Một số tính chất hình học của không gian banach và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn

Chúng thu hút nhiều nhà toánhọc quan tâm nh Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Ky Fan,…Việc mởViệc mởrộng các kết quả về điểm bất động của lớp ánh xạ co cho lớp các ánh xạkhông giãn tr

Phạm thị mừng

Banach và sự tồn tại điểm bất động

Chơng I Một số tính chất hình học của không gian Banach 3

1.2 Không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc 5

Chơng II Sự tồn tại điểm bất động đối với lớp các ánh xạ

không giãn

34

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bả 342.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co 362.2.1 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric 362.2.2 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian giả mêtric 382.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach 40

Lời giới thiệu

Các định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ thứ 20,trong đó phải kể đến là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912 ) và nguyên lý

ánh xạ co Banach(1922) Các kết quả kinh điển này đã đợc mở rộng cho nhiềulớp không gian và nhiều lớp ánh xạ khác nhau Chúng thu hút nhiều nhà toánhọc quan tâm nh Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Ky Fan,…Việc mởViệc mởrộng các kết quả về điểm bất động của lớp ánh xạ co cho lớp các ánh xạkhông giãn trong không gian Banach phải cần đến các tính chất hình học củakhông gian Banach nh tính chất lồi chặt, lồi đều, cấu trúc chuẩn tắc,…Việc mở

Mục đích của chúng tôi là tìm hiểu, nghiên cứu một số tính chất hìnhhọc của không gian Banach và sự tồn tại điểm bất động đối với lớp ánh xạkhông giãn Với mục đích đó luận văn đợc trình bày thành hai chơng

Chơng I: Một số tính chất hình học của không gian Banach

1.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng trongluận văn

1.2 Không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của bán kínhChebyshev, tâm Chebyshev, không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc

1.3 Không gian Banach với tính lồi

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất của tính lồi chặt, lồi đềucủa không gian Banach

Chơng II: Sự tồn tại điểm bất động với lớp các ánh xạ không giãn

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng cho cácmục sau

2.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co

2.2.1 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric

Mục này trình bày điều kiện tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trongkhông gian mêtric

2.2.2 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian giả mêtric

Mục này trình bày điều kiện tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trongkhông gian giả mêtric.

2.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach

Mục này trình bày điều kiện tồn tại điểm bất động của ánh xạ khônggiãn trong không gian Banach liên quan đến tính lồi đều hoặc cấu trúc chuẩntắc của không gian

Các kết quả trình bày trong luận văn chủ yếu đã có trong các tài liệutham khảo [1], [4], [6] ở đây, ngoài việc trình bày lại các khái niệm, tính chấtcơ bản đã có và chứng minh chi tiết các kết quả trong các tài liệu tham khảochúng tôi đa ra các ví dụ, phản ví dụ, nhận xét và các kết quả Chẳng hạn nhNhận xét 1.2.2; Mệnh đề 1.2.7; 2.2.2.1; Định lý 2.2.2.2 Luận văn đợc hoànthành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Trongquá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận đợc sự quan tâm, giúp đỡ của các thầycô giáo, bạn bè cùng ngời thân Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành

và sâu sắc nhất tới thầy giáo hớng dẫn, tới các thầy cô trong tổ Giải tích, tớicác thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau Đại Học trờng Đại Học Vinh cùng tấtcả các bạn bè và gia đình đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn này

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những saisót Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luậnvăn hoàn thiện tốt hơn

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Chơng I Một số tính chất hình học của không gian Banach

1.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng trong các

1.1.2 Định nghĩa Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric

đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn thì đợc gọi là một không gian Banach.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Kíhiệu LE , F là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F

Trên L E , F nếu không nói khác thì chuẩn trên nó đợc hiểu là chuẩncủa ánh xạ tuyến tính liên tục:

 x f sup f

x  1

 , f  LE , F.Nếu F là không gian Banach thì L E , F là không gian Banach

1.1.4 Định nghĩa Giả sử E là không gian định chuẩn, E *=  phiếm hàmtuyến tính liên tục trên E = L E , K Ta gọi E * là không gian liên hợp hay đối ngẫu(thứ nhất) của E Đặt E **E * và gọi E * là không gian liên hợp thứ hai của

1.1.6 Định nghĩa Giả sử E là không gian định chuẩn Ta gọi tôpô yếunhất trong tất cả các tôpô trên E mà đối với chúng với mọi f  E * đều liên tục

là tôpô yếu trên E xác định bởi E * và kí hiệu là E , E *

1.1.7 Định nghĩa Giả sử  x n E, x  E Dãy  x n đợc gọi là hội tụ theo chuẩn (tơng ứng hội tụ yếu) tới x nếu x n hội tụ tới xtheo tôpô sinh bởichuẩn (tơng ứng tôpô yếu) trên E

Dãy  x n hội tụ tới x theo chuẩn là tơng đơng với x n  x  0

1.1.8 Định lý Giả sử  x n E, x  E Khi đó x n hội tụ yếu tới x khi

và chỉ khi f x n hội tụ tới  f x với mọi f  E *

1.1.9 Định nghĩa +) Tập con A của không gian Banach X đợc gọi là

đóng yếu nếu A đóng theo tôpô yếu

+) Tập con A của không gian Banach X đợc gọi là compact yếu nếu

A compact theo tôpô yếu

1.1.10 Định nghĩa Không gian Banach E đợc gọi là có tính chất Schur nếu trong E mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ theo chuẩn

1.1.11 Định nghĩa Tập con A của một không gian vectơ E đợc gọi

là lồi nếu mọi vectơ x , yA và với mọi số thực  0,1 ta có

 y A

x   

Tập con A của một không gian vectơ E đợc gọi là bị chặn nếu mọi lân

cận U của 0 trong E đều tồn tại một số tự nhiên n sao cho AnU 

 nx : xU

1.1.12 Định nghĩa Giả sử A là một tập con tùy ý của không gianvectơ tôpô X Bao lồi của A kí hiệu co A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyếntính hữu hạn i

1

1.2 Không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của bán kínhChebyshev, tâm Chebyshev, không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian Banach, A là tập bị chặn còn

B là tập bất kỳ trong X Ta gọi số

 A , B

r = inf{ sup{ x y : xA } : y  B}

là bán kính Chebyshev của A đối với B Ta viết r A thay cho rA , co A 

trong đó co A là bao lồi của A Ta gọi tập

A , B

Z = { y  B:sup{ x y : xA}= r A , B}

là tâm Chebyshev của A đối với B Ta viết Z A thay cho ZA , co A 

1.2.2 Nhận xét 1) Nếu A  a với a X thì

2) NÕu B  b víi b X th× r A , b = sup{ x b : xA }

lµ b¸n kÝnh nhá nhÊt cña c¸c h×nh cÇu t©m t¹i b , chøa A Z A , b   b

n n

x :

 1 0

0 2

0 2

0

0

n , n b

a nÕu

b a nÕu

n n n

n n n

a n ' n  n n  n  víi n  1 n , 0

a n ' n  n n  '     

Do đó

r b a sup b

2

2

1 1

2 2

n n

n

n n n n

n n

2

2

1 1

1

n n

n

n n

1

n n

n n n n n

0 0

1 1

Do đó b 'B Kết hợp với (1) ta có điều mâu thuẫn với da , B r Từ đósuy ra không tồn tại b để a b d a , B  Vậy Z A , B= ỉ

Trong Nhận xét trên, ta thấy Z A , B  có thể rỗng Do đó một câu hỏi đợc đặt

ra là với điều kiện nào thì Z A , B ỉ Mệnh đề sau trả lời một phần câuhỏi này

1.2.3 Mệnh đề Nếu A là tập bị chặn còn B là tập compact trong không gian Banach X thì Z A , B  ỉ.

Chứng minh Vì B là tập compact nên B là tập đóng và bị chặn Với

mỗi > 0 đặt



( A , B )

Z  yB : r ( A , y ) r ( A , B )   ,trong đó, ta viết r A , y  thay cho rA , y  Từ

A , B inf rA , y: y B

và tính chất của inf suy ra Z( A , B ) ỉ Bây giờ ta chứng minh Z( A , B ) là

tập đóng Giả sử  y n  Z( A , B ) , y n yB Với mọi x  A ta có

y y y

x y



( A , B )

Z  yB : r ( A , y ) r ( A , B )   .

x y

Không gian Banach X đợc gọi là có cấu trúc chuẩn tắc(tơng ứng, cấu trúc chuẩn tắc yếu) nếu mọi tập đờng kính đóng, lồi(tơng ứng, compact yếu,

lồi) khác rỗng của X là tập chỉ có một điểm

1.2.6 Mệnh đề 1) A là tập đờng kính khi và chỉ khi   Z A A ;

2) Không gian Banach X có cấu trúc chuẩn tắc khi và chỉ khi mỗi tập con lồi, bị chặn A có nhiều hơn một phần tử của X đều tồn tại x A và

2) Giả sử X là không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc và A là tậpcon lồi có nhiều hơn một phần tử trong X Khi đó A không là tập đờng kính.

Do đó diam A r A Mặt khác, từ A có nhiều hơn một phần tử và Địnhnghĩa của r A ta suy ra 0  r A  diam A Theo giả thiết A là tập lồi nên

từ Định nghĩa của r A ta suy ra r  r A , diamA Do đó diam A r A

và A không là tập đờng kính Theo Định nghĩa thì X có cấu trúc chuẩn tắc

Chú ý Ta có thể nghĩ rằng mọi không gian Banach đều thỏa mãn Mệnh

đề 1.2.6.(2) Mệnh đề sau đây cho chúng ta thấy có những không gian Banach

mà trong đó tồn tại những tập A là đóng, bị chặn có nhiều hơn một phần tử

j và j  0 với mọi j Từ đó suy ra 0 x n 1 vớimọi n và do đó với mọi y y n A ta có 0 y n  1 n Từ đó suy ra với

bất kỳ x  x n và y y nA ta có

n y

x n  n  1 

và do đó x  y  1 Vì thế diam A  1 Nh vậy diamA 1

Giả sử x x n A Khi đó x n  1 với mọi n và x n  0 khi n  .

Từ đó suy ra với mỗi m 1,2 ắt tồn tại n mN sao cho

1 1 1

1    





m x

1.2.8 Định nghĩa.([1]) Tập con K trong không gian định chuẩn X

đ-ợc gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con lồi, đóng, bị chặn H của

nó với diamH  0 đều chứa một điểm x H sao cho

 x z : z H  diamH

1.2.9 Ví dụ.([1]) Mọi tập hợp compact trong không gian Banach đều có

cấu trúc chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử tồn tại tập compact K trong không gian Banach

X nhng K không có cấu trúc chuẩn tắc Khi đó tồn tại một tập hợp lồi, đóng,

bị chặn H K với diamH  0 sao cho với mọi x H đều có

 x z : z H diamH

Lấy x1 tuỳ ý trong H và chọn x2H sao cho x1 x2 rdiamH (ở đây ta

sử dụng tính compact của H suy từ tính compact của K ) Vì x x H

n

x

x x

Từ đây ta đợc

x x

n

x x

Cứ tiếp tục quá trình này ta đợc một dãy trong H mà hiển nhiên khôngchứa dãy con hội tụ, trái với tính compact của H Do đó K có cấu trúc chuẩntắc

1.2.10 Định nghĩa Cho X là không gian Banach Hệ số cấu trúc chuẩn

chuẩn tắc của X đợc xác định bởi

 X

N = inf  

 A : A X , r

A diam









A là tập lồi, đóng, bị chặn với diamA 0 

1.2.11 Định nghĩa Đờng kính tiệm cận, bán kính và tâm tiệm cận của

một dãy x n trong không gian Banach X lần lợt đợc xác định bởi

 

 x  lim sup x x : n , m k

k n

n n

, x

n n

1.2.12 Định nghĩa Cho X là không gian Banach không có tính chất

Schur Hệ số dãy hội tụ yếu của X đợc xác định bởi

n a

x r

x diam inf

) X (

WCS :  x n  là dãy hội tụ yếu nhng không hội tụtheo chuẩn 

1.2.13 Chú ý ([6]) 1) Không gian Banach X có cấu trúc chuẩn tắc

nếu N(X) > 1, WCS(X) > 1.

2) Tồn tại không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc thoả mãn N(X) = 1

và WCS(X) = 1 Chẳng hạn nh trong không gian Banach

với chuẩn

2 1

Chứng minh Giả sử   x là một dãy trong n  l pvới đờng kính tiệm cận

A hội tụ yếu tới điểm z và

z x sup lim

y w

Chứng minh Giả sử X không phản xạ Khi đó theo [8] với mọi   0

luôn tồn tại một dãy  x n sao cho với mỗi n ta có

 

 j j n

n , w

, n n

1.2.16 Định lý Cho X là không gian Banach với WCS( X ) > 1 Khi

đó X có cấu trúc chuẩn tắc yếu.

Chứng minh Giả sử rằng X là không gian Banach với WCS(X ) > 1

nhng nó không có cấu trúc chuẩn tắc yếu Khi đó theo Định nghĩa 1.2.5, X

chứa một tập A lồi, compact yếu, đờng kính và có nhiều hơn một phần tử Kíhiệu ddiam A  0 và giả sử  0, d Chọn một điểm x1 bất kỳ thuộc A

Chúng ta có thể xây dựng một dãy  x n sao cho

n d x

i

x y

j

j

n n n

j j

n j

n j

j j j

n j

n

x x

n n

x n

x x

n n

x n

x

y

1 1

1 1

1 1

1 1

j

j

x n n n

1 1

j

n n

n j

j n

n n n

x x

y n

d

1

1 1

n n

x n n

x

1

1 1

n j

n n j

j

j

x x n

x n n

x n n

x

1 1 1

1 1

n j

j j

j

n n

x n n x

x

1 1

n j

j

n n x

x

1 1







1 1

1

1 1

j

n n x

d x

n

d n d n n n

thoả mãn tính chất Schur thì  x n hội tụ và do đó d 0 Đây là điều mâuthuẫn Ngợc lại, nếu y thuộc bao lồi của  x n suy ra yco x1, , x k  với

k nào đó Nếu n  k ta có

n d x

WCS ) Vậy X có cấu trúc chuẩn tắc yếu

1.2.17 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian đẳng cấu với

nhau, khoảng cách Banach - Mazur giữa X và Y đợc xác định bởi

 T T : T Isom ( X , Y )

inf ) Y , X (

trong đó IsomX , Y là tập tất cả các đẳng cấu từ X vào Y Rõ ràng,

X , Y 1

d nếu X và Y là các không gian đẳng cự với nhau

1.2.18 Định lý Cho X và Y là các không gian Banach đẳng cấu với

nhau Khi đó,

i) N(X)  d(X, Y) N(X);

ii) WCS(X)  d(X, Y) WCS(Y).

Chứng minh i) Giả sử C là một tập con lồi, bị chặn, đóng có nhiều hơn

một phần tử của Y Giả sử U : Y  X là phép đẳng cấu Khi đó U C là tậpcon lồi, bị chặn, đóng có nhiều hơn một phần tử của X

U X

N

C U diam U

1 1

C diam Y

, X d X

1.3 Không gian Banach với tính lồi

Trong mục này trình bày các khái niệm và tính chất của tính lồi chặt,lồi đều của không gian Banach

Tính chất hình học đầu tiên liên quan tới cấu trúc chuẩn tắc mà ta sẽ xét

Điều này tơng đơng với: nếu xy  x  y và y 0 thì x y vớimột   0 nào đó

1.3.2 Định nghĩa Không gian Banach X đợc gọi là lồi đều nếu với

mọi  0,2 đều tồn tại     0 sao cho với mọi x , yX mà

y x ,

B y , x

y x

Chứng minh 2) Giả sử X là không gian Hilbert và  0,2 Với mọi

2 2

2

y x y

ta có

2 2

2 2

2 2

2

y x

Từ đó, suy ra rằng với mọi  0,2 nên đặt

0 4 1 1

Từ các Định nghĩa 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 ta có các kết quả sau

1.3.5 Nhận xét X 0  0;0  X   1;X  không giảm theo .

1 3.6 Mệnh đề Giả sử X là không gian Banach Khi đó

1) X là lồi đều khi và chỉ khi 0 X  0;

2) X là lồi chặt khi và chỉ khi X  2  1.

Chứng minh 1) +) Điều kiện cần Giả sử X lồi đều, ta cần chứngminh 0 X  0 Vì X lồi đều nên với mọi  0,2 , tồn tại     0 sao chovới mọi x , yX mà x  1, y  1, x y   ta luôn có

Do đó X     0 với mọi  0,2 Mặt khác X 0  0 nên

Theo Định nghĩa 1.3.2, X là không gian lồi đều.

2) +) Điều kiện cần Giả sử X là lồi chặt, ta cần chứng minh X  2 1. Vì X lồi chặt nên theo Định nghĩa ta có: với mọi x  y mà x  1, y  1

ta có

y

x  Đây là điều mâu thuẫn.Vậy X lồi chặt.

1.3.7 Định lý Cho X là không gian Banach với mô đun lồi X Khi đó

d y z

và

d

d d

y x d

y z d

y z d

x z

y x



Từ Định lý 1.3.7, Chú ý 1.2.13 và Định lý 1.2.15 ta có nhận xét sau:

1.3.8 Nhận xét Nếu X 1  0 thì NX 1 và do đó X là không gian phản xạ, có cấu trúc chuẩn tắc.

1.3.9 Định nghĩa Giả sử X là một không gian mêtric và  x n là mộtdãy trong X Dãy  x n đợc gọi là tiệm cận đều nếu tồn tại  n m

m n

; m ,

 đợc phủ bởi hữu hạn các tập với đờng kính  

Ta cần chứng minh khẳng định sau: “ Luôn tồn tại một dãy con  y n của  x n

mà   z n   y n  với mọi dãy con  z n của  y n ” Để chứng minh khẳng

định trên, ta xác định quy nạp dãy  z n0  x n và