Mối liên hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh

Trong mục này, chúng tôi trình bày các thể hiện afin nh: mục tiêu vàtoạ độ, các phẳng, tỉ số kép… Đ2 Phép biến đổi của A n.. Trong mục này, chúng tôi tiếp tục trình bày các thể hiện afin

Mục lục

Trang

Đ6 Phép biến đổi trong n

Lời nói đầu

Nh chúng ta đã biết từ một không gian afin đã cho ta có thể xâydựng một mô hình của không gian xạ ảnh Ngợc lại, từ một không gian xạ

ảnh ta cũng có thể xây dựng đợc một mô hình của không gian afin Nh vậy

là giữa hai không gian afin và không gian xạ ảnh có sự liên quan mật thiếtvới nhau Bởi vậy, hiển nhiên là giữa hình học afin và hình học xạ ảnh cũng

có những sự liên hệ Trong một số giáo trình hình học cao cấp đã đề cập

đến mối quan hệ đó Trong bản luận văn này, chúng tôi tổng hợp, hệ thốngcác mối quan hệ giữa một số tính chất afin với các tính chất xạ ảnh và ứngdụng của chúng

Nội dung luận văn đợc chia làm 7 mục:

Đ1 Mô hình xạ ảnh của không gian afin.

Trong mục này, chúng tôi trình bày các thể hiện afin nh: mục tiêu vàtoạ độ, các phẳng, tỉ số kép…

Đ2 Phép biến đổi của A n

ở đây chúng tôi trình bày các phép biến đổi afin và các thể hiện afincủa phép thấu xạ

Đ3 Siêu mặt bậc hai trong A n

Trong mục này, chúng tôi tiếp tục trình bày các thể hiện afin củasiêu mặt bậc hai và các khái niệm: tâm, phơng tiệm cận, đờng tiệm cận…

và sau đó là các thể hiện afin của đờng cônic, mặt trái xoan và mặt kẻ bậchai

Đ4 ứng dụng của mô hình A n

Trong mục này, chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình An đểchuyển một số định lý trong không gian xạ ảnh thành những định lý trongkhông gian afin nh: Định lý Paquýt, Định lý Đơdac thứ nhất…

Đ5 Mô hình afin của không gian xạ ảnh.

Trong mục này, chúng tôi trình bày các thể hiện xạ ảnh nh: Mục tiêu

và toạ độ afin, các phẳng và vị trí tơng đối giữa các phẳng, tỉ số đơn…

Đ6 Phép biến đổi trong n

A

ở đây chúng tôi trình bày các phép biến đổi xạ ảnh và các thể hiệnxạ ảnh của một số phép biến đổi afin đặc biệt nh: phép m-thấu xạ, phépthấu xạ trợt…

Đ7 ứng dụng của mô hình n

A

Qua mục này chúng tôi trình bày ứng dụng của mô hình n

A

chuyển một số bài toán afin thành bài toán xạ ảnh

Luận văn này đợc hoàn thành tại Khoa Toán trờng Đại học Vinh với

sự hớng dẫn nhiệt tình của TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này tôi xin

đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời tôi xin cảm ơn cácthầy cô giáo, gia đình và bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và rèn luyện tại trờng Đại học Vinh

Do thời gian có hạn nên chắc chắn rằng bản luận văn này khôngtránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận đợc sự đánh giá, phê bình vàgóp ý của các thầy cô giáo cùng bạn bè Tôi xin chân thành cảm ơn

Giả sử Pn là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ thực

i

x

x

, i = 1,2,…,n (Xi  R) Khi đó bộ số (X1, X2,…., Xn) gọi làtoạ độ không thuần nhất của điểm X và viết là X = (X1, X2,…, Xn,) Rõ

ràng có một song ánh từ tập An vào Rn bằng cách cho mỗi điểm thuộc An

t-ơng ứng với toạ độ không thuần nhất của nó

Ký hiệu: XY là vectơ (Y1 - X1, Y2 - X2,…, Yn - Xn,) của Rn, trong đóX,Y là các điểm của An mà X = (X1, X2,…,Xn), Y= (Y1,Y2,…,Yn)

Ta đặt : AnxAn  Rn

(X,Y)  XY.Khi đó ánh xạ  thoã mãn các tiên đề của không gian afin

= (Y,Z) + (X,Y)

Vậy An là không gian afin n- chiều liên kết với không gian véctơ Rn

bởi ánh xạ liên kết  Ta gọi An là mô hình xạ ảnh của không gian afin

Chú ý: Từ Đ1 đến Đ4 ta dùng ký hiệu A n nghĩa là mô hình xạ ảnh củakhông gian afin và Pn-1 gọi là siêu phẳng “vô tận” của An và nó luôn có ph-

ơng trình là: xn+1 = 0

1.2 Mục tiêu và toạ độ afin trong A n

Vẫn xét mục tiêu xạ ảnh trong Pn nh trên Gọi Ei là giao điểm của ờng thẳng AiAn+1 với siêu phẳng Pi đi qua tất cả các đỉnh của mục tiêu trừcác điểm Ai và An+1(i=1,2,…,n) Khi đó dễ dàng suy ra toạ độ của các điểm

đ-Ei là (0,0,…,1,0,0,…,0) Vì vậy toạ độ không thuần nhất của các điểm Ei và

Nếu đặt An1Ei  ei (i=1,2,…,n) thì {An+1;E1,E2,…,En} là mục tiêuafin trong An và đợc gọi là mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh {A1,A2,,A

… n+1;E}

Nếu XAn,X = (X1, X2,…, Xn) thì:

n n

n X X e X e X e

A 1  1 1  2 2   Suy ra (X1,X2,…,Xn) là toạ độ afin của X đối với mục tiêu afin sinhbởi mục tiêu xạ ảnh

a , i = 1,2,…,n-r (1.1)Trong đó ma trận (aij)n-r x n+1 có hạng bằng n-r

Vì phẳng  không nằm trên Pn-1 nên khi ta thêm vào hệ phơng trình(1.1) một phơng trình thứ n-r+1 là xn+1=0 thì ta đợc hệ n-r+1 phơng trình

độc lập mà ma trận hệ số của nó có hạng bằng n-r+1 Do đó ma trận (aij)n-r x

n có hạng bằng n-r

Với mỗi điểm X thuộc ’ có toạ độ X(x1,x2,…,xn+1) thì xn+1 0 và(x1,x2,…,xn+1) là nghiệm của hệ phơng trình (1.1) Vì vậy toạ độ khôngthuần nhất của X thoã mãn hệ phơng trình:

0 1 1

Từ (1.2) suy ra ’ là r - phẳng afin trong An

Nh đã biết, với hai phẳng phân biệt  và  trong Pn thì chúng hoặccắt nhau hoặc chéo nhau Bây giờ ta sẽ xét vị trí tơng đối giữa các phẳng ’

, 0 1

, ,

2 , 1 , 0

x a

Vì  không nằm trên Pn-1 nên ma trận (aij)n-m x n có hạng bằng n-m Tơng tự;  có phơng trình:

0 1

, ,

2 , 1 , 0

x b

Phơng trình của ’ và ’ lần lợt là:

0 1 1

0 1 1

b , i=1,2,…,n-k

Do   Pn-1    Pn-1 nên phơng trình của   Pn-1 là hệ quả củaphơng trình của   Pn-1 Vì vậy  '   ' hay ’ song song với ’

* Nếu    = ,  là một r-phẳng (r < m) trên Pn-1 thì ’ và ’ chéonhau

Thật vậy, giả sử các phẳng , ,  tơng ứng với các không gian vectơ

Kết quả này đợc suy ra từ đẳng thức:

’  ’ = (\Pn-1)  (\Pn-1)

= (  )\Pn-1

Nh vậy, nếu hai phẳng phân biệt cắt nhau trong Pn (không nằm trên

Pn-1) thì sau khi bỏ đi những điểm thuộc Pn-1 ta sẽ thu đợc các phẳng afin

t-ơng ứng song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau Hơn nữa, nếu các phẳngxạ ảnh đó chéo nhau thì trong An các phẳng afin tơng ứng cũng chéo nhau

1.4 Tỷ số kép trong A n

Trong An cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thẳng hàng Đối vớimục tiêu đã chọn, giả sử toạ độ của các điểm A và B là: A(a1, a2, …, an, 1),B(b1, b2, …, bn, 1) Khi đó toạ độ của C và D là:

C(k1a1 + l1b1, k1a2 + l1b2, …, k1an+ l1bn, k1 + l1)D(k2a1 + l2b1, k2a2 + l2b2, …, k2an + l2bn, k2 + l2)

Trong Pn, tỷ số kép của A, B, C, D là:

[A, B, C, D] = :

2 2 1

1

k

l k l

Toạ độ afin của A, B, C, D trong An là:

A = (a1, a2, …, an); B =(b1, b2, …, bn);

C = (c1, c2, …, cn); D = (d1, d2, …, dn)

Trong đó:

1 1

1 1

l k

b l a k

2 2

l k

b l a k

1 1

1 l k

b a l c

i i

1 l k

b a k c

i i

) , , ( D B A

C B A

.Vậy trong An ta có thể xem tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B,

C, D là tỷ số của hai tỷ số đơn (A, B, C) và (A, B, D)

Đ 2 Phép biến đổi trong A n 2.1 Phép biến đổi trong A n

Trong Pn, ta xét những phép biến đổi f: Pn  Pn mà f(Pn-1) = Pn-1 Giả sử phơng trình của f đối với mục tiêu đã chọn là:





 1 1 ' n

x Do đó từ phơng trìnhsau cùng của hệ trên ta suy ra an+1i = 0 (i = 1, 2, …, n)

1 1 1 '

1

1

1 '

n n n n

n

j ij ji

x a

kx

n i

x a kx

Trong đó hạng của ma trận (aij)nn = n và an+1 n+1, k  0

Do f(Pn-1) = Pn-1 nên f(An) = An Bởi vậy ta có ánh xạ

f’ = f | A n: An  An

Bằng cách chuyển từ toạ độ xạ ảnh của một điểm trong An thành toạ

độ afin của nó thì phơng trình của f’ là:

' 1 1

' '







n n

ij ij

a

a

a và ma trận ( aij' )nn

có hạng bằng n

Suy ra f’ là một phép biến đổi afin trong An

Nh vậy, với mỗi phép biến đổi afin trong Pn mà giữ nguyên một siêuphẳng thì nó sẽ sinh ra trong An một phép biến đổi afin

2.2 Phép thấu xạ trong A n

Định nghĩa: Một phép biến đổi xạ ảnh f: Pn  Pn của không gian xạ

ảnh Pn gọi là một phép thấu xạ nếu có một siêu phẳng sao cho mọi điểmcủa nó đều là điểm kép Siêu phẳng đó gọi là nền của phép thấu xạ

Nhận xét: * Nếu phép thấu xạ f: Pn  Pn không phải là phép đồngnhất thì sẽ có một điểm kép O duy nhất sao cho mọi đờng thẳng qua O đềubiến thành chính nó Điểm O nh thế gọi là tâm của phép thấu xạ

* Một phép thấu xạ f sẽ đợc xác định nếu biết tâm thấu xạ, nền thấuxạ và một cặp điểm tơng ứng M, M’ = f(M) (M  M’)

* Nếu M không là điểm kép của f và B = OM  Pn-1 thì [M,M’,O,B]không phụ thuộc vào M và giá trị đó đợc gọi là tỷ số thấu xạ của phép thấuxạ f, ký hiệu là: k = [M,M’,O,B] Sau đây ta sẽ xét một số thể hiện afin củaphép thấu xạ trong An

2.2.1 Phép thấu xạ có tâm không thuộc nền.

* Nếu ta chọn Pn-1 trùng với nền của phép thấu xạ và gọi B là giaocủa OM và Pn-1 thì khi đó trong An ta có:

Vậy phép thấu xạ f sinh ra trong An một phép thấu xạ afin f’ với nền

là ’, phơng thấu xạ là v (sinh ra bởi điểm vô tận O), tỷ số thấu xạ là k

Trờng hợp đặc biệt k = -1 Khi đó BM'BM nên f’ là phép đốixứng xiên qua siêu phẳng ’ theo phơng là véctơ v (sinh ra bởi điểm vôtận O)

2.2.2 Phép thấu xạ có tâm thuộc nền.

* Nếu tâm thấu xạ là O thuộc nền  của phép thấu xạ f thì với 2 cặp

điểm tơng ứng M, M’ và N, N’ thì M M’ cắt NN' tại O, MN cắt M’N’ tại

điểm I thuộc  Nếu chọn Pn-1 trùng với  thì trong An, MM’NN' là hìnhbình hành Từ đó suy ra f’ sẽ sinh ra trong An một phép tịnh tiến

* Nếu chọn Pn-1 là siêu phẳng đi qua O, không trùng với  thì trong

An với 2 cặp điểm tơng ứng không phải điểm kép của f là M, M’ và N, N’thì MM’ và NN' song song với nhau Nh vậy, phép thấu xạ f sinh ra trong

An một phép thấu xạ trợt afin với nền là siêu phẳng ’ và phơng là v=(v1,

v2, …, vn) sinh ra bởi điểm O (v1, v2, …, vn, 0)

Mệnh đề: Giả sử f: PnPn là phép m- thấu xạ (khác phép đồng nhất)với các phẳng thấu xạ là U và V Khi đó với điểm M không thuộc U và Vthì đờng thẳng MM’ (M’ = f (M)) sẽ cắt U và V tơng ứng tại A và B saocho [M, M’, A, B] = k không phụ thuộc vào vị trí của M và gọi là tỷ số thấuxạ.

Đ 3 Siêu mặt bậc hai trong A n

Giả sử S là siêu mặt bậc 2 trong Pn có phơng trình đối với mục tiêu

đã chọn là:

0 1

1 ,

i in i n n

n

j ij i j

a X a X

X a

1

1 1 1

1 ,

0

Nếu các aij không đồng thời bằng 0 (i,j = 1,2,…,n) thì S’ là mặt siêumặt bậc hai trong An Khi đó ta nói siêu mặt bậc hai xạ ảnh S sinh ra siêumặt bậc hai afin S’

Sau đây ta sẽ xét các thể hiện afin của siêu phẳng đối cực, siêuphẳng tiếp xúc… của siêu mặt bậc hai xạ ảnh liên quan đến khái niệm:Tâm, tiệm cận… của siêu mặt bậc hai afin

Chú ý: * Định nghĩa, tính chất về điểm liên hợp, siêu phẳng đốicực… (xem 2)

* Hai điểm của An gọi là liên hợp với nhau đối với S’ nếuchúng liên hợp với nhau đối với S

3.1 Giả sử Y,Z thuộc Pn và liên hợp với nhau đối với S ; YZ cắt S tạihai điểm phân biệt M,N không thuộc Pn-1 Khi đó Z là “điểm vô tận” của An

khi và chỉ khi Y là trung điểm của NM Vì vậy, I thuộc An là tâm của S’ khi

và chỉ khi I liên hợp với mọi điểm của Pn-1 đối với S Nếu S không suy biến

và không tiếp xúc với Pn-1 thì S’ có tâm duy nhất chính là điểm đối cực của

Pn-1 đối với S

3.2 Nếu điểm C thuộc S  Pn-1 thì toạ độ xạ ảnh của C là (c1, c2,…,

cn,0) thoã mãn :

0 1

,





 n

j ij i j

c c aVậy điểm C xác định một phơng c = (c1, c2,…, cn) của An chính làphơng tiệm cận của S’

Nếu S’ có tâm duy nhất I thì đờng tiệm cận của S’ với phơng c =(c1, c2,…, cn) chính là đờng thẳng đợc sinh ra bởi đờng thẳng IC trong Pn,với C(c1, c2,…, cn,0) thuộc S và I là điểm đối cực của Pn-1

Vậy ta đi đến kết luận: Nếu S  Pn-1 không rỗng và S không suy biếnthì S’ có phơng tiệm cận và đờng tiệm cận

3.3 Nếu S suy biến thì hệ phơng trình: A[x] = 0 có nghiệm không

tầm thờng, nó xác định một cái phẳng nằm trên S Ta gọi cái phẳng đó làphẳng kỳ dị của S Mỗi điểm của phẳng kỳ dị là một điểm kỳ dị của S

Giả sử điểm O thuộc An có toạ độ xạ ảnh là O(x1,x2,…,xn+1) Khi đó

O là điểm kỳ dị của S khi và chỉ khi bộ số (x1,x2,…,xn+1) là nghiệm của hệphơng trình:







 1

1

0 n

j ij jx

i n i j n n

n

j ij j in

a X a

n i

a X a

( ) (

, 0 ) ( ) ( '

1 1 1

1 n n t

n

n

a X a

a X A

n n

a

a a

1

12 11

 , A’ = (aij)nxn

Từ đó suy ra O cũng là điểm kỳ dị của S’

3.4 Ta sẽ chứng tỏ rằng mỗi siêu phẳng kính của S’ liên hợp với

ph-ơng c(khác phơng tiệm cận) đợc sinh ra bởi siêu phẳng đối cực của điểm

C thuộc Pn-1\ S

Thật vậy, giả sử  là siêu phẳng đối cực của điểm C thuộc Pn-1\ S.Lúc đó C(c1, c2,…, cn,0) và c= (c1, c2,…, cn) không phải là phơng tiệm cậncủa S’

j

n

i in i nj

j

n

i in ij

i

ij c X a c a

1 ,

0 n

j ij i j

x m

Mỗi điểm X thuộc ’ sẽ có toạ độ afin thoã mãn :

0 a

1 1n n 1

1 1

n

j n j ji

in n

j ij i j

X a M

a X

M

Từ (3.3) và (3.4) suy ra: [(M)tA’- (an+1)t][(X) - (M)] = 0 (3.5)

Do M không là điểm kỳ dị của S nên M cũng không là điểm kỳ dị của S’, tức là (M)tA’- (an+1)t  0 Vì vậy (3.5) là phơng trình của siêu phẳngtiếp xúc của S’ tại M

3.6 Các thể hiện afin của đờng cônic trong A2

Giả sử S là đờng cônic trong P2 và có phơng trình:

0

2 3 2 2 2

1  x  x 

Trong A2, đờng bậc hai S’ có phơng trình:

0 1

2 2 2

1  x  x 

Khi đó trong A2, phơng trình của S’ có dạng:

0 1

2 2 2

2 1

) (

2 1

' 3 ' 2 3

' 3 ' 2 2

' 1 1

x x x

x x x

x x

Ta đa (3.6) về dạng:

0

' 3 ' 2 2 '

3.7 Bằng cách xét tơng tự nh trong 3.6 đối với mặt trái xoan và mặt

kẻ bậc hai ta đi đến kết luận sau:

* Nếu S là mặt trái xoan trong P3 thì S’ sẽ trở thành một trong các mặt sau đây của A3:

Elípxôit nếu S không cắt P2

Hypecboloit hai tầng nếu S cắt P2 theo một đờng cônic

Paraboloit elíptic nếu S chỉ cắt P2 tại một điểm

* Nếu S là mặt kẻ bậc hai trong P3 thì S’ sẽ là một trong các mặt sau

đây trong A3:

Hypecboloit một tầng nếu S cắt P2 theo một đờng cônic.

Mặt yên ngựa nếu S cắt P2 theo một cặp đờng thẳng

Đ 4 ứng dụng của mô hình An.

Giả sử ta có một định lý trong không gian xạ ảnh, bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó ta sẽ đợc một không gian afin và định lý nói trên sẽ trở thành định lý của không gian afin Vì ta có thể bỏ đi bất kỳ một siêu phẳng nào, nên ta có thể thu đợc nhiều định lý afin khác nhau từ định lý ban đầu

4.1 Định lý Paquýt.

“Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai đờng thẳng  và ’ Giả sử A,B,C

là các điểm trên  và A’,B’,C’ là các điểm trên ’ Khi đó các giao điểm

M = AB’  BA’, N = BC’  CB’, P = AC’  CA’ thẳng hàng”

Định lý 1: “ Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai hình bình hành OBNB’

và OAPA’, với A và A’ tơng ứng thuộc OB và OB’ Khi đó ba điểm M,N,Pthẳng hàng (với M = AB’  BA’)”

C



’

Hình 4.1

Ta sử dụng phơng pháp véctơ để chứng minh định lý 1 (hình 4.2).

Đặt OB  a, OB  ' b

Do O,A,B thẳng hàng và O,A’,B’ thẳng hàng nên:

OB k

OA 

' ' l OB

OA 

Do A,M,B’ thẳng hàng nên :

' ) 1

OM

b a

k OM

) 1 (

) 1 (

(4.1)Vì avà bkhông cộng tuyến nên từ (4.1) suy ra  =

kl

l



 1

l k OM

) 1 (

.Suy ra MN = ON - OM

= a + b - a

lk

l k



 1

) 1 (

lk

k l



 1

) 1 (

lk

l a

1

(4.2)Gọi E là giao điểm của AP và B’N khi đó:

PN = PE + EN = OB '  OA '  OB  OA

= b'  lba ka

= (1-l)b + (1-k) a (4.3)

Từ (4.2) và (4.3) suy ra PN = (1-kl) MN hay M,N,P thẳng hàng Vậy từ định lý Paquýt trong P2 nếu ta bỏ đi một đờng thẳng thì sẽ suy ra đ-

ợc một định lý trong A2 mà định lý đó cũng đúng

PM

A

Hình 4.2

E

Nếu lấy A2 = P2 \ AC’ thì trong mô hình này, các cặp đờng thẳng BC

và MB’, BN và A’B’ song song với nhau Vì vậy ta có định lý:

Định lý 2: “Cho tứ giác BCB’A’ (BC không song song với A’B’) qua

B’ kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BA’ tại M, qua B kẻ đờng thẳngsong song A’B’ cắt CB’ tại N Khi đó MN song song A’C “ (hình (4.3))

4.2 Định lý Đơdac thứ nhất ( trong P 2 ).

“ Trong không gian xạ ảnh P2 cho 6 điểm A,B,C,A’,B’,C’ trong đókhông có ba điểm nào thẳng hàng Nếu các đờng thẳng AA’, BB’,CC’ đồngquy thì các giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và A’B’, BC và B’C’, CA

Bằng phơng pháp toạ độ với việc chọn mục tiêu xạ ảnh: {A’,B’,S;C}(hình 4.4), ta có kết quả: P(-b, 1– c– b, -bc), Q(a+c–1, a, ac), R(-b,a, 0).

Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng

Nếu chọn  là đờng thẳng không đi qua các điểm A, B, C, A’, B’,

C’, S thì trong mô hình A2 = P2\ định lý Đơgiac thứ nhất trở thành định lýsau:

Định lý 3: “Trong mặt phẳng cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ Nếu

các đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy và cá cặp đờng thẳng AB và A’B’,

BC và B’C’, AC và A’C’ cắt nhau thì các giao điểm của chúng thẳnghàng”

Nếu bỏ đi đờng thẳng AA’ thì trong mô hình A2 = P2\ AA’, các cặp

đờng thẳng B’R1 và C’R2, BR2 và RR1, BB’ và CC’ song song với nhau Vìvậy RR1PR2 là hình bình hành (R1 = A’B’  CR, R2 = BP  C’R) vàBB’CC’ là hình thang nội tiếp hình bình hành đó (hình 4.5)

Vậy ta có định lý trong A2 là:

Định lý 4: “Nếu hình thang BB’CC’ (BB’ // CC’) nội tiếp hình bình

hành RR1PR2 thì các điểm R, P và giao điểm Q của C’B’ và CB thẳnghàng”

Q B’

2 B

C’

R C

S

H

ì n h

4 4

Hình 4.4

' BB

CC

k Suy ra P, Q, R thẳng hàng

Nếu gọi  là đờng thẳng đi qua S nhng không đi qua các điểm A, B,

C, P, Q, R và lấy mô hình A2 = P2\  Khi đó trong A2 các đờng thẳng AA’,BB’, CC’ trở thành các đờng thẳng đôi một song song Do đó AA’BB’,AA’C’C là các hình thang (hình 4.6) Vậy ta có định lý trong afin là:

Định lý 5: “Cho hình thang AA’C’C (AA’//CC’) và đờng thẳng a

song song với các cạnh đáy của hình thang Giả sử B, B’ là các điểm thuộc

a sao cho trong 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ không có 3 điểm nào thẳng hàng

và các cặp đờng thẳng: AB và A’B’, BC và B’C’, AC và A’C’ cắt nhau Khi

đó, các giao điểm của các đờng thẳng đó thẳng hàng”

4 5

Hình 4.5

R

1

Chứng minh:

Do AA’ // BB’ // CC’ nên:

' CC

' AA RC

RA

=

' BB

' CC QB

QC

=

' AA

' BB PA

QC RC RA

 P, Q, R thẳng hàng (Định lý Mênêlaúyt cho ABC)

4.3 Định lí Mênêlauýt và định lý Xêva.

“Trong P2 cho 3 điểm A1, A2, A3 không thẳng hàng Một đờng thẳng

d không đi qua 3 điểm đó và cắt các đờng thẳng A2A3, A3A1, A1A2 tơngứng tại K1, K2, K3 L1, L2, L3 là các điểm tơng ứng trên các đờng thẳng

A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3) Điều kiện cần và đủ để L1, L2, L3

thẳng hàng là: [A2, A3, K1, L1] [A3, A1, K2, L2] [A1, A2, K3, L3] = 1, điềukiện cần và đủ để A1L1, A2L2, A3L3 đồng quy là: [A2, A3, K1, L1] [A3, A1,

A

BA’

R

Hình 4.6