Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh

Mục lụcĐ2 Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh 7 Lời nói đầu Qua việc nghiên cứu hình học afin và hình học xạ ảnh cho ta thấy từ mộtkhông gian afin đã cho ta có thể xây dựng đợc một

Mục lục

Đ2 Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh 7

Lời nói đầu

Qua việc nghiên cứu hình học afin và hình học xạ ảnh cho ta thấy từ mộtkhông gian afin đã cho ta có thể xây dựng đợc một mô hình của không gian xạ ảnh,

ngợc lại từ một không gian xạ ảnh ta cũng có thể xây dựng đợc một không gianafin Nh vậy giữa không gian afin và không gian xạ ảnh có một số mối quan hệ mậtthiết với nhau Do vậy giữa hình học afin và hình học xạ ảnh cũng có sự quan hệ vớinhau.Trong giáo trình hình học cao cấp (Hình học xạ ảnh ) đã đề cập đến mối quan

hệ đó Vì vậy trong bản luận văn này chúng tôi tổng hợp và hệ thống lại một số mốiquan hệ giữa một số tính chất của hình học afin và hình học xạ ảnh trong hai môhình, mô hình afin của không gian xạ ảnh và mô hình xạ ảnh của không gian afincùng ứng dụng trong mối quan hệ giữa chúng

Nội dung của luận văn này gồm năm mục :

Đ1 Một số yếu tố cơ bản của hình học afin

Trong mục này chúng tôi đa ra một số kiến thức của hình học afin phục vụcho mục Đ3, Đ4 và Đ5

Đ2 Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh

Trong mục này chúng tôi tiếp tục đa ra một số kiến thức của hình học xạ ảnh

để phục vụ cho mục Đ3, Đ4 và Đ5

Đ3 Mô hình afin của không gian xạ ảnh

Trong mục này chúng tôi đa ra cách xây dựng mô hình afin của không gianxạ ảnh và trình bầy các thể hiện afin trong mô hình nh : Mục tiêu và toạ độ, vị trí t-

ơng đối giữa các phẳng, tỷ số đơn xuất phát từ không gian afin An- chiều

Đ4 Mô hình xạ ảnh của không gian afin

Mục này diễn tả quá trình ngợc laị của quá trình xây dựng mô hình afin củakhông gian xạ ảnh Từ cách xây dựng mô hình đi đến xây dựng mục tiêu, toạ độ, vịtrí tơng đối của các phẳng, tỷ số kép và các tính chất của chúng

Ngoài ra trong mục này còn trình bày thêm một số kiến thức của siêu mặtbậc hai và các thể hiện afin của đờng cô níc trong A2

Đ5 ứng dụng của các mô hình

Trong mục này chúng tôi chia ra làm ba mục

Mục - A : Là ứng dụng mô hình afin của không gian xạ ảnh ở mục này mỗi

bài toán afin ban đầu ta chuyển sang bài toán xạ ảnh bằng cách thêm một đờngthẳng vô tân và ta giải bài toán đó trong không gian xạ ảnh

Mục - B : Là ứng dụng mô hình xạ ảnh của không gian afin trong mục này

chúng tôi trình bày một số bài toán xạ ảnh gốc sau đó bớt đi một đờng thẳng vô tậnthì nó sinh ra một bài toán afin trong không gian afin, ứng với một đờng thẳng vôtận đợc bớt đi thì sinh ra một bài toán afin tơng ứng.Vì vậy khi có một bài toán xạ

ảnh cho trớc thì có một họ bài toán afin đợc sinh ra từ đó, nên kết quả đợc chứngminh trong bài toán xạ ảnh vẫn đúng trong các bài toán afin đợc sinh ra từ nó

Mục -C chúng tôi trình bày quan hệ qua lại giữa bài toán afin và bài toán xạ

ảnh, tức là từ một bài toán afin cho trớc ta bổ sung thêm đờng thẳng vô tân để đợcbài toán xạ ảnh và từ bài toán xạ ảnh đó ta lại bớt đi các đờng thẳng vô tận thì đợcmột họ bài toán afin đợc sinh ra từ nó ta gọi các bài toán đó là các bài toán dẫn xuất

Khoá luận này đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn nhiệttình của thầy giáo TS : Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòngbiết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy giáo cô giáo, gia

đình cùng bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tạitrờng Đai Học Vinh

Do sự hạn chế về mặt thời gian cũng nh năng lực nên chắc chắn rằng bảnluận văn này không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong đ ợc sự đánh giá phêbình góp ý của các thầy giáo cô giáo cùng bạn bè Tôi xin chân thành cảm ơn

Vinh ngày 26 tháng 4 năm 2004

Sinh viên : Lê Văn Duy

Đ1 một số yếu tố của hình học afin

1.1Định nghĩa:

Cho V là không gian véc tơ trên trờng K và tập A không rỗng mà mỗi phần tửcủa nó gọi là một điểm Giả sử có một ánh xạ  : AxA  V (ta ký hiệu  ( MN )  

với M , N  A) thỏa mãn hai tiên đề :

i) Với mỗi điểm M  Avà mỗi véc tơ uV

(  là không gian afin A liên kết với không gian véc tơ V ký hiệu là A

*Nếu K= R ta gọi A là không gian afin thực

*Nếu K= C ta gọi A là không gian afin phức

*Trong khuôn khổ là một khóa luận tốt nghiệp ta chỉ xét trong không gianafin thực

1.2 Hệ điểm độc lập :

Một hệ m+1 điểm A0, A1, , Am, ( m  1 )của không gian afin A đợc gọi là

độc lập nếu và chỉ nếu m- véc tơ A0A1, A0A2, . . . , A0Am độc lập

tuyến tính

Hệ không độc lập tuyến tính gọi là hệ phụ thuộc

1.3 Định nghĩa mục tiêu afin :

Cho không gian afin n- chiều A liên kết với không gian véc tơ A Gọi

} ,,

gọi là điểm gốc của mục tiêu, ei là véc tơ thứ i của mục tiêu

1.4 Định nghĩa :

Trong không gian afin A n-chiều cho mục tiêu afin

} ,,

2 1

2 1

m

2 1

n

2 1

.

b

1.5.3 Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña m- ph¼ng :

Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña m- ph¼ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng :

0

b x

b) C¸i ph¼ng  gäi lµ song song víi  nÕu 

 lµ kh«ng gian con cña 

 c) C¸c ph¼ng  vµ  gäi lµ chÐo nhau nÕu chóng kh«ng c¾t nhau vµ còngkh«ng song song víi nhau

d) Giao    hiÓu theo nghÜa th«ng thêng cña lý thuyÕt tËp hîp vµ gäi lµgiao cña hai c¸i ph¼ng  vµ 

e) Tæng (  + ) cña hai c¸i ph¼ng  vµ  lµ giao cña tÊt c¶ c¸c ph¼ng chøa  vµ 

j i n 1 j ,

i ij 

1.7.4 Định nghĩa tiếp tuyến :

Đờng thẳng d đợc gọi là một tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai (S) nếu:

+Hoặc phơng của d không phải là phơng tiệm cận của (S) và d cắt (S) tại

đúng một điểm (điểm này gọi là tiếp điểm hay ta còn nói điểm tiếp xúc với (S)

+Hoặc d nằm trên (S )

+Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình xtAx +2atx +a0 = 0 và cho B(b1,

b2, , bn) nằm trên (S) thì đờng thẳng d đi qua B có phơng c =(c1, c2, , cn)

sẽ là tiếp tuyến khi và chỉ khi btAc +atc =0

Mỗi phần tử A  Pđợc gọi là một điểm của không gian xạ ảnh

X đợc gọi là véc tơ đại diện của điểm A

Lu ý : Hai véc tơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau.

2.2 Định nghĩa các phẳng trong không gian xạ ảnh :

Cho không gian xạ ảnh (P,p,Vn+1) , Vm+1 là không gian con của Vn+1 Tập hợpP([Vm+1]) P gọi là một m-phẳng m-chiều của P ký hiệu Pm, Pm =P([Vm+1]) là mộtkhông gian xạ ảnh m-chiều

, , x ,

Hệ k điểm (  k 2 ) là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một (r-2) - phẳng

Trong không gian xạ ảnh Pn Hệ gồm có n+2 điểm có thứ tự {A0, A1, , An; E}

đ-ợc gọi là một mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ một hệ n+1 điểm trong n+2 điểm độc lập

2.7 Toạ độ xạ ảnh :

Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu {Ai; E} và {ei}, i =(1, 2 , n) làcơ sở đại diện cho mục tiêu Với MPn và 

x là véc tơ đại diện của điểm M khi

đó toạ độ của điểm M đối với mục tiêu {Ai; E} là toạ độ của 

b jm

1 : D]

C, B, [A,

C, B, [A,

1 C]

D, B, [A, D]

C, A,

Hệ quả : Khi hoán vị hai điểm đầu với nhau hoặc hai điểm cuối với nhau thì

tỷ số kép không thay đổi tức là: [A, B, C, D] = [B, A, D, C]

Tính chất 2 :

Nếu A, B, C, D, E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì :

[A, B, C, D].[A, B, D, E] = [A, B, C, E]

2.9 Định nghĩa :

Nếu tỷ số kép [A, B, C, D] = -1 thì ta nói rằng cặp điểm C, D chia điều hoàcặp điểm A, B hay nói cách khác cặp điểm A, B và cặp điểm C, D liên hợp điều hoàhay còn nói hàng điểm A, B, C, D là một hàng điểm điều hoà

2.10 Định nghĩa :

Trong không gian xạ ảnh Pn tập các siêu phẳng cùng đi qua một n-2 phẳng

đ-ợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là n-2 phẳng đó

Chứng minh : xem [2].

2.14 Định lý hình bốn cạnh toàn phần :

Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đờng chéo đi qua một điểm chéo nào đóchia điều hoà đờng thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đờng chéo thứ

Chứng minh: xem [2].

2.17 Các trờng hợp đặc biệt của định lý Paxcan :

a) Nếu năm đỉnh A1, A2, A3, A4, A5 nội tiếp đờng ôvan (S) thì ba giao điểmcủa cạnh A1A2 với cạnh A4A5 ; cạnh A2A3 với tiếp tuyến của (S) tại A5 của cạnh

Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt cùng tiếp xúc với một đờng

ôvan (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ôvan đó ) thì các đờng thẳng nối các đỉnh

đối diện đồng quy

2.19 Các trờng hợp đặc biệt của định lý Briăngsông :

a) Nếu một hình bốn cạnh ngoại tiếp một đờng ôvan thì các đờng thẳng nốimột đỉnh với tiếp tuyến trên cạnh đối diện là bốn đờng thẳng đồng quy

b)Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một đờng ôvan thì các đờng thẳng nốimột đỉnh với tiếp tuyến trên cạnh đối diện là ba đờng thẳng đồng quy

Đ3 Mô hình afin của không gian xạ ảnh

3.1 Xây dựng mô hình :

Giả sử V n  1 là không gian véc tơ n+1 chiều trên trờng số thực V n  V n  1 vàcho An  ( A , Vn,  ) là không gian afin liên kết với không gian véc tơ V n bởi ánh xạliên kết  trên trờng số thực R

Trong A n ta lấy mục tiêu {O;e1,e2, en}

V x V

x

n 1

0

1 n 1

e , , , thì taxét các trờng hợp sau :

Nếu x0 0 ta đặt  (<x >) = N  A n mà N )

x

x , , x

x , x

x (

0

n 0

2 0

Nếu x0 = 0 ta đặt  (<x >) = <v > với véc tơ <v > là không gian con

một chiều của V n và v x 1 , x 2 , , x n đối với cơ sở

e , , , Với cách xác định nh trên ta dể dàng chứng minh đợc  là một song

ánh Theo định nghĩa của không gian xạ ảnh thì P là một không gian xạ ảnh liên kết

với không gian véc tơ V n  1 chiều trên trờng số thực bởi ánh xạ .Ta gọi P là mô

hình afin của không gian xạ ảnh ký hiệu là Pn

A hay viết tắt là Pn

3.2 Mục tiêu xạ ảnh – toạ độ xạ ảnh trong toạ độ xạ ảnh trong Pn

Từ cách xây dựng mô hình ta đặt :

A n.Từ đó ta suy ra hệ điểm có kể đến thứ tự E0, E1, E2, , En; E là một mục

tiêu trong không gian xạ ảnh Pn

0 e e

e , , , đợc gọi là cơ sở đạidiện của mục tiêu xạ ảnh E0, E1, E2, , En; E (**)

Theo cách xây dựng mô hình Pn

thì với M  A n và M có toạ độ afin đối

với mục tiêu (*) là Mx1, x2, , xn thì véc tơ đại diện của M là x 1 , x1, x2, , xn

vì vậy toạ độ xạ ảnh của điểm M là Mx0, x1, x2, , xn, (x0 = 1) đối với mục tiêu(**)

Nếu M  [V n ] và M x1, x2, , xnđối với mục tiêu (*) thì véc tơ đại diện

của nó là x 0 , x1, x2, , xn do đó toạ độ xạ ảnh của M đối với mục tiêu (**) là M

in j

ij  





(i = 1,2, ,n – toạ độ xạ ảnh trong m) 3.1Trong đó a ij là ma trận n – toạ độ xạ ảnh trong m hàng , n cột có hạng bằng n-m Với mỗi

X  () và Xx1, x2, , xn bằng cách chuyển từ roạ độ afin sang toạ độ xạ ảnh

ứng với mục tiêu (**) thì Xx0, x1, x2, , xn;(x0 = 1) thì (3.1) viết dới dạng

0 X

2 i

vì vậy cứ mỗi m – toạ độ xạ ảnh trong phẳng  trong A n sẽ sinh ra trong Pn một m – toạ độ xạ ảnh trong phẳng xạ

ảnh P và mỗi điểm của P là điểm của  hoặc điểm của [ ], Mỗi điểm

thuộc [ ] gọi là điểm vô tận, tập tất cả các [V n ] đợc gọi là siêu phẳng vô tậncủa A n và mỗi m-phẳng trên [Vn ] gọi là m- phẳng vô tận

Với hai phẳng  và  trong A n thì chúng xảy ra các khả năng cắt nhau,

chéo nhau, song song, trùng nhau Vì vậy tơng ứng với các vị trí trong A n thì ta xét

vị trí tơng đối giữa các phẳng P và P trong Pn

Giả sử số chiều của  và  lần lợt là p và q (p q)

= (   )  ( [ ]  [] )

=[ ] Vì  //   [ ]  [] = [ ]  []

Vậy P  P = [ ] là một p-1 phẳng trên [V n ]

=  []

= P vậy P và P cắt nhau theo một m-phẳng P

Gọi D là “điểm “ vô tận của đờng thẳng AB khi đó phơng của điểm D là D 

[V n] chính là phơng của đờng thẳng AB trong Pn

) B ( ) A ( ) D (

) 0 (

) B ( ) A ( ) C (

2 2

2

1 1

( k c

a

b a

c

0 1

i i

j i

i 1 i

1 i

2 2

1 1

ta có thể xem tỷ số đơn của ba điểm A, B, C là tỷ số kép của

ba điểm đó với điểm thứ t D là điểm vô tận của đờng thẳng đi qua chúng Trờnghợp đặc biệt nếu k =-1 thì C là trung điểm của AB Vì vậy trong Pn , C là liênhợp với B và “điểm “ vô tận D của đơng thẳng AB

Đ4 mô hình xạ ảnh của không gian afin

4.1 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin

Nh ở Đ3 ta đã xây dựng mô hình afin của không gian xạ ảnh đó là ta lấy một không gian afin A n rồi bổ sung thêm một phần tử của tập hợp [Vn] để lập nên

đợc tập hợp PnA = An  [Vn] và xây dựng PnA thành không gian xạ ảnh Vậy đểxây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin ta làm thế nào ?

Để xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin ta diễn tả quá trình ngợc lạitức là từ không gian xạ ảnh Pn ta bớt đi một siêu phẳng W nào đó và xây dựngphần còn lại thành một không gian afin n - chiều ký hiệu là A n.Quan hệ thẳng

hàng trong không gian xạ ảnh sẽ cảm sinh ra quan hệ thẳng hàng trong không gianafin Một mô hình của không gian xạ ảnh đem bớt đi một siêu phẳng sẽ cho ta mộtmô hình của không gian afin

Ta giả sử P n (n  1) là không gian xạ ảnh liên kết với không gian véc tơ thực

là X=x1, x2, , xn hay Xx1, x2, , xn

Gọi Vn là không gian véc tơ n-chiều trên trờng số thực R và xét ánh xạ

) x y , , x y , x y ( v xy (xy)

y) (x,

V xA A :

n n 2 2 1 1

n n n

1 , v , , v ) V v

,

X

(   1 1 2  2 n  n



) Z , Y ( ) Y , X (

YZ XY

XY YZ

) x y , , x y , x y ( ) y z , , y z , y z (

) x y y z , , x y y z , x y y z (

n n 2 2 1 1 n n 2 2 1 1

n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1

4.2 Mục tiêu và toạ độ afin trong A n

Xét mục tiêu xạ ảnh Pn nh trên Gọi Ei là giao điểm của đờng thẳng AiA0 vớisiêu phẳng P i đi qua tất cả các đỉnh của mục tiêu trừ các điểm Ai và A0; (i= 1,2,,n) khi đó toạ độ không thuần nhất của các điểm E

và đợc gọi là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh {A0,A1,A2,…, n-m;j =0,1, 2, …, n ),An;E}

Giả sử  là r– toạ độ xạ ảnh trong phẳng xạ ảnh và không nằm trên siêu phẳng  khi đó =\

 là một r – toạ độ xạ ảnh trong phẳng trong không gian A n.

Vì  không nằm trên  nên khi ta thêm vào hệ phơng trình (4.1) một phơngtrình thứ n– toạ độ xạ ảnh trong r+1 là xo  0 thì ta đợc hệ n-r+1 phơng trình độc lập

0 x

a jn

Do vậy (a ij )n-r x n(a ij) n-r+1 x n lúc đó ma trận (a ij); (i = 1, 2, , n- r); (j = 1, 2, , n) có hạng chính bằng số hàng và bằng n-r

Với mỗi điểm X thuộc  có toạ độ X x0, x1, x2, , xn thì xo  0 và toạ độcủa Xx0, x1, x2, , xn là nghiệm của phơng trình (4.1) Vì vậy toạ độ không thuần

nhất của X X1, X2, , Xn = )

x

x , , x

x , x

x (

0

n 0

2 0

1

thoả mãn phơng trình

0 a x

a j i0n

4.3.2 Mệnh đề 5 : Nếu (  w )  (  w ) thì m-phẳng afin ’ =  \ wsong song với r-phẳng ’ = \ w

0 x

a

0

j n

o

j ij (i = 1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ) , n-m)Vì  không nằm trên w nên ma trận (a ij)n-m x n có hạng bằng n-m

0 x

b

0

j o

j ij (i = 1, 2, …, n-m;j =0,1, 2, …, n ) , n-r)trong đó b ij có hạng bằng n-r

Theo giả thiết của mệnh đề (  w )  (  w ) thì hệ phơng trình của

Nếu hai phẳng phân biệt cắt nhau trong PnA không nằm trên w thì sau khi

bỏ đi những điểm thuộc w ta sẽ thu đợc các phẳng afin tơng ứng song song hoặcchéo nhau, hoặc cắt nhau

4.4 Tỷ số kép trong A n :

Xét mô hình A n = Pn

\ w cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thẳng hàng

đối với mục tiêu xạ ảnh (**)

Giả sử tọa độ xạ ảnh của các điểm A, B, C, D lần lợt là :

) b l a k , , , b l a k , l k ( C l

k d

l k c

a l a k d

b l a k c

n 2 n 2 1 2 1 2 2 2

n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 2

2 0 1 1 0

i 2 i 2 1

i 1 i 1 i

theo định nghĩa tỷ số kép trong không gian xạ ảnh Pn

ta có:

2

2 1

1 k

l : k

l D , C , B ,

và toạ độ afin của A( a1, a2, , an) ; B( b1, b2, , bn) ; C( c1, c2, , cn);

D( d1, d2, , dn) thỏa mãn

) n , , 2 , 1 i l k b l a k d

l k c

2 2 1 2 i 2 i

1 1 1 1 i 1 i

i

1 1 i i 1 i i

l k

) b a ( k c

b

l k c

BA l k l CA

1 1 1 1 1 1

k

l CA

l C , B ,

Tơng tự ta có  

2

2 k

l B , D ,

2 1

1 k

l : k

l D , B , A

C , B , A D , C , B ,

Vậy trong A n ta có thể xem tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A,B,C,D là

tỷ số của hai tỷ số đơn (A,B,C) và (A,B,D)

4.5 Siêu mặt bậc hai trong A n.

Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai trong PnA có phơng trình đối với mục tiêu

1

i i0 ij

i 0 i j

n

1 ij i