Mối liên hệ giữa các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh và mặt phẳng afin

Mối quan hệ giữa hình học Afin và hình học xạảnh đã đợc trình bày nhiều trong các tài liệu về hình học cao cấp chẳng hạn [1],[2], [3], … và đã đ và đã đợc các sinh viên ở các khoá học tr

Trờng đại học vinh

Lời nói đầu

Từ một không gian Afin đã cho ta có thể xây dựng một mô hình của khônggian xạ ảnh bằng cách thêm vào không gian Afin những “điểm vô tận” Ngợc lại,nếu ta có một không gian xạ ảnh thì bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó thì ta

có thế xây dựng đợc một không gian Afin Nh vậy, giữa không gian Afin và khônggian xạ ảnh có sự liên quan mật thiết Bởi vậy, hiển nhiên giữa hình học Afin và

hình học xạ ảnh cũng có sự liên hệ Mối quan hệ giữa hình học Afin và hình học xạ

ảnh đã đợc trình bày nhiều trong các tài liệu về hình học cao cấp (chẳng hạn [1],[2], [3], …) và đã đ) và đã đợc các sinh viên ở các khoá học trớc tìm hiểu và nghiên cứu.Trong bản luận văn này, chúng tôi lại tiếp tục công việc đó bằng cách tổng hợp và

hệ thống các mối quan hệ giữa một số tính chất của hình học Afin và hình học xạ

ảnh trong hai mô hình và trình bày ứng dụng của chúng

Luận văn này đợc chia làm 4 mục:

Đ 1: Mô hình xạ ảnh của không gian Afin

Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình xạ ảnh trở thànhkhông gian Afin 2 – 2006 chiều cùng một số thể hiện cơ bản trên mô hình nh mục tiêu

và toạ độ, tỉ số kép, phơng trình đờng thẳng, đờng Cônic …) và đã đ

Đ 2: ứng dụng của mô hình xạ ảnh của không gian Afin

Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình A 2 để chuyển một

số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh thành những bài toán trong không gian Afin nh:

Định lý PaPuýt, định lý Đờdác thứ nhất, định lý Mênêlaúyt và định lý Xêva …) và đã đ

Đ 3: Mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh

Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình cùng một số thểhiện xạ ảnh nh mục tiêu và toạ độ, phơng trình đờng thẳng, đờng bậc 2,

Đ 4: ứng dụng của mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh

Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của P 2 để chuyển một số bàitoán Afin sang bài toán xạ ảnh bằng cách thêm một đờng thẳng “vô tận “

Luận văn này đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh với sự hớngdẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tôi xin đợc bày tỏlòng biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo, gia

đình và bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tạitrờng Đại học Vinh

Tác giả

Kết luận

Trong bản luận văn này chúng tôi đã trình bày đợc các sự kiện sau đây:

+ Trình bày việc xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin cùng vớimột số thể hiện cơ bản nh: toạ độ và mục tiêu, tỉ số kép, phơng trình đờng thẳng,phép biến đổi Afin, đờng Cônic

+ Trình bày chi tiết việc thể hiện một Cônic về đờng bậc hai Afin trong từngtrờng hợp cụ thể

+ Xây dựng mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh cùng với một số thể hiện xạ

ảnh nh: mục tiêu và tọa độ, phơng trình đờng thẳng, đờng bậc hai

+ Trình bày các bài toán ứng dụng của 2 mô hình:

Từ một số định lý nh định lý Papúyt, định lý Đờdác thứ nhất, một số trờng

hợp đặc biệt của định lý Pascal, định lý Briăngsông…) và đã đ chuyển về định lý trong hìnhhọc phổ thông

Từ một số bài toán trong hình học phổ thông ta đa về các bài toán của hình

học xạ ảnh

Với đề tài này, chúng tôi hy vọng sẽ tiếp tục trình bày mô hình xạ ảnh củakhông gian ơclít

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] V¨n Nh C¬ng H×nh häc x¹ ¶nh NXB Gi¸o dôc - 1999

[2] V¨n Nh C¬ng - KiÒu Huy Lu©n H×nh häc cao cÊp

NXB Gi¸o dôc - 1976

[3] Ph¹m B×nh §« Bµi tËp h×nh häc x¹ ¶nh NXB §HSP - 2003

[4] NguyÔn Méng Hy Bµi tËp h×nh häc cao cÊp NXB Gi¸o dôc - 2003 [5] NguyÔn H÷u Quang - Tr¬ng §øc Hinh Bµi tËp h×nh häc x¹ ¶nh

NXB Gi¸o dôc - 2000

[6] NguyÔn C¶nh Toµn H×nh häc cao cÊp NXB Gi¸o dôc - 1979

Môc lôc

Lêi nãi ®Çu 1

§1: M« h×nh x¹ ¶nh cña kh«ng gian Afin 3

1.1 X©y dùng A trë thµnh kh«ng gian Afin 3

1.2 C¸c thÓ hiÖn c¬ b¶n trong mÆt ph¼ng Afin 4

§2: øng dông cña m« h×nh x¹ ¶nh cña kh«ng gian Afin 11

2.1 §Þnh lý Papuýt 11

2.2 Định lý Đờdác thứ nhất 14

2.3 Định lý Mênêlauýt và định lý Xêva 15

2.4 Định lý Pascan 16

2.5 Định lý Briăngsông 18

Đ3: Mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh 19

3.1 Xây dựng mô hình 19

3.2 Mục tiêu và toạ độ xạ ảnh 20

3.3 Tỷ số kép trong P 2 20

3.4 Phơng trình đờng thẳng 21

3.5 Đờng bậc hai 22

Đ4: ứng dụng của mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh 24

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

Lời nói đầu

Từ một không gian Afin đã cho ta có thể xây dựng một mô hình của không gian xạ ảnh bằng cách thêm vào không gian Afin những “điểm vô tận” Ngợc lại, nếu ta có một không gian xạ ảnh thì bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó thì ta

có thể xây dựng đợc một không gian Afin Nh vậy, giữa không gian Afin và không gian xạ ảnh có sự liên quan mật thiết Bởi vậy, hiển nhiên giữa hình học Afin và hình học xạ ảnh cũng có sự liên hệ Mối quan hệ giữa hình học Afin và hình học xạ

ảnh đã đợc trình bày nhiều trong các tài liệu về hình học cao cấp (chẳng hạn [1], [2], [3], …) và đã đ) và đã đợc các sinh viên ở các khoá học trớc làm đề tài luận văn tốt nghiệp Trong bản luận văn này, chúng tôi lại tiếp tục công việc đó bằng cách tổng hợp và hệ thống các mối quan hệ giữa một số tính chất của hình học Afin và hình học xạ ảnh trong hai mô hình và trình bày ứng dụng của chúng

Luận văn này đợc chia thành 4 mục:

Đ 1: Mô hình xạ ảnh của không gian Afin

Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình xạ ảnh trở thànhkhông gian Afin 2 - chiều cùng một số thể hiện cơ bản trên mô hình nh mục tiêu vàtoạ độ, tỉ số kép, phơng trình đờng thẳng, đờng Cônic …) và đã đ

Đ 2: ứng dụng của mô hình xạ ảnh của không gian Afin

Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình A 2 để chuyển một

số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh thành những bài toán trong không gian Afin nh:

Định lý PaPuýt, định lý Đờdác thứ nhất, định lý Mênêlaúyt và định lý Xêva …) và đã đ

Đ 3: Mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh

Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây dựng mô hình cùng một số thểhiện xạ ảnh nh mục tiêu và toạ độ, phơng trình đờng thẳng, đờng bậc 2,

Đ 4: ứng dụng của mô hình Afin của mặt phẳng xạ ảnh

Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của P 2 để chuyển một số bàitoán Afin sang bài toán xạ ảnh bằng cách thêm một đờng thẳng “vô tận “

Luận văn này đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh với sự hớngdẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tôi xin đợc bày tỏlòng biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo, gia

đình và bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tạitrờng Đại học Vinh

Tác giả

Đ 1 mô hình xạ ảnh của không gian afin

Nh ta đã biết, một không gian afin là một tập A   mà các phần tử của nó

đợc gọi là điểm và nếu có ánh xạ  : A x A  V,   M, N  MN, với M, N  A, MN

 V (V là không gian véctơ) thoả mãn hai tiên đề sau:

i) Với  M  A và véctơ u  V có duy nhất điểm N  A sao cho MN  u

ii) Với mọi ba điểm M, N, P  A có MNNPMP

Khi đó không gian afin (A, , V) đợc gọi là không gian afin A liên kết với

không gian véctơ V hay không gian afin trên trờng K

Xuất phát từ mặt phẳng afin A 2 ta xây dựng mô hình của không gian xạ ảnh

P 2 bằng cách thêm vào A 2 những điểm vô tận Ngợc lại, từ không gian xạ ảnh P 2

hãy bỏ bớt đi một đờng thẳng nào đó ta thu đợc mô hình của không gian afin

Ta chọn trong P 2 một đờng thẳng  nào đó và đặt A = P 2 là tập hợp những

điểm của P 2 mà không thuộc  Bây giờ ta xây dựng A trở thành không gian afin 2

- chiều

1.1 Xây dựng A trở thành không gian afin

Trong P 2 chọn mục tiêu A1,A2,A3;E sao cho các điểm A1, A2 thuộc  và

do đó điểm A3 không thuộc  Khi đó, đối với mục tiêu đã chọn đờng thẳng  cóphơng trình: x3 = 0

Rõ ràng, nếu X (x1, x2, x3)  A2 thì x3  0 (vì X không thuộc ) Lúc này X

đợc xác định bởi hai số (X1, X2) với

3

2 2 3

1

1 ;

x

x X x

x

X   Bộ số (X1, X2) đợc gọi là tọa

độ không thuần nhất của điểm X và ta viết X (X1, X2)

Nh vậy, có một song ánh từ tập A vào tập R 2 bằng cách đặt mỗi điểm X của

A tơng ứng với toạ độ không thuần nhất (X1, X2) của nó

Giả sử X (x1, x2); Y (y1, y2) là hai điểm của A, ta xét ánh xạ

 : A x A  R 2

(X, Y) (y1 - x1; y2 - x2) (ở đây R2 là không gian véctơ thực 2 - chiều với các phép toán thông thờng)

Để chứng minh A là không gian afin ta cần kiểm tra hai điều kiện sau đây:

i) Với mọi X (x1, x2)  R 2 và mọi u u1,u2  R 2, ! Y(y1,y2)  Asao cho

X,Y XY u

Thật vậy Y có toạ độ không thuần nhất là ( u1 + x1 ; u2+ x2 )  A

ii) Với mọi ba điểm X (x1, x2); Y (y1, y2), Z (z1, z2) ta có:



y z x y y z x y

y z y z x y x y Z Y Y X

,

2 2 1 1

2 2 2 2 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 1 1

Vậy A là một không gian afin 2 chiều liên kết với không gian véctơ R 2

1.2 Các thể hiện cơ bản trong mặt phẳng afin

1.2.1 Toạ độ afin và mục tiêu afin

Trong không gian xạ ảnh P 2 cho mục tiêu tọa độ xạ ảnh A1,A2,A3;E và

điểm X (x1, x2, x3) Gọi E1 và E2 lần lợt là giao điểm của A1A3 và A2A3 với 

Nh vậy, E1 (1,0), E2 (0,1), A3(0,0)

Nếu đặt A3E1 e1;A3E2 e2 thì A3;E1,E2 là mục tiêu afin trong A 2 và đợcgọi là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh A1,A2,A3;E

Giả sử với mọi X  A2, X (x1, x2) thì A3X x1e1x2e2

Khi đó (x1, x2) đợc gọi là toạ độ afin của X đối với mục tiêu afin sinh bởimục tiêu xạ ảnh

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1

1 1

2 1 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1

b a d

b a c

b a c

Hay:

A X,Y,Z

; XZ YZ

XY    

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 1

2 1 2 1 1 1

1 1 1 1

b a D

b a b a C

2 2 1 1 1

1 1

2 2 1 1

1

1 1

Nếu có một trong 4 điểm A, B, C, D nằm trên đờng thẳng , giả sử đó là

điểm D Khi đó 2 + 2 = 0 hay 2 = - 2

Suy ra ABCD  CAB

1 1 2 2 1

Vậy (ABCD) = (CAB)

Đặc biệt nếu (ABCD) = -1 và D   thì C là trung điểm của đoạn AB

1.2.3 Phơng trình đờng thẳng

Giả sử ’ là một đờng thẳng nào đó nằm trong P 2 nhng ’   Khi đó

ph-ơng trình của ’ đối với mục tiêu xạ ảnh là:

a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0 (1.1) Nếu đặt A = ’\ tức A là những điểm thuộc ’ nhng không thuộc  thìA(x1, x2, x3) thoả mãn phơng trình (1.1) đồng thời x3 = 0

Bằng cách chia hai vế của phơng trình (1.1) cho x3 ta đợc:

0

3

3 3 3

2 2 3

1

1   

x

x a x

x a x

x a

+) Nếu ’  ’’ = I, với I   thì ’ và ’’ là cặp đờng thẳng song song +) Nếu ’  ’’ = J, với J   thì ’ và ’’ là cặp đờng thẳng cắt nhau

1.2.4 Phép biến đổi Afin

Trong tập hợp tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của P 2 ta xét những phép biến

đổi của đờng thẳng thành chính nó

Mỗi phép biến đổi nh vậy biến mỗi điểm có toạ độ xạ ảnh (x1, x2, x3) thành điểm

có toạ độ xạ ảnh  ' 

3

' 2

3

3 23 2

22 1

2 1 '

2

3

1 3 2

12 1

1 1 '

1

x x

x a x

a x

a x

x a x

a x

a x

(I)

3

' 1 ' 1 3

1

1 ;

x

x X x

x

3

' 2 ' 2 3

2

2 ;

x

x X x

2

13 2 12 1 11 '

1

a X a X a X

a X a X a X

Khi đó phép biến đổi xạ ảnh nói trên của P 2 sẽ sinh ra trên không gian Afin

A 2 một phép biến đổi Afin

Nh vậy, mỗi phép biến đổi xạ ảnh của P 2 biến một đờng thẳng thành chính

nó sẽ sinh ra trên A 2 một phép biến đổi Afin

1.2.5 Đờng Cônic

1 Trong P 2 cho đờng bậc hai S và đờng thẳng  sao cho S   = 

Khi đó trong không gian afin ta sẽ có đợc một Elip (E)

Thật vậy, giả sử Cônic (S) có phơng trình:

3 2 2 2

x

2 2

1 X 

3

2 2 3

1

1 ;

x

x X x

x3 = 0 

(E)

2 Trong P 2 cho đờng bậc hai S và đờng đờng thẳng  sao cho S   = I Khi

đó, trong không gian afin ta sẽ có một Parabol (P)

Thật vậy giả sử Cônic (S) có phơng trình (1) và điểm I (1, 0, 1)  (S) Khi đó

đờng thẳng  chính là đờng đối cực của I

Phơng trình của đờng thẳng  sẽ có dạng:

1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 0 1

3 2

3

2 2

1 1

x x

X

x X

x X

Thay vào (1) ta đợc:

 2 0

2

0

2 3 3 1 2

2

2 3 1 2 2 2

X X X X

1 0 1

0 1 0

1 0 0

nên (2) là phơng trình của một đờng Cônic

Bằng cách chia 2 vế của phơng trình (2) cho 2

3

X ta đợc:

1 2

3 1 2

X

Đặt

3 1 3

2 ;

X

X Y X

3 Trong P 2 cho đờng bậc hai S và đờng thẳng  sao cho  cắt (S) tại hai

điểm phân biệt I và J Khi đó, trong không gian afin ta sẽ có một hình Hypebol

Thật vậy, giả sử Cônic (S) có phơng trình (1) và I (1, 0, 1), J (1, 0, -1)  (S) Khi đó phơng trình đờng thẳng  đi qua I và J là x2 = 0

3 2

1 1

x X

x X

x X

Thay vào (1) ta có: 2 0

3 2 2 2

X

hay X2 - Y2 = -1 (3’)

(với

3 2 3

1 ;

X

X Y X

0 1 0

0 0 1 0 1 1

3 2

Suy ra X1 - X2 = 0

Ta có

3 3 2 3

1 0

X X

X X

0 1 0

0 0 1 0 1 1

3 2

Suy ra X1 + X2 = 0

3 2 3

1  

X

X X

M

JI

Giả sử ta có một định lý trong không gian xạ ảnh Bằng cách bỏ đi một siêuphẳng nào đó ta sẽ đợc một định lý của hình học Afin Bởi vì ta có thể bỏ đi bất kỳmột siêu phẳng nào, nên bằng cách đó ta có thể thu đợc nhiều định lý Afin khácnhau Sau đây, ta sẽ làm sáng tỏ bằng một số ví dụ.

Bây giờ xét mô hình A2 = P2\ ta có định lý sau:

Q

RP

b

R

Định lý 2:

“Trong mặt phẳng afin cho 2 đờng thẳng phân biệt a và b và có các điểm A,

B, C  a; các điểm A’, B’, C’  b Nếu BC’//B’C và CA’//C’A thì AB’//A’B”

Chứng minh:

Ta chứng minh định lý trên theo hai trờng hợp

TH1: a và b cắt nhau tại điểm I

Ta có:

BC’//B’C  (IBC) = (IC’B’) =  CA’//C’A  (ICA) = (IA’C’) = 

' ' I B

A I

“Cho 2 hình bình hành OBQB’ và OARA’, trong đó a  OB, A’  OB’ Gọi

P = AB’  A’B Khi đó P, Q, R thẳng hàng”

l k

x k y

y l x

1 1

1

1

1 1

1

1

1 1

1

1

1 1 1

1 1

y l x k lk

kl

y lk

l kl x lk

k kl

y lk

l k l x lk

l k k

y l lk

k x

lk

l k y l x

y l lk

l k x lk

l k y l x

y l x

y l x



 1

VËy P, Q, R th¼ng hµng.

2.2 §Þnh lý §¬d¸c thø nhÊt:

“Trong P2 cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong đó không có 3 điểm nàothẳng hàng Nếu các đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy thì các giao điểm của cáccặp cạnh AB và A’B’, BC và B’C’, CA và C’A’ thẳng hàng”

SB SA

SC SB

SB



Vì vậy

' '

' SC

SC SB

SB SA

SA





Đặt (SBB’) = k, thế thì vì (SAA’) = (SBB’) = (SCC’) nên (SAA’) = k và(SCC’) = k

Suy ra SAk SA' ;SC k SC'

Ta có: SC SAkSC'  SA' ACk A'C'

Do A  A’ nên AC//A’C’

2.3 Định lý Mênêlauýt và định lý Xêva

“Trong P2 cho 3 điểm A1, A2, A3 không thẳng hàng Một đờng thẳng d không

đi qua 3 điểm đó và cắt các đờng thẳng A2A3, A3 A1, A1A2 tơng ứng tại K1, K2, K3.Gọi L1, L2, L3 là các điểm tơng ứng trên các đờng thẳng A2A3, A3A1, A1A2 (khác

A’

PB’

B

ba

cQ

K1

A2

K3

K2

A3

A1

A1

L3

L1

L2

Điều kiện cần và đủ để A1L1, A2L2, A3L3 đồng quy là:

2 1 3 3 3 2 1 1

3 2 2

2 1 3 3

2 1 1 1 3

2

A A L L K A A A

A L L

K A A A

A L L K A

Giả sử có một lục giác nội tiếp đợc một Cônic thì giao điểm của các cặp cạnh

đối diện nằm trên một đờng thẳng (đờng thẳng này gọi là đờng thẳng Paxcan)

2.4.2 Các trờng hợp đặc biệt của định lý Paxcan

Ta có thể xem các ngũ giác, tứ giác, tam giác nội tiếp một Cônic (S) nh cáctrờng hợp đặc biệt của lục giác nội tiếp khi một cặp đỉnh, hai cặp đỉnh hay ba cặp

đỉnh trùng nhau Khi đó ta xem cạnh của lục giác chứa cặp đỉnh trùng nhau là tiếptuyến của Cônic tại điểm đó Ngời ta chứng minh đợc định lý Pascan vẫn đúngtrong các trờng hợp đặc biệt đó

Ta xét các bài toán sau là trờng hợp đặc biệt của định lý Pascan

A1

A2A

3A4

Bài toán 1:

“Giả sử hình tứ giác A 1 A 2 A 3 A 4 nội tiếp Cônic

(S) thì giao điểm các cặp cạnh đối diện

và các tiếp tuyến tại các đỉnh đối diện là

4 điểm thẳng hàng”

Ta chuyển bài toán này về bài toán Afin

với mô hình A2 = P2 \ A1A3 Lúc này, Cônic (S) trở thành một Hypebol vớihai tiệm cận O1M và O1N Ta có A4O3 và A2O4 song song với O1N, A2O3 và A4O4song song với O1M và O1,O3,O4 thẳng hàng Ta có bài toán sau đây:

Bài toán Afin:

“ Cho hai điểm B, D thuộc Hypebol (H)

Từ B và D dựng các đờng thẳng song song với

các đờng tiệm cận, chúng cắt nhau lần lợt tại

Xét mô hình A2 = P2\A2A3 lúc này Cônic (S) trở thành Hypebol (H) với hai

đờng tiệm cận OQ và OR; OR//A1Q; OQ//A1R và QR song song với tiếp tuyến của(H) tại A1 Nh vậy ta có bài toán Afin sau đây:

Bài toán Afin:

“ Qua một điểm A thuộc Hypebol (H) kẻ các đờng

thẳng song song với các tiệm cận tạo thành một

hình bình hành Chứng minh rằng đờng chéo

không đi qua A của hình bình hành đó

song song với tiếp tuyến của Hypebol tại A”

2.5 Định lý Briăngsông:

OA

M

O1

ND

O3

A1

A2

A3

P

R

Q