Giới hạn của dãy điểm bất động của dãy các ánh xạ trong không gian mêtric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS... Ki·u Ph÷ìng Chi.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS KIỀU PHƯƠNG CHI

Nghệ An- 2014

2 Giîi h¤n cõa c¡c iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ 242.1 Giîi h¤n cõa mët d¢y iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ 242.2 Giîi h¤n cõa mët d¢y iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ co 28K¸t luªn 35

T i li»u tham kh£o 36

º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m v  x§p x¿ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh viph¥n v  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (xem [2]) C¡c ành lþ iºm b§t ëngcán câ ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nh÷: Kinh t¸ v  kÿ thuªt(xem [3], [6] ).

Mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng trongkhæng gian metric l  v§n · x§p x¿ iºm b§t ëng v  c§u tróc cõa tªp

iºm b§t ëng cõa hå c¡c ¡nh x¤ Nghi¶n cùu giîi h¤n cõa d¢y c¡c iºmb§t ëng cõa mët d¢y c¡c ¡nh x¤ ÷ñc Nadler, Fraser thüc hi¶n v ocuèi nhúng n«m 60 cõa th¸ k tr÷îc v  hå công t¼m ÷ñc mët sè ùngdöng trong vi»c x§p x¿ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (xem [7],[9] ) Trong khuæn khê mët luªn v«n th¤c s¾, chóng tæi t¼m hiºu sü tçnt¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co, ¡nh x¤ tüa co v  giîi h¤n cõa d¢y iºmb§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric Vîi möc ½ch â,chóng tæi lüa chån · t i cho luªn v«n cõa m¼nh l :

Giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng gianm¶tric

Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n tr¼nh b y c¡c ành lþ v· sü tçn t¤i iºmb§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ co, ¡nh x¤ tüa co v  t½nh ch§t cõa giîi h¤n cõad¢y iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric

Ch÷ìng 1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co v  ¡nh x¤tüa co

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· sau v  hai k¸tqu£ c«n b£n cõa Banach v  C½ric v· v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng èi vîic¡c ¡nh x¤ co v  tüa co tr¶n khæng gian m¶tric ¦y õ

Ch÷ìng 2 Giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤trong khæng gian m¶tric

Ch÷ìng n y nghi¶n cùu v· t½nh ch§t cõa giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t

ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng m¶tric thæng qua sü hëi tö iºm,hëi tö ·u cõa d¢y c¡c ¡nh x¤

C¡c nëi dung ÷ñc tr½ch trong luªn v«n cì b£n ¢ ÷ñc tr¼nh b y r¢ir¡c trong c¡c t i li»u, chóng tæi têng hñp tr¼nh b y câ h» thèng theo möc

½ch ri¶ng cõa m¼nh Ngo i vi»c chùng minh chi ti¸t c¡c k¸t qu£ trong

t i li»u chùng minh v­n t­t ho°c khæng chùng minh, chóng tæi công ·xu§t mët v i k¸t qu£ v  ÷a ra mët sè v½ dö minh håa cho c¡c k¸t qu£.Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨ncõa th¦y gi¡o, TS Ki·u Ph÷ìng Chi T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥us­c cõa m¼nh ¸n th¦y Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìnBan chõ nhi»m khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n håc v  c£m

ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong bë mæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n håc ¢ nhi»tt¼nh gi£ng d¤y v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp T¡c gi£xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, c¡c çng nghi»p trong Tê To¡nTr÷íng THPT.TT æng Du ¢ gióp ï, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi ºt¡c gi£ ho n th nh khâa håc

Cuèi còng xin c¡m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l  c¡cb¤n trong lîp Cao håc 20 Gi£i t½ch t¤i Tr÷íng ¤i håc S i gán ¢ cëng

t¡c, gióp ï v  ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶ncùu M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, nh÷ng luªn v«n khæng tr¡nh khäinhúng h¤n ch¸, thi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n

âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v  b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»nhìn

Ngh» An, th¡ng 6 n«m 2014

Vã V«n C©m

÷ñc gåi l  mët m¶tric tr¶n X n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau:

1) d(x, y) > 0, vîi måi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y.2) d(x, y) = d(y, x), vîi måi x, y ∈ X

3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), vîi måi x, y, z ∈ X

Khi â, (X, d) ÷ñc gåi l  mët khæng gian m¶tric

1.1.2 ành ngh¾a Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric D¢y {xn} ⊂ X

÷ñc gåi l  hëi tö tîi x ∈ X v  kþ hi»u l  xn → x,(x ÷ñc gåi l  giîi h¤ncõa d¢y {xn}), n¸u lim

n→∞d(xn, x) = 0

Trong khæng gian m¶tric giîi h¤n cõa mët d¢y n¸u câ l  duy nh§t.1.1.3 ành ngh¾a 1) Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  compact n¸umåi d¢y thuëc X ·u câ d¢y con hëi tö trong X

2) Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  compact àa ph÷ìng n¸u vîi måi

a ∈ X tçn t¤i r > 0 sao cho bao âng cõa B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}

l  tªp compact

1.1.4 ành ngh¾a Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric.

D¢y {xn} ⊂ X ÷ñc gåi l  d¢y Cauchy n¸u lim

m,n→∞d(xm, xn) = 0.Khæng gian (X, d) ÷ñc gåi l  ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy cõa X ·uhëi tö trong X

Cho B ⊂ X Khi â

1.1.6 ành lþ Trong khæng gian m¶tric ¦y õ måi d¢y c¡c tªp ângth­t d¦n ·u câ iºm chung duy nh§t

1.1.7 ành ngh¾a Cho (X, d), (Y, ρ) l  c¡c khæng gian m¶tric v  ¡nhx¤ f : X → X

1) ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc n¸u vîi måi d¢y {xn} ⊂ X v  xn → xth¼ f(xn) → f (x)

2) ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc ·u n¸u vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ = δ(ε)sao cho:

ρ(f x, f y) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ

Ta chùng minh ÷ñc måi ¡nh x¤ li¶n töc ·u l  li¶n töc.M»nh ·ng÷ñc l¤i l  khæng óng

Cho (X, d) v  (Y, ρ) l  c¡c khæng gian m¶tric.Khæng gian m¶tric t½ch

X × Y vîi m¶tric x¡c ành bði

D((x1, y1), (x2, y2)) = d(x1, x2) + ρ(y1, y2)

vîi (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × Y.

D¹ d ng chùng minh ÷ñc ¡nh x¤ kho£ng c¡ch d : X × X → R l  li¶ntöc, tùc l  n¸u d¢y (xn, yn) hëi tö tîi trong (x, y) ∈ X × X th¼ d(xn, yn)hëi tö tîi d(x, y) trong R

1.1.8 ành ngh¾a 1) Hå ¡nh x¤ Tα : (X, d) → (Y, ρ), (α ∈ I) ÷ñc gåi

l  çng li¶n töc t¤i a ∈ X n¸u vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ > 0 sao cho vîimåi α ∈ I ρ(Tαx, Tαa) < ε vîi måi x m  d(x, a) < δ

2) Hå (Tα) ÷ñc gåi l  çng li¶n töc tr¶n X n¸u vîi måi ε > 0 tçnt¤i δ > 0 sao cho vîi måi α ∈ I ρ(Tαx, Tαy) < ε vîi måi x, y ∈ X m d(x, y) < δ

1.1.9 ành ngh¾a Cho d, ρ l  c¡c m¶tric tr¶n X

1) d v  ρ ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng n¸u ¡nh x¤ çng nh§t id : (X, d) →(X, ρ) v  ¡nh x¤ ng÷ñc cõa nâ li¶n töc

2) d v  ρ ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng ·u n¸u ¡nh x¤ çng nh§t id :(X, d) → (X, ρ) v  ¡nh x¤ ng÷ñc cõa nâ li¶n töc ·u

Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc d v  ρ ÷ñc l  t÷ìng ÷ìng ·u n¸u v  ch¿n¸u tçn t¤i a, b > 0 sao cho

ad(x, y) 6 ρ(x, y) 6 bd(x, y)vîi måi x, y ∈ X

1.1.10 ành ngh¾a Cho (Tn) l  d¢y c¡c ¡nh x¤ li¶n töc cõa tø khænggian m¶tric (X, d) v o khæng gian m¶tric (Y, ρ)

1) (Tn) ÷ñc gåi l  hëi tö iºm tr¶n X tîi T : X → Y n¸u vîi måi

3) (Tn) ÷ñc gåi l  hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp compact cõa X tîi T :

X → Y n¸u vîi måi tªp compact K cõa X ta câ

1.1.11 ành lþ N¸u (Tn) l  d¢y çng li¶n töc tr¶n tªp compact K v 

Tn hëi tö iºm tîi T li¶n töc tr¶n K th¼ Tn hëi tö ·u tîi T tr¶n K.Chùng minh Vîi méi ε > 0 cho tr÷îc Do T li¶n töc tr¶n K compactn¶n T li¶n töc ·u tr¶n K V¼ vªy, ta t¼m ÷ñc δ1 = δ1(ε) sao cho

d(T x, T y) < ε

3vîi måi x, y ∈ K v  d(x, y) < δ1

V¼ (Tn) çng li¶n töc n¶n vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ2 > 0 sao cho

d(Tnx, Tny) < ε

3vîi måi x, y ∈ K m  d(x, y) < δ2

M°t kh¡c, v¼ (Tn) hëi tö iºm tîi T tr¶n K n¶n vîi méi a ∈ K tçnt¤i n0(a) = n0(a, ε) sao cho

d(Tn, T a)6 ε

3vîi måi n > n0(a) °t δ = min{δ1, δ2} Khi â, hå h¼nh c¦u {B(a, δ) :

a ∈ K} l  phõ mð cõa K V¼ K compact n¶n ta t¼m ÷ñc a1, , ak saocho

°t N = max{n0a(a1) : i = 1, 2 k} Khi â, vîi måi x ∈ K, tçn t¤i ai

sao cho x ∈ B(ai, ε) Vîi n > N ta câ

d(Tnx, T x) 6 d(Tnx, Tnai) + d(Tnai, T ai) + d(T ai, T x) 6 ε

3 +

ε

3 +ε

3 = ε.

V¼ vªy, ta nhªn ÷ñc

sup

x∈K

d(Tnx, T x) 6 εvîi måi n > N, tùc l  lim

n→∞supx∈K d(Tnx, T x) = 0, hay Tn hëi tö ·utr¶n K tîi T

1.2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ co trong khænggian m¶tric

Möc n y tr¼nh b y sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co v  ¡nh x¤tüa co trong khæng khæng gian m¶tric ¦y õ cõa Banach v  C½ric.Tr÷îc h¸t ta tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· ¡nh x¤ Lipschitz tr¶n khænggian m¶tric

1.2.1 ành ngh¾a Cho (M, d) l  khæng gian m¶tric v  ¡nh x¤ T : X →

X T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ Lipschitz n¸u tçn t¤i k > 0 sao cho

Chùng minh Tø gi£ thi¸t ta câ

d(T x, T y) 6 k(T )d(x, y)vîi måi x, y ∈ M v 

d(Sx, Sy) 6 k(S)d(x, y)

vîi måi x, y ∈ M Tø â suy ra

d T (Sx), T (Sy)
6 k(T )d(Sx, Sy)6 k(T )k(S)d(x, y)

vîi måi x, y ∈ X Suy ra T ◦ S l  ¡nh x¤ Lipschitz Tø ành ngh¾a h¬ng

sè Lipschitz v  b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ k(T ◦ S) 6 k(T )k(S)

1.2.3 Nhªn x²t 1) Tø m»nh · tr¶n ta câ n¸u T : M → M l  ¡nh x¤Lipschitz th¼ Tn công vªy v  k(Tn) 6 [k(T )]n vîi måi n = 1, 2,

2) Måi ¡nh x¤ Lipschitz l  li¶n töc ·u

= inf{hk(Tn)i

1 n

6 k(Tn−1)k(T )

1 n

6 k(Tn−1)

1 n−1

n−1n



k(T )]1n.Suy ra

1.2.5 ành lþ ([2]) N¸u T : M → M l  ¡nh x¤ Lipschits èi vîi c¡cm¶tric t÷ìng ÷ìng ·u ρ v  d tr¶n M th¼

6 h(kρ(T ))ni

1 n

= kρ(T )n¶n

k∞(T )6 kρ(T )vîi måi ρ l  m¶tric t÷ìng ÷ìng ·u vîi d

Do â

k∞(T ) = inf kρ(T ),trong â cªn d÷îi óng l§y qua c¡c m¶tric ρ t÷ìng ÷ìng ·u vîi d

ành lþ sau ¥y l  nguy¶n lþ ¡nh x¤ co cõa Banach

1.2.7 ành lþ (Banach, [1]) Måi ¡nh x¤ co T tr¶n khæng gian m¶tric

¦y õ M ·u câ duy nh§t mët iºm b§t ëng v  vîi méi x0 ∈ M, d¢yl°p {Tn(x0)} hëi tö tîi iºm b§t ëng cõa T

Câ r§t nhi·u ph÷ìng ph¡p chùng minh ành lþ n y Sau ¥y chóngtæi tr¼nh b y 3 ph÷ìng ph¡p quen thuëc ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c t ili»u

Chùng minh 1: Gi£ sû T l  ¡nh x¤ co, °t q = k(T ) Cè ành x0 ∈ M v x¡c ành d¢y {xn} b¬ng quy n¤p nh÷ sau

xn+1 = f xn, n = 0, 1, 2,

Ta câ

d(x1, x2) = d(T x0, T x1) 6 qd(x0, x1)d(x2, x3) = d(T x1, T x2) 6 qd(x1, x2) 6 q2d(x0, x1)

Do â b¬ng quy n¤p ta chùng minh ÷ñc

n→∞d(xn, xn+p) = 0, tùc l  {xn} l d¢y Cauchy trong khæng gian m¶tric ¦y õ M °t

a = lim

n→∞xn

Do t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ T , ta câ

a = lim

n→∞xn+1 = lim

n→∞f xn = T ( lim

n→∞xn) = T a

Vªy a l  iºm b§t ëng cõa T

B¥y gií, gi£ sû b l  iºm b§t ëng cõa f Tø b§t ¯ng thùc

vîi måi n ∈ N Ta nhªn ÷ñc d(u, T u) = 0 T½nh duy nh§t ÷ñc thüchi»n nh÷ trong Chùng minh 1 ành lþ ÷ñc chùng minh.

Chùng minh 3: °t k = k(T ) v  ϕ(x) = d(x,T x)

1−k vîi méi x ∈ M Khi â,tø

d(T x, T2x) 6 kd(x, T x)suy ra

d(x, T x) − d(T x, T x) 6 d(x, T x) − kd(x, T2x)vîi måi x ∈ M Do â

Do â, têng ri¶ng Sn cõa chuéi d÷ìng P∞

i=1d(Tix0, Ti+1x0) luæn bà ch°nbði ϕ(x0) v  v¼ th¸ nâ hëi tö Suy ra {d(Tnx0, Tn+1x0)} l  d¢y Cauchy.V¼ M ¦y õ n¶n Tnx0 hëi tö tîi x ∈ X Tø t½nh li¶n töc cõa T ta câ

V½ dö sau cho th§y trong nguy¶n lþ ¡nh x¤ co cõa Banach n¸u thay

i·u ki»n ¡nh x¤ co bði i·u ki»n khæng d¢n th¼ k¸t luªn l  khæng óng.1.2.9 V½ dö Tr¶n tªp sè tü nhi¶n N ta x²t m¶tric

d(m, n) =

1 + 1

m + n n¸u m 6= n

D¹ d ng kiºm tra ÷ñc (N, d) l  khæng gian m¶tric ¦y õ.

X²t ¡nh x¤ f : N →N ÷ñc cho bði fn = n + 1 Rã r ng f khæng câ

iºm b§t ëng Tuy nhi¶n

1.2.10 ành lþ (Brouwer, [1]) Cho X l  mët khæng gian m¶tric compact

v  ¡nh x¤ f : X → X N¸u

d(f x, f y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X v  x 6= y (1.2)th¼ f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng

Chùng minh Tø i·u ki»n (1.2) d¹ d ng suy ra f l  ¡nh x¤ li¶n töc B¥ygií x²t h m thüc

ϕ(x) = d(f x, x), x ∈ X

V¼ f v  d li¶n töc n¶n ϕ l  h m li¶n töc Tø X l  khæng gian m¶triccompact n¶n ϕ ¤t gi¡ trà nhä nh§t t¤i a ∈ X Gi£ sû fa 6= a Khi â

d(f2a, f a) < d(f a, a)

Do â ϕ(fa) < ϕ(a) M¥u thu¨n vîi ϕ ¤t gi¡ trà b² nh§t t¤i a Vªy

f a = a hay a l  iºm b§t ëng cõa f

B¥y gií, gi£ sû b 6= a l  iºm b§t ëng cõa f Khi â

d(a, b) = d(f a, f b) < d(a, b)

Ta nhªn ÷ñc sü m¥u thu¨n Vªy f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng

V½ dö sau cho th§y ta khæng thº thay i·u ki»n compact cõa khænggian X bði t½nh ¦y õ v  bà ch°n

1.2.11 V½ dö X²t khæng gian Banach C[0,1] c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n[0, 1] vîi chu©n

iºm b§t ëng n o Thªt v¥y, gi£ sû T x = x vîi x ∈ M Khi â

tx(t) = x(t)vîi måi t ∈ [0, 1] Suy ra x(t) = 0 vîi måi 0 6 t 6 1 i·u n y m¥uthu¨n vîi x(1) = 1 v  x li¶n töc tr¶n [0, 1]

Câ r§t nhi·u h÷îng ti¸p cªn mð rëng nguy¶n lþ ¡nh x¤ co cõa Banach,trong sè â mð rëng l¶n lîp ¡nh x¤ cõa C½ric sau ¥y trong khæng gianm¶tric ÷ñc xem l  tèt nh§t Bði v¼, tø k¸t qu£ n y ng÷íi ta thu ÷ñcc¡c mð rëng nêi ti¸ng cõa Reich, Kannan, (xem [10])

1.2.12 ành ngh¾a ([5]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric v  ¡nh x¤

f : X → X ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  tüa co n¸u tçn t¤i h ∈ [0, 1) sao cho

d(f x, f y) 6 hMf(x, y)vîi måi x, y ∈ X, trong â

Mf(x, y) = max{d(x, y), d(x, f x), d(y, f y), d(x, f y), d(y, f x)}

Hìn núa, tçn t¤i k 6 n sao cho d(x, fkx) = δ[O(x, n)]

Chùng minh L§y x tòy þ thuëc X Vîi méi sè tü nhi¶n n = 1, 2, v 

1.2.14 Bê · ([5]) N¸u f l  ¡nh x¤ tüa co th¼

δ[O(x)] 6 1

1 − h(x, f x).

Chùng minh L§y x ∈ X tòy þ Khi â, tø O(x, 1) ⊂ O(x, 2) ⊂ ⊂ O(x)suy ra

δ[O(x, 1)] 6 δ[O(x, 2)] 6 6 δ[O(x, n)] 6 δ[O(x)]

vîi måi n = 1, 2, Hìn núa, tø c¡ch x¡c ành cõa O(x, n) v  O(x) suyra

vîi måi n Do n tòy þ n¶n

δ[O(x)] 6 1

1 − h(x, f x).

1.2.15 ành ngh¾a ([5])Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric v  ¡nh x¤

f : X → X ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  tüa co n¸u tçn t¤i α ∈ [0, 1) sao cho

d(f x, f y) 6 αMf(x, y) (1.3)vîi måi x, y ∈ X, trong â

Mf(x, y) = max{d(x, y), d(x, f x), d(y, f y), d(x, f y), d(y, f x)}

1.2.16 ành lþ ([5]) N¸u (X, d) l  khæng gian m¶tric ¦y õ v  f :

X → X l  ¡nh x¤ tüa co th¼ f câ ½t nh§t mët iºm b§t ëng

Chùng minh L§y x ∈ X v  x²t d¢y (xn) ⊂ x¡c ành bði

Vîi n > 2, ti¸p töc ¡p döng Bê · 1.2.13 ta câ

d(fn−1x, fk1fn−1x) = d(f fn−2x, fk1 +1fn−2x)

6 αδ[O(fn−2x, k1 + 1)] 6 αδ[O(fn−2x, 3)]

.Suy ra

d(fnx, fn+1x) 6 αδ[O(fn−1x, 2)] 6 α2δ[O(fn−2x, 3)]

Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta nhªn ÷ñc

d(fnx, fn+1x) 6 αδ[O(fn−1x, 2)] 6 6 αnδ[O(x, n + 1)] (1.4)M°t kh¡c, ¡p döng Bê · 1.2.14 ta nhªn ÷ñc

n→∞d(xn, xn+p) = 0 vîi måi p ∈ N Nh÷vªy, (xn) l  d¢y Cauchy V¼ X ¦y õ n¶n u = limn→∞xn Khi â

iºm b§t ëng cõa f.

CH×ÌNG 2GIÎI H„N CÕA CC IšM B‡T ËNG CÕA D‚Y CC

NH X„

Ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùu giîi h¤n cõa d¢y c¡c iºm b§t ëngcõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric B i to¡n n y ÷ñc Nadler,Fraser, nghi¶n cùu cuèi nhúng n«m 60 cõa th¸ k tr÷îc G¦n ¥y, v§n

· n y cán ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu tr¶n nhúng lîp khæng gian kh¡c.Chóng tæi s³ tr¼nh b y câ h» thèng c¡c k¸t qu£ n y v  ÷a ra c¡c v½ döminh håa

2.1 Giîi h¤n cõa mët d¢y iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤

Möc n y nghi¶n cùu giîi h¤n cõa d¢y c¡c iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶ntöc trong khæng gian m¶tric

2.1.1 ành ngh¾a Cho (X, d) l  khæng m¶tric,(Tn) l  d¢y c¡c ¡nh x¤

tø X v o X D¢y (an) c¡c ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l  d¢y iºm b§t ëngcõa (Tn) n¸u Tn(an) = an vîi méi n = 1, 2,

2.1.2 ành lþ ([9]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric.Gi£ sû (Tn) l  d¢yc¡c ¡nh x¤ li¶n töc tø X v o X v  (an) l  d¢y c¡c iºm b§t ëng cõa(Tn) Khi â, n¸u Tn hëi tö ·u tr¶n X tîi ¡nh x¤ T v  lim

n→∞an = a th¼

a l  iºm b§t ëng cõa T

Chùng minh V¼ T l  giîi h¤n ·u cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ li¶n töc (Tn) n¶n

T công l  ¡nh x¤ li¶n töc.V¼ vªy, tø lim

n→∞an = a suy ra lim

n→∞T an = T a

Do â, vîi måi ε > 0 tçn t¤i n1 sao cho

vîi måi n > n0 V¼ vªy a = lim

n→∞an = T a Hay a l  iºm b§t ëng cõa

2n(2n − 1)x − 1 + 1

2n < x <

1nD¹ th§y Tn li¶n töc tr¶n R v  1

2n l  iºm b§t ëng cõa Tn vîi méi n Hìnnúa, tø T∞

T Thüc t¸ T khæng câ iºm b§t ëng v  Tn khæng hëi tö ·u tîi T tr¶n

|(x + 1) − ((1 − 2n)x + 1)| = 1

vîi måi n ∈ N∗

Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  σ compact n¸u X = S∞

2.1.4 ành lþ Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric σ-compact Gi£ sû (Tn)

l  d¢y c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tø X v o X v  (an) l  d¢y c¡c iºm b§t ëngcõa (Tn) Khi â, n¸u Tn hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp compact cõa X tîi ¡nhx¤ T v  lim

tö ·u tr¶n Xk 0 tîi T Ti¸p töc sû döng lþ luªn nh÷ trong chùng minh

ành lþ 2.1.2 ta nhªn ÷ñc i·u c¦n chùng minh

2.1.5 ành ngh¾a Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric v  T l  ¡nh x¤ tø X

v o X Ta gåi T l  câ iºm b§t ëng duy nh§t ch°t n¸u lim

ε→0d(Iε(T )) = 0,trong â

d(Iε(T )) = {x ∈ X : d(x, T x) 6 ε}

2.1.6 ành lþ ([7]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric Gi£ sû (Tn) l d¢y c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tø X v o X v  (an) l  d¢y c¡c iºm b§t ëngcõa (Tn) Khi â, n¸u Tn hëi tö ·u tr¶n X tîi ¡nh x¤ T v  a l  iºmb§t ëng duy nh§t ch°t cõa T th¼ lim

n→∞an = a.Chùng minh Tø Tk hëi tö ·u tîi T suy ra vîi måi ε > 0 tçn t¤i k0 saocho

d(Tkx, T ) < ε