập, phát triểnnăng lực tự học Giáo viên phải luôn có ý thức tạo ra mối quan hệ hợp lý giữa dạy

lý thuyết và thực hành Khi xác định mục tiêu dạy học ngời dạy cần tính toán đến

độ khó của nội dung để bên cạnh việc xác định mục tiêu chung còn phải chú ý đếnmục tiêu cho những học sinh đặc biệt (học sinh yếu, học sinh giỏi)

Về mục tiêu kiến thức có thể dùng các động từ: định nghĩa, giải thích, sosánh, chứng minh … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

Mục tiêu kỹ năng có thể dùng các động từ: thực hành, vận dụng, áp dụng,phân biệt

Ví dụ: Phân biệt đợc khái niệm tìm giá trị phân số của một số cho trớc và tìm

một số khi biết giá trị phân số của nó

Xác định mục tiêu dạy học càng cụ thể càng sát hợp với chơng trình vớihoàn cảnh dạy học thì tiến hành hoạt động dạy học càng thuận lợi Mục tiêu đợcxác định theo cách nh vậy sẽ là căn cứ để giáo viên điều chỉnh và đánh giá kết quảcủa hoạt động dạy, học sinh điều chỉnh đánh giá kết quả của hoạt động học Nhờ

đó, thực hiện đợc từng bớc các nội dung mà giáo án đặt ra

1.1.1.3 Quan niệm về cách soạn bài giảng.

Nét nổi bật dễ thấy của dạy học theo phơng pháp tích cực là hoạt động củahọc sinh chiếm tỷ trọng cao so với hoạt động của giáo viên về thời lợng cũng nh c-ờng độ làm việc Để có một bài học nh vậy, việc đầu t công sức và thời gian chobài soạn là cần thiết Việc thay đổi quan niệm trong cách soạn bài theo tinh thầntích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh là cái cần chú trọng trớc tiên Muốnvậy, giáo viên phải phân biệt đợc hai cách soạn bài sau:

Soạn bài theo phơng pháp

truyền thống

Soạn bài theo phơng pháp tích cực

a) Giáo viên dự kiến những hoạt

động trên lớp: thuyết trình giảng giải

đặt câu hỏi, viết bảng biểu diễn, mặc

dù có hình dung chút ít về hành động

hởng ứng của học sinh

a) Dự kiến của giáo viên phải tậptrung chủ yếu vào các hoạt của học sinh

đọc tài liệu, phân tích so sánh tìm mối liên

hệ giữa các kiến thức … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá Giáo viên hìnhdung việc tổ chức và dẫn dắt hoạt độngnhận thức của học sinh nh thế nào

b) Giáo viên tính toán kỹ trình tự

triển khai các hoạt động trên lớp sao

cho tiết kiệm thời gian, chủ động

hoàn thành nội dung dạy học

b) Giáo viên suy nghĩ công phu vềkhả năng của những diễn biến các hoạt

động trên lớp, dự kiến những giải pháp

điều chỉnh khi hoạt động của học sinh đichệch hớng

c) Nội dung dạy học mà học sinh

lĩnh hội chủ yếu do giáo viên cung

cấp, giáo viên cố làm cho học sinh

hiểu và ghi nhớ

c) Nội dung dạy học đợc tạo thànhnhờ sự đóng góp lao động trí tuệ của họcsinh Các mối quan hệ xuôi và ngợc vàquan hệ ''ngang'' giữa trò - trò luôn đợcthực hiện

Do đó, trong bài soạn phải đầu t nhiều vào thiết kế hoạt động nhận thức củangời học (cá nhân, nhóm, lớp) bằng cách giao việc, giao nhiệm vụ nhận thức chohọc sinh ở phần hoạt động của thầy phải xác định rõ:

- Cách định hớng hoạt động nhận thức cho học sinh

- Các yêu cầu nào cần đặt ra cho học sinh

- Cách thức dẫn dắt hoạt động nhận thức

- Dự trù diễn biến quá trình nhận thức của học sinh

- Các giải pháp điều khiển

Mỗi bài soạn phải đợc thiết kế nh một kế hoạch chiến lợc thực hiện nộidung, chứ không phải là ''bản ghi nội dung dạy học'' một cách chi tiết Nội dungdạy học phải do chính học sinh tìm ra còn ngời dạy góp phần chính xác hoá vàkhái quát hoá

1.1.1.4 Thực hiện hoạt động dạy

Thứ nhất: cần tạo ra niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.

Niềm vui, hứng thú có tác động qua lại với tính tự giác, tích cực, chủ độngtrong học tập của học sinh, có ảnh hởng rất lớn đến kết quả học tập của học sinh

Rõ ràng là nếu tìm thấy niềm vui, hứng thú, trong một trạng thái tâm lý thoải máithì học tập sẽ ''vào'' hơn Theo E.P Brounovt thì một niềm hứng thú thực sự biểuhiện ở sự bền bỉ, kiên trì và sáng tạo trong việc hoàn thành các công việc độc lập

dài hơi Nếu học sinh đợc độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hoá các

sự kiện, hiện tợng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt

Theo nhà Tâm lý học Xô viết Vgôtxki L.X thì nội dung dạy học cần phải ởmức độ phù hợp với trình độ học sinh, phải tác động vào ''vùng phát triển gầnnhất'' Một nội dung quá dễ hoặc quá khó đều không gây hứng thú học tập cho họcsinh Cần biết dẫn dắt học sinh luôn luôn tìm thấy cái mới, có thể tự giành lấy kiếnthức, phải làm cho học sinh cảm thấy mình mỗi ngày một trởng thành Cần tạo rakhông khí thuận lợi cho lớp học, có sự giao tiếp thuận lợi giữa thầy và trò, giữa trò

và trò bằng cách tổ chức và điều khiển hợp lý các hoạt động của từng cá nhân họcsinh và tập thể học sinh

Thứ hai: cần dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập

Tâm lý học hiện đại cho rằng nhân cách của học sinh đợc hình thành và pháttriển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức

Để học sinh tích cực học tập, học sinh cần đợc cuốn hút vào các hoạt độnghọc tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điềumình cha biết chứ không phải là thụ động tiếp thu những tri thức đã đợc sắp đặtsẵn

Dạy theo cách này thì giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp kiến thức màcòn phải hớng dẫn hoạt động Trong xã hội đang biến đổi nhanh nh ngày nay thìkhả năng hành động là một yêu cầu đợc đặt ra không phải chỉ đối với từng cá nhân

mà cho mỗi cộng đồng

Mục tiêu đặt ra là từ học làm, đến biết làm, muốn làm, và cuối cùng, muốntồn tại và phát triển Đó là nhân cách một con ngời lao động tự chủ, năng động,sáng tạo

Kinh nghiệm dạy học và nghiên cứu thực nghiệm cho thấy: Điều cốt lõi trongdạy học là tổ chức những tình huống có vấn đề, tăng cờng hoạt động khám phá cóhớng dẫn

- Để phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chứcnhững tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những

ý kiến trái ngợc

- Để học sinh học tập một cách sáng tạo cần tạo tình huống chứa một vấn đềvới một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp để giảiquyết Việc đánh giá tính sáng tạo của học sinh đợc căn cứ vào tính mới mẻ, tính

độc đáo, tính hữu ích của các giải pháp đợc đề xuất

- Cần tăng cờng đàm thoại phát hiện (đàm thoại Ơrixtic), dạy học phát hiện vàgiải quyết vấn đề, vận dụng một số xu hớng dạy học không truyền thống khác, nh:

Dạy học Chơng trình hoá, dạy học theo Lý thuyết tình huống … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá Cần khai thác, sửdụng đa phơng tiện (khai thác các phần mềm dạy học, chơng trình tính toán, vẽhình … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá) để gợi vấn đề, minh hoạ, cho học sinh tìm tòi từ tình huống, nghiên cứuphát hiện vấn đề, hệ thống hoá kiến thức … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

Thứ ba: Cần chú trọng phát triển trí tuệ, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh

Những hoạt động trí tuệ trong môn toán thờng là: Dự đoán, so sánh, phântích, tổng hợp, tơng tự hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá

Những loại hình t duy trong giải toán thờng là: T duy lôgic, t duy thuật toán,

t duy hàm, t duy trừu tợng, t duy biện chứng… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

1.1.1.5 Tổ chức hoạt động học

Cần chú trọng trang bị, rèn luyện phơng pháp học, phơng pháp tự học cho họcsinh Đồng thời tăng cờng các hoạt động hỗ trợ nh chuyên đề, hội thảo, báo cáo,thực hành, đề án … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

Muốn phát triển trí sáng tạo, muốn cho học sinh tự lực khám phá kiến thứcmới, phải dạy cho học sinh phơng pháp học, mà cốt lõi là phơng pháp tự học.Chính qua các hoạt động tự lực, đợc giao cho từng cá nhân hoặc cho nhóm nhỏ,tiềm năng sáng tạo của mỗi học sinh đợc bộc lộ và phát huy Học sinh đợc luyệntập thói quen nhìn nhận một sự kiện dới nhiều góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiềugiả thuyết khi phải lý giải một hiện tợng, biết đề xuất những giải pháp khác nhaukhi phải xử lý một tình huống Cần giáo dục cho học sinh không vội vã bằng lòngvới giải pháp đầu tiên đã đa ra, không suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đãhọc trớc đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trớc nhữngtình huống mới

Việc rèn luyện phơng pháp học tập cho học sinh không chỉ là một biện phápnâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu dạy học Từ lâu, các nhà sphạm đã nhận thức đợc ý nghĩa của việc dạy phơng pháp học

Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh chóng, với sự bùng nổ thông tin,khoa học và công nghệ đang phát triển nh vũ bão thì việc dạy phơng pháp học đợcquan tâm ngay từ bậc tiểu học và càng lên bậc cao hơn càng đợc coi trọng Đây làcách hữu hiệu để chuẩn bị cho lớp ngời kế tục thích ứng với xã hội học tập, trong

đó mỗi ngời phải có năng lực học tập liên tục, suốt đời

Phơng pháp tự học là cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học Nếu rènluyện cho học sinh có đợc phơng pháp, kỹ năng, thói quen tự học, biết linh hoạtvận dụng những điều đã học và những tình huống mới, biết tự lực phát hiện đặt ra

và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn thì sẽ tạo cho họ lòng ham học,

chuẩn bị cho họ tiếp tục tự học khi vào đời, dễ dàng thích ứng với cuộc sống, côngtác, lao động trong xã hội.

Nhà trờng phổ thông không thể cung cấp cho con ngời một vốn liếng tri thứccho suốt cả cuộc đời, nhng nó có thể cung cấp một nhân lõi nào đó của các tri thứccơ bản Nhà trờng phổ thông có thể và cần phải phát triển các hứng thú, năng lựcnhận thức của học sinh, cung cấp cho họ những kỹ năng cần thiết của việc tự học

1.1.1.6 Tổ chức quá trình nhận thức cho học sinh

Nên tổ chức học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác

Phơng pháp tích cực đòi hỏi sự cố gắng trí tuệ và nghị lực cao của mỗi họcsinh trong quá trình tự lực giành lấy kiến thức mới ý chí và năng lực của học sinhtrong một lớp không thể đồng đều tuyệt đối vì vậy buộc phải chấp nhận sự phânhoá về cờng độ và tiến độ hoàn thành nhiêm vụ học tập, nhất là khi bài học đợcthiết kế thành một chuỗi các hoạt động, đợc giao cho từng cá nhân thực hiện ápdụng phơng pháp tích cực ở trình độ cao thì sự phân hoá ngày càng lớn Việc sửdụng các phơng tiện nghe nhìn, máy vi tính ngày càng rộng rãi trong nhà trờng sẽ

đáp ứng yêu cầu cá thể hoá hoạt động học tập theo nhu cầu và năng lực của mỗihọc sinh

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều đợc hình thànhbằng những hoạt động thuần tuý cá nhân Lớp học là môi trờng giao tiếp giữa thầy

và trò, trò và trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đờng đi tớinhững tri thức mới Trong điều kiện dạy học thông báo đồng loạt, thông tin đi từthầy đến trò, quan hệ giao tiếp chủ yếu là thầy và trò

Trong kiểu dạy học hợp tác vẫn có giao tiếp thầy và trò, nhng nổi lên mốiquan hệ giao tiếp giữa trò và trò Thông qua sự hợp tác tìm tòi nghiên cứu, thảoluận, tranh luận tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân đợc bộc lộ, đợc điều chỉnh, khẳng

định hay bác bỏ, qua đó ngời học nâng mình lên một trình độ mới, bài học vậndụng đợc vốn hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi cá nhân và của tập thể Bên cạnhcâu ''không thầy đố mày làm nên'' ta còn có câu ''học thầy không tầy học bạn''.Học tập hợp tác không mâu thuẫn với học tập cá thể Trong học tập hợp táctheo nhóm nhỏ, mục tiêu hoạt động là chung cho toàn nhóm nhng mỗi cá nhân đợcphân công một nhiệm vụ cụ thể, mỗi cá nhân đều phải nỗ lực, không thể ỷ lại vàongời khác, toàn nhóm phải phối hợp, tơng trợ để cuối cùng đạt mục tiêu chung

1.1.1.7 Sử dụng các phơng tiện dạy học

Có rất nhiều phơng tiện dạy học đợc sử dụng khi dạy học Toán trong đó cácphơng tiện phổ biến nh sơ đồ, biểu đồ, phiếu học tập , bảng phụ, các đoạn phim tliệu … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

1.1.1.8 Kiểm tra đánh giá

Để đánh giá tốt các tri thức, kỹ năng, giáo viên cần nắm vững mối quan hệgiữa lợng giá và đánh giá Khắc phục thói quen là khi chấm bài kiểm tra giáo viênchỉ chú trọng việc cho điểm, ít có những đánh giá về những u điểm và khuyết điểmcủa học sinh khi làm bài

Trong kiểm tra, đánh giá, nội dung kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, baogồm cả kiến thức, kĩ năng và phơng pháp, không phải chỉ yêu cầu học sinh tái hiệnkiến thức và kĩ năng Mặt khác cần có biện pháp hớng dẫn học sinh biết cách tự

đánh giá, có thói quen đánh giá lẫn nhau

Bên cạnh việc nâng cao chất lợng các hình thức kiểm tra truyền thống, cácthầy, cô giáo cần tìm hiểu và áp dụng phơng pháp kiểm tra bằng trắc nghiệmkhách quan, sử dụng phối hợp, hợp lý giữa các hình thức kiểm tra truyền thống vớikiểm tra bằng trắc nghiệm khách quan

Các nghiên cứu đã chỉ rõ rằng quá trình đánh giá gồm 4 khâu: Lợng hoá - ->lợng giá - -> Đánh giá - -> Ra quyết định; trên 3 lĩnh vực: kiến thức, kỹ năng, thái

độ; theo 6 mức độ: Nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánhgiá

1.1.2 Rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh THCS

1.1.2.1 Kĩ năng

1.1.2.1.1 Khái niệm kĩ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực hànhnhất định cho con ngời Để giải quyết đợc công việc con ngời vận dụng vốn hiểubiết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đốivới nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết đợc nhiệm

vụ Với quá trình đó con ngời dần hình thành cho mình cách thức (kĩ năng) để giảiquyết các vấn đề đặt ra

Xem xét các công trình nghiên cứu về kĩ năng, chúng tôi thấy vẫn còn tồntại hai quan niệm khác nhau đôi chút về kĩ năng:

Quan niệm 1: Coi kĩ năng là mặt kỹ thuật của một thao tác, hành động hay

một hoạt động nào đó Muốn thực hiện đợc một hành động, cá nhân phải hiểu đợcmục đích, phơng thức và điều kiện để thực hiện nó Vì vậy nếu ta nắm đợc các trithức về hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau tức là ta

đã có kĩ năng về hành động Theo V.A Cruchetxki thì “Kĩ năng là các phơng thứcthực hiện hoạt động, những cái mà con ngời đã nắm vững” Ông cho rằng chỉ cầnnắm vững phơng thức của hành động là con ngời có kĩ năng, không cần đến kết quảhoạt động của cá nhân Tác giả Trần Trọng Thuỷ cũng cho rằng “Kĩ năng là mặt kỹthuật của hành động Con ngời nắm đợc cách thức hành động - tức kỹ thuật củahành động là có kĩ năng”

Quan niệm 2: Coi kĩ năng không đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động

mà còn là một biểu hiện năng lực của con ngời Kĩ năng theo quan niện này vừa cótính ổn định vừa có tính mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo lại vừa có tính mục đích.Chẳng hạn, theo N.D Lêvitôp “Kĩ năng là sự thực hiện có kết quả một động tácnào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng nhữngcách thức đúng đắn có tính đến những điều kiện nhất định” K.k.Platơnôp, nhà tâm

lý học Liên Xô khẳng định: “Cơ sở tâm lý của kĩ năng là sự thông hiểu mối liên hệgiữa mục đích hành động, các điều kiện và phơng thức hành động” Pêtrôpxki cũng

định nghĩa “Kĩ năng là sự vận dụng tri thức, kỹ xảo đã có để lựa chọn và thực hiện

những phơng thức hành động tơng ứng với mục đích đặt ra”

Theo giáo trình Tâm lý học đại cơng thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng cácdữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiệnnhững thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lý luận hay thực hành xác định”

Từ điển Tâm lý học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa: “Kĩ năng là năng

lực vận dụng có kết quả tri thức về phơng thức hành động đã đợc chủ thể lĩnh hội

để thực hiện những nhiệm vụ tơng ứng”

Từ điển Tiếng Việt viết: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu

nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [33]

Có thể thấy, theo khuynh hớng thứ hai này thì khi bàn về kĩ năng lại rất chú

ý đến mặt kết quả của hành động

Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau Sự khác biệt

là ở chỗ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của kĩ năng mà thôi

Có thể hiểu: “Kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động haymột hoạt động nào đó trong những điều kiện nhất định, bằng cách vận dụng và lựachọn những tri thức và kinh nghiệm đã có”

Quan điểm cá nhân về kĩ năng:

Kĩ năng là độ thuần thục của một hoạt động trong một điều kiện nhất định nào đó, nhằm tạo ra một sản phẩm nhờ vận dụng các kiến thức đã cho.

Khi bàn về kĩ năng cần lu ý một số điểm sau đây:

- Kĩ năng trớc hết là mặt kỹ thuật của một thao tác hay một hành động nhất

định, không có kĩ năng chung chung, trừu tợng tách rời hành động cá nhân của conngời Khi nói tới kĩ năng là nói tới một hành động cụ thể đạt tới mức đúng đắn vàthuần thục nhất định

- Thành phần của kĩ năng bao gồm tri thức, kinh nghiệm đã có, quá trìnhthực hiện hành động, sự kiểm soát thờng xuyên trực tiếp của ý thức và kết quả củahành động

- Tiêu chuẩn để xác định sự hình thành và mức độ phát triển của kĩ năng là:tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và sự phối hợp nhịp nhàng các động táctrong hành động Hành động cha thể trở thành kĩ năng nếu hành động còn vụng về,còn tiêu tốn nhiều công sức và thời gian để triến khai.

1.1.2.1.2 Sự hình thành các kĩ năng

Sự hình thành các kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp cácthao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu đợc

từ các đối tợng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động Kĩnăng chỉ đợc hình thành thông qua quá trình t duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra.Khi tiến hành t duy sự vật thì chủ thể thờng biến đổi, phân tích đối tợng để tách ranhững khía cạnh, những thuộc tính mới

Quá trình t duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích tổng hợp, trừu tợng hoá khái quát hoá cho tới khi hình thành đợc mô hình về một mặt nào đó của đối tợng

-có ý nghĩa bản chất đối với việc giải quyết nhiệm vụ đặt ra ở đây mỗi bớc, nhờkhám phá ra những khía cạnh mới của đối tợng, thúc đẩy t duy tiến lên, đồng thờiquyết định bớc tiếp theo của t duy

Vì các khía cạnh mới của đối tợng đợc phản ánh trong các khái niệm mới, tduy diễn ra nh là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần

Quá trình t duy của con ngời diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa.Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của quá trình phân tích và tổng hợp nhữngkết quả của giai đoạn trớc, đợc thể hiện trong các khái niệm

Chẳng hạn, nh X L Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình t duy nhờphân tích và tổng hợp, đối tợng tham gia vào những mối liên hệ ngày càng mới và

do đó thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này đợc ghi lạitrong những khái niệm mới Nh vậy, từ đối tợng dờng nh khai thác đợc nội dungngày càng mới, nó dờng nh mỗi lần quay một khác và trong nó lại xuất hiện nhữngthuộc tính mới

Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trớc hết nh nhữngsản phẩm của tri thức ngày càng đợc đào sâu Các kĩ năng đợc hình thành trên cơ

sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối tợng đangnghiên cứu Các con đờng chính của sự hình thành các kĩ năng - đó là học sinhphải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối tợng, vận dụng vào đối t-ợng Những tri thức khác nhau diễn đạt những mối quan hệ đa dạng giữa đối tợng

Cùng với vai trò của cơ sở tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng,

sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với các môn Toán, vì môn Toán đợc coi làmột môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của nó trong việc thực hiện nhiệm vụphát triển nhân cách học sinh trong nhà trờng phổ thông, vì vậy cần hớng mạnh vàoviệc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng

Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách (Nguyễn CảnhToàn) Trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trong, bởi vì nếu không có kỹnăng thì sẽ không phát huy đợc t duy và cũng không đáp ứng đợc nhu cầu giảiquyết vấn đề

Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mỗi quan hệ giữahọc với hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộclòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo vào việc giải bàitập

“Kỹ năng Toán học hoá các tình huống thực tiễn đợc cho trong bài toán

hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết vận dụng từ những kiến thức Toán học trong nhà trờng vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú học tập, giúp học sinh nắm đợc thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá”

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Giảng dạy Toán học không nên

xa rời với thực tiễn: “Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là đi tìm

một thực thể sống chỉ còn bộ xơng, không có thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào”.

“Tăng cờng và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp

phần thực thực hiện nguyên lý học đi đôi với hành, nhà trờng gắn liền với đời sống”.

Theo tác giả Ngỗ Hữu Dũng cho rằng: “ứng dụng Toán học vào thực tế là

một trong những kỹ năng Toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh”

Nói về những yêu cầu đối với Toán học nhà trờng nhằm phát triển văn hoá

toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học Toán trong nhà trờng phổ thông không

phải chỉ tiếp nhận hàng loạt công thức, định lý, phơng pháp thuần tuý mang tính lý thuyết, , cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là hiểu đợc nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống”

Các tác giả A.Đ.Alêchxanđrôv, A.A.Stôliar, G.G.Maxlova, có ý kiến

t-ơng tự

V.V.Firsôv khẳng định: “Việc giảng daỵ Toán ở trờng phồ thông không thể

không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học

Toán học, điều đó phải đợc thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế”

Tăng cờng rèn luyện cho học sinh kỹ năng và thói quen ứng dụng kiến thứctoán học vàp những tình huống cụ thể khác nhau (lao động, sản xuất, đời sống, … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá)

là một nhiệm vụ quan trọng của Toán học, nhằm đạt đợc các mục tiêu đào tạo, tổchức cho học sinh luyện tập ứng dụng kiến thức để tiếp thu chúng là một khâuquan trọng trong quá trình dạy học Toán, đồng thời cũng là một biện pháp nhằmchủ động thực hiện các nhiệm vụ dạy học, có tác đông trực tiếp và quyết định tớichất lợng đích thực của giáo dục phổ thông Vì thế, cần phải tổ chức thực hiện tốtkhâu này Điều đó phản ánh sự quán triệt tinh thần của Nguyên lý giáo dục Có thểnói rèn luyện kỹ năng và ý thức ứng dụng Toán học cho học sinh vừa là mục đích,vừa là phơng tiện của dạy học Toán ở trờng phổ thông

Việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng Toán học hoá các tình huống đợc thựctiễn vừa nhằm hình thành cho học sinh những tri thức, vừa phát triển năng lực t duycủa học sinh Đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, góp phần phát triển nănglực Toán học ở học sinh

ứng dụng Toán học vào thực tiễn đợc coi là một vấn đề quan trọng, cần thiếttrong dạy học ở phổ thông Tuy nhiên, do nhiều lý do khác nhau, trong một thờigian trớc đây cũng nh hiện nay, vấn đề rèn luyện kỹ năng vận dụng Toán học vàothực tiễn cho học sinh cha đợc đặt ra đúng mức, cha đáp ứng đợc những nhu cầucần thiết Nhận định này đã đợc nêu lên trong một số tài liệu lý luận cũng nh đã đ-

ợc thể hiện với những mức độ khác nhau trong thực tiễn dạy học Toán Giảng dạy

Toán “còn thiên về vấn đề sách vở, hớng việc dạy Toán về việc giải quyết loại bài

tập mà hầu hết không có nội dung thực tiễn”, “hậu quả tai hại là đa số học sinh tốt ngihệp lớp 7 hoặc lớp 10 còn rất bỡ ngỡ trớc nhiều công tác cần đến Toán học ở hợp tác xã, công trờng, xí nghiệp” - đó là ý kiến quan trọng của tác giả Phan Văn

Hoàn, Trần Thúc Trình [15, tr204] Tác giả Trần Kiều cũng có nhận xét: “Do

nhiều nguyên nhân việc dạy và học Toán trong nhà trờng hiện nay ở nớc ta đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào cuộc sống”

[24 , tr 3-4] Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn (1998) khi nhận xét về tình hình dạy học

và học toán hiện nay ở nớc ta cũng cho rằng có yếu kém cơ bản: “Dạy và học

Toán tách rời cuộc sống đời thờng” [24].

1.1.3 Tăng cờng mối liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán cho học sinh THCS

Tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạy học nói chung và trong dạy học bộmôn Toán nói riêng ở trờng THCS luôn đợc coi là một vấn đề quan trọng, cầnthiết Tuy nhiên, theo các nhà Toán học và các nhà làm khoa học Giáo dục cũng

nh trong thực tế thì vì nhiều lí do khác nhau, trong một thời gian dài trớc đây cũng

nh hiện nay, việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán chohọc sinh vẫn, cha đợc đánh giá đúng mức và cha đáp ứng đợc những yêu cầu cầnthiết.

Các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình (1975) thì cho rằng: Giảng dạyToán "còn thiên về sách vở, hớng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bài tập màhầu hết không có nội dung thực tiễn", "hậu quả tai hại là đa số học sinh tốt nghiệplớp 7 hoặc lớp 10 còn rất bỡ ngỡ trớc nhiều công tác cần đến Toán học ở hợp tácxã, công trờng, xí nghiệp" (Dẫn theo [5]) Tác giả Trần Kiều cũng có nhận xét:

"Do nhiều nguyên nhân, việc dạy và học Toán trong nhà trờng hiện nay ở nớc ta

đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào cuộcsống" [21, tr 3 - 4] "Thực tế dạy học đã chỉ ra đây là một trong những thiếu sótquan trọng nhất của giáo dục phổ thông nớc ta" [22, tr 1- 2] Theo Giáo s NguyễnCảnh Toàn (1998) khi nhận xét về tình hình dạy và học Toán hiện nay ở nớc ta thìmột vấn đề quan trọng - một yếu kém cơ bản là trong thực tế dạy Toán ở trờng phổthông, các giáo viên không thờng xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện nhữngứng dụng của Toán học vào thực tiễn Học sinh bây giờ thờng phải đi tìm nhữngmắt xích suy diễn phức tạp trong các bài toán khó, đặc biệt là các trờng chuyên

Họ đợc rèn luyện thêm về t duy kỹ thuật khi phải tìm những thủ thuật lắt léo đểgiải những bài toán không mẫu mực Nhng những khía cạnh nhân văn trong thực tếcuộc sống đời thờng hay bị bỏ qua Chẳng hạn, trong Toán học có chứng minhthuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thờng khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phảinghĩ lại", "có qua có lại", "sống phải có trớc có sau"; trong Toán học, khi biện luậnphải xét cho hết mọi trờng hợp có thể xảy ra, thì trong đời thờng ngời ta haykhuyên nhau: "nghĩ cho hết nớc, hết cái"; trong Toán học có "biện luận theo thamsố", thì trong đời thờng ta thờng bảo nhau cần phải "thức thời" mà thời là một tham

số quan trọng trong cuộc sống [50, tr 252] Theo Ông thì đây là kiểu "Dạy và họcToán tách rời cuộc sống đời thờng" Giáo s còn cho rằng trong dạy học Toán hiệnnay có biểu hiện: "không gắn lí luận với thực tiễn; không làm cho học sinh nắm rõbản chất của khái niệm, bệnh hình thức rất rõ; do hình thức mà học sinh chóngquên, vận dụng khó nhuần nhuyễn… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá" [49, tr.27 - 28] Trong Tạp chí Tia sáng

12/2001, Giáo s Hoàng Tuỵ có ý kiến nhận xét: Trong dạy học toán ở nớc ta hiệnnay có tình trạng "chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giảinhững bài tập oái ăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làmcho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản" [54, tr 35 - 40] Mới đây, trong

hội thảo về "Triết lí giáo dục Việt Nam" do Học viện Quản lí giáo dục tổ chức, TS.

Nguyễn Tùng Lâm cho rằng: "Thiếu sót của giáo dục chúng ta trong nhiều năm

qua là đã xa rời mục tiêu chất lợng, không thực hiện phơng châm "Học đi đôi với

hành"… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá "[2, tr 21] Vấn đề này theo J.A Perelman thì học sinh ''đang học Toánchỉ giới hạn trong phạm vi bốn bức tờng của lớp học, thành thử không để ý đếnnhững tơng quan Toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tợng xungquanh, không biết ứng dụng những kiến thức Toán học đã thu nhận đợc vào thực

Theo quan điểm của chúng tôi, sở dĩ để xảy ra tình trạng trên có thể do một

số nguyên nhân chính sau đây:

1) Thứ nhất, do áp lực và cách đánh giá trong thi cử, kết hợp với bệnh thành

tích của nền giáo dục THCS nớc ta trong một thời gian dài Học sinh học xong cấphai thì "phải thi" vào phổ thông đang là một tồn tại trong xã hội ta hiện nay Mà

đề ra trong các kì thi thì hầu nh các ứng dụng ngoài toán học không đợc đề cập

đến Từ đây dẫn đến lối dạy học "phục vụ thi cử", chỉ chú ý dạy những gì học sinh

đi thi

2) Thứ hai, do ảnh hởng của sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo.

Trong một thời gian dài trớc đây cũng nh hiện nay, các sách giáo khoa cũng

nh các tài liệu tham khảo không quan tâm nhiều đến tính thực tiễn ngoài Toán họccủa các tri thức (xem 1.4.1) mà thông thờng chỉ tập trung vào các ứng dụng trong

"nội bộ" môn toán Đành rằng, muốn ứng dụng đợc vào cuộc sống thì trớc hết họcsinh phải có những thông hiểu nhất định các kiến thức, kĩ năng, phơng pháp toán.Tuy nhiên, với sự liên hệ quá ít nh vậy sẽ không hình thành và rèn luyện cho họcsinh ý thức vận dụng toán học và không làm rõ đợc vai trò công cụ của toán họctrong hệ thống các khoa học và thực tế cuộc sống

3) Thứ ba, còn một nguyên nhân sâu xa nữa là từ khâu đào tạo của các tr ờng

s phạm Khi còn ngồi trên giảng đờng, những ngời giáo viên tơng lai cũng chỉ

"học toán trong phạm vi bốn bức tờng" mà thôi, thiếu hẳn tính thực tiễn trong quátrình học tập và nghiên cứu khoa học

Nói tóm lại, sở dĩ có tình trạng trên là do hệ thống giáo dục và đào tạo của nớc ta, trong đó yếu tố giáo viên và sách giáo khoa là hai yếu tố chính

1.2 Bài tập và hệ thống bài tập:

1.2.1 Bài tập:

Nhìn chung, khái niệm bài tập và bài toán đợc nhiều tác giả coi là nh nhau,trong ngữ cảnh của luận văn này tiếp thu các quan điểm đó

Tuy nhiên có thể hiểu rộng hơn về các thuật ngữ liên quan này: Theo Từ điển

Tiếng Việt [119] thì bài tập và bài toán đợc giải nghĩa có đặc điểm chung nh nhau

nhng khác nhau về mức độ:

- Bài tập: Bài ra cho học sinh làm để tập vận dụng những điều đã học

- Bài toán: Vấn đề cần giải quyết bằng các phơng pháp khoa học

Sau đây là một số quan niệm của một số tác giả:

- Theo G Pôlia cho rằng: Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách

có ý thức phơng tiện thích hợp để đạt đợc mục đích trông thấy rõ ràng nhng khôngthể đạt đợc ngay Giải bài tập là tìm ra phơng tiện đó [88]

- Theo tác giả Tôn Thân [94] thì bài tập Toán học là một tình huống kíchthích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẳn ở ngời giải tại thời điểm bài tập đợc đara

ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học Đối với học sinh,

có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Các bàitoán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợctrong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩxảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập Toán là điều kiện đểthực hiện tốt các mục đích của dạy học Toán ở trờng phổ thông Vì vậy tổ chức cóhiệu quả việc dạy giải bài tập Toán học có vai trò quyết định đối với chất lợng dạyhọc Toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học đợc sử dụng với những dụng ýkhác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, đểlàm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên, việc dạy giải mộtbài tập cụ thể thờng không chỉ nhằm vào không chỉ vào một dụng ý đơn nhất nào

đó mà thờng bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu

Mỗi bài tập cụ thể đợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đềuchứa đựng một cách tờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Nhữngchức năng này đều hớng về việc thực hiện các mục đích dạy học Trong môn Toán,các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dơng Thụy 1980)

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinhnhững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh hứng thú, thếgiới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngời lao độngmới

Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực t duy của họcsinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của

t duy khoa học

Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,

đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rờinhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức làhàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy đợc tiến hành một cách tờng minh và côngkhai Hiệu quả của việc dạy học Toán ở trờng phổ thông phần lớn phụ thuộc vàoviệc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập

mà ngời viết sách giáo khoa hay tài liệu nâng cao đã có dụng ý chuẩn bị Ngờigiáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện đợc những dụng ý đó bằng năng lực sphạm và trình độ nghệ thuật của mình

1.2.2 Hệ thống bài tập:

Trong SGK chuyên đề về BĐT và cực trị ở bậc THCS hiện hành, do viết cho

HS đại trà với yêu cầu tối thiểu, nên khi sử dụng hệ thống kiến thức và bài tập cónội dung khó cần phải lựa chọn giải pháp phù hợp, khai thác đúng mức chơng trình

và bám sát nội dung chơng trình SGK trên cơ sở tôn trọng SGK hiện hành, hơn nữaHTBT đa ra cần phải phù hợp với độ tuổi, hơn nữa cần phải làm nổi bật lên đợc nh-

ng tiềm năng và ứng dụng của nó Để góp phần phát triển khả năng t duy của HS

và một số kĩ năng giải Toán cần thiết cũng nh HS có cảm nhận về sự gần gũi giữatoán học với đời sống thực tiễn

Có nhiều giải pháp để xây dựng hệ thống bài tập nhằm đạt đợc mục đích vàyêu cầu đề ra, cũng nh trang bị thêm cho HS kiến thức mới chẳng hạn nh: Cải tiếnnội dung dạy học hoặc đổi mới PPDH, hoặc trên cơ sở chơng trình và SGK hiệnhành mà khai thác bổ sung, xây dựng HTBT để tiềm năng của môn học đợc sửdụng đúng nh mong muốn Trong phạm vi của luận văn, đề tài xin chọn giải phápxây dựng HTBT nh sau:

+ Cách 1: HTBT độc lập với những BT có trong SGK + Cách 2: Xen kẽ, phát triển, bổ sung thêm vào BT theo chủ đề kiến

thức hiện hành để cấu tạo trở thành những “phần tử” của HTBT

Việc xây dựng hệ thống bài tập phải dựa theo các nguyên tắc sau:

- Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đợc xác định dựa trên cơ sở những mục đích chung của giáo dục Toán học, có chú ý đến những đặc

điểm cụ thể của Hệ thống Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễnliên quan chặt chẽ, phụ thuộc và phục vụ cho việc thực hiện các mục đích dạy họcToán ở nhà trờng Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn với ý

nghĩa ứng dụng rõ rệt, thông qua quá trình rèn luyện cho học sinh khả năng và ýthức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời góp phần tích cực đểthực hiện tốt và toàn diện các nhiệm vụ dạy học Toán ở trờng THCS.

- Tính khả thi của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đợc hiểu là khả

năng thực hiện đợc (xây dựng đợc, sử dụng đợc) Hệ thống bài tập này trong thực

tế dạy học ở trờng THCS Việt Nam hiện nay Tính khả thi của việc xây dựng và

sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố:Chơng trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện, trình

độ nhận thức chung của học sinh, khả năng và trình độ thực hiện của giáo viên, sựtơng hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các bài tập, Một giảipháp khả thi là giải pháp thoả mãn một cách đầy đủ và hài hoà các yếu tố trên

- Tính hiệu quả của việc xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn

trong dạy học Toán đợc hiểu là sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trongviệc giải các bài tập có nội dung thực tiễn của học sinh, hình thành và phát triển ở

họ thói quen và hứng thú vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống tronghọc tập, lao động sản xuất và trong đời sống Tính hiệu quả phụ thuộc vào hệthống bài tập (nội dung, mức độ, số lợng, ) cũng nh các biện pháp sử dụng hệthống bài tập này trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS

Trong việc xây dựng hệ thống bài tập BĐT và cực trị, cần chú ý khai thácnhững bài toán có nội dung thực tiễn

Tối u hóa các hoạt động vừa là nguyện vọng, vừa là tiêu chuẩn đạo đức củamỗi ngời lao động chân chính, song đồng thời cũng là một hệ thống tri thức màngời lao động cần đợc trang bị ở mức độ thích hợp và có thể đợc nhằm vơn tới cựctrị trong kết quả, nhằm thích ứng kịp thời với tốc độ tiến bộ nh vũ bão của khoahọc, kỹ thuật và sản xuất hiện đại Vì vậy, trong dạy học nói chung và dạy họcToán nói riêng, cần phải tập dợt và rèn luyện cho học sinh thói quen và ý thức tối

u trong suy nghĩ cũng nh trong việc làm Nói cách khác, làm cho học sinh có ýthức luôn tự tìm cách thức để đạt tới "cực trị" trong học tập, lao động sản xuất và

đời sống Chẳng hạn tìm cách để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất, giá thành thấpnhất, chất lợng sản phẩm tốt nhất, Trên cơ sở những cuộc tập dợt ở nhà trờng

mà một phần chủ yếu là những bài toán có nội dung thực tiễn

ý thức và thói quen tối u hóa là một thành tố của năng lực vận dụng Toánhọc vào thực tiễn Nó cũng là một yếu tố của văn hóa Toán học Một ngời có vănhóa Toán học, dù làm việc gì cũng suy nghĩ chặt chẽ, luôn luôn tìm cách làm saocho tối u, biết thay thế một chơng trình hành động bằng một chơng trình hành

động khác tơng đơng nhng ít vất vả, ít tốn kém hơn và luôn mong muốn tìm giảipháp hay hơn ý thức và thói quen tối u hóa trở thành một phẩm chất không thể

thiếu đợc của ngời lao động chân chính trong thời đại công nghiệp và hậu côngnghiệp: Làm gì cũng phải tìm cách đạt năng suất cao, giá thành hạ, tiết kiệmnguyên liệu mà hiệu quả tối đa.

Các bài toán cực trị là mô hình Toán học có đợc từ sự lý tởng hóa các quátrình tối u hóa trong cuộc sống Chính vì vậy, để rèn luyện ý thức và thói quen tối

u hóa cho học sinh qua dạy học Toán, khai thác các bài toán cực trị và bất đẳngthức là rất thích hợp và thể hiện tính khả thi, tính hiệu quả của Hệ thống bài tậpbất đẳng thức và cực trị

1.3 Nội dung về BĐT và cực trị Đại số trong chơng trình Toán THCS 1.3.1 Một số vấn đề về bài tập bất đẳng thức và cực trị Đại số trong SGK hiện hành ở bậc THCS

1.3.1.1 Về bài tập bất đẳng thức:

Về nội dung về bất đẳng thức (BĐT) trong chơng trình toán ở trờng THCS hiệnnay còn rất ít và hạn chế về số lợng Trong SGK hiện hành chỉ nêu lên đợc khái niệm

và đa ra một số tính chất cơ bản của BĐT

Mặc dù đã đợc làm quen, đợc đề cập đến ở các lớp dới, nhng Chủ đề Bất đẳngthức vẫn là một trong những chủ đề rất khó đối với học sinh ở các lớp bậc THCS.Tuy nhiên, các bài toán về BĐT lại có nhiều lợi thế trong việc lồng ghép vào đểgiải những bài toán khác hoặc ứng dụng vào một số bộ môn khoa học khác hay có

ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn: Ngay trong mục đầu tiên "Số thực dơng, số

thực âm" Ta có thể đề cập sự liên hệ: "Một ngời X nào đó suy cho cùng, hoặc là

không có tiền (X không có đồng tiền nào cả) hoặc có tiền (X có một số tiền nào

đó) hoặc đang nợ tiền

Và nh vậy ta có thể gán số 0 với trờng hợp X không có tiền, số dơng với ờng hợp X có tiền và số âm với trờng hợp X đang nợ tiền

Nếu có sự liên hệ gần gũi kiểu nh thế thì việc nắm vững những kiến thức củaMục này và những kiến thức của các mục tiếp theo dễ dàng hơn rất nhiều Chẳnghạn, các kiến thức "Nếu a > 0, b > 0 thì a+ b > 0", "Phủ định của mệnh đề "x >0" là mệnh đề "x  0"" thì việc liên hệ để hiểu, để nhớ kiến thức là khá dễ dàng

Sự liên hệ trên cũng giúp học sinh nắm vững các khái niệm, tính chất của Bất

đẳng thức, chẳng hạn: Tính chất "a > b và b > c  a > c" ta có thể liên hệ "Anh

A có số tiền lớn hơn anh B và anh B có số tiền lớn hơn anh C" thì bằng thực tế,học sinh dễ dàng nói đợc một cách chắc chắn rằng anh A có số tiền lớn hơn anhC

Một Tính chất khá quan trọng mà Luận văn muốn nhấn mạnh sự liên hệ trên

0 c nếu bc ac

0 c nếu bc ac b

Có thể minh họa để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ nh sau:

a, b lần lợt là số ngời của 2 nhóm A và B, a > b (số ngời nhóm A lớn hơn sốngời nhóm B)

Sau khi có sự liên hệ trên, ta cho học sinh Quy tắc:

Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dơng, ta đợc một bất

Một nội dung khá quan trọng trong Chủ đề này mà Luận văn xem có nhiều

lợi thế cho việc lồng ghép các bài toán thực tiễn là Bất đẳng thức Côsi.

Bất đẳng thức Côsi có vai trò quan trọng trong dạy học Toán, điều đó đợc thểhiện ở các khía cạnh sau:

- Do có nhiều tiềm năng có thể khai thác, nên nó là cơ hội để giáo viên lấynhững ví dụ và bài tập, góp phần tích cực hóa hoạt động học tập cũng nh cho họcsinh làm quen dần với các tình huống thực tiễn

- Dạng toán ứng dụng Bất đẳng thức Côsi giúp học sinh có ý thức và khảnăng tối u hóa trong suy nghĩ cũng nh trong hành động, luôn coi trọng tiết kiệm

và hiệu quả công việc

- Góp phần rèn luyện kỹ năng chứng minh Bất đẳng thức cho học sinh.

Ví dụ 1: Sau khi học sinh đợc trang bị về khái niệm, một số tính chất cơ bản

về BĐT và một vài phơng pháp chứng minh BĐT; có thể lấy ví dụ nh sau:

Chứng minh rằng: a) 2(a2 + b2) (a + b)2 với mọi a, b

b) 1 1 4

a b a b với mọi a, b dơng Dấu “=” xảy ra khi nào?

Ví dụ 2: Sau khi trình bày nội dung Bất đẳng thức Côsi, có thể lấy ví dụ thựctiễn sau đây:

a) Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trớc phải có dạng nh thếnào để chiều dài hàng rào của nó là ít nhất?

b) Một cánh đồng hình chữ nhật với chiều dài hàng rào cho trớc phải có dạng

nh thế nào để diện tích của nó là lớn nhất?

Nh vậy, các bài toán vê bất đẳng thức góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiếnthức một cách sâu sắc và có cái nhìn vê toán học rộng hơn cũng nh việc khai tháccác ứng dụng kiến thức Toán học nói chung và BĐT nói riêng để giải các bài toánkhác hay bài toán thuộc lĩnh vực khác hoặc có nội dung thực tiễn

1.3.1.2 Về bài tập cực trị:

Trong quá trình giải toán chúng ta thờng gặp các bài toán về tìm giá trị lớnnhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số hay của một đại lợng hình học nào đó.Các bài toán này còn đợc gọi là bài toán “Cực trị”

Thờng thì những bài toán cực trị luôn gắn liền với thực tiễn cuộc sống, bởi vìviệc đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá Chính là đi tìm cái tối u đặt

ra trong cuộc sống và trong kỹ thuật

Bởi sự đa dạng và thú vị, đặc biệt là sự ràng buộc của nó với các kiến thứctrong cả chơng trình Toán học và thậm chí là cả các kiến thức về bất đẳng thứctrong chơng trình Đại số

Trong chơng trình Toán học ở bậc THCS các bài toán dạng này thờng lànhững bài toán khó, đòi hỏi HS phải tự tìm kết quả của bài toán Đối với bài toáncực trị, thờng có nhiều con đờng để tìm ra lời giải, trong đó có cả những cách ngắngọn, hợp lý, đôi khi có có phơng án sáng tạo, độc đáo Do đó chủ đề về toán cực trị

sẽ đem đến cho HS nhiều điều bổ ích và lý thú, đặc biệt là đối với HS khá và giỏi.Bài toán cực trị đại số có dạng chung: Trong tất cả các bài toán có chung một

tính chất nào đó, tìm những yếu tố mà một đại lợng f nào đó (nh: Biểu thức đại số

hoặc yếu tố hình học nào đó đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất … Việc cụ thể hoá, quy trình hoá) Giả

sử cho biểu thức f(x, y, ) trên miền D:

* Khi tìm x, y, trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất, ta phải chứng tỏ: Với mọi x, y, trên miền D thì f(x, y, )  M (Với M là hằng số cố

định) Ta phải xác định x, y, trên miền D sao cho f = M

* Khi tìm x, y, trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất, ta phải chứng tỏ: Với mọi x, y, trên miền D thì f(x, y, )  m (Với m là hằng số cố

định) Ta phải xác định x, y, trên miền D sao cho f = m

a Tác dụng của bài tập cực trị đối với HS

ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho HS Trong đó hoạt

động giải toán là hình thức chủ yếu Khi HS đợc tiếp xúc với hệ thống bài tập cựctrị đại sô đã đợc chọn lọc giúp HS có điều kiện tiếp cận, ôn lại nhiều kiến thức toánhọc đợc học trớc đó Đợc vận dụng giải quyết nhiều vấn đề toán học khác, đồngthời rèn luyện và phát triển cho HS nhiều loại hình t duy toán học

Thật vậy việc giải các bài toán cực trị đại số giúp HS củng cố và đào sâu kiếnthức, rèn luyện kỹ năng t duy Bởi vì trong chơng trình môn toán ở trờng phổthông, những bài toán cực trị khi giải nó cần đến rất nhiều các loại kiến thức, thậmchí cả kiến thức về hình học, với nhiều phơng pháp giải khác nhau Do đó khi HSgiải các bài toán cực trị đại số, các em thờng xuyên sử dụng các loại kiến thức liênquan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó Các kiến thức này luôn đợc củng cố

và đào sâu đồng thời cần có kỹ năng, kỹ xảo trong việc sử dụng các phơng phápgiải, đặc biệt là năng lực t duy sáng tạo, phơng pháp suy nghĩ tìm lời giải

Mỗi bài toán cực trị đại số có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nên ở đây

là cơ hội để HS so sánh, lựa chọn phơng pháp phù hợp và tốt nhất trong trờng hợp

có thể, giúp HS rèn luyện đợc các thao tác t duy nh phân tích, tổng hợp và khảnăng đặc biệt hoá bài toán v.v… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá Hình thành các phẩm chất quý báu của ngời làmtoán nh tính thận trọng, chặt chẽ, chính xác

Việc giải bài toán cực trị giúp HS nâng cao năng lực liên hệ toán học với thựctiễn Điều này là hoàn toàn có cơ sở đúng đắn, bởi vì chúng ta biết rằng các bàitoán cực trị nói chung và cực trị đại số nói riêng thờng có cơ sở hoặc nguồn gốcxuất phát từ thực tiễn Trong thực tiễn có rất nhiều đòi hỏi giải quyết sao cho có lợinhất Chẳng hạn nh phải xây dựng một nhà máy ở vị trí nào sao cho thuận tiện việcvận chuyển nguyên liệu, hàng hoá và cớc phí vận chuyển là nhỏ nhất Tất cả cáctình huống đợc đặt ra để giải quyết đều đa đến việc tìm ra một phơng pháp tốtnhất, đảm bảo đợc lợi ích nhiều nhất cho cuộc sống

b Tiến trình phát triển bài tập cực trị Đại số trong chơng trình Toán THCS

Phát triển bài tập cực trị Đại số là từ một bài tập cơ bản ta có thể bổ sung,hoặc thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán để đợc một bài tập mới có mức độphức tạp cao hơn

Quá trình thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán có thể đợc tiến hành theonhiều con đờng, có thể hoán đổi giả thiết, kết luận, thay đổi giả thiết hoặc kết luậnbằng cách cho gián tiếp qua các đại lợng trung gian hay thay đổi điều kiện nào đócủa bài toán

Quá trình phát triển bài tập cực trị đại sô đợc minh hoạ theo sơ đồ cụ thể nhsau:

- Bài tập ban đầu: Tóm tắt giả thiết, kết luận của bài toán theo sơ đồ sau:

* Các hớng phát triển bài tập ban đầu để đợc bài tập mới

Giả thiết:

Cho: A, B… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

Kết luận:

Tìm CSơ đồ 1

- Phát triển giả thiết: Bằng cách bổ sung, hoán đổi vị trí hoặc cho các đại lợngmột cách gián tiếp qua các đại lợng trung gian.

+ Cho A thông qua A1, A2… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

+ Cho B thông qua B1, B2… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá

Tuỳ theo mức độ phát triển bài tập mà các đại lợng có nhiều hay ít mối quan

hệ với các đại lợng trung gian Ta có thể tóm tắt bài toán theo sơ đồ

- Phát triển kết luận: Thay cho việc tìm C ta có thể thay yêu cầu tìm Cn (n = 1,

2… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá)

- Phát triển đồng thời giả thiết và kết luận

Phát triển giả thiết và kết luận của bài toán một cách đồng thời chính là sự kếthợp giữa sơ đồ 2 và sơ đồ 3

Từ các sơ đồ nhận thấy:

Tiến trình phát triển bài tập cực trị đại số thực chất là việc phát triển giả thiết

và kết luận của bài toán Mức độ phức tạp của bài tập phụ thuộc vào mối quan hệgiữa các đại lợng trung gian với giả thiết và kết luận, nhng mối quan hệ chính giữagiả thiết và kết luận vẫn là bài tập cơ bản ban đầu Chính vì vậy việc giải các bàitập đợc phát triển ra dù trực tiếp hay gián tiếp đều nên quan tâm sử dụng lời giảicủa bài tập cơ bản

c Các mức độ phát triển bài tập cực trị Đại số

Với mục đích của giờ dạy bài tập là tìm ra lời giải và đáp số một cách có căn

cứ khoa học thì việc phát triển các bài tập cực trị đại số là cần thiết Nhng tiến trìnhphát triển bài tập cực trị đại số lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nh: Nội dungbài tập, mục đích ôn luyện kiến thức, mục đích phát triển năng lực t duy sáng tạo,trình độ và năng lực của HS Chính vì vậy tiến trình phát triển bài tập chỉ thực hiện

ở những mức độ nhất định Căn cứ vào những điều kiện trên chúng tôi đa ra một sốmức độ phát triển bài tập cực trị đại số ở trờng THCS nh sau:

Mức độ 1: Phát triển bài tập cơ bản thành bài tập mới khi biến đổi giả thiết,

biến đổi kết luận hoặc biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận, dới sự hớng dẫn củaGV

+ Đối tợng: HS khá

+ Yêu cầu đối với mức độ 1

- HS không những nắm đợc một số kiến thức liên quan đến bài toán cực trị đại

số mà còn có thể phát triển đợc giả thiết kết luận hoặc phát triển đồng thời giả thiết

và kết luận của bài toán cơ bản ban đầu, đề ra hớng đặt các đề toán mới

- Xác định đợc mối liên hệ có tính thống nhất giữa các phần kiến thức và

ph-ơng pháp giải chúng

+ Biện pháp: Từ bài tập cơ bản ban đầu đó phát triển thành bài tập mới GVcần có những câu hỏi định hớng cho HS, hớng dẫn HS thay đổi mối quan hệ giữacác đại lợng đã cho và đại lợng cần tìm để đợc những bài tập phù hợp Tuỳ thuộcvào mức độ phức tạp của bài tập mới mà mức độ rèn luyện kỹ năng lực t duy sángtạo cho HS đợc nâng lên, việc giải các bài tập mới phù hợp tạo điều kiện cho HSvận dụng linh hoạt kiến thức để tự lực giải quyết thành công những tình huốngmới Trong quá trình giải các bài tập HS phải vận dụng các thao tác trí tuệ nh: Sosánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá Chính vì vậy việc giải bài tậpmới đợc phát triển từ bài tập cơ bản là điều kiện để phát triển t duy sáng tạo, tính

độc lập trong suy nghĩ, tính kiên trì trong khắc phục khó khăn cũng nh lĩnh hội kiếnthức một cách sâu sắc

- Kết thúc việc chữa một bài tập GV cần có những nhận xét về: Bài tập cơbản và lời giải của nó, những hớng có thể phát triển, cần nhấn mạnh quá trình bàitập mới dù trực tiếp hay gián tiếp đếu coi trọng sử dụng phơng pháp giải bài toáncơ bản

Mức độ 2: Phát triển bài tập cơ bản ban đầu thành bài tập mới không có sự

định hớng của GV với độ phức tạp cao hơn

+ Đối tợng: HS giỏi, HS lớp chuyên có kiến thức chắc chắn và có tính sángtạo

+ Yêu cầu đối với mức độ 2:

- HS nắm đợc mức độ 1, tự đặt ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề mà họ đặt ra

- HS tự đặt ra trớc những bài toán khi phát triển bài toán cơ bản và phơngpháp giải chúng

- HS giỏi nhận định, phân tích những bài toán cơ bản chứa đựng trong bài tậpmới

+ Biện pháp: GV không sử dụng những câu hỏi định hớng mà yêu cầu HS trựctiếp phát triển bài toán dựa trên bài toán cơ bản rồi GV yêu cầu những HS kháccho hớng giải, hoặc nhận định những yếu tố liên quan bài toán ban đầu rồi cho HS

giải quyết những bài tập đó, qua đó rèn cho HS năng lực nhìn nhận cấu trúc đối ợng nghiên cứu, rèn luyện cho HS biết đề xuất ý kiến riêng của bản thân, độc lậptrong suy nghĩ, tự nêu lên vấn đề và tự giải quyết vấn đề đó.

t-d Một số kiến thức thờng dùng để giải bài Toán cực trị Đại số

Một số bất đẳng thức Đại số thờng dùng:

- Giả sử ta có a

b với a > 0, nếu a không đổi, a

b đạt giá trị lớn nhất nếu b đạt

(ax + by)2  (a2 + b2) (x2 +y2) Dấu “=” xảy ra  ay = bx

Tổng quát: Cho bộ 2n số a1, a2… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá an và b1, b2… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá bn với n N* ta có:

a

b b  b

e Một số chú ý trong dạy học giải bài tập cực trị Đại số

Dạy HS giải một bài tập cực trị Đại số không chỉ đơn thuần là giúp HS có đ

-ợc lời giải của bài toán đó, mà cần giúp HS một cách tìm lời giải bài toán thôngqua dạy tri thức, truyền trụ tri thức phơng pháp Với cách làm nh vậy dần dần HS

tự đúc kết đợc phơng pháp giải toán, tiến tới có đợc phơng pháp học tập bộ môn Khi đã hiểu đợc mỗi bài tập có dụng ý gì, việc tiếp theo là “Dạy HS giải mộtbài tập nên nh thế nào?” Với GV có kinh nghiệm, việc dạy HS giải một bài toán

đại số thông thờng theo tiến trình đã trình bày Tức là dành thời gian cho HS làmquen với bài toán, cùng HS nghiên cứu để hiểu bài toán, dạy HS cách suy nghĩ tìm

ra chơng trình giải, hớng dẫn HS tự trình bày lời giải của bài toán, đối với GV cha

có kinh nghiệm thờng cho thực hiện ở chơng trình giải, GV không nên nhầm lẫngiữa dạy HS giải bài tập với việc chữa bài tập Chữa bài tập mới chỉ cung cấp cho

HS lời giải đúng của một bài tập cho trớc, chứ cha hớng dẫn HS cách tìm lời giảibài toán đó Do đó càng học HS càng tích luỹ thêm, ghi nhớ máy móc thêm lời giảicủa những bài toán cụ thể mà cha thể tự mình giải đợc Tình trạng này dẫn đến quátải tại một thời điểm nào đó đối với ngời học Để giải bài toán cực trị đại số, cầnyêu cầu HS nêu rõ đợc các thông tin về các yếu tố đã biết và yếu tố cha biết vàchúng có mối liên hệ gì không, liên hệ với các kiên thức nào đã biết để giúp HShiểu rõ hơn về chơng trình giải Khi kết thúc bài làm, yêu cầu HS đọc lại một lầnnữa đề bài để HS hình dung lại bớc quan trọng và hiểu bài toán Nếu có điều kiệnnên cho HS tự đánh giá để xem HS có cách hiểu nh thế nào? Có trùng với cách đợchớng dẫn không?

Không nên đa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến thời gian chobài tập trọng tâm (bài có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng… Việc cụ thể hoá, quy trình hoá), rồi lựachọn bài tập có cách giải tơng tự để HS tự luyện tập Nh vậy trong những tiết giảibài tập có những bài đợc giải chi tiết, có những bài chỉ cần hớng dẫn Để củng cố,khắc sâu hệ thống hoá kiến thức, cách tốt nhất là làm bài tập Do đó GV cần cân

đối tỷ lệ giữa việc nhắc lại lý thuyết và thực hành trong giờ giảng, sao cho có thểgiúp HS hiểu tốt nhất kiến thức đã học Do đó, để hớng dẫn HS tìm ra lời giải bàitoán GV phải đóng vai trò ngời học, tự tìm ra kiến thức cơ bản, các dạng toán, cácbớc tiến hành để có lời giải bài toán Trên cơ sở đó GV phân bậc hoạt động phùhợp với đối tợng HS cụ thể của mình, dự kiến các câu hỏi dẫn dắt, gợi mở sao chothông qua hoạt động HS không những tìm đợc lời giải bài toán mà cả tri thức vềphơng pháp giải toán

Hầu hết các bài toán về cực trị đại số dành cho HS bậc THCS có lời giải cần

đến việc vận dụng bất đẳng thức đại số quen thuộc Trong đó thờng chỉ vận dụng

đến các bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Côsi, ngoài ra còn vận dụng

đến một số bất đẳng thức Đại số quen thuộc khác Cho nên giải các bài toán cực trị

đại số mà cần thiết phải vận dụng các bất đẳng thức trên GV phải giúp HS hiểu rõbản chất, áp dụng một cách thành thạo chiều xuôi và chiều ngợc lại của bất đẳng

đó

Bên cạnh đó GV cũng phải dự kiến một số sai lầm và những khó khăn khi giảibài toán cực trị đại số Chẳng hạn nh HS lúng túng trong việc tìm kiếm lời giải,không biết tìm thêm yếu tố phụ để việc biểu diễn các đại lợng đợc đơn giản, gọnnhẹ hơn Không biết thiết lập mối quan hệ giữa cái cha biết với cái đã biết, đặc biệt

là các bài toán chọn biến khi giải để từ bài toán cực trị đại số chuyển về bài toán t

-ơng đ-ơng đơn giản hơn quen thuộc hơn Có những bài toán HS không biện luận hếtnhững trờng hợp xảy ra hay nói cách khác không tìm ra tiêu chí cho sự phân chiatrờng hợp nên dẫn đến lời giải bài toán còn thiếu sót, không đầy đủ Để khắc phụcnhững sai lầm và khó khăn trên thì GV thờng xuyên phải luyện tập cho các em có

thói quen đọc kỹ đề bài, có sự phân tích từng yếu tố, từng khía cạnh của bài toán,không vội vàng tính ngay, giải ngay.

Gợi ý cho các em bằng những câu hỏi gợi mở sát với nội dung bài toán và phùhợp với trình độ của HS

GV chú ý rèn luyện cho HS năng lực ứng dụng các kiến thức, kỹ năng phơngpháp hình học vào việc giải quyết một số bài toán thực tế, rèn luyện khả năng

“Toán học hoá” tình huống thực tiễn thành bài toán với đầy đủ giả thiết và kếtluận Liên hệ những yếu tố của bài toán với những yếu tố thực tiễn, nghĩa là HS cầnphải phát hiện và huy động những kiến thức phù hợp với những yếu tố thực tiễn trongmột tình huống cụ thể, phát hiện và nhận biết đợc những tình huống thực tiễn thể hiệncho một tình huống toán học

1.3.2 Vai trò của bài tập BĐT và cực trị

Trong mục này, luận văn phân tích vai trò và ý nghĩa của các bài Toán BĐT vàcực trị trong việc thực hiện các nhiệm vụ giáo dục toán học ở trờng phổ thông,

đồng thời phân tích các quan điểm và cách trình bày chủ đề BĐT và cực trị Đại sốtrong chơng trình SGK hiện nay

- Thông qua bài tập cực trị (BTCT) và bất đẳng thức (BĐT), có thể góp phầncủng cố, đào sâu, giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản theo quy địnhtrong chơng trình nh: Liên hệ thứ tự, các tính chất của BĐT, các BĐT quen thuộc,các hằng BĐT, qua việc sử dụng các kiến thức này để giải các BTCT và BĐT

- Thông qua các BTCT và BĐT có thể chủ động góp phần rèn luyện có hiệuquả ý thức và khả năng liên hệ và vận dụng các kiến thức Toán học vào thực tế

- Thông qua các BTCT và BĐT góp phần giúp cho học sinh thấy rõ đợc mốiquan hệ gắn bó, mật thiết giữa toán học với các lĩnh vực khoa học khác cũng nhvới đời sống, thực tế sản xuất

- Thông qua các BTCT và BĐT không nhữgn góp phần rèn luyện ý thức vàkhả năng ứng dụng toán học vào thực tế mà còn góp phần rèn luyện cho học sinhthói quen suy nghĩ và hành động theo quan điểm “ tối u ” Đây là một thành tố cơbản của “ văn hoá toán học ”cầ phải rèn luyện cho mọi ngời, trong đó toán học nhàtrờng góp phần chủ yếu

- Thông qua các BTCT và BĐT góp phần tăng cờng ứng dụng toán học tronggiảng dạy toán ở trờng phổ thông, làm cho môn toán “ gần gũi ” hơn với toán họchiện đại mà bài toán cực trị và BĐT là một trong mũi nhọn của nó

Các BTCT và BĐT tuy không đợc đa vào một cách hệ thống, nhng có vaitrò, ý nghĩa quan trọng thiết thực trong việc thực hiện các mục tiêu và nhiệm vụgiáo dục toán học nên trong dự thảo chơng trình vẫn nhấn mạnh: Cần dành nhiềuchú ý cho học sinh có ý thức rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán thuộc dạngnày

1.3.3 Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải tập bất đẳng thức

và cực trị trong Đại số

Trong giáo dục, J.A Komenxki khẳng định: "Bất kì một sai lầm nào cũng cóthể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó,bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm" Các sailầm của học sinh trong dạy học giải Toán nói chung và giải bài toán cực trị và bất

đẳng thức nói riêng đợc hiểu là: Điều trái với yêu cầu khách quan (mục đích củagiải Toán, yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ phải (các tình huống điển hình trong mônToán nh: Khái niệm, định lí, quy tắc, các nội dung của lôgic toán, phơng pháp suyluận, suy diễn ), do đó không đạt đợc mục đích của dạy học giải Toán

Các sai lầm trong giải Toán nói chung, giải toán cực trị và bất đẳng thức nóiriêng thờng do các nguyên nhân từ các góc độ khác nhau về tính cách, trình độnắm kiến thức và về kĩ năng Do vậy biện pháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi

lẽ đây là đối tợng đang tập dợt nghiên cứu sáng tạo, đang làm quen với cách tiếpcận, phát hiện và giải quyết vấn đề Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán vàgiúp đỡ học sinh khắc phục những sai lầm khi giải dạng Toán này

Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi đối tợnghọc sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm khi giải Toán cực trị và bất

đảng thức Do đó để nâng cao chất lợng dạy học giải Toán, cần phải chỉ ra và cóhớng khắc phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán cực trị và bất đẳng thức.Khi giải Toán về cực trị và bất đẳng thức, học sinh thờng gặp phải những sailầm liên quan tới việc sử dụng những phép biến đổi không tơng đơng, những suyluận không hợp lí hoặc nhầm lẫn trong việc áp dụng các tính chất hay các BĐT

quen thuộc mà cha quan tâm một cách xác đáng tới điều kiện của nó

Ví dụ1: Khi dạy các tính chất của bất đẳng thức có thể yêu cầu học sinh chứng

minh với mọi a, b, c thì (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2

Dụng ý của bài toán này là kiểm tra xem học sinh đã nắm tính chất nhân vếvới vế của bất đẳng thức cùng chiều hay cha? Trong Sách giáo khoa đã nêu lên tính

Qua việc nhận thấy học sinh rất dễ sai lầm trong việc nhân các vế bất đẳngthức với nhau, rút kinh nghiệm trong dạy học bất đẳng thức phải nhấn mạnh ở chỗphân tích vai trò của từng giả thiết Một trong những phơng thức phổ biến nhất là

chỉ ra các phản ví dụ, sao cho trong phản ví dụ ấy một điều kiện nào đấy bị viphạm thì kết quả cuối cùng không giống nh kết luận của định lí nữa.

Trớc khi đa ra bài toán để thử thách sai lầm của học sinh, dĩ nhiên giáo viêncần có một sự hình dung trực giác rằng, chỗ này, chỗ kia học sinh có thể mắc sailầm Nhờ sự hình dung trực giác ấy giáo viên thiết kế bài toán tơng thích Qua thựctiễn trình bày lời giải bài toán ấy sẽ cung cấp cho giáo viên một sự nhận định sátthực tế hơn so với cảm nhận trực giác ban đầu, và khi khẳng định chắc chắn sự sailầm của học sinh thì một khâu đặc biệt quan trọng là phải dành thời gian thích

đáng để nhấn mạnh kiến thức cần lu ý có thể liên quan trực tiếp đến những sai lầmvừa mắc, thực chất là sự thể chế hóa một lần nữa

Nhiệm vụ quan trọng của ngời giáo viên là hớng dẫn học sinh dự đoán đợcnhững sai lầm phân tích để tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp tích cực đểrèn luyện năng lực giải Toán

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 1

Phân tích sai lầm: Lời giải trên của học sinh, phải chăng có điều gì nghi vấn!

Tuy đáp số là không sai nhng lập luận nh vậy liệu đã ổn cha? Cụ thể “ A có tử sốkhông đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà cha đa ra nhận xét tử vàmẫu là các số dơng

Chẳng hạn ta có thể đa ra ví dụ sau đây: Xét biểu thức B = 21

9

x  Với lập luận

nh ở trên: “ Phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”,

do mẫu nhỏ nhất bằng -9 khi x = 0, ta sẽ đi đến: max B = 1

 Học sinh mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất củaBĐT: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiênsang hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên

Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 8, nên tử vàmẫu là các số dơng hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó: A lớn nhất khi và chỉ

khi 1

nhỏ nhất  x2 - 6x + 17 nhỏ nhất

Các biện pháp hạn chế và khắc phục sai lầm:

G.Polya viết: "Con ngời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót củamình"(G.Polya,1995,tr 24) Nh vậy, khẳng định là các sai lầm của học sinh tronggiải Toán là hoàn toàn có thể khắc phục đợc; Hơn nữa, chỉ ra các dạng sai lầm làcần thiết, song điều quan trọng hơn là dự đoán và khắc phục đợc các sai lầm

J A Kômenxki khẳng định: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho họcsinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó bằng cách hớng dẫnhọc sinh tự nhận ra và sửa chữa khắc phục sai lầm”

Cần phải tập cho học sinh phát hiện chỗ sai trong lời giải, tìm nguyên nhân

và đề xuất cách giải đúng Bởi vì, khi biết bị sai lầm do những lỗi kiến thức cơ bản,học sinh mới thực sự thấm thía việc cần phải hiểu sâu sắc bản chất của từng tri thức

đã lĩnh hội và quan trọng là các em thấy thực sự cần thiết phải tự kiểm tra lại từng

b-ớc lập luận trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán

Để giúp học sinh có phơng pháp nhận biết lời giải sai, Lê Thống Nhất chorằng cần trang bị cho họ những dấu hiệu quan trọng sau:

- Kết quả lời giải của bài toán mâu thuẫn với kết quả trong trờng hợp riêng

- Trờng hợp riêng của kết quả không thoả mãn bài toán

- Kết quả lời giải không chứa kết quả trong trờng hợp riêng

- Kết quả tìm đợc mâu thuẫn với thực tế

- Kết quả không bình đẳng giữa các yếu tố bình đẳng ở giả thiết

- Kết quả của lời giải này khác kết quả của lời giải khác

- Đơn vị đo ở hai vế của một đẳng thức khác nhau

Cuối cùng chúng ta phải nói rằng khi thấy học sinh mắc sai lầm nói chungkhông nên bác bỏ ngay sai lầm đó mà cố gắng dẫn dắt khích lệ học sinh tự nhậnthức đợc sai lầm của mình Tiến hành nh vậy là hợp lý bởi vì muốn tích cực thìphải có hứng thú, mà hứng thú thì thờng mang màu sắc xúc cảm

Các biện pháp sau đây có thể hạn chế đợc các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải:

a) Nắm vững các kiến thức về môn Toán.

R.AAxnop nói: "Việc tiếp thu tri thức cách có ý thức đợc kích thích bởi việchọc sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà mìnhphạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý luận về bản chất của cácsai lầm" Một trong những nguyên nhân chủ yếu của các sai lầm là do trình độ còn