Sự hội tụ mạnh và yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

Ở phần này, việc tìm hiểu sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không giãn, thường thực hiện theo giả thuyết là tập các điểm bất động được biết là không rỗng. Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || . ||. Nếu A và B là hai tập thuộc X, khoảng các giữa A và B cho bởi

Mục lục

Chương 1 Sự hội tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa

1.1 Định lý 1.1 3

1.2 Ví dụ 1.1 4

1.3 Định nghĩa 1.1 5

1.4 Định lý 1.2 5

1.5 Ví dụ 1.2 6

1.6 Định lý 1.3 6

1.7 Hê quả 1.1 7

1.8 Ví dụ 1.3 7

1.9 Định lý 1.4 9

1.10 Định lý 1.1’ 10

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn 11 2.1 Hệ quả 2.1 11

2.2 Hệ quả 2.2 13

2.3 Định nghĩa 2.1 13

2.4 Hệ quả 2.3 15

2.5 Định lý 2.1 17

Chương 3 Sự hội tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn 19 3.1 Định lý 3.1 19

3.2 Hệ quả 3.1 20

3.3 Hệ quả 3.2 20

3.4 Định lý 3.2 22

3.5 Định lý 3.3 23

3.6 Hệ quả 3.3 23

3.7 Hệ quả 3.4 23

3.8 Định lý 3.4 24

3.9 Định lý 3.5 26

3.10 Hệ quả 3.6 27

3.11 Định lý 3.6 27

3.12 Hệ quả 3.7 27

T trên D Điều này, sẽ được thấy rõ qua phân tích dưới đây là kết quảcủa chúng tôi, thống nhất và mở rộng cho lớp ánh xạ rộng hơn các kết quảtrước đó.

Kết quả cơ bản đầu tiên là Định lý Picard-Banach-Caccioppoli, nếu T

là ánh xạ co ngặt từ D vào D (tức là k T (x) − T (y) k6 q k x − y k

vợi mọi x, y thuộc D và q < 1) cho bởi (i) hội tụ đến điểm bất động duynhất Người ta biết rằng (Ví dụ: Một vòng xoay của đĩa đơn vị) nếu T làkhông giãn trên D (có nghĩa là: k T (x) − T (y) k6k x − y k, ∀x, y ∈ D),khi đó Tn(x0) không nhất thiết hội tụ, nói chung T không nhất thiết cóđiểm bất động (Xem [6]) Tuy nhiên, như được chỉ ra bởi Krasnoselsky [17]rằng nếu X là lồi đều, D là tập con lồi, đóng, bị chặn của X và T là ánh

xạ compact (T liên tục và T (D) compact tương đối) từ D vào D, khi đó

gian Hilbert và D là cầu đóng B(0, 1), Petryshyn [24] đã mở rộng kết quảcủa [17, 30] cho ánh xạ không giãn, nửa compact từ B vào X mà thỏamãn điều kiện Leray-Schauder trên biên ∂B của B Phương pháp sử dụngtrong [24] gọi là phương pháp lặp co rút, theo kết quả của [7], chỉ có thểthực hiện được trong các không gian Hilbert Browder và Petryshyn [8, 9]

đã đưa ra thêm các kết quả [17, 30, 24], nghiên cứu sự hội tụ {xn} chobởi (i) và/hoặc (ii) cho ánh xạ không giãn từ X vào X mà T là chính quytiệm cận (xem phần 2) và cho ánh xạ I − T từ tập đóng, bị chặn vào tậpđóng Xem [25] mà kết quả tương tự thu được từ tập lồi, đóng, bị chặn D

của X vào D Mở rộng hơn, liên quan đến hội tụ của (i) và (ii) thu đượcbởi Diaz và Metcalf [8, 9] và bởi Dotson [10] cho ánh xạ tựa không giãn(T sao cho k T (x) − p k6k x − p k với x thuộc D và p thuộc F (T ), F (T )

là tập điểm bất động của T) và bởi Outlaw [23] cho ánh xạ không giãn đãbiết Petryshyn và Tucker [28] xem xét trường hợp ánh xạ không giãn và

P1-compact, không khi Petryshyn [26] nghiên cứu sự hội tụ của (ii) khi T

là không giãn và nén (xem phần 2)

Thật thú vi khi nhận thấy rằng, để thiết lập sự hội tụ của {Tn(x0)}

1 2

(x0)} khônghội tụ về điểm bất động của T mặc dù F (T1

2) = F (T ) 6= ∅ và T1

2 làchính quy tiệm cận trên B Do đó, với ánh xạ không giãn T từ B vào B,

F (T ) 6= ∅ và Tλ là chính quy tiệm cận trên B, một số điều kiện bổ sungphải được áp đặt trên T với dãy {xn} cho bởi (ii) để hội tụ đến điểm bấtđộng của T

Sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không giãn được xây dựng dựatrên 3 chương:

Chương 1: Sự hội tụ mạnh của phép lặp

Chương 2: Anh xạ nén

Chương 3: Sự hội tụ yếu của phép lặp

Chương 1 Sự hội tụ mạnh của

phép lặp và ánh xạ tựa không giãn

Ở phần này, việc tìm hiểu sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa khônggiãn, thường thực hiện theo giả thuyết là tập các điểm bất động được biết

là không rỗng

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || || Nếu A và B là haitập thuộc X, khoảng các giữa A và B cho bởi

d(A, B) ≡ inf{k a − b k: a ∈ A, b ∈ B}

và khoảng cách giữa điểm p và tập A là d(p, A) Nếu ánh xạ T từ D ⊂ X

vào X, thì tập các điểm bất động của T trong D được kí hiệu là FD(T ),đơn giản ta viết F (T ) khi mà tập ban đầu là rõ ràng

Kết quả cơ bản đầu tiên của phần này là định lý sau đây, đặc trưngcho sự hội tụ của phép lặp

1.1 Định lý 1.1 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X vàánh xạ liên tục từ D vào X sao cho

n→∞d(xn, F (T )) = 0 Ta cần chỉ ra { xn } là một

dãy Cauchy Cho  > 0, thì tồn tại một n1 ∈ N sao cho mọi n ≥ n1,

1.2 Ví dụ 1.1 Cho X là đường thẳng thực và T được xác định:

, với x 6= 0

Điểm bất động duy nhất của T là 0, vì nếu x 6= 0 và T x = x, thì

x = x

2sin



1x



, hoặc 2 = sin



1x

sin1y

+ (2y)2, với mọi n

Do đó, tại mọi điểm z thuộc B, nằm trên đường y = 0, T là chính quytiệm cận tạiz vàT không là chính quy tiệm cận tại những điểm khác cũngthuộc B

Như là một hệ quả khác của Định lý 1.1, định lý sau đây cung cấp mộtđiều kiện tổng quát đủ cho sự hội tụ của phép lặp

1.6 Định lý 1.3 Cho D là tập con đóng thuộc không gian Banach X

T là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho

(1.1) F (T ) 6= ∅

(1.2) T là tựa không giãn

(1.6) Với mọi x ∈ D − F, thì tồn tại px ∈ F (T ) sao cho

k T x − px k<k x − px k

(1.7) Tồn tại x0 ∈ D sao cho Tn(x0) ∈ D, với mọi n ≥ 1, và

{xn} ≡ {Tn(x0)}n≥0 chứa một dãy con hội tụ {xnj}j≥1 hội tụ đến x∗ nào

x∗ ∈ F (T ), thì d = 0 Nếu x /∈ F (T ), thì theo điều kiện (1.6), tồn tại

p = px∗ ∈ F (T ) sao cho k T x∗ − p k<k x∗ − p k Nhưng bởi tính liên tụccủa T và điều kiện (1.7), chúng ta có quan hệ

dấu bằng xảy ra, do từ (1.2) lim

n→∞ k Tn(x0) − p k tồn tại Điều này mâuthuẫn với (1.6), do đó x∗ ∈ F (T ) và định lý được chứng minh 

Ta có thể thay điều kiện (1.2), (1.6) bởi điều kiện (1.8) Với mọi x ∈ D,

x /∈ F (T ), d(T x, F (T )) < d(x, F (T )) Hệ quả sau đây của Định lý 1.3 là

do Diaz và Metcalf [8] đưa ra

1.7 Hê quả 1.1 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và

T là ánh xạ liên tục từ D vào D sao cho

Dễ dàng chứng minh hệ quả trên, do (1.9) bao gồm (1.2) và (1.6) Hệquả trên được chứng minh tương tự Định lý 1.3 Ví dụ sau thỏa mãn cácgiả thiết của Định lý 1.3 nhưng không thỏa mãn Hệ quả 1.1.Như vậy Định

lý 1.3 là trường hợp tổng quát của Hệ quả 1.1

1.8 Ví dụ 1.3 Cho H là không gian Hilbert thực tách được với cơ

sở trực chuẩn {αi}i≥0 Nếu x ∈ Hb , ta định nghĩa x = (xb 0, x1, ), trong

đó xi là hệ số thứ i của phép biểu diễn xb thuộc cơ sở {αi} Cho H+ ≡{bx ∈ H|x1 ≥ 0} và cho ba = (4, 0, 0, ) Khi đó, ta lấy D = H ∩ B(ba, 1),trong đó B(ba, 1) là hình cầu tâm ba, bán kính 1 Chú ý rằng nếu x ∈ Db ,thì x0 ≥ 0 và x1 ≥ 0 Với mỗi x ∈ Db và bx = (x0, x1, x2, ), ta định nghĩaánh xạ T : D → H như sau:

px = T x ∈ F (T ) Ta có

0 =k T x − px k<k x − px k

(e) Nếu lấy x0 ∈ D tùy ý, khi đó dãy lặp trở thành liên tục sau mộtbước, do đó (1.7) thỏa mãn với mọi x0 ∈ D.

(f) Điều kiện (1.9) của Hệ quả 1.1 không thỏa mãn, do với b0 ∈ F (T )

và mọi x ∈ D − Fb ta có

kx −b b0 k=k x k=k Tb x k=k Tb x −b b0 k

Trong các phần sau, chúng ta sẽ gọi ánh xạ T : D → X là tựa khônggiãn có điều kiện nếu T là tựa không giãn khi F (T ) 6= ∅ Định lý sau đâyđược chứng minh mà không có giả thiết trước về F (T )

1.9 Định lý 1.4 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X T

là ánh xạ tựa không giãn có điều kiện từ D vào X Giả sử{Tn(x0)}n≥1 ⊆ D

với x0 nào đó thuộc D Khi đó dãy {Tn(x0)}n≥1 hội tụ mạnh đến điểm bấtđộng của T thuộc D khi và chỉ khi

(1.4) T là chính quy tiệm cận tại x0

(1.10) Tồn tại một tập compact K sao cho

có hàm khoảng cách giữa điểm và tập được sử dụng Do đó Định lý 1.1đến 1.4 cũng áp dụng được cho không gian metric tổng quát, đầy đủ.Với không gian Banach, Định lý 1.1 đến 1.4 cũng được xây dựng chodãy{xn}cho bởi phép lặp (ii) Định lý 1.1’ sau đây, cho trường hợp củaTλ.

1.10 Định lý 1.1’ Cho D là tập con lồi, đóng của không gian Banach

và T là ánh xạ liên tục từ T và X sao cho

(1.1) F (T ) 6= ∅

(1.2) T là tựa không giãn

(1.3) Tồn tại x0 thuộc D sao cho xn = Tλn(x0) ∈ D với n ≥ 1 và

λ ∈ (0, 1)

Khi đó {xn} hội tụ đến điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi

d(Tλn(x0), F (T )) → 0 khi n → ∞

Chứng minh Để chứng minh Định lý 1.1’, ta cần chỉ ra rằng toán tử

Tλ thỏa mãn điều kiện (1.1), (1.2) và (1.3) của Định lý 1.1 Thật vậy, do

D cũng là lồi nên Tλ là xác định đúng đắn trên D và F (T ) = F (Tλ) Vớimỗi λ ∈ (0, 1), x ∈ D và p ∈ F (T ), từ điều điện 1.1 ta có

k Tλ(x) − p k=k λx + (1 − λ)T (x) − λp − (1 − λp k

6 λ k x − p k + k 1 − λ k T (x) − p k6k x − p k.Chúng ta thấy rằng T − λ cũng là tựa không giãn Theo giả thiết, tồn tại

x0 thuộc D sao cho Tλn ∈ D với mỗi n ≥ 1 Do đó, Định lý 1.1’ kế thừa từĐịnh lý 1.1, nghĩa là, nó trình bày lại Định lý 1.1 cho ánh xạ Tλ 

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa

không giãn

Ở phần này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý 1.1 và hệ quả của nó, Định

lý 1.2 và 1.3, để có được những kết quả mới liên quan đến sự hội tụ củaphép lặp Tλn(x0), cho các lớp khác nhau của ánh xạ tựa không giãn.Trước khi chúng ta trình bày các hệ quả về ánh xạ tựa không giãn xácđịnh trên tập con lồi, đóng, bị chặn của X, chúng ta cần định nghĩa sau đây.Theo Petryshyn [24], chúng ta gọi ánh xạ T từ D ⊆ X vào X là nửacompact tại f nếu mọi dãy bị chặn {xn} thuộc D sao choxn− T (xn) → f

khi n → ∞, thì tồn tại một dãy con {xnj} và x thuộc D sao cho xnj → x

khi j → ∞ và x − T (x) = f T : D → X là nửa compact trên D nếu T

là nửa compact với mỗi f như vậy

Rõ ràng, khi T là nửa compact trên D thì nó cũng là nửa compact tại 0,nhưng ngược lại không đúng Và nếu T : D → X là compact thì T cũng lànửa compact trên D Như vậy, nếu S : D → X là nén chặt và C : D → X

là compact, thì T = S + C : D → X là nửa compact trên D Xem thêm

về ánh xạ nửa compact tại [24]

Ta có hệ quả đầu tiên của Định lý 1.2

2.1 Hệ quả 2.1 Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập lồi,đóng, bị chặn thuộc X và T là ánh xạ không giãn từ D vào D sao cho Tthỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(2.1)Ánh xạ (I − T ) biến tập đóng thuộc D vào tập đóng thuộc X.(2.2) T là nửa compact tại 0

Với λ bất kì, 0 < λ < 1, ta định nghĩa Tλ ≡ λI + (1 − λ)T Và với mọi

của Định lý 1.2 Theo kết quả do Browder [2], Gohde [14] và Kirk [16],thì ánh xạ không giãn từ một tập con lồi, đóng, bị chặn của không gianlồi đều vào chính nó có điểm bất động, nghĩa là F (T ) 6= ∅ Rõ ràng,

F (T ) = F (Tλ) 6= ∅ và ánh xạ Tλ từ D vào D doD là lồi T là không giãn,cho nên Tλ cũng là không giãn, tức là (1.2) đúng Điều kiện (1.3) đúng vớimọi x0 thuộc D và Browder và Petryshyn [3] đã chỉ ra rằng Tλ là chínhquy tiệm cận trên D, do đó điều kiện (1.4) cũng đúng với mọi x0 thuộc

D Giả sử ta có {yn} ⊆ D, n ≥ 1 và k (I − Tλ)yn k→ 0 khi n → ∞ Giảthiết đầu tiên là (2.1) đúng và cho G là bao đóng mạnh của tập {yn} G

là tập con của D, do (2.1) và (I − Tλ)G = (1 − λ)(I − T )(G) ta thấy

(I − Tλ)(G) đóng; do đó 0 ∈ (I − Tλ)(G) Khi đó, tồn tại y∗ ∈ G sao cho

(I − Tλ)y∗ = 0 và tồn tại {ynj} là dãy con của {yn}, sao cho ynj → y∗ khi

j → ∞ với y∗ ∈ F (T ) Do đó d(ynj, F (Tλ)) → 0 khi j → ∞, cho nên

lim

n inf d(yn, F (Tλ)) = 0

thỏa mãn điều kiện (1.5) Nếu thỏa mãn điều kiện (2.2), thì (1.5)được suy

ra từ tính nửa compact của T tại 0

Nhận xét 2.1 Joran Lindenstrauss đã thông báo cho tác giả thứ nhấtrằng ông ấy đã xây dựng được ví dụ về ánh xạ không giãn T cho quảcầu đơn vị B(0,1) từ không gian Hilbert vào chính nó, với F (T ) 6= ∅ màdãy {Tn

1

2

(x0)} không hội tụ đến điểm bất động của T Do đó, với các dãy

{xn} của phép lặp được xây dựng theo phương pháp xn = Tλn(x0), để có

sự hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ không giãn T : D → D (với

F (T ) 6= ∅) ta phải thêm một số điều kiện bổ sung trên T Có vẻ như giảthiết "d(Tλn(x0), F (Tλ)) → 0 khi n → ∞" là điều kiện yếu nhất để đảmbảo sự hội tụ của {Tn

λ(x0)} đến điểm bất động của T thuộc D

Nhận xét 2.2 Hệ quả 2.1 được xây dựng đầu tiên bởi Krasnoselsky [17]cho trường hợp khi T là compact và λ = 12, và sau đó bởi Schaefer [30]cho T là compact và λ ∈ (0, 1) Trong trường hợp T là nửa compact trên

D, Hệ quả 2.1 được chứng minh bởi Petryshyn [24] và bởi Browder vàPetryshyn [83] khi T thỏa mãn điều kiện (2.1)

Nhận xét 2.3 Điều kiện (2.1) và (2.2) không liên quan đến nhau Cóánh xạ (ví dụ: T = I) mà (2.1) đúng nhưng với (2.2) lại không đúng, và

có những ánh xạ (ví dụ: nén tổng quát trong một phương của Belluce vàKirk [1]) mà (2.2) đúng, những không nhất thiết đúng với (2.1).

2.2 Hệ quả 2.2 Cho X là không gian lồi đều, D là tập con lồi, đóng,

bị chặn của X, và T là ánh xạ không giãn từ D vào D Giả thiết

(2.3) Tồn tại một số c > 0 sao cho với mỗi x ∈ D

k (I − T )x k≥ cd(x, F (T ))

Cho x là một phần từ bất kì thuộc D và ta định nghĩa xn ≡ Tn

λ(x0), n ≥ 1,với λ cố định bất kì, 0 < λ < 1 Thì {xn}n≥0 hội tụ mạnh đến điểm bấtđộng của T thuộc D

Chứng minh Một lần nữa, ta chứng minh theo các giả thiết của Định

lý 1.2 Điều kiện (1.1), (1.2), (1.3) và (1.4) được thỏa mãn như trong hệquả trước Nếu {yn} ⊆ D và k (I − Tλ)yn k→ 0 khi n → ∞, từ (2.3) ta

có limnd(yn, F (T )) = 0, I − Tλ = (1 − λ)(I − T ) và F (T ) = F (Tλ), do đó(1.5) thỏa mãn với Tλ và F (Tλ) 

Ta cần định nghĩa sau, cho các trường hợp tiếp theo

2.3 Định nghĩa 2.1 Cho X là không gian Banach thực và D là tậpcon bị chặn của X Độ đo Kuratorskii của D không compact, kí hiệu là

l > 0 là k-set-contraction với k = l Rõ ràng ánh xạ T = S + C : G → X

cũng là k-set-contraction với k = l Tiếp theo, chúng ta sẽ cần khái niệmcủa ánh xạ nén, được đưa ra đầu tiên bởi Sadovsky [29] cho Độ đo khôngcompact Hausdorff (xem định nghĩa dưới đây) và sau đó Furi và Vignoli[12] cho Độ đo Kuratorskii γ Ánh xạ T liên tục, bị chặn của G vào trong

X là set-condensing (hoặc nén theo [12]) nếu γ(T (D)) < γ(D) với mỗitập con bị chặn D của G mà γ(D) > 0 Theo đó, mỗi ánh xạ k-set-contractive với k < l là set-condenting và mỗi ánh xạ set-condensing là1-set-contractive nhưng điều ngược lại là không đúng (Xem ví dụ [19, 20])

Độ đo không compact Hausdorff của tập D trong X, χχ(D), đã đượcgiới thiệu ở [13] bằng cách xác định

χχ(D) = inf{r > 0|D được phủ với một số hữu hạn các hình cầu vớitâm thuộc X và bán kính r}

Độ do γ và χχ là khác nhau mặc dù chúng có nhiều điểm chung (xem[20, 12]) Ở bài này, chúng ta xem xét Độ đo không compact Hausdorffcủa tập D chỉ liên quan đến X và do dó để đơn giản, chúng ta sẽ kí hiệu

χ thay vì χχ

Trong trường hợp của γ, tương ứng với χ chúng ta có ánh xạ contraction và ball-condensing Rõ ràng là choχngười ta cũng chứng minhđược rằng T : G → X là compact khi và chỉ khi T là 0-ball-contractivevới k = l Mặt khác, nếu với ví dụ, T : G → X là nén (ví dụ hằng

k-ball-số Lipschitzian k <1), khi đó không chắc chắn ánh xạ T có là contractive vớik = l không Mặt khác, như đã được trình bày ở [27], ánh xạ

k-ball-T 1-ball-contractive từ X vào X mà không nhất thiết là 1-set-contractive

Lý do của việc đưa ra ánh xạ k-ball-contractions và ball-condensing là đốivới lý thuyết điểm bất động phương pháp lặp cho ánh xạ T : D → X xácđịnh với điều kiện của γ cũng như điều kiện của χ

Nhớ lại rằng T : G ⊂ X → X được gọi là không giãn ngặt nếu

||T x − T y|| < ||x − y||

với x và y thuộc G

Hệ quả sau đây của định lý 1.3 là do Petryshyn [26], người đã tổng hợp

lý 1.2 1.3, để có kết liên quan đến hội tụ củaphép lặp Tλn(x0), cho lớp khác ánh xạ tựa không giãn.Trước trình bày hệ ánh xạ tựa khơng giãn xácđịnh tập lồi, đóng,... khơng chắn ánh xạ T có contractive vớik = l không Mặt khác, trình bày [27], ánh xạ

k-ball-T 1-ball-contractive từ X vào X mà không thiết 1-set-contractive

Lý việc đưa ánh xạ k-ball-contractions... đều, D tập lồi,đóng, bị chặn thuộc X T ánh xạ không giãn từ D vào D cho Tthỏa mãn hai điều kiện sau:

(2.1 )Ánh xạ (I − T ) biến tập đóng thuộc D vào tập đóng thuộc X.(2.2) T nửa compact