Một số đặc trưng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục

Chúng ta đã biết, khi có X, Y là các không gian tôpô là ánh xạ nào đó, chúng ta có khái niệm “f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu là tập mở trong Y, với mỗi tập mở V trong X”.. Cũng nh v

Trờng đại học vinh

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chơng 1 Một số kiến thức chuẩn Bị 3

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.2 Một số tính chất của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục 8

Chơng 2 một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở Và ánh xạ liên tục .11

2.1 Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo lớp các dãy hội tụ 11 2.2 Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục quan hệ bao hàm của tập hợp 16

Kết luận 25

Tài liệu tham khảo 26

Lời nói đầu

Chúng ta đã biết, khi có X, Y là các không gian tôpô

là ánh xạ nào đó, chúng ta có khái niệm “f là ánh xạ liên tục nếu

và chỉ nếu là tập mở trong Y, với mỗi tập mở V trong X”

Đặc biệt nếu X, Y là các không gian mêtric thì “f là ánh xạ liên tụcnếu và chỉ nếu , với mọi dãy mà

” Cũng nh vậy, ta biết “f là ánh xạ mở (đóng) nếu và chỉ nếuf(U) là tập mở (đóng) trong Y, với mỗi tập U mở (đóng) trong X”.Vậy một câu hỏi đặt ra “có thể có một đặc trng của các ánh xạ

đóng, mở và ánh xạ liên tục theo dãy hội tụ và theo quan hệ baohàm nào không?” Với mục đích để trả lời câu hỏi trên, khoá

luận này đã trình bày một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở

và ánh xạ liên tục trên các không gian tôpô.

Khoá luận đợc trình bày theo bố cục nh sau

Chơng1 trình bày một số kiến thức và tính chất cơ bản

của tôpô đại cơng và chứng minh một số tính chất làm cơ sở

cho các phần sau

Chơng2 một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạliên tục theo dãy hội tụ và theo quan hệ bao hàm tập hợp

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc

tới thầy giáo, PGS.TS Trần Văn Ân, ngời đã tận tình, trực tiếp

h-ớng dẫn tác giả hoàn thành khoá luận này

Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo,cô giáo trong tổ giải tích, Khoa Toán-Trờng Đại học Vinh và tậpthể lớp 46A-Toán đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập tại trờng

Do điều kiện thời gian và hạn chế về năng lực nên khoáluận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận

đợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 04 năm 2009

Tác giả

Chơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 các khái niệm cơ bản 1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp Họ cáctập con của X đợc gọi là một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn

(i)

(ii) Với mọi , thì ;

(iii) Với mọi họ thì

Khi đó, (X, ) đợc gọi là một không gian tôpô, mỗi phần tử của X đợc gọi là một điểm trong không gian tôpô (X, ) Mỗi tập A

đợc gọi là một tập mở nếu , phần bù của tập mở gọi là tập

đóng Nếu không sợ nhầm lẫn các tôpô trên X ta có thể viết

không gian X thay cho không gian (X, )

1.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta có các nhận xét

(i) và X là các tập mở;

(ii) Giao của hữu hạn các tập mở là một tập mở;

(iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là một tập mở

1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ) và B , B

đợc gọi là một cơ sở của tôpô nếu với mọi và với mọi tồn tại B sao cho

1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, ) là không gian tôpô,

Ta có định nghĩa

(i) Tập đợc gọi là một lân cận của điểm nếu tồn tại

sao cho

(ii) U( ) là họ các lân cận của Khi đó, họ con B( ) của U( )

đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm nếu mỗi lân cận V của tồn

tại một tập B( ) sao cho

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô và

Tập A điểm đợc gọi là điểm trong của A nếu tồn

tại một lân cận U của điểm sao cho U

Tập hợp các điểm trong của A gọi là phần trong của A và kí

hiệu là intA hoặc Ao

1.1.6 Nhận xét Giả sử X là không gian tôpô và A, B .

Khi đó ta có

(i) Ao là tập mở lớn nhất đợc chứa trong A;

(ii) A là tập mở nếu và chỉ nếu Ao = A;

(iii) Nếu thì

1.1.7 Mệnh đề Giả sử X là không gian tôpô và A, B Khi đó

1.1.8 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và

Giao của họ tất cả các tập đóng chứa A đợc gọi là bao

đóng của tập hợp A, và kí hiệu là cl(A) hoặc

1.1.9 Nhận xét Giả sử X là không gian tôpô và Khi

đó từ định nghĩa ta có nhận xét

(i) là tập đóng bé nhất chứa A;

(ii) A là tập đóng nếu và chỉ nếu ;

(iii) Nếu thì

1.1.10 Mệnh đề Cho không gian tôpô X và A, Khi

.

1.1.12 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô, dãy

đ-ợc gọi là hội tụ về điểm nếu với lân cận bất kỳ V của thìbắt đầu từ lúc nào đó các phần tử của dãy đều nằm trongV

Lúc đó, ta gọi là giới hạn của dãy Và kí hiệu là

1.1.13 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, là dãy

các tập con khác rỗng của X, đợc gọi là điểm tụ của dãy

nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy con của dãy và tơngứng có dãy , sao cho với mọi k và

Tập các điểm tụ của dãy đợc kí hiệu là lim An

Tơng tự, ta định nghĩa tập các điểm giới hạn của dãy

kí hiệu là lim An Khi đó nếu và chỉ nếu tồn tại dãy, với mọi n và

1.1.14 Mệnh đề ([5]) Cho X là không gian tôpô, là dãy các tập con khác rỗng của X Khi đó

(i) Với nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận U của

ta có U giao với vô hạn tập A n của dãy;

(ii) Với nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận U của

ta có U giao với An kể từ n nào đó trở đi.

1.1.15 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, là dãy các tập con khác rỗng của X Khi đó là một tập đóng.

Chứng minh Đặt A =

Nếu suy ra A tập đóng

Nếu thì ta sẽ chứng minh Trớc hết tachứng minh Thật vậy, lấy bất kì Giả sử U là lâncận bất kỳ của p, vì U giao vô hạn tập Ak nên với mọi ta có

Suy ra với mọi Do đó Vì vậy(1)

Mặt khác, lấy bất kì Giả sử , khi đó tồn tạimột lân cận U của q mà U chỉ giao với hữu hạn tập Ak, chẳnghạn: A1, A2…, Khi đó , suy ra Từ đó dẫn

đến mâu thuẫn Do đó q A Vì vậy (2)

Từ (1) và (2) ta có = Vậy lim An là một tập

š

1.1.16 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, kí hiệu là

phần bù của A trong X Khi đó ta có =

tập mở nên là tập đóng Khi đó, = (1)

Mặt khác, là tập đóng chứa do vậy suy ra

là tập mở chứa trong A, từ đó hay (2)

Từ (1) và (2) ta đợc =

š

1.1.17 Định nghĩa Hàm thoả mãn các điềukiện

(i) và khi và chỉ khi ;

(ii) với mọi x, y ;

(iii) với mọi x, y, z ;

đợc gọi là một mêtric trên X.

Không gian tuyến tính X cùng một mêtric d trên nó đợc gọi là

không gian mêtric tuyến tính nếu các phép toán cộng và nhân

với vô hớng liên tục theo tôpô sinh bởi mêtric d

1.1.18 Mệnh đề ([5]) Tập con F của không gian mêtric X

là tập đóng trong X khi và chỉ khi với một dãy bất kì những phần tử của F, nếu thì

(ii) f là ánh xạ đóng nếu và chỉ nếu f(A) là tập đóng trong

Y, với mọi tập đóng A trong X;

(iii) f là ánh xạ mở nếu và chỉ nếu f(A) là tập mở trong Y, với

mọi tập mở A trong X

1.2.2 Mệnh đề Cho X, Y là các không gian tôpô và f :

là một ánh xạ Khi đó, các mệnh đề sau là tơng đơng

(i) là ánh xạ liên tục;

(ii) là tập mở trong X, với mọi tập mở V trong Y;

(iii) là tập đóng trong X, với mọi tập đóng F trong Y; (iv) , với mọi tập con A của X;

(v) , với mọi tập con B của Y;

(vi) với mọi tập con B của Y.

Chứng minh (i)  (ii) Từ định nghĩa suy ra (i)  (ii).

(ii)  (iii) Giả sử có (ii) và F là tập đóng trong Y Khi đó làtập mở trong Y Theo (ii) là tập mở trong X Mà =

nên tập mở trong X Do đó là tập đóng

trong X, với mọi tập F đóng trong Y.

(iii)  (iv) Giả sử có (iii) và Vì là tập đóng trong

Y, nên theo (iii) là tập đóng trong X Mà nên

Suy ra , với mọi tập con A của X.

(iv)  (v) Giả sử có (iv) và B là tập con trong Y Theo (iv) lấy

của Y

(v)  (vi) Giả sử có (v) và B là tập con nào đó trong Y Khi

với mọi tập con B của Y.

(vi)  (ii) Giả sử có (vi) và V là tập mở bất kì trong Y Từ V

là tập mở trong Y, suy ra Vo=V Do vậy theo (vi) ta có

Suy ra , tức là là mộttập mở trong X Vậy f liên tục š

Chứng minh (i) Giả sử f là ánh xạ mở và A là tập con bất

kỳ trong X Ta có , suy ra Do f là ánh xạ mở nênf(Ao) là tập mở chứa trong f(A) Do vậy

Ngợc lại, giả sử có với mọi tập A  X và U là tập

mở bất kì trong X Khi đó U = Uo Nhờ giả thiết ta có

đóng trong Y, với F là tập đóng bất kì trong X Vậy f là ánh xạ

đóng š

1.2.4 Mệnh đề Cho X, Y là các không gian tôpô và

là ánh xạ liên tục và đóng Khi đó

(i) , với mọi tập ;

(ii) , với mọi tập

Chứng minh (i) Giả sử f là ánh xạ liên tục và đóng và A là

tập con trong X Vì f là liên tục nên từ Mệnh đề 1.2.2(iv) ta có

(1) Mặt khác, do f là ánh xạ đóng nên theo Mệnh đề1.2.3(ii) ta có (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(ii) Vì f liên tục nên theo Mệnh đề 1.2.2(v) ta có

(3), với mọi tập B trong Y Mặt khác, vì f là ánh xạ

đóng nên theo Mệnh đề 1.2.3(i) ta có , với mọi Ta

lấy Khi đó Suy ra Do đó ta

š

Chơng 2 Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở

và ánh xạ liên tục

2.1 Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở

và ánh xạ liên tục theo lớp các dãy hội tụ 2.1.1 Định nghĩa. Cho X, Y là không gian tôpô,

là một dãy trong X và ánh xạ Khi đó, đợc gọi là

một tập hợp các điểm tụ của dãy trong Y, nghĩa là

khi và chỉ khi có một dãy con của saocho dãy con tơng ứng của dãy hội tụ về y.

Kí hiệu tập hợp các điểm giới hạn của dãy là

2.1.2 Bổ đề Cho X, Y là các không gian mêtric và

là ánh xạ Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng

(i) là ánh xạ liên tục;

(ii) , với mọi dãy trong X mà ;

(iii) , với mọi dãy trong X mà ;

Chứng minh (ii)(i) Giả sử f không liên tục Khi đó, tồn tại

dãy trong X mà , nhng không hội tụ về y,trong đó với mọi n và f(x) = y Khi đó tồn tại dãy con

của dãy mà và một lân cận mở U của y  Y sao cho

với mọi k Nhng theo giả thiết , nghĩa là

Do đó, tồn tại dãy con của dãy để Vì thế tồn tại từ một lúc nào đó,

điều này mâu thuẫn với với mọi k Vậy f là ánh xạ liên tục

(iii)(ii) Là hiển nhiên

(i)(iii) Giả sử là dãy trong X mà Khi đó vì

f ánh xạ liên tục nên ta có Bây giờ giả sử

Khi đó tồn tại dãy con của dãy mà Ta có suy ra Do đó vì f liên tục nên Vì không gian mêtric Y là không gian hausdorff, nêndãy không thể hội tụ về hai phần tử khác nhau trong Y Do

đó ta có f(x) = y Vì vậy

dãy trong Y mà Vì f là ánh xạ mở nên f(X) là tập mởtrong Y

Nếu thì Từ đó suy ra (ii) đúng

Nếu , thì vì f(X) là tập mở nên ta có với mọi

n đủ lớn, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử , vớimọi n Nhờ Mệnh đề 1.1.15, tập là tập đóng trong X.Giả sử Khi đó tồn tại sao cho

với mọi Giả sử chúng ta đã chọn đợc sao

tại số tự nhiên sao cho với mọi Khi đó,

là dãy con của dãy Giả sử sao cho và ,tức với mọi k Ta có với mọi k và với mọi

không là tập đóng trong Y Do đó tồn tại dãy trong Y sao

tồn tại sao cho f(x) = y, tức Từ giả thiết

suy ra Do đó tồn tại dãy con của dãy và dãy trong X sao cho với mọi k

và Khi đó, với mọi k Thật vậy, giả sử tồn tại k sao cho

kéo theo mâu thuẫn với với mọ k Vì

là tập đóng, với mọi k và nên hay Điều nàydẫn đến mâu thuẫn

Vậy f là ánh xạ mở

š

2.1.4 Hệ quả Nếu là song ánh thì f là ánh xạ mở nếu và chỉ nếu là ánh xạ liên tục.

và V là tập mở bất kì trong X Vì là tập mở trong Y,

2.1.5 Hệ quả Cho X và Y là các không gian mêtric tuyến

tính và là một ánh xạ tuyến tính Khi đó, các mệnh đề sau là tơng đơng

(i) f là một ánh xạ liên tục;

(ii) với mọi mà .

Trong đó , lần lợt là phần tử không của X và Y.

Chứng minh (i)(ii) Giả sử f là ánh xạ liên tục Khi đó, theo

Định lý 2.1.2 ta có , với mọi dãy trong X mà

, do đó tồn tại dãy con của dãy để Từ đó tồn tại đến một lúc nào đó Điều nàymâu thuẫn với với mọi k Vậy f liên tục tại 0x

Mặt khác, do f là ánh xạ tuyến tính nên với x bất kỳ trong X,

ta có Vậy f liên tục với mọi

š

2.1.6 Mệnh đề Giả sử là một song ánh Khi đó, f

là ánh xạ đóng nếu với mọi dãy mà

.

Chứng minh Giả sử f không là ánh xạ đóng Khi đó tồn

tại tập E đóng trong X mà f(E) không là tập đóng trong Y Dof(E) không là tập đóng nên với mọi n, tồn tại sao cho

, nhng y Theo giả thiết Vì f

là song ánh, nên Vì f là song ánh và

nên với mọi n tồn tại sao cho Vì

và f là song ánh nên , với mọi n Từ đó do E là tập

đóng ta có Suy ra f(x)=y Điều này mâu thuẫn với y

Vậy f là ánh xạ đóng

š

2.2 Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở

và ánh xạ liên tục theo quan hệ bao hàm của tập hợp

Trong bài này ta luôn giả thiết X, Y là các không gian tôpô

2.2.1 Ký hiệu Cho ánh xạ và Khi đó ta kýhiệu

(ii) là tập bão hòa;

(iii) Nếu f là song ánh thì mọi tập đều là tập bão hòa,

2.2.4 Bổ đề Giả sử là ánh xạ và E, A, B là các tập con của X Khi đó

Chứng minh (i) Giả sử với A, Ta sẽ chứng minh

Do đó (1) Mặt khác, ta có .Thật vậy, lấy bất kì ta có và , khi

và , nên Từ đó ta có

.(vii) Chứng minh , với E là tập con của X Trớc hết tachứng minh Giả sử Lấy bất kì , ta có

suy ra dẫn đến Do đó

Ta chứng minh Giả sử Lấy bất kì suy ra Giả sử suy ra từ đó tồntại mà Suy ra tức Điều này

Từ (1) và (2) ta đợc

Từ đó ta chứng minh đợc và

(viii) Chứng minh Thật vậy, do nên

(1) Mặt khác giả sử , với bất kì ta có

(ix) Giả sử E là tập bão hòa trong X Ta sẽ chứng minh

Ta có (1) Do E là tập bão hòa nên Giả sử E ,lấy bất kì Khi đó tồn tại sao cho Vì

Chứng minh Giả sử f là một ánh xạ và E là tập con bão hòa

đối với f trong X Khi đó, ta có suy ra

Vậy tồn tại B=[f(E)]c là tập con của Y, saocho Ec=

Vậy Ec cũng là tập bão hòa đối với f

š

2.2.6 Bổ đề Giả sử là ánh xạ Khi đó, các mệnh

đề sau là tơng đơng

(i) f là toàn ánh;

(ii) với mọi tập con A của X;

(iii) với mọi tập con A của X;

(iv)

Chứng minh (i)(ii) Giả sử f là toàn ánh và A là tập con của

X Nhờ Bổ đề 2.2.4 ta có Do f là toàn ánh nênf(X) = Y Kết hợp với ta đợc Vậy

(ii)(iii) Giả sử có với mọi tập con A của X Do

(ii) , với mọi tập ;

(iii) là tập đóng trong Y, với mọi tập đóng F trong X.

Chứng minh (i)(ii) Giả sử f là ánh xạ mở và A là tập

con bất kì của X Nhờ Bổ đề 2.2.4 ta có Do đó

(ii)(iii) Giả sử có (ii) và F là một tập đóng bất kì trong X

Ta sẽ chứng minh là tập đóng trong Y Thật vậy, ta có , theo

Y

(iii)(i) Giả sử có (iii) và U là tập mở nào đó trong X Tacần chứng minh f(U) là tập mở trong Y Thật vậy, ta có là tập

đóng trong X, theo (iii) là tập đóng trong Y, mà

là tập đóng trong Y, suy ra f(U) là tập mở trong Y.Vậy f là ánh xạ mở š

2.2.8 Hệ quả Giả sử là toàn ánh Khi đó là ánh xạ

mở nếu và chỉ nếu với mọi tập con đóng F của X, ta có là tập đóng trong Y.

Chứng minh Giả sử f là một toàn ánh và F là tập đóng bất

kỳ trong X Theo Định lý 2.2.7 ta có f là ánh xạ mở nếu và chỉnếu là một tập đóng trong Y, với mọi tập đóng F trong X Lạivì f là toàn ánh nên nhờ Bổ đề 2.2.6 ta có Từ đó ta

có Hệ quả 2.2.8 š

2.2.9 Hệ quả Cho ánh xạ mở, toàn ánh Khi đó, với mỗi tập đóng bão hòa E của X thì là tập đóng trong Y Đặc biệt, nếu và là tập đóng trong X thì là tập đóng trong Y.

Chứng minh Giả sử f là ánh xạ mở, toàn ánh và E là tập

đóng bão hòa trong X Ta cần chứng minh f(E) là tập đóng trong

Y Thật vậy, do E là tập bão hòa nên Từ đó theo Hệ quả2.2.8 = là tập đóng trong Y, với E là tập đóng trong X.Vậy f(E) là tập đóng trong Y

Đặc biệt, vì là tập bão hòa, nên là tập đóng trong Y