Một số vấn đề về mở rộng ánh xạ liên tục và ứng dụng của định lí hahn banach

Mục đíchcủa khoá luận là dựa vào các tài liệu tham khảo tìm hiểu và hệ thống lại một số vấn đề về mở rộng ánh xạ liên tục, ánh xạ tuyến tính liên tục, Định lýHahn-Banach và một số ứng dụ

Lời giới thiệu

Giả sử X, Y là hai không gian, D là không gian con của X, f :D Y

là ánh xạ có tính chất “ p” Bài toán đặt ra là tìm điều kiện để tồn tại ánh xạ

f : X  Y sao cho f có tính chất “ p” và f |D f Bài toán này đợc gọi

chung là bài toán mở rộng hay thác triển ánh xạ với tính chất “ p” Đây làmột bài toán kinh điển, nó đợc nhiều nhà toán học quan tâm trong các trờnghợp riêng rẽ khác nhau, nh bài toán mở rộng độ đo, mở rộng ánh xạ liên tục,tuyến tính liên tục, mở rộng ánh xạ chỉnh hình,…Trong học phần Độ đo vàTrong học phần Độ đo vàtích phân, ta đã biết bài toán mở rộng độ đo Trong giải tích hàm, Định lýHahn-Banach giải quyết bài toán mở rộng phiếm hàm tuyến tính, từ đó bàitoán mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục cũng đợc giải quyết Định lýHahn-Banach có nhiều ứng dụng trong cả lý thuyết và thực hành Mục đíchcủa khoá luận là dựa vào các tài liệu tham khảo tìm hiểu và hệ thống lại một

số vấn đề về mở rộng ánh xạ liên tục, ánh xạ tuyến tính liên tục, Định lýHahn-Banach và một số ứng dụng của nó Với mục đích đó, khoá luận đợcviết thành 3 mục:

Mục 1: Dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bảncần dùng trong khoá luận

Mục 2: Mở rộng ánh xạ liên tục Trong mục này chúng tôi trình bàymột số kết quả về mở rộng ánh xạ liên tục giữa các không gian metric; đ a ramột vài điều kiện để một ánh xạ liên tục trên một không gian con của khônggian mêtric mở rộng liên tục đợc lên toàn bộ không gian, đó là Định lý 2.3

và Hệ quả 2.4

Mục 3: Mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục

Phần đầu của mục này dành cho việc mở rộng phiếm hàm tuyến tínhliên tục, tức là mở rộng các ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị trong K Vấn đề này đợc giải quyết trọn vẹn nhờ Định lý Hahn-Banach Phần tiếptheo, dựa vào kết quả của mục trớc chúng tôi mở rộng ánh xạ tuyến tính liêntục nhận giá trị trong l(Định lý 3.2.2) Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trìnhbày việc mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục xác định trên một không giancon trù mật và nhận giá trị trong không gian Banach bất kỳ

Phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của Định

lý Hahn-Banach về mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục trong việc giảiquyết một số bài toán khác Các kết quả ở phần này chủ yếu là các bài tập ởtrong các tài liệu tham khảo

Vì thời gian có hạn và bớc đầu nghiên cứu khoa học nên không thểtránh khỏi một số sai sót, mặc dù em đã có rất nhiều cố gắng Em xin chân

thành cảm ơn thầy giáo Đinh Huy Hoàng đã tận tình hớng dẫn, giảng dạy,

xin cảm ơn các giảng viên trong tổ giải tích và trong khoa toán đã tạo điềukiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành tốt bài khoá luận này.

Vinh, ngày 30 tháng 4 năm 2007

Sinh viên

Tăng Văn Quang

Đ1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

1.1 Định nghĩa không gian mêtric Cho X là một tập khác rỗng.Hàm d:XX  R đợc gọi là một mêtric trên X nếu các tính chất sau đợcthoả mãn

1.3 Định nghĩa không gian mêtric đầy đủ Không gian mêtric X

gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

1.4 Định nghĩa ánh xạ liên tục giữa hai không gian mêtric Giả sử

)

,

(X d và (Y,  ) là hai không gian mêtric ánh xạ f :X  Y gọi là liên tục tại

,

X

x  nếu d(x,x0)   thì  (f(x), f(x0))  

ánh xạ f gọi là liên tục ( hoặc liên tục trên X ) nếu nó liên tục tại

mọi điểm x thuộc X

1.5 Định nghĩa ánh xạ liên tục đều giữa hai không gian mêtric

Giả sử (X,d) và (Y,  ) là hai không gian mêtric ánh xạ f :X  Y gọi

là liên tục đều nếu với mỗi số dơng  , đều tồn tại một số dơng  sao chovới mọi x,yX , mà d(x,y)   thì  (f(x), f(y))  

1.6 Định nghĩa không gian tuyến tính Trong khoá luận này ta kí

hiệu K là trờng số thực R hoặc trờng số phức C Một không gian tuyến

với mọi x,y,zE, mọi  ,  K.

1.7 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho E và F là hai không giantuyến tính trên trờng K ánh xạ f :E F đợc gọi là ánh xạ tuyến tính nếu

) ( ) ( )

f       

với mọi x,yE ,với mọi  ,  K.

1.8 Định nghĩa chuẩn Cho E là một không gian tuyến tính trên

tr-ờng K Một chuẩn trên E là một hàm x|| x|| từ E vào R thoả mãn các

điều kiện sau với mọi x,yE , mọi  K

1) || x||  0 , ||x||  0 nếu và chỉ nếu x  0 ;

2) || x||  |  ||| x||;

3) ||xy||  ||x||  ||y||

1.9 Định nghĩa không gian định chuẩn Một không gian tuyến tính

cùng với một chuẩn trên nó gọi là một không gian định chuẩn

1.10 Định nghĩa không gian Banach Không gian định chuẩn đầy đủ

(với mêtric sinh bởi chuẩn) gọi là không gian Banach.

1.11 Không gian l p Với mọi p 1, ta kí hiệu l p là tập hợp tất cả cácdãy x (x n) các phần tử trong K sao cho 

x Với mọi dãy x (x n),

),

(y n

y  mọi  K , đặt xy (x n y n),  x ( x n). Với hai phép toán này, l p

là một không gian tuyến tính trên trờng K Với mỗi dãy x (x n)l p , đặt

||

||

n

p p n

x (1)

1.11.1 Mệnh đề Công thức (1) xác định một chuẩn trên l p

1.11.2 Định lí Với chuẩn xác định bởi công thức (1), l p là không gian Banach

1.12 Các không gian c0 và l Gọi c0 là tập tất cả các dãy x (x n)

các phần tử trong K hội tụ đến 0 và gọi l là tập hợp tất cả các dãy x (x n)

các phần tử trong K bị chặn Với mọi dãy x (x n), y (y n), mọi  K , đặt

), (x n y n

y

x    x ( x n), ta có các phép toán để biến c0 và l thành cáckhông gian tuyến tính trên trờng K Với mỗi dãy x (x n)c0 (tơng ứng

x  (1)

1.12.1 Mênh đề Công thức (1) xác định một chuẩn trong c0 (tơng ứng trong l).

1.12.2 Định lí Với chuẩn xác đinh bởi (1) , c0 và l là những không gian Banach

1.13 Định lý Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định

đ-ơng

a) f là liên tục đều;

b) f là liên tục;

c) f liên tục tại điểm 0 E ;

d) f bị chặn, tức là tồn tại số k 0 sao cho || f(x) || k ||x|| với mọi

E

x 

chuẩn E vào không gian định chuẩn F Giả sử E và F là các khônggian định chuẩn trên cùng một trờng K Gọi L(E,F) là tập hợp tất cả các

ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta đa vào L(E,F) hai phép toán xác

định nh sau :

), ( ) ( ) )(

(f g x f x g x

) ( ) )(

( f x  f x

với mọi f,gL(E,F), mọi  K, mọi x  E

Dễ dàng thấy rằng L(E,F) cùng với hai phép toán nói trên là mộtkhông gian tuyến tính trên trờng K

||

sup

||

) (

f x

x f f

x x







Một không gian vetơ tôpô trên trờng K là một cặp (E,  ) trong đó E

là một không gian vectơ trên K còn  là một tôpô tơng thích với cấu trúc

đại số của E

1.16 Định nghĩa không gian lồi địa phơng Không gian vectơ tôpô

gồm các tập lồi

Đ2 Mở rộng ánh xạ liên tục

Trong mục này ta sẽ trình bày một số kết quả về việc mở rộng ánh xạliên tục giữa các không gian mêtric

Cho X và Y là hai không gian mêtric, A là một không gian con của

X và h:A Y là ánh xạ liên tục Tồn tại hay không, một ánh xạ liên tục

f( ) 1 ,

x x

g( )  sin1

Rõ ràng không thể suy rộng liên tục f và g lên toàn bộ đoạn 0 , 1

Thành thử để bài toán suy rộng có lời giải, cần phải đặt một số điềukiện đối với hoặc không gian con A  X, hoặc ánh xạ h , và đôi khi cả đối

với không gian Y Trong các định lý dới đây, ta sẽ xét một số trờng hợp đơn

giản

2.1 Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian mêtric, A là tập concủa X , a là một điểm thuộc không gian X và là điểm giới hạn của A Tanói hàm f có giới hạn là y khi x tiến tới a nếu với mọi dãy (x n) trong A

mà x n dần tới a khi n dần tới  thì f(x n) dần tới y khi n dần tới .Khi đó kí hiệu là x a f x y

 ( ) lim hay f(x) y khi x  a

Nhận xét Vì giới hạn của một dãy trong không gian mêtric (nếu có)

là duy nhất nên giới hạn của hàm f khi x tiến tới a (nếu có ) là duy nhất.

2.2 Định lí Giả sử X , Y là các không gian mêtric, D là tập con trù

Chứng minh Giả sử tồn tại ánh xạ liên tục g:X  Y sao cho g|D f

Với mọi x  X , giả sử (z n) D , z n  x Vì g|D f nên g(z n) f(z n) với mọi n.Vì g liên tục nên

) ( lim ) ( lim )

n n

x g

Từ đó suy ra tồn tại zlimx,zD f(z)

Giả sử tồn tại zlimx,zD f(z) với mọi x  X Đặt

) ( lim )

(

, f z x

g

D z x

z 



với mọi x  X Khi đó vì zlimx,zD f(z) tồn tại và duy nhất nên g là ánh xạ từ

X vào Y Với mọi x  D: g(x)z limx,z D f(z)f(x)



đó suy ra g|D f Với mọi x  X , giả sử (x n) X , x n  x Ta có

) ( lim )

(

x g

D z x z n

d( n, n)  1 và

n z

f x g

d( ( n), ( n)) 1.Vì

0 ) , ( 1 ) , ( ) , ( ) , (

n x x d x z d x z

n z f x g d x g z f d z f x g d x g x g

Từ đó g(x n)  g(x)

Vậy g liên tục

Nếu g là mở rộng liên tục của f lên toàn bộ X thì hiển nhiên g là duynhất

2.3 Định lí Cho X không gian mêtric và Y là không gian mêtric

Khi đó tồn tại ánh xạ f :X  Y liên tục sao cho f |D f

với mọi n,mn0 Nh vậy (f(x n)) là dãy Côsi trong không gian đầy đủ Y và

do đó tồn tại nlim f(x n)





Giả sử tồn tại dãy ( , )

x f x f

d n n  với mọi n max{n1,n2} Từ tính

liên tục đều của f trên D suy ra tồn tại   0 sao cho với mọi x và x,

d Với mọi n max {n1,n2,n3} ta có

8 ))

( ), (

x f x f

thực hiện việc mở rộng ánh xạ f lên bao đóng của D Vấn đề đặt ra là liệu

2.4 Hệ quả Giả sử D là tập con của không gian mêtric X và f là

(1) Tồn tại xlimD,xz f(x) với mọi z  D ;

(2) f liên tục đều trên D

Chứng minh Nếu điều kiện (1) (tơng ứng (2)) đợc thoả mãn thì theo

Định lý 2.2 (tơng ứng Định lý 2.3) f đợc mở rộng liên tục lên D Mặt khácvì mỗi không gian định chuẩn là không gian lồi địa phơng nên điều cầnchứng minh đợc suy ra từ Định lý Dugundji

Đ3 Mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục

Trong mục này ta sẽ trình bày việc mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tụcgiữa hai không gian định chuẩn Đầu tiên ta xét các ánh xạ nhận giá trị trong

K , tức là các phiếm hàm

3.1 Mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục

Để giải quyết đợc bài toán mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục, đầutiên ta trình bày việc mở rộng phiếm hàm tuyến tính

3.1.1 Định lí Hahn-Banach cho không gian vectơ thực Giả sử E

mãn f(x) p(x) với mọi x  F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính g xác

định trên E sao cho g|F f và g(x) p(x) với mọi x  E

Chúng ta có thể xem chứng minh Định lý này trong các tài liệu thamkhảo

Dựa vào Định lý trên ngời ta đạt đợc Định lý sau

3.1.2 Định lí Hahn-Banach cho không gian vectơ phức Giả sử E

phiếm hàm tuyến tính trên không gian con F của E sao cho | f(x) | p(x)

f

f|F  và | f (x ) | p(x) với mọi x  E

3.1.3 Hệ quả Với mọi phiếm hàm tuyến tính f liên tục trên không

liên tục f trên E sao cho f |F f và || f ||  || f ||

Từ đó suy ra p là một nửa chuẩn trên E

Ta có | f(x) |  || f || ||x|| p(x) với mọi x  F Theo Định lý Hahn-Banach,tồn tại phiếm hàm tuyến tính f xác định trên E sao cho f |F f và | f

Vì vậy f liên tục và || ~f || || f || Mặt khác

||

||

, 1

||

||

,

f x f x

f x

f

x F x x

F x x

E x

v d

Rõ ràng G là không gian con của E và F  G Ta xác định ánh xạ f :G K

nh sau, với mọi x  G ta có x vy, đặt f(x) f( vy)  r Dễ thấy f là

ánh xạ tuyến tính Với mọi x vyG ,   0 ta có

.

| ) (

|

Với mọi x vyG,   0 thì f(x)  0 Từ đó suy ra | f(x) |  ||x||

Vậy | f(x) |  ||x|| với mọi x  G Do đó f liên tục và || f ||  1 Ta sẽchứng minh || f ||  1 hay || f ||  1 Thật vậy, với mọi   0, vì

f f

Vậy || f ||  1 Theo Hệ quả 3.1.3, tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục ~f trên E

sao cho ~f |G f , || ~f ||  || f ||  1 Từ đó suy ra ~f(v) f(v) r, || ~f ||  1 và ~f F

| f |F  0

3.1.5 Hệ quả Với mọi vectơ v trong không gian định chuẩn E , v  0

, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho || f ||  1 và

Chứng minh F  { } là không gian con của E , d(v,F)  ||v||  0 Theo

Hệ quả 3.1.4, tồn tại phiếm hàm tuyến tính, liên tục f trên E sao cho

,

1

||

3.2 Mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục.

Hệ quả trên cho thấy có thể mở rộng đợc phiếm hàm tuyến tính liêntục từ một không gian con lên toàn bộ không gian Vấn đề đặt ra là đối vớicác ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị trong không gian định chuẩn bấtkì thì có thể mở rộng đợc không ? Sau đây ta sẽ giải quyết vấn đề này trongmột vài trờng hợp đặc biệt

Định lí sau sẽ cho ta một trờng hợp có thể mở rộng ánh xạ tuyến tínhliên tục nhận giá trị trong không gian Banach bất kì với miền xác định làkhông gian con trù mật

3.2.1 Định lí Nếu f là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ một không

Với mọi x,yE, mọi  ,  K , giả sử hai dãy (x n) và (y n) trong D

sao cho x n x , y n  y Khi đó

) ( ) ( ) ( lim )

( lim )

( lim ) ( x y f x y f x f y g x g y

n n n

n n

||

lim

||

) ( lim

||

||

) (

||g x f x f x f x n f x

n n n

Suy ra g liên tục và ||g || || f || Hiển nhiên ||g || || f || Do đó ||g || || f ||

Giả sử tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục f~:E F sao cho ~f |D f và

thì có thể mở rộng đợc ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian con D bấtkì lên toàn bộ E Định lý sau cho thấy rằng nếu F l thì ta có câu trả lờikhẳng định, trong đó

K x

|| x n sup | n|

n

x , với mọi x(x n)l

3.2.2 Định lý Giả sử D là không gian con của không gian định

Chứng minh Với mỗi x  D, đặt f(x)  (y n) l Với mỗi n 1 , 2 taxác định hàm

K D

f n: 

bởi

, )

||

|

| sup

|

|

| ) (

k n

g  , x  E.Với mọi n 1 , 2 , với mọi x  E ta có

sup |g (x) |  sup ||g || ||x||  sup || f || ||x||  || f || ||x||  

n n

n n

| sup

||

) (

n



Do đó g liên tục và ||g || || f || Hiển nhiên g|D f và do đó || f || ||g|| Vậy

g là mở rộng tuyến tính liên tục của f trên E và ||g || || f ||

3.3 Các ứng dụng của định lí Hahn-Banach

Các định lí trên, đặc biệt là định lí Hahn - Banach có nhiều ứng dụng.Sau đây, ta xét một số ứng dụng của định lí Hahn - Banach

3.3.1 Mệnh đề Với mọi x, y thuộc không gian định chuẩn E sao

Chứng minh Giả sử f(x)  0 với mọi f  E* Nếu x 0 thì theo Hệquả 3.1.5, tồn tại f  E* sao cho || f ||  1 và f(x)  ||x|| Từ đó suy ra f(x)  0

(Mâu thuẫn) Vậy x 0.

Hiển nhiên, nếu x 0 thì f(x)  0 với mọi f  E*

3.3.3 Mệnh đề Giả sử x là một phần tử của không gian định chuẩn

||

||

| ) (

| sup

| ) (

| sup

| ) (

| sup

||

*

0 ,

* 1

||

||

,

* 1

x x

x x

x X x x

X x x

Chứng minh Hiển nhiên

* sup*,|| *|| 1|x*(x)|

x X

x   * sup*,|| *||1|x*(x)|

x X

||

||

| ) (

|

*

0 , *

*

x x

x X

x 

.(1)

Nếu x 0 thì đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng Nếu x 0 thì theo

|

*

*

x x

x x

|

*

0 , *

*

x x

x X

3.3.4 Mệnh đề Giả sử X là một không gian định chuẩn Khi đó nếu

0 nếu i  k , i,k  1 , ,n.

(X* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X )

Chứng minh Gọi L là không gian tuyến tính sinh bởi tập hợp

với mọi i 1 , 2 , ,n. Do đó { * , , * }

1 x n

x độc lập tuyến tính

3.3.5 Mệnh đề Giả sử M là tập hợp con của không gian định chuẩn

tuyến tính liên tục x* trên X , nếu * ( ) 0

Chứng minh Dễ dàng thấy rằng điều kiện “ x 0 X là giới hạn củamột dãy tổ hợp tuyến tính những phần tử của tập hợp M ” tơng đơng với

điều kiện “x 0 spanM ”.

Giả sử x 0 spanM và x * X* sao cho x* |M  0 Ta cần chứng minh