Điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn (LV01242)

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức cơ bản, cần thiết một số kháiniệm và kết quả cơ bản trong hướng ánh xạ tựa không giãn của lý thuyếtđiểm bất động... Dự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TỰA KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN QUỐC BÌNH

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình Tác giả xin được gửi lờicảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần QuốcBình, đồng thời tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới cácThầy, Cô đã tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích

đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại họcTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quátrình tác giả học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn của TS Trần Quốc Bình

Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Mở đầu 1

1 Sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới điểm bất động của ánh

1.1 Sự hội tụ mạnh và ánh xạ tựa không giãn 41.2 Ứng dụng cho ánh xạ không giãn và ánh xạ nén 141.3 Một số kết quả khác 26

2 Sự hội tụ yếu của các dãy lặp tới điểm bất động của ánh

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 382.1.1 Hội tụ mạnh và yếu 382.1.2 Tính chất Opial 402.2 Sự hội tụ yếu của dãy lặp tới điểm bất động của ánh xạ

tựa không giãn 43

iii

Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dướiđây:

R Đường thẳng thực

Ø Tập hợp rỗng

∥.∥ Chuẩn trong không gian

|x| Giá trị tuyệt đối của x

∂B Biên của tập B

Int(B) Phần trong của tập B

1 Lý do chọn đề tài

Giả sử X là không gian Banach thực, D là tập con đóng của X và T

là ánh xạ liên tục từ D vào X Với x0 bất kì thuộc D và số λ ∈ (0, 1),dãy

(i) x n = T (x n −1 ) = T n (x0), n = 1, 2, 3,

hoặc phép lặp

(ii) x n = T λ (x n −1 ) = T λ n (x0), T λ = λ.I + (1 − λ)T, n = 1, 2, 3,

Định lí kinh điển của Banach khẳng định rằng nếu T là ánh xạ co

từ D vào D ( nghĩa là ∥T x − T y∥ ≤ q ∥x − y∥ , ∀x, y ∈ D và q < 1) thì

x n = T n (x0) hội tụ (mạnh) đến điểm bất động duy nhất của T với bất

Tuy nhiên Krasnoselskii [7] đã chứng minh rằng nếu X là không gian

lồi đều, D là tập con lồi đóng bị chặn của X, T : D −→ D là ánh xạ

không giãn và compact thì

{

T1n2

còn Edelstein[6] mở rộng cho trường hợp X là lồi chặt Sau đó Browder

và Petryshyn[1,2] mở rộng các kết quả trên [7,15,6] cho trường hợp T là

chính quy tiệm cận và I-T biến tập đóng bị chặn thành tập đóng.

Diaz, Metcalf [3,4] và Dotson [5] mở rộng các kết quả trên cho ánh

xạ tựa không giãn (nghĩa là ánh xạ T thỏa mãn ∥ T x − p ∥≤∥ x − p ∥

tụ yếu của dãy lặp {T n

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu thấu đáo bài báo của Petryshyn và Williamson và các bàibáo liên quan tới đề tài nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức cơ bản, cần thiết một số kháiniệm và kết quả cơ bản trong hướng ánh xạ tựa không giãn của lý thuyếtđiểm bất động

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về ánh xạ tựa không giãn và lý thuyếtđiểm bất động Đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống cáckết quả nhận được

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống các kết quả về sự hội tụ mạnh và yếucủa các dãy lặp {T n (x0)}, {T n

không giãn

Sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới

điểm bất động của ánh xạ tựa

không giãn

Trong phần này nghiên cứu về sự hội tụ của ánh xạ tựa không giãnvới giả thiết là tập điểm bất động khác rỗng Cách tiếp cận chính ở đây

là phát triển, mở rộng các kết quả đã biết của một số tác giả và một sốkết quả mới cũng được suy ra

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn ∥.∥ Nếu A và B là 2

tập hợp trong X, kí hiệu d(A, B) = inf {∥a − b∥ |a ∈ A, b ∈ B} là khoảng

cách giữa A và B, d(p, A) là khoảng cách giữa một điểm p và tập hợp A Với ánh xạ T : D ⊂ X −→ X kí hiệu tập hợp những điểm bất động

của T trong D là F D (T ) hoặc đơn giản là F (T ).

Đầu tiên ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian định chuẩn, D là tập con

4

của X, T là ánh xạ liên tục từ D vào X.

trên D.

trên D.

động của T) thì T là ánh xạ tựa không giãn trên D.

Kết quả mới cơ bản đầu tiên của phần này là định lí sau đây

Định lý 1.1.1 Cho D là tập con đóng trong không gian Banach X và

ánh xạ T liên tục từ D vào X sao cho

Hơn nữa, vì T liên tục, F(T) đóng cho nên

Ví dụ 1.1.1 Cho X là đường thẳng thực và ánh xạ T được xác định như

Điểm bất động duy nhất của T là 0, vì nếu x ̸= 0 và T x = x thì

T tựa không giãn nếu y ∈ X, p = 0 thì

2

sin 1y ... chưa thể kết luận ánh xạ T ánh xạ k-co cầu với k = l Mặt khác, có những

ánh xạ l-cầu co X khơng thiết ánh xạ l-tập co Lý đểgiới thiệu ánh xạ co, ánh xạ k-cầu co ánh xạ nén (cầu)

là...

ánh xạ nén γ(T (D)) < γ(D) cho tập D G với γ(D) > 0.

Mọi ánh xạ k-co tập với k<1 ánh xạ nén ánh xạ nén ánh

xạ 1- tập co điều ngược lại không

Độ đo không. .. 1.1.3 mà khơngphải Hệ 1.1 giả thiết hệ không thỏa mãn

Từ sau ta gọi ánh xạ T : D −→ X ánh xạ tựa khơng

giãn có điều kiện T tựa không giãn F (T ) ̸= ∅ Định lí sau

được