Mô hình ảnh xạ của không gian euclid

---Lời mở đầu--- Qua việc nghiên cứu hình học xạ ảnh và hình học ơclit cho ta thấy từ mộtkhông gian xạ ảnh ta có thể xây dựng đợc một không gian Ơclit và gọi là "Mô hình xạ ảnh của không

trờng đại học vinh

Khoa toán

-*** -nguyễn thị Loan

Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit

Khoá luận tốt nghiệp

Đại học ngành cử nhân khoa học toán

Vinh 2005 -

Đè tài

trờng đại học vinh

Khoa toán

-*** -Mô hình xạ ảnh của

không gian Ơclit

Khoá luận tốt nghiệp

Đại học ngành cử nhân khoa học toán

-Lời mở đầu -

Qua việc nghiên cứu hình học xạ ảnh và hình học ơclit cho ta thấy từ mộtkhông gian xạ ảnh ta có thể xây dựng đợc một không gian Ơclit và gọi là "Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít " Trong giáo trình hình học cao cấp(Hình học xạ ảnh) đã đề cập đến cách xây dựng đó Vì vậy trong bản luậnvăn này chúng tôi tổng hợp lại cách xây dựng hệ thống và chứng minh một

số tính chất trong " Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít Đồng thời đa racác ứng dụng, trong việc chuyển đổi các bài toán từ không gian ơclít sangkhông gian xạ ảnh và ngợc lại, và đề cập đến việc giải các bài toán trongkhông gian xạ ảnh

Nội dung của luận văn này gồm bốn mục

Đ1 Một số yếu tố cơ bản của hình học Afin và hình học Ơclít

Đ2 Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh

Trong hai mục này chúng tôi đa ra một số kiến thức của hình học Afin,hình học Ơclit và hình học xạ ảnh để làm tiền đề cho Đ3 và Đ4

Đ3 Mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Ơclit

Trong mục này chúng tôi đa ra cách xây dựng các mô hình và các thểhiện Afin và Ơlit trong mô hình làm tiền đề lý thuyết cho Đ4

Đ 4 ứng dụng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit

Trong mục này chúng tôi chia làm hai mục

Mục A: Là ứng dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit để giải các bàitoán trong mặt phẳng Ơclit

Mục B: Là ứng dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit để giải các bàitoán trong mặt phẳng xạ ảnh

Khoá luận này đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫnnhiệt tình của thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏlòng biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo vàbạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trờng Đại Học Vinh

Chắc chắn rằng bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót Tôirất mong đợc sự đánh giá, phê bình, góp ý của các thầy cô giáo cùng bạn bè.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, ngày 2 tháng 5 năm 2005

Sinh viên: Nguyễn Thị Loan

Đ1 Một số yếu tố cơ bản của hình học afin và hình học Ơclit

1.1 Định nghĩa, Cho V là không gian Vectơ trên trờng K và tập A

không rỗng mà mỗi phần tử của nó gọi là một điểm Giả sử có một ánh xạ

sao cho MN = U

(A,φ,V) là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V Ký hiệu là A

Nếu K = R ta gọi A là không gian Afin thực

Nếu K = C ta gọi A là không gian Afin phức

ở đây ta chỉ xét trong không gian Afin thực

1.2 Hệ điểm độc lập

Hệ không độc lập gọi là hệ phụ thuộc

1.3 Định nghĩa mục tiêu afin Cho không gian afin n – chiều A liên

1.5 Các phẳng trong không gian afin

1.5.1 Định nghĩa Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ

4

1.5.2 Vị trí tơng đối của các phẳng:

Định nghĩa:

không song song với nhau

mãn phơng trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình đó

1.6.2 Định nghĩa Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn

làm gốc mục tiêu thì phơng trình của (S) có dạng

Hoặc phơng của d không phải là phơng tiệm cận của (S) và d cắt (S) tại

đúng một điểm (điểm này gọi là tiếp điểm hay ta còn gọi là điểm tiếp xúc với(S)

Hoặc d nằm trên (S)

1.7 Tích vô hớng và không gian vectơ Ơclit

1.7.1 Định nghĩa Cho V là một không gian Vectơ thực, một tích vô

1.7.2 Định nghĩa Một không gian véctơ thực cùng với một tích vô hớng

1.8 Định nghĩa Hai vectơ khác θ trong một không gian vectơ ơclit En

π

2

Hệ {a1, a2, ,an} là hệ trực chuẩn ⇔ aiaj = δij =

1.10 Định nghĩa Cơ sở ε = {e1, e2, ,en} của không gian vectơ ơclit

Toạ độ của một vectơ trong một hệ trực chuẩn đợc gọi là toạ độ trực chuẩn

1.11 Không gian Ơclit

Định nghĩa Không gian Ơclit là không gian Afin liên kết với không gian

vectơ Ơclit hữu hạn chiều

Không gian Ơclit sẽ gọi là n- chiều nếu không gian vectơ Ơclít liên kếtvới nó có chiều bằng n

1.12 Định nghĩa Mục tiêu afin {0, e1, ,en} của không gian Ơclit

cơ sở trực chuẩn

Toạ độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là toạ độ trực chuẩn

1.13 Định nghĩa Hai phẳng α (α) , β (β) của En gọi là vuông góc với nhau nếu

⊥β

1.14 Siêu mặt bậc hai trong E n

1.14.1 Dạng chính tắc cuả siêu mặt bậc hai trong E n

Ta luôn tìm đợc một mục tiêu trực chuẩn sao cho phơng trình của (S) đốivới mục tiêu đó có một trong 3 dạng dới đây:

C¸c d¹ng (I), (II), (III) gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c cña ph¬ng tr×nh siªu mÆt bËchai (S).

1.14.2 Ph¬ng chÝnh cña siªu mÆt bËc hai

§Þnh nghÜa Trong En víi môc tiªu trùc chuÈn {0, ei} cho siªu mÆt bËc

C lµ vect¬ riªng cña ma trËn A

1.15 Siªu cÇu trong E n

1.15.1 Siªu cÇu thùc

§Þnh nghÜa Trong En , cho ®iÓm I vµ sè thùc r > 0 TËp hîp

S(I,r ) = { M ∈ E n / d ( I ,M ) =r } gäi lµ siªu cÇu thùc t©m I b¸n kÝnh r

NhËn xÐt Gi¶ sö { 0, e i } (i = 1,2, , n ) lµ môc tiªu trùc chuÈn trong E n

I(a 1 , a 2 , a n ) th× ph¬ng tr×nh cña siªu cÇu S (I,r) lµ:

VËy siªu cÇu thùc lµ mét siªu mÆt bËc hai

1.15.2 Siªu cÇu tæng qu¸t

Định nghĩa: Trong En với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu mặt bậc hai (S)

có phơng trình

Nhận xét

tiện cận và luôn luôn là phơng chính Mọi siêu phẳng qua tâm đều là siêu phẳngkính chính

2.1 Định nghĩa Cho Vn ( n ≥ 1 ) là không gian vectơ trên trờng K ( K là

vectơ X đợc gọi là véc tơ đại diện của điểm A

Lu ý Hai vectơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau

2.2 Các phẳng trong không gian xạ ảnh

2.2.1 Định nghĩa Cho không gian xạ ảnh (P, p, Vn+1) Vm+1 là không

đ-ợc gọi là một mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ một hệ n+1 điểm trong n+2 điểm độc lập

2.5 Toạ độ xạ ảnh

{ei}

2.6 Phơng trình tổng quát của m – phẳng

10

Phơng trình tổng quát của m – phẳng trong Pn có dạng :

2.7 Tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng

khác B; C và D không trùng với A hoặc B Giả sử với mục tiêu cho trớc trong

Tỷ số kép của 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự ký hiệu là [A,B.C,D] đợc xác

2.8 Định nghĩa Nếu tỷ số kép [A,B,C,D] = -1 thì ta nói rằng cặp điểm

C,D chia điều hoà cặp điểm A,B, hay nói cách khác cặp A,B và cặp điểm C,D liênhợp điều hoà hay còn nói hàng điểm [A,B,C,D] là một hàng điểm điều hoà

2.9 Định nghĩa.Trong không gian xạ ảnh Pn tập các siêu phẳng cùng điqua n-2 phẳng đợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là n-2 phẳng đó

2.10 Định nghĩa Bốn siêu phẳng U,V,W, Z của một chùm đợc gọi là

chùm bốn siêu phẳng điều hoà, nếu tỷ số kép của 4 siêu phẳng bằng –1 Khi đó tanói cặp siêu phẳng U,V chia điều hoà cặp siêu phẳng W,Z và ký hiệu là[U,V,W,Z ] = - 1

2.11 Định lý Cho bốn siêu phẳng [ U,V,W,Z ] thuộc một chùm, trong

đó U,V, W,Z đôi một phân biệt Nếu đờng thẳng d cắt bốn siêu phẳng đó lần lợttại các điểm A,B,C,D ( không cắt giá của chùm) thì tỷ số kép của 4 điểm đókhông phụ thuộc vào vị trí của đờng thẳng d và bằng tỷ số kép của chùm 4 siêuphẳng tơng ứng

Trong một hình bốn đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm trên một đờngchéo chia điều hoà cặp giao điểm của đờng chéo đó với cặp cạnh đi qua điểmchéo thứ ba.

Chứng minh xem [2]

2.12 Định lý về hình bốn cạnh toàn phần

Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đờng chéo đi qua một điểm chéo nào

đó chia điều hoà đờng thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đờngchéo thứ ba

Chứng minh xem [2]

2.14 Định lý Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối

Nếu đờng thẳng (Y,Z) cắt (S) tại hai điểm phân biệt M,N thì [Y,Z,M,N] = -1.Nếu đờng thẳng (Y,Z) cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là

Tính chất 1 Hai siêu phẳng liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không

suy biến khi và chỉ khi siêu phẳng này đi qua điểm đối cực của siêu phẳng kia

Tính chất 2 Siêu phẳng U liên hợp với chính nó đối với siêu mặt bậc

Tính chất 3 Cho hai siêu phẳng phân biệt U,V liên hợp với nhau đối với

biệt P và Q cùng tiếp xúc với (S) thì [U,V,P,Q] = -1

2.16 Định nghĩa Trong P2 cho hai chùm đờng thẳng phân biệt {S}, {S'}

và một đờng thẳng p không thuộc chúng (có nghĩa là p không đi qua S và không

phép chiếu f

2.17 Định lý Stâyne (Steiner) Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R)

12

a/ Cho hai điểm cố định S1 và S2 nằm trên một đờng Ovan và một điểm M

(Chú ý rằng, khi M trùng với S 1 , ta xem S 1 M là tiếp tuyến của OVan tại S 1 , đối với S 2 cũng thế).

của các đờng thẳng tơng ứng là một đờng OVan

xyclic I, J thì định lý Stâyne vẫn còn đúng Từ đó ta có:

2.18 - Cách xác định một đờng ô van trong P 2

Định lý: Cho 3 điểm thực A, B, C và hai điểm xyclic I, J trong đó không có 3

điểm nào thẳng hàng Khi đó luôn luôn có một đờng Ovan day nhất đi qua chúng

Chứng minh xem [2]

Đ 3 Mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Ơclit

1.1 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin

Giả sử Pn (n ≥ 1) là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ thực

xi

x0

Khi đó φ thoả mãn các tiên đề của không gian Afin

Siêu phẳng W gọi là cái tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận đối với (hay của) mô

3.2 Mục tiêu và toạ độ Afin trong A n

14

3.3 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi Afin

Giả sử đối với mục tiêu trên, f có biểu thức toạ độ

Afin của nó (Đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh nh trên) ta có biểuthức toạ độ của f'

Ngợc lại Mọi phép biến đổi Afin đều đợc sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnhduy nhất f mà f (W) = W (Ta nói rằng f biến điểm vô tận thành điểm vô tận).

Chứng minh

đối với một mục tiêu Afin là:

Afin nói trên, ta xét phép biến đổi xạ ảnh có biểu thức toạ độ:

Xét mô hình An = Pn\W cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thẳng hàng

đối với mục tiêu xạ ảnh nh trên, ta có

[A, B, C ][A, B, C, D] =

[A, B, D]

là tỷ số của hai tỷ số đơn (A,B,C) và (A,B,D)

Chú ý

Nếu D nằm trên W (hay D là điểm vô tận của đờng thẳng đi qua A, B, C)thì [A, B, C, D] = (A,B,C)

Vậy tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng A, B, C là tỷ số kép của ba điểm

đó và điểm vô tận của đờng thẳng đi qua chúng

3.6 Siêu mặt bậc hai trong A n

ảnh đã chọn trên là

Ta đặt S' = S\W (W là siêu phẳng) lúc này điểm của (S') sẽ có toạ độ Afinthoả mãn phơng trình

3.6.1 Mệnh đề 4 Nếu các aịj (i,j = 1,2, ,n không đồng thời bằng 0 (tức

khi đó ta nói siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh ra siêu mặt bậc hai Afin (S')

hai xạ ảnh duy nhất

Chứng minh xem [2].

3.6.4 Mệnh đề 6 Điểm I của An là tâm của (S') khi và chỉ khi nó liênhợp với mọi điểm của W đối với (S) Đặc biệt, nếu (S) không suy biến và khôngtiếp xúc với W thì (S') có tâm duy nhất Đó là điểm đối cực của W đối với (S).Chứng minh xem [2]

3.7 Các thể hiện Afin của các đờng conic trong A 2.

là mặt phẳng Afin thực

- Đờng Elip, nếu (S) không cắt W

- Đờng Hybebol, nếu (S) cắt W tại hai điểm thực phân biệt

- Đờng Parabol, nếu (S) tiếp với W

3.8 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit

ảnh của không gian Ơclít n chiều bằng cách định nghĩa một tính vô hớng cho

1 nếu i = j; i, j = 1,n

siêu phẳng vô tận W xét một siêu phẳng trái xoan ảo (T) có phơng trình đối với

x0 = 0

x1 + x2 + + xn2 = 0

phép đồng dạng khi và chỉ khi nó đợc sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnh của

hay [x'] = A [x] (4), trong đó [x] =

x1

x2

[x'] t (A.At)-1 [x'] = 0

Ngợc lại, nếu phép biến đổi xạ ảnh (2) biến (T) thành chính nó, tức là

3.10 Định nghĩa Ký hiệu K0 là nhóm tất cả các phép biến đổi xạ ảnh

Xét tập hợp các phép xạ ảnh giữ nguyên W và giữ nguyên tuyệt đối (T) thì tập

3.11 ý nghĩa xạ ảnh của tính vuông góc trong E n

3.11.1/ Định lý Điều kiện cần và đủ để hai đờng thẳng a và b vuông góc

với nhau là hai điểm vô tận của chúng liên hợp với nhau đối với cái tuyệt đối(T)

lần lợt là hai điểm vô vận trên a và b Đờng thẳng AB cắt cái tuyệt đối (T) tại

công thức Laghe

3.12 Siêu mặt bậc hai trong E n

sinh ra siêu mặt bậc hai (S').

3.13 Định lý Mỗi một siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit En là mộtsiêu cầu khi và chỉ khi nó cắt siêu phẳng vô tận W theo cái tuyệt đối (T)

với mục tiêu trực chuẩn là

∑

i, j = 0Giao của (S) với siêu phẳng vô tận W là tập hợp

3.14 Phơng chính của siêu mặt bậc hai trong E n

- Nếu (S') là siêu cầu thì mọi phơng đều là phơng chính

3.15 Thể hiện mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit trong P 2

x12 + x22 = 0

I = (0 : 1 : i) và j = (0 : 1: - i)

Hai điểm đó gọi là hai điểm xiclic của mặt phẳng Ơclit

aij xi xj = 0

aij xi xj = 0

Nh vậy A, B chia điều hoà hai điểm xiclic I, J.

Điều kiện đủ: Ta có [A, B, I, J] = - 1

- a1b1 + ib1a2 - ia1b2 - a2b2

⇔ - a1b1 - ia2b1 + ia1b2 - a2b2 = a1b1 - ia2b1 + ia1b2 + a2b2.

⇔ 2 (a1b1 + a2b2) = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 = 0

24

Vậy a, b vuông góc với nhau.

Định lý đợc chứng minh

là đờng đối cực của F đối với Ovan (C)

Nh vậy, tiêu điểm F là giao điểm của hai tiếp tuyến về từ I và J tới Ovan(C) đó là các đờng thẳng ảo

Nếu (C') là đờng tròn thì (C) đi qua hai điểm xiclic I, J Khi đó F chính làgiao điểm của hai tiếp tuyến tại I và J Nh vậy F là điểm đối cực của đờng thẳng W

đối với (C) nên F là tâm của đờng tròn (C') Trong trờng hợp này đờng chuẩnkhông có, hay ta có thể nói đờng chuẩn là đờng thẳng vô tận W

Nếu (C') không phải là đờng tròn thì qua I, cũng nh quan J, có hai tiếptuyến với C)

Khi (C') là parabol thì W tiếp xúc với (C) Do đó trong 4 tiếp tuyến nói trên cóhai tiếp tuyến trùng nhau và trùng với W Hai tiếp tuyến còn lại là ảo liên hợp nên cắtnhau tại điểm thực F Vậy parabol có một tiêu điểm F và một đờng chuẩn

Khi (C') không phải là Parabol thì W không cắt (C) hay W cắt (C) tại hai

điểm phân biệt, 4 tiếp tuyến trên là phân biệt và chia thành hai cặp ảo liên hợp.Vậy (C') có hai tiêu điểm và hai đờng chuẩn

định duy nhất qua ba điểm thực A, B, C và hai diểm xyclic I, J, trong đó không

tận đi qua I, J không có điểm chung thực với (C), thì đờng Ovan (C) sẽ sinh ra

Vậy qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C luôn có một đờng tròn duynhất đi qua chúng.

Đ4 ứng dụng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit

A - Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit để giải các bài toán trong mặt phẳng Ơclit

Trong mục này chúng tôi trình bày các bài toán Ơclit là bài toán gốc rồibằng cách bổ sung thêm đờng thẳng vô tận ta có bài toán xạ ảnh tơng ứng và

26

chứng minh nó trong không gian xạ ảnh, kết quả đợc chứng minh trong khônggian xạ ảnh cũng chính là kết quả trong không gian Ơclit.

A.1 Bài toán Ơclit 1

Chứng minh rằng ba đờng cao của một tam giác đồng quy

Đối với bài toán này ta dễ dàng chứng minh bằng kiến thức của hình họcsơ cấp Giờ ta phân tích bài toán Ơclit 1 để chuyển sang bài toán xạ ảnh trongkhông gian xạ ảnh và giải nó trong không gian xạ ảnh

* Ba đờng thẳng x, y, z đi qua A, B ,C thể hiện ba đờng cao của tam giác

hoà I, J Khi đó 3 đờng thẳng x, y, z đồng quy

Bài toán xạ ảnh tơng ứng

sao cho [PEIJ] = - 1, [QFIJ] = - 1, [RKIJ] = - 1

Chứng minh ba đờng thẳng x, y, z đồng quy

Chứng minh: Ta dùng phơng pháp toạ độ

z

B y

Giả sử E (x0E, x1E, x2E), F (xoF, x1F, x2F), K (xoK, x1K, x2K) đối với (1) Ta có

A.2 Bài toán Ơclit 2:

Chứng minh rằng đối với Parabol

a/ Đờng chuẩn và tiếp tuyến tại đỉnh luôn luôn vuông góc với trục đốixứng của nó

b/ Đỉnh của nó là trung điểm của đoạn thẳng nối tiêu điểm của nó vớigiao điểm của đờng chuẩn và trục đối xứng

Đối với bài toán này ta cũng có thể chứng minh đợc trong không gian

Ơclit bằng cách sử dụng các kiến thức của hình học sơ cấp Giờ ta xét nó trong