Về một số đường trên siêu mặt trong không gian euclid n chiều en

Trong bộ môn Hình học vi phân, lý thuyết về đờng và mặt có thể nói làmột vấn đề rất quan trọng,nó có rất nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học màcòn trong cả những ngành khoa học khác

Môc lôc

Trang

Lêi nãi ®Çu

Trong bộ môn Hình học vi phân, lý thuyết về đờng và mặt có thể nói làmột vấn đề rất quan trọng,nó có rất nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học màcòn trong cả những ngành khoa học khác có liên quan.

En và các loại đờng thờng gặp là đờng chính khúc và đờng tiệm cận trên siêu mặttrong En

Cấu trúc luận văn: Gồm 4 mục

Đ1 Một số kiến thức về đờng và siêu mặt trong E n :

Mục này trình bày các khái niệm cơ bản trên mặt và định nghĩa siêu mặt,

đồng thời trình bày một số khái niệm có liên quan đến đờng và siêu mặt trên En

Đ2 ánh xạ Weingarten trên siêu mặt:

Mục này trình bày định nghĩa và tính chất của ánh xạ Weingarten trên siêumặt Trên cơ sở đó đi đến trình bày các khái niệm độ cong Gauss, độ cong trungbình, các dạng cơ bản I và II, công thức Meusnier, công thức Euler trên siêu mặt

Đ3 Đờng chính khúc trên siêu mặt:

Mục này trình bày định nghĩa đờng chính khúc và phơng trình vi phân của

đờng chính khúc trên siêu mặt trong tham số hoá địa phơng Ngoài ra, chúng tôicòn trình bày và chứng minh đợc một số tính chất của đờng chính khúc trên siêumặt (mệnh đề 3.4.1, 3.4.3, 3.4.5 , 3.4.6.) đồng thời nêu một số ví dụ về phơngtrình vi phân của đờng chính khúc trên các mặt trong E3

Đ4 Đờng tiệm cận trên siêu mặt:

Mục này đã trình bày đợc định nghĩa và phơng trình vi phân của đờng tiệmcận trên siêu mặt, chỉ ra một số ví dụ về phơng trình vi phân của đờng tiệm cận

tính chất của đờng tiệm cận trên siêu mặt (mệnh đề 4.4.1 , 4.4.3, 4.4.4, 4.4.5)

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo - Tiến sỹNguyễn Duy Bình Tôi xin đợc bày tỏ tấm lòng biết ơn chân thành đến thầy

2

Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trờng Đại học Vinh;cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn.

Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực của bản thân nên luận vănkhông tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự quan tâm đóng góp ý kiến củathầy cô và các bạn

Vinh, ngày 02 tháng 5 năm 2005

Đ1 Một số kiến thức về ĐƯờNG Và siêu mặt TRONG En

1.1.Mảnh tham số:

(u1, u2, …un - 1)  r (u1, u2, …un - 1)gọi là một mảnh tham số (n - 1) chiều trong En (ta vẫn đòi hỏi r khả vi đếnlớp cần thiết).

1

0 2

0

1 u u n−

tuyến tính

Điểm không chính quy gọi là điểm kỳ dị

Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy

1.2 Mảnh hình học:

của một dìm, đồng phôi lên ảnh r: U -> En từ một tập mở U trong Rn- 1 vào En, gọi

là một tham số hóa của mảnh hình học S

1.3 Đa tạp n - 1 chiều trong E n :

Tập con không rông S của En gọi là một đa tạp n - 1 chiều trong Ennếu mỗi

hoá của mảnh hình học này gọi là một tham số hoá địa phơng của S

Từ nay về sau, ta gọi n đa tạp n - 1chiều (đợc định nghĩa nh trên) là mộtsiêu mặt n - 1 chiều trong En

1.4 Một số định nghĩa và khái niệm có liên quan:

1

0 2

phẳng đi qua điểm p0 ( u0

1.4.3 Khái niệm tích có hớng trong không gian vec tơ Euclid n

a e a

a1 = 11 1 + 12 2 + + 1

n

n e a e

a e a

a2 = 21 1 + 22 2 + + 2

…………

n n n n

n

n n n n

n n

a a a

a a a

e e

e

n

11211

11211

21

(là định thức khai triển theo dòng đầu)

1.4.4 Khái niệm vectơ tiếp xúc với siêu mặt S tại p: Tiếp sau đây siêu mặt S đợc giả thiết là chính quy.

tf

fo dt

d f

=

(Gọi là Vectơ tiếp xúc với đa tạp (hay siêu mặt) S tại P)

Nếu r : U→ S

(u1, u2… un-1)  r (u1, u2… un-1) là một tham số hoá của siêu mặt S trong

' 1

' 1

' 2

' 1 0

u

un u

u

r r

r

r r

r r

Không gian vectơ tiếp xúc của S tại p đợc ký hiệu là TpS

của S tại p0 gọi là pháp tuyến của S tại p0

với mỗi điểm p∈S một hớng của TpS Ta đă biết: Với mọi p∈S có thể xác định

1 ) ( n==i

ui p

có tính chất sau: Siêu mặt S trong En định hớng đợc khi và chỉ khi có trờng Vectơpháp tuyến đơn vị khả vi trên S

=> Mặt cầu S định hớng đợc

1.4.6 Cung trong E n :

Định nghĩa: 2 cung tham số ρ: J → En và r: I → En

6

t = λ sao cho r 0 λ= ρ

Đây là một quan hệ tơng đơng

của lớp tơng đơng đó gọi là 1 tham số hoá của cung

Định nghĩa: Cho cung Γ xác định bởi ρ :J →E n

)

(t

t ρ

Điểm t0 của Γ mà ρ ' (t0) ≠ 0 gọi là một điểm chính quy của Γ

Cung mà mọi điểm đều là điểm chính quy thì gọi là cung chính quy

Điểm song chính quy:

điểm song chính quy của Γ, nếu hệ { ρ (' t ), ρ " ( t ) } độc lập tuyến tính

chính quy

1.4.6.1 Trờng vectơ tiếo xúc đơn vị dọc cung:

Với mỗi tham số hoá ρ: J → En của Γ, xét trờng vectơ Xρ dọc ρ

cho bởi ( ) ''(( ))

t

t t

X

ρ

ρ

định hớng của cung), đợc ký hiệu là T

Cho Γ là cung chính quy Với mỗi tham số hoá tự nhiên: r:s r(s)

Giả sử Γ là đờng cong siêu chính quy trong En, tức là hệ vectơ

{ρ ' , ρ (n− 1 )} độc lập tuyến tính

Γ có tham số hoá tự nhiên r = s  r (s)

Ký hiệu T1 = <T> với T = r' là không gian vectơ tiếp xúc bởi r'

Dọc đờng cong Γ luôn tồn tại hệ trờng vectơ trực chuẩn:

{Γ1, Γi} thoả mãn 2 điều kiện sau:

1 )

1 ( ) ,

{ } { }( 4 )

1 )

3 (

Cho Γ là đờng cong trong En, r = s→r (s)là tham số hoá tự nhiên của nó,

Γ 1,…., Γ n) là trờng mục tiêu Frénet dọc Γ

2 = − Γ + Γ

Γ k k

4 4 2 3

n

Γ− −1 −2

' 1

Gọi là công thức Frénet của đờng cong trong En, trong đó k i(i = 1 ,n− 1)gọi là độ cong thứ i của đờng cong

Đ2 ánh xạ Weingarten trên siêu mặt 2.1 Định nghĩa:

Giả sử S là đa tạp n - 1 chiều định hớng trong En (hay siêu mặt (n-1) chiều

S định hớng trong En) có hớng xác định bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị trên S.Với mọi α ∈T P S ta có:

h p α α

α  ( ) = −

Gọi là ánh xạ Weingarten tại p

Cụi thể: Lấy cung ρ: J → S

t ρ(t) mà ρ' t( ) = α

Th× hp ( α ) vect¬ tiÕp xóc trong En t¹i p mµ hp ( α ) = - (n0ρ )' (t0)

=

ui

d

r n

uj r

Vì (n0r)0 r uj' = 0 nên suy ra

ui

d

r n

h p α α

α  ( ) = −

Là ánh xạ Weingarten tại p

Vì hp là ánh xạ tuyến tính, đối xứng nên có các giá trị riêng là số thực

- Các vectơ riêng của hp gọi là các phơng chính của S tại p

- Các giá trị riêng của hp gọi là các độ cong chính của S tại p

Nếu hp có n - 1 gia trị riêng thực đôi một khác nhau k1,… kn-1

k1 ≠ k2 ≠ … ≠ kn-1

thì khi đó n - 1 phơng chính hoàn toàn xác định và đôi một vuông góc vớinhau nên tồn tại {e1, e2,… en-1} là hệ (n - 1) vectơ riêng trực chuẩn của TpS:

hp (e1) = k1e1

k , , k , k )

(p = 1 2 … … n - 1

Đặc biệt, trong trờng hợp hp có 1 giá trị riêng (bội n - 1) thì:

H(p) = k1 và K(p) = (k1)n-1

2.3.6 Điểm p mà tại đó k1= k2=…=kn-1 gọi là điểm rốn của S

Nếu k1 = k2 =…= kn-1 = 0 thì p gọi là điểm dẹt

Nếu k1 = k2 =…= kn-1 ≠ 0 thì p gọi là điểm cầu

⇒ ( )n0ρ =ρR'

Do đó:

R R

t

h p α =− ρ ' ( ) =−α )

(

Mọi điểm của S đều là điểm cầu và

R p

H( ) = −1

1

1 )

r

n

ui ui

lấy đạo hàm 2 vế theo uj ta đợc

uj ui ui

uj uj

ui

r k r k r

n

∂

∂

∂ +

2 ( )

Đổi vai trò của i, j cho nhau ta có:

ui uj uj

ui ui

uj

r k r k r

n

∂

∂

∂ +

2 ( )

có:

uj ui ui

uj

r k r

r r

, độc lập tuyến tính (với i≠ j) nên:

0

' ' = uj =

Thực vậy: Trên mỗi tập mở liên thông của S mà có trờng vectơ pháp tuyến

đơn vị n thì ta có Dn = 0 (do hp = 0 với ∀p∈S) nên n là trờng vectơ song songtrên tập đó

Vậy, do S liên thông, nó đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vịsong song n dọc S

Lấy p∈S , ∀q∈S, lấy cung số ρ :[ ]0 , 1 →M

t ρ(t)

Sao cho ρ(0) = p và ρ (1) = q

Xét ϕ :[ ]0 , 1 →R

n t p

t) ( )

0 ) ( ' )

ờng hợp 2: K = (k)n, mọi điểm của S đều là cầu

Thật vậy: Trên mỗi tập mở liên thông của S mà có trờng vectơ pháp tyến

đơn vị n, với ∀ α ∈T P S , hp(α) = kα với p thuộc tập mở đó

Với cung tham số ρ :[ ]0 , 1 →M

r' ( )=ρ' ( )+ (ρ'( ))

=

k

t k

t) '( )(

Oρ = ρ

14

= k1Nên mọi ρ(t) thuộc siêu cầu  

k

O, 1

Lấy điểm p∈S, với ∀q∈S, lấy cung tham số ρ1: [0,1] → S sao cho

p = ρ1(0) và q = ρ1(1)

con có ảnh nằm trong 1 tập mở liên thông của M trên đó có trờng vectơ pháptuyến đơn vị nói trên

=> Các điểm O trên mỗi đoạn con đó là trùng nhau

Vậy, với ∀ t ∈ [ ] 0 1, , ρ ( t ) ∈ siêu cầu 

IIp: TpS x TpS → R

β α β

Là những dạng song tuyến tính, đối xứng trên TpS

Chúng đợc gọi theo thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p

Ký hiệu I p( α , α ) =I p( α ) : II p( α , α ) =II p( α ) và khi p thay đổi thì dùng

ký hiệu I, II

Giả sử r: (u1 , u2…., un-1)  r(u1 , u2…, un-1) là tham số hoá địa phơng của S:

1 2

0 ' ( )uj uj.( )ui

0 )

( )

'

2 2

1

2 2

u

u u

u

r r

r

r r

trong S, γ có tham số hoá tự nhiên là:

N(t0) là vectơ pháp tuyến chính của γ tại t0

n(ρ(t0)) là vectơ pháp tuyến đơn vị của S tại ρ(t0)

T (t0) là đờng vectơ tiếp xúc với đơn vị dọc γ

dt

16

dt

n D T n

dt

)

=

)

(T II

dt

DT

=

( ( )) ( ) ( ) ( ( )).

) (t0 n t0 k t0 N t0 n t0dt

( ( )) ( ( ))

) (

i e a

= )

2

i n i

i k a

=

(*)C«ng thøc (*) gäi lµ c«ng thøc Euler trªn siªu mÆt

Chøng minh: Víi mçi vect¬ riªng e cña hp øng víi gi¸ trÞ riªng ~

k th×:

e k e

h p( ) =~.

) ( )

e e

e e k e I

e II e

VËy ta cã: nÕu {e1, e2… en-1} lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña TpS gåm nh÷ngvect¬ riªng cña hp th×:

~ 1 1

~

~ 2 2

~

~ 1 1

~

) ( ;

) (

; )

j i

~ 2 1

~

) ( =a k + +a n− k n−

=

1 1

~ 2

n i i

i k a

18

3.2 Xây dựng phơng trình dạng vi phân của họ các đờng chính khúc trên diêu mặt S trong E n :

'

1 1 1

2 2

R a k

) (

) ( )

2 1

−

= ( 0 ). uj'

ui

r d

r n D

Nhân vô hớng 2 vế của (*) với R u2 ta đợc:

2 1 2

2 2

2 1

3.3 Đờng chính khúc của một số mặt trong E 3 :

Trong E3, mặt S có tham số hoá địa phơng là:

r: U → S

(u, v)  r (u, v)

thì phơng trình vi phân của đờng chính khúc của mặt S là:

20

Ndv Mdu

Mdv Ldu

Edv Edu

Víi E, F, G vµ L, M, N theo thø tù lµ c¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n I vµ II cña

S trong tham sè ho¸ r

3.3.1 MÆt trô:

Tham sè ho¸ cña mÆt cã d¹ng:

r (u, v) = (a cos u, a sin u, v)

Ta cã: r u' = ( −asinu,acos,o)

) 1 , 0 , 0 (

' =

v r

a

o a u a r

r

r r r

n

v u

v

' '

' ' 0

r uu = −

) 0 ,0 ,0 (

" =

vv

r

) 0 ,0 ,0 (

M =

2 2

"

(

v h

h r

2

2

222

2

= +

+ +

dv

du v

h

h

du h v

dv v

h

h

du v h dv

du h v dv

2 2

2 2

du

2 2

Vậy đờng chính khúc của mặt đinh ốc đứng có phơng trình:

C h v v

3.3.3 Mặt trụ parabolic:

Tham số hoá của mặt có dạng

) 0 ( ) , 2 , 2 ( ) , (u v = pu pu2 v p≠

r

Ta có: r u' = ( 2p, 4pu, 0 )

) 1 , 0 , 0 (

' =

v r

1 4

0 , 1 , 2 (

2 '

'

' ' 0

r

r r r n

v u

v u

22

)0 , 4 ,0 (

r uu =

)0 ,0 ,0 (

" =

uv

r

)0 , 0 ,0 (

4

u u

Vậy trên mặt parabolic các đờng chính khúc là các đờng toạ độ

3.4 Một số tính chất của đờng chính khúc trên siêu mặt:

3.4.1 Mệnh đề:

Nếu mọi điểm của siêu mặt S đều là điểm rốn thì mọi đờng trên S là đờng chính khúc

Chứng minh: Vì mọi điểm của siêu mặt S là điểm rốn

=> hp có đúng một giá trị riêng bội (k - 1), thực sao cho:

hp ( α ) = kα với ∀ α

=> Mọi phơng đều là phơng chính

=> Mọi đờng trên S đều là đờng chính khúc

3.4.2 Ví dụ:

a) S là siêu phẳng thì mọi đờng trên S đều là đờng chính khúc

Thật vậy: Vì S là siêu phẳng nên trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n của S là trờng vectơ song song nên hp = 0, với ∀p∈S

=> Mọi điểm của S đều là điểm rốn

Theo mệnh đề trên thì mọi đờng trên S là đờng chính khúc

b) S là siêu cầu thì mọi đờng trên S đều là đờng chính khúc

Thật vậy, S là siêu cầu bán kính R, khi đó n là trờng vectơ pháp tuyến đơn

R R

t

hp( ) = − '( 0) = −1

=> Mọi điểm của S đều là điểm rốn

=> Mọi đờng trên S đều là đờng chính khúc

3.4.3 Mệnh đề:

Các đờng toạ độ của siêu mặt S là các đờng chính khúc khi và chỉ khi

24

0

' 0

' '

xi j

xj xi

r dx

r n D

r r

r dx

r n D

j j

x j

r k r h r

dx

r n D

Chứng minh: Theo định nghĩa đờng chính khúc trên siêu mặt thì:

Đờng trên siêu mặt S trong En mà phơng tiếp xúc tại mỗi điểm là phơng chính của S tại đó gọi là 1 đờng chính khúc của S, tơng đơng với điều kiện các vec tơ tiếp xúc của đờng trên siêu mặt S là phơng chính

Giả sử α là một véc tơ tiếp xúc bất kỳ của đờng trên siêu mặt (tại p)

Do αlà phơng chính nên tồn tại k∈R sao cho: hp(α) = kα

Độ cong pháp dạng k(α) = II I((αα))

=

α α

α α

.

).

(

p h

= αα αα

).

(k

= k

pháp tuyến đơn vị của S dọc γ thì γ là đờng chính khúc trên siêu mặt S khi và

chỉ khi Dγ 'n và γcộng tuyến với nhau tại mỗi điểm.

n Nếu đờng chính khúc γ thuộc vào S∧ ~

S thì góc tạo bởi 2 siêu mặt S vàS~ dọc γ là không đổi.

S nên ta có:

26

Khi đó α= a1Ru1 + a2Ru2 +…an-1Run−1

với Ru1= r u′ 1; Ru2= r u′ 2 ;…; Run− 1= r u′n− 1

a1, a2,…an-1 ∈R và a1 +a2 + +a n−1 ≠ 0,

xác định 1 phơng tiệm cận của S tại r (u1, u2,…un-1) = p

khi và chỉ khi k~ (α) = 0 ⇔ II(α) = 0

⇔ hp(α).α = 0

⇔ hp (a1Ru1 + a2Ru 2 +…an-1Run−1) (a1Ru 1 + a2Ru 2 +…an-1Run−1) = 0

1 2

1 1

2 1 0

2

1 ( ) 1. 1 ( ) 2. 2 ( ) 1. 1

n

u u n

u u u

r n a

+ +

+

′

′ +

′

0 1 2 0

2 2 0

2

1a (n r)u12 r u1 a (n r)u2 r u2 a a n (n r)u2 r u n1

a

+ +

′ +

+ + − ( ) − − ( ) − '

0 2 1

' 0

1

2a n r r u u a n r r u u a a n n r r u u n

a

+ +

+ +

+ +

2 12 2 1 1 1 1 1 12

2 1 11

2 1 11

2 1

1 1

2 1

1 2 1 2 1 1 1 1 1

2 1 2

2

2

0 )

(

h a h

a a h

a a h a

h a

h a a h

a a h

a a

n n

n n n

n n n

n n

n

+ +

+ +

⇔

= +

+

+ +

+ + +

(

1 1

2 1

dt

du a dt

du

2 2

(

2 )

2

2

)

1 1

2 1 2 22

2 2 1 1 1 1 12

2 1 11

0 )

( 2

)

2 12 2 1 11 2

Tham sè ho¸ cña mÆt lµ:

r (u,v) = (a cosu,a sinu,v)

Ta cã: r'u = (- a sinu, acos,0)

L du2 + 2M dudv + N dv2 = 0

const o

du a

du a

Vậy, mặt trụ các đơng tiệm cận là các đờng toạ độ.

4.3.2 Mặt nón:

Tham số hoá của mặt có dạng:

r(u,v) = (v cosu, v sin u, v)

Ta có: r'u = (- v cosu, v cosu, 0)

r'v = (cosu, sin u, 0)r"uu= (- v cosu, - v sinu, 0)r" = (0, 0, 0)

2

) , sin , cos (

0

u

v u v u v r

r

r r r

n

v u

Vậy, đờng tiệm cận của mặt nón là các đờng toạ độ

4.4 Một số tính chất của đờng tiệm cận trên siêu mặt:

1 +a + +a n− =

2 1 1

~ 2

2 2

~ 2 1 1

cong chính của S tại p)

γ bằng 0:

0 ) (

~ 2

2 2

~ 2 1 1

~

= +

+ +

Giả sử S là siêu mặt có các độ cong chính cùng dấu:

Gọi {e1, e2,…en-1}là một cơ sở trực chuẩn TpS, gồm các vectơ riêng của hp

Từ công thức Euler: α = a1e1 + a2e2 +…….+ an-1en-a với 1 1

a

1 1 2

2 2 2 1 1

~

.

) ( =k a +k a + +k n− a n−

Vì các k i,i = 1 ,n− 1 cùng dấu nên k~(α) cùng dấu với mọi k i, (i = 1 ,n− 1 )

=> k~(α)≠0 với ∀ α ∈T P S−{ }0

=> α không là phơng tiệm cận của S

=> S không có đờng tiệm cận

4.4.4 Mệnh đề:

Mỗi cung thẳng nằm tren siêu mặt S là một đờng tiệm cận của S

tham số hoá: ρ : J→S

)

(t

t ρVì γ là cung thẳng nên k(t0) = 0

Đờng cong γ cho trên siêu mặt S trong En mà độ cong của γ khác 0 tại

mọi điểm thì khi đó γ là đờng tiệm cận của S khi và chỉ khi 2 - phẳng mật tiếp

của đờng cong γ thuộc vào siêu phẳng tiếp xúc của S.

=> 2- phẳng mặtt tiếp của γ tại s0 thuộc vào siêu phẳng tiếp xúc với S

tại s0

Giả sử 2 - phẳng mật tiếp của γ tại s0 thuộc vào TpS.

=> n(ρ (t0)). N(s0) = 0

=> k~(T(s0)) = 0

=> γ là đờng tiệm cận của S.

Tài liệu tham khảo