- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến thì ta sẽ tính đạo hàmcủa nó kết quả cất vào biến m là: Nếu m là biểu thức số thì đạo hàm của phép cộng lấy giá trị của biểuthức số đ
Trang 1Lời cảm ơn
Xin trân trọng cảm ơn Trờng ĐH Vinh và khoa CNTT Trờng Đại Học
Vinh đã tạo điều kiện tổ chức cho chúng em đợc thực hiện làm luận văn tốtnghiệp này
Cảm ơn tất cả các giáo viên đã từng giảng dạy em trong suốt thời gian họctại trờng để em có đợc kiến thức nh ngày hôm nay và cảm ơn sự động viên góp
ý nhiệt tình của các bạn trong và ngoài lớp
Đặc biệt cảm ơn thầy giáo Tiến sỹ Nguyễn Trung Hòa trởng khoa CNTT
đã tận tình hớng dẫn và giúp đỡ cho em trong suốt thời gian chuẩn bị và làmluận văn tốt nghiệp Nếu không có thầy em khó có thể hoàn thành đợc tốt luậnvăn này
Trong quá trình làm luận văn mặc dù bản thân em đã rất cố gắng để hoànthành tốt chơng trình trong khoảng thời gian cho phép, nhng không thể tránh đ-
ợc những thiếu sót Vì vậy, em rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô và cácbạn để chơng trình đợc hoàn thiện hơn
Vinh, ngày tháng năm 2005
Sinh viên: Lê Thị Thanh Hơng.
Trang 2I- Đặt vấn đề:
Lĩnh vực tin học mặc dù ra đời muộn hơn những lĩnh vực khác, song tốc độphát triển của nó lại rất nhanh và ngày càng phát triển mạnh mẽ Có thể nóirằng, ngày này công nghệ tin học đã xâm nhập vào tất cả các ngành tạo ra cho
đời sống xã hội với một phơng thức hoạt động hoàn toàn mới mẻ, sáng tạo,nhanh chóng mà không làm mất đi sự chính xác Đặc biệt đó là ứng dụng tinhọc vào lĩnh vực toán học để xử lý các bài toán nhanh chóng đa đến kết quả.Trong toán học, khái niệm đạo hàm đã quen thuộc với chúng ta khi còn học phổthông và chúng còn thờng xuyên đợc sử dụng
1.1 - Vai trò của đạo hàm:
1.1.1 Trong thực tiễn , đạo hàm có vai trò tơng đối quan trọng, bởi có một
số vấn đề nếu không sử dụng đạo hàm thì rất khó để giải quyết nh:
Đối với chuyển động thẳng xác định bởi phơng trình S = f(t), thì vận tốc tứcthời của một chất điểm tại thời điểm t0 chính bằng đạo hàm của hàm số S = f(t)tại t0
V(t0) = S’(t0) Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 của chuyển động thẳng lại chính là đạo hàmcủa hàm số biểu thị vận tốc tại thời điểm t0
a(t0) = V’(t0) Hoặc khi ta cần tìm cờng độ dòng điện tức thời của dòng điện tại thời điểm t0
ta chỉ cần tính đạo hàm của điện lợng Q tại t0
I(t0) = Q’(t0) Còn có nhiều ứng dụng khác sử dụng đến đạo hàm Từ đó, ta có thể thấy đạohàm có thể giúp chúng ta giải quyết một số vấn đề trong cuộc sống
1.1.2 Trong lĩnh vực toán học khái niệm đạo hàm rất quen thuộc Phép tính
đạo hàm bắt nguồn từ bài toán tiếp tuyến Bài toán này đợc đặt ra một cách tự
Trang 3nhiên sau khi Đề các đã phát minh ra sự biểu diễn của các hàm số bằng đồ thị
mà chúng ta đã đợc học ở chơng trình sơ cấp (xác định cực trị, điểm uốn) Khilên đến chơng trình toán cao cấp ta vấn phải sử dụng đạo hàm để giải một sốcác bài toán khác nh: giải gần đúng phơng trình một ẩn (phơng pháp Niu-tơntrong phơng pháp tính hay công thức Taylo) Nhng việc tìm đạo hàm bằng ph-
ơng pháp thủ công lại rất phức tạp Vì vậy, chơng trình tìm đạo hàm của mộtbiểu thức tồn tại dới dạng chuỗi có thể giúp ngời sử dụng nhanh chóng tìm đợc
đạo hàm nhờ u điểm về tốc độ của máy tính
1.3.2 Ngoài các phần mềm trên thì hiện nay cha có tài liệu nào trình bày
về thuật toán và chơng trình nguồn thể hiện việc tính biểu thức đạo hàm đợcphổ biến ở Việt Nam
Trang 4Vì vậy, việc viết một chơng trình nguồn để tính đúng đạo hàm dới dạng mộtbiểu thức là có ích Đây cũng là lý do em chọn đề tài này.
II- Nội dung luận văn.
2.1- Bài toán đặt ra:
Đầu vào là ngời sử dụng nhập một biểu thức và kết quả đầu ra là một biểuthức đạo hàm của biểu thức nhập vào
2.2- Ph ơng pháp chung :
Giải quyết bài toán đặt ra đạt đợc những yêu cầu sau:
- Kết quả thu đợc chính xác và gọn nên khi tính đạo hàm phải sử dụng kếtquả đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng của các biểu thức, đạo hàm củacác hàm số cơ bản và của các hàm hợp
- Trong một số trờng hợp phức tạp phải khai thác đợc một số giải thuật có uthế có trong lập trình, đặc biệt là giải thuật đệ quy để có thể hình dungthuật toán rõ ràng
Từ đó, giải thuật đa ra sơ bộ nh sau:
B
ớc 1 : Nếu trong biểu thức cần tính đạo hàm có chứa:
- Các ký tự kiểu chữ hoa thì đổi ký tự đó sang chữ thờng
- Ký tự cách trống thì loại bỏ ra khỏi biểu thức
- Kiểm tra biểu thức đa vào có đúng là biểu thức toán học không (tức toánhạng, phép toán và các ký hiệu có đúng với quy tắc đã đặt ra)
B ớc2 : Xét trong biểu thức cần tính đạo hàm phép toán nào đợc thực hiện sau
cùng (tức phép toán này sẽ dùng để tách thành các toán hạng tơng ứng với nó)
B ớc 3 : Tách biểu thức đầu vào thành một hoặc hai biểu thức con và phép toán
để thực hiện tính đạo hàm tơng ứng với phép toán vừa tách
B ớc 4 : Khi biểu thức con là:
+ Các hàm số cơ bản thì đạo hàm đợc gán kết quả (tức đệ quy ở mức cơ sở) + Các biểu thức con nhỏ hơn thì ta sử dụng giải thuật đệ quy để tính đạo hàmcủa biểu thức con nhỏ hơn đó
Trang 52.3- Các giải thuật cụ thể:
Khi thực hiện xử lý biểu thức cần tính đạo hàm chúng ta phải tìm phép toán
nào đợc thực hiện tìm đạo hàm trớc để tiến hành tách biểu thức con (toán hạng)tơng ứng với phép toán đó:
• Nếu phép toán cần thực hiện là hai ngôi nh: + , - , / , ^ , log( , can( thì tách
ra hai biểu thức con và một phép toán
+ Biểu thức con đứng trớc phép toán gọi là toán hạng thứ nhất(bieuthuc1)
+ Biểu thức con đứng sau phép toán gọi là toán hạng thứ hai (bieuthuc2)
• Nếu phép toán đó là một ngôi nh là: sin( , cos( , tg( ,…thì tách ra một biểuthức con (bieuthuc1) và một phép toán
Giải thuật khi xử lý mà chúng ta sử dụng là giải thuật đệ quy Bởi các biểuthức con (toán hạng) đợc tách ra đó có thể rơi vào các trờng hợp là biến, hằng
số (biểu thức số) hoặc biểu thức con có chứa biến
- Nếu là biến, hằng số hay biểu thức số (Ví dụ: biểu thức số là ’(12-6/2)’cũng đợc xem là hằng số tơng đơng với 9 nhờ vào hàm value) thì ta đa rakết quả đạo hàm trực tiếp (trờng hợp đệ quy ở mức cơ sở)
- Nếu là biểu thức con chứa biến thì ta phải sử dụng đệ quy để tìm đạo hàmcủa biểu thức con này
Ví dụ: Giả sử thủ tục tìm đạo hàm là một hàm có tên dham và kết quả trả về làmột chuỗi
a) Cho biểu thức: 12-x
Ta tách đợc toán hạng thứ nhất là hằng số 12, toán hạng thứ hai là biến x vàphép toán hai ngôi là dấu trừ thì kết quả trực tiếp là: dham(12-x)=-1
b) Cho biểu thức: (12*sin(2)+8/4)-x
Ta tách đợc toán hạng thứ nhất là biểu thức số (12*sin(2)+8/4) và xem nó nhmột hằng số, toán hạng thứ hai là biến x, phép toán là dấu trừ thì kết quả là:dham((12*sin(2)+8/4)-x)=-1
Trang 6c) Cho biểu thức: (12*sin(x)+8/4)-x
Ta tách biểu thức thứ nhất là biểu thức con biến (12*sin(x)+8/4), biểu thứcthứ hai là biến x và phép toán là dấu trừ thì ta phải sử dụng đệ quy để tìm đạohàm của biểu thức con có chứa biến Khi đó,
dham((12*sin(x)+8/4)-x)=dham((12*sin(x)+8/4)) + ’-1’
2.3.1 - Giải thuật tách biểu thức thành phép toán và toán hạng.
B ớc 1 : Xét lần lợt từng ký tự từ trái sang phải của biểu thức, bắt đầu từ ký tự
đầu tiên Các khả năng xảy ra với ký tự đang xét:
a) Chữ số từ 0-9, chữ cái từ a-z hoặc dấu chấm (.) thì ta ghép ký tự đó vàocuối chuỗi đợc cất trong biến trung gian tu
b) Dấu chấm than (!) và nội dung của biến trung gian là chuỗi số thì ta ghépdấu ‘!’ vào cuối chuỗi cất trong biến trung gian Còn nếu nội dung của biếntrung gian đó khác biểu thức số thì thông báo “ Phải nhập giai thừa của một số” c) Ngoặc mở ‘(‘
- Ghép ký tự đó vào cuối chuỗi đợc cất trong biến trung gian tu
- Tăng biến đếm số lần xuất hiện ngoặc lên 1
- Nếu nội dung trong biến trung gian tu mà không thuộc dạng: ‘sin(‘,
‘cos(‘, ‘can(‘, … và biến đếm ngoặc mở bằng 1 (ngoac=1) ta kiểm tra: Nếu trong biến trung gian không có sự xuất hiện các phép toán: +,- ,*,/,^,! thì thông báo “ Hàm nhập vào sai”
- Nếu nội dung trong biến trung gian tu mà có dạng: ‘sin(‘, ‘cos(‘, ‘can(‘,…biến đếm ngoặc mở bằng 1 (ngoac=1) và dau bằng rỗng thì ta gán giá trịcủa biến trung gian cho biến cất phép toán là dau và xóa biến trung gian
về rỗng
d) Dấu phẩy (,)
- Nếu biến đếm ngoặc bằng 0 thì thông báo “ Dấu phẩy nhấp không đúng”
- Nếu biến đếm ngoặc bằng 1 ta kiểm tra biến dấu (phép toán):
+ Phép toán có dạng ‘can(‘ hoặc ‘log(‘ thì
Trang 7• Gán nội dung trung gian trong biến tu cho biến bieuthuc1 lu toán hạng thứ nhất
• Xóa biến trung gian tu về rỗng
+ Phép toán có dạng hàm một ngôi nh: sin(, cos(, arctan(,… thì thôngbáo “ Hàm sơ cấp này không có dấu phẩy”
+ Phép toán có dạng + , - , * , / , ^ thì ghép ký tự ‘,’ vào sau biến vàocuối chuỗi đợc cất trong biến trung gian tu
- Nếu biến đếm ngoặc khác 1 thì ghép ký tự ‘,’ vào sau biến vào cuối chuỗi
đợc cất trong biến trung gian tu
e) Ngoặc đóng ‘)’
- Nếu phép toán là ‘can(‘ hoặc ‘log(‘, biến trung gian khác rỗng, bieuthuc1,bieuthuc2 đều bằng rỗng và biến đếm ngoặc bằng 1 thì thông báo “ Hàmcăn hoặc log nhập sai”
- Nếu ký tự đang xét là ký tự cuối cùng, biến đếm ngoặc 1, biến dau chứaphép toán là các hàm cơ bản dạng sin(, cos( ,can(, log(,… và toán hạng thứnhất (bieuthuc1) khác rỗng thì ta chỉ cần giảm biến đếm ngoặc đi 1
- Ngợc lại, ghép ký tự ‘)’ vào cuối chuỗi cất trong biến trung gian tu vàgiảm biến đếm ngoặc đi 1
f) Phép toán hai ngôi + , - , * , / , ^ :
- Nếu biến đếm ngoặc là 0
+ Phép toán sau cùng của biểu thức ở thời điểm hiện tại (cất trong biến dau)
là phép toán một ngôi dạng ‘sin(‘, ‘cos(‘, ‘tg(‘,…thì ghép chuỗi (phép toán)trong biến dau vào đầu chuỗi cất trong biến trung gian tu tạo thành toán hạngthứ nhất (bieuthuc1), phép toán sau cùng bây giờ sẽ là ký tự đang xét, xóa biến
tu về rỗng
+ Phép toán sau cùng của biểu thức đang xét ở thời điểm hiện tại (cất trongbiến dau) là phép toán hai ngôi dạng ‘can(‘ hoặc ‘log(‘ thì ta nối chuỗi (phéptoán) trong biến dau vào đầu nội dung trong biến bieuthuc1, còn ký tự ’,’, nội
Trang 8dung trong biến trung gian tu tạo thành biểu thức một (toán hạng) và ‘)’ vàocuối Phép toán cần tìm đạo hàm sẽ là ký tự đang xét và xóa biến trung gian tu
về rỗng
Ví dụ: dau=’can(‘
bieuthc1=’4’
tu=x+1
Kết quả sau khi nối biethuc1=can(4,x+1)
+ Phép toán lu trong biến dau cũng là phép toán hai ngôi + , - , * , / , ^ thìxét thứ tự u tiên giữa phép toán là ký tự đang xét và phép toán đợc cất trongbiến dau:
Thứ tự u tiên của phép toán trong biến dau lớn hơn hoặc bằng thứ tự utiên của phép toán là ký tự đang xét thì
Ta nối phép toán trong biến dau cùng với nội dung cất trong biến trunggian tu vào sau toán hạng thứ nhất cất trong biến bieuthuc1
Phép toán cần tìm đạo hàm bây giờ sẽ là ký tự đang xét
Xóa biến trung gian tu về rỗng
Ngợc lại, nối ký tự đang xét vào cuối chuỗi cất trong biến trung gian tu + Phép toán trong biến dau là xâu rỗng thì
Phép toán cần tìm đạo hàm sẽ chính là ký tự đang xét
Ta cất ký tự đang xét vào trong biến dau, toán hạng thứ nhất(bieuthuc1) sẽ là nội dung cất trong biến trung gian tu
Trang 9- Nếu phép toán trong biến dau là phép toán một ngôi nh ‘sin(‘, ‘cos(‘, …hoặc biến dau chứa xâu rỗng thì toán hạng thứ nhất bằng nội dung trongbiến trung gian tu
Các ví dụ sau khi tách chuỗi biểu thức:
a) Cho biểu thức: sin(x+1) thì sau khi tách dau=’sin(‘
2.3.2 - Giải thuật xử lý biểu thức cần tính đạo hàm.
Tách biểu thức cần tính đạo hàm thành phép toán và toán hạng:
2.3.2.1 Phép toán không ngôi (kết quả sau khi tách không có phép toán chỉ có
một toán hạng)
2.3.2.1.1 Toán hạng là biến thì kết quả đạo hàm là ‘1’
Ví dụ: x thì đạo hàm sẽ là ‘1’
Trang 102.3.2.1.2 Toán hạng là hằng số thì kết quả đạo hàm là ‘0’
Ví dụ: ‘204’ đạo hàm sẽ bằng ‘0’
2.3.2.1.3 Toán hạng là biểu thức con chứa biến mà hai đầu là cặp dấu ngoặc
đơn đóng một biểu thức con nhỏ hơn thì ta thực hiện loại bỏ cặp dấu ngoặc đơn
ở hai đầu Sau đó, tách biểu thức đã loại bỏ cặp dấu ngoặc đơn và tiếp tục kiểmtra cho đến khi gặp trờng hợp đệ quy ở mức cơ sở hoặc tồn tại phép toán mộthoặc phép toán hai ngôi
2.3.2.2 Phép toán một ngôi (kết quả sau khi tách là một toán hạng và một phép
toán)
2.3.2.2.1 Toán hạng (bieuthuc1) là biến Ta xét từng trờng hợp cụ thể củaphép toán có các dạng sau:
- sin( thì đạo hàm tơng ứng với nó là ‘cos(‘+ bieuthuc1 +’)’
- cos( thì đạo hàm tơng ứng với nó là ‘-sin(‘+ bieuthuc1 +’)’
- arctan( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '1/(1+' + bieuthuc1 + '^2)'
- arcotg( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '-1/(1+'+bieuthuc1+'^2)'
- arccos( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '-1/can(2,1-'+bieuthuc1+'^2)'
- arcsin( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '1/can(2,1-'+bieuthuc1+'^2)'
- sqr( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '2*'+bieuthuc1
- ln( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '1/'+bieuthuc1
- exp( thì đạo hàm tơng ứng với nó là 'exp('+bieuthuc1+')'
- sqrt( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '1/(2*can(2,'+bieuthuc1+'))'
- tg( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '1/cos('+bieuthuc1+')^2'
- cotg( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '1/sin('+bieuthuc1+')^2'
- log( thì đạo hàm tơng ứng với nó là '1/('+bieuthuc1+'*ln(10))'
2.3.2.2.2 Toán hạng (bieuthuc1) là hằng số hoặc biểu thức số thì đạo hàm sẽ
là ’0’ (trừ trờng hợp hàm cotg() là vô nghĩa)
2.3.2.2.3 Toán hạng là (bieuthuc1) là biểu thức con chứa biến thì
Trang 11Tính đạo hàm của toán hạng (kết quả thu đợc cất vào biến m) Sau đó,kiểm tra biến m.
+ Nếu m là ‘0’ thì đạo hàm tơng ứng phép toán là ‘0’
+ Nếu m là ‘1’ thì ta xóa biến m về rỗng
+ Nếu m là chuỗi số đổi sang kiểu số có giá trị mà dơng thì thêm ký tự ‘*’vào sau biến m (m:=m+’*’;)
+ Nếu m là chuỗi số đổi sang kiểu số có giá trị âm hoặc biểu thức con chứa biến thì ghép thêm ‘(‘ vào đầu và ‘)*’ vào cuối biến m (m:=’(‘+m+’)*;) Sau khi xác định đợc m ta xét các trờng hợp cụ thể của phép toán:
- sin( thì đạo hàm của hàm sin là m+‘cos(‘+ bieuthuc1 +’)’.
- cos( thì đạo hàm của hàm cos là ‘-‘+m+‘-sin(‘+ bieuthuc1 +’)’.
- arctan( ta kiểm tra kết quả đạo hàm toán hạng (m):
+ Nếu m bằng rỗng thì đạo hàm của hàm arctan là ‘1/(1+(‘+bieuthuc1+
’)^2)’
+ Nếu m khác rỗng thì loại ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và kết
quả đạo hàm của arctan là m+‘/(1+(‘+bieuthuc1+’)^2)’
- arcotg( ta kiểm tra kết quả quả đạo hàm toán hạng:
+ Nếu m bằng rỗng thì kết quả đạo hàm tơng ứng với hàm arccotg làchuỗi phép '-1/(1+'+bieuthuc1+'^2)'
+ Ngợc lại, ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và kết quả đạohàm của hàm arccotg là ‘-‘+m+’/(1+(‘+bieuthuc1+’^2)’
- arccos( ta kiểm tra kết quả đạo hàm toán hạng:
+ Nếu m bằng rỗng đạo hàm của hàm arccos( là 1/can(2,1-'+bieuthuc1+'^2)'
'-+ Ngợc lại, ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và đạo hàm thu
đợc là ‘-‘+m+’/can(2,’1-‘+bieuthuc1+’^2)’
- arcsin( ta kiểm tra kết quả đạo hàm toán hạng:
Trang 12+ Nếu m bằng rỗng thì đạo hàm của hàm arcsin là'1/can(2,1-'+bieuthuc1+'^2)'.
+ Nếu m khác rỗng thì ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và
đạo hàm thu đợc là m+'/can(2,1-'+bieuthuc1+'^2)'
- sqr( thì đạo hàm với hàm sqr là '2*'+m+bieuthuc1.
- ln( ta kiểm tra kết quả đạo hàm toán hạng:
+ Nếu m bằng rỗng thì đạo hàm của hàm ln là '1/'+bieuthuc1
+ Ngợc lại, ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và đạo hàm củahàm ln là m+'/'+bieuthuc1
- exp( thì đạo hàm của hàm exp là 'exp('+bieuthuc1+')'.
- sqrt( ta kiểm tra kết quả đạo hàm toán hạng:
+ Nếu m bằng rỗng thì đạo hàm của hàm sqrt là '1/(2*can(2,'+bieuthuc1+'))'
+ Nếu m khác rỗng thì ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và
đạo hàm của hàm sqrt là m+’/(2*can(2,’+bieuthuc1+’))’
- tg( ta kiểm tra kết quả đạo hàm toán hạng:
+ Nếu m bằng rỗng thì đạo hàm của hàm tg là '1/cos('+bieuthuc1+')^2'.+ Nếu m khác rỗng thì ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và
đạo hàm của hàm tg là m+’/cos(’+bieuthuc1+’)^2’
- cotg( ta kiểm tra kết quả đạo hàm của toán hạng:
+ Nếu m bằng rỗng thì đạo hàm của hàm cotg là '1/sin('+ bieuthuc1+')^2'.+ Nếu m khác rỗng thì ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và
đạo hàm của hàm cotg là m+’/sin(’+bieuthuc1+’)^2’
- log( ta kiểm tra kết quả đạo hàm của toán hạng:
+ Nếu m bằng rỗng thì đạo hàm của hàm log là '1/('+bieuthuc1+'*ln(10))'
+ Nếu m khác rỗng thì ta loại bỏ ký tự ‘*’ ở cuối chuỗi trong biến m và
đạo hàm của hàm log là m+’/(’+bieuthuc1+’*ln(10))’
Trang 132.3.3 Phép toán hai ngôi (tức sau khi tách có một phép toán và hai toán hạng).
Ta kiểm tra phép toán sau đó mới kiểm tra từng toán hạng một:
2.3.3.1 Phép toán cộng ‘+’.
a) Nếu toán hạng thứ nhất là biến, kiểm tra toán hạng thứ hai là:
- Biểu toán hạng thứ hai cũng là biến thì đạo hàm của phép cộng là ‘2’
- Biểu toán hạng thứ hai là hằng số thì đạo hàm của phép cộng là ‘1’
Ví dụ: x+(12-3) thì bieuthuc1=’x’, bieuthuc2=’(12-3)’ và đạo hàm củax+(12-3) là ‘1’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến thì ta sẽ tính đạo hàmcủa nó (kết quả cất vào biến m) là:
Nếu m là biểu thức số thì đạo hàm của phép cộng lấy giá trị của biểuthức số đó cộng thêm 1
Nếu m là biểu thức con chứa biến thì đạo hàm là ‘1+’+m
b) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức số
- Nếu toán hạng thứ hai là biến thì đạo hàm của phép cộng là ‘1’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số thì đạo hàm là ‘0’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến thì đạo hàm của phépcộng chính bằng đạo hàm của toán hạng thứ hai (m)
Vì dụ: (12-3)+(x^2+1) thì bieuthuc1=’(12-3)’, bieuthuc2=’(x^2+1)’ và kếtquả đạo hàm của (x^2+1) là 2*x
c) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức con chứa biến
- Tính đạo hàm của toán hạng một (cất kết quả vào biến m)
- Nếu toán hạng thứ hai là biến và ta kiểm tra kết quả đạo hàm của biểuthức một (m):
+ Nếu m là biểu thức hằng số thì đạo hàm của phép cộng là lấy giá trị của
nó cộng thêm 1
+ Nếu m là chuỗi hằng số thì đạo hàm là m+‘+1’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số thì kết quả đạo hàm của phép cộng
Trang 14chính là đạo hàm của toán hạng thứ nhất (m)
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con có chứa biến thì phải tính đạo hàmcủa toán hạng thứ hai (m1):
+ Nếu m và m1 đều là chuỗi hằng số thì kết quả đạo hàm của phép cộng
là cộng hai giá trị của hằng số
+ Nếu m là chuỗi hằng số và đạo m1 là biểu thức con chứa biến thì
Nếu giá trị hằng số của m bằng 0 thì đạo hàm của phép cộng là m1 Ngợc lại, đạo hàm của phép cộng là m+’+(‘+m1+’)
Ví dụ: Cho biểu thức: (x+3)+(x^3+6)
bieuthuc1=’(x+1)’ và bieuthuc2=’(x^3+6)’ kết quả đạo hàm 1+(3*x^2) + Nếu m là biểu thức con chứa biến và m1 là chuỗi hằng số thì
Nếu giá trị hằng số của m1 là 0 thì đạo hàm của phép cộng chính là
m Ngợc lại, đạo hàm của phép cộng m1+’+(‘+m+’)
Ví dụ: Cho biểu thức: (x^3+6)+ (3*x)
bieuthuc1=’(x^3+6)’ và bieuthuc2=(3*x) kết quả đạo hàm 3+(3*x^2) + Nếu m và m1 đều biểu thức con chứa biến thì đạo hàm của phép cộng sẽ
là m + ‘+(’ + m1’)’
2.3.3.2 Phép toán trừ ‘-‘
a) Nếu toán hạng thứ nhất là biến, kiểm tra toán hạng thứ hai:
- Nếu toán hạng thứ hai cũng là biến thì đạo hàm là ‘0’
Ví dụ: x-x thì đạo hàm của x-x là ‘0’
- Nếu toán hạng thứ hai là hằng số thì đạo hàm bằng ‘1’
Ví dụ: x-12 thì đạo hàm của x-12 =‘1’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến thì ta tính đạo hàm của toán hạng thứ hai cất vào biến m1:
+ Nếu m1 là chuỗi hằng số thì ta sẽ lấy giá trị của hằng số đó trừ 1
+ Nếu m1 là biểu thức con chứa biến thì đạo hàm của phép trừ sẽ là ‘1-(’+m1+’)’
Trang 15b) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức số và ta kiểm tra toán hạng thứ hai là:
- Biến thì đạo hàm của phép trừ bằng ‘-1’ Ví dụ: 12-x đạo hàm ‘-1’
- Biểu thức số thì đạo hàm là ’0’ Ví dụ: 12-2 đạo hàm ‘0’
- Biểu thức con chứa biến thì tính đạo hàm của toán hạng thứ hai (m1):+ Nếu m1 là chuỗi hằng số thì ta đảo dấu giá trị hằng số của m1, rồichuyển sang dạng chuỗi
+ Nếu m1 là biểu thức con chứa biến thì đạo hàm của phép trừ (‘+m1+’)’
‘-Ví dụ: 12-(x^2) thì dham(12-(x^2))= ‘-(‘ + dham((x^2))+’)’ chính bằng –(2*x)
c) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức con chứa biến Tính đạo hàm củatoán hạng thứ nhất (cất vào biến m) Kiểm tra toán hạng thứ hai:
- Biến thì đạo hàm phép trừ là m + ‘-1’
+ Nếu m là chuỗi hằng số thì ta sẽ lấy giá trị hằng số của m đó trừ 1, rồi đổi sang dạng chuỗi
+ Nếu m là biểu thức chứa biến thì đạo hàm là ‘(‘+m+’)-1’
- Hằng số thì đạo hàm chính bằng đạo hàm của toán hạng thứ nhất (m)
Ví dụ: (x+3)-12 thì đạo hàm (x+3)-12 là ‘1’.
- Biểu thức chứa biến thì tính đạo hàm của toán hạng thứ hai:
+ Nếu m và m1 đều là chuỗi hằng số thì đạo hàm của phép trừ là hiệu haigiá trị của chuỗi hằng số, rồi đổi sang dạng chuỗi
+ Nếu m là chuỗi hằng số và m1 là biểu thức con chứa biến thì
Nếu giá trị của chuỗi m ở dạng số bằng 0 thì đạo hàm của phép trừ làm1
Ngợc lại, đạo hàm của phép trừ là m+‘-(’+m1+‘)’
+ Nếu m là biểu thức con chứa biến và m1 là chuỗi hằng số Ta đảo dấugiá trị m1 ở dạng số và m1 bây giờ là chuỗi số của giá trị đã đợc đảo :
Hằng số bằng 0 thì đạo hàm của phép trừ chính là m
Trang 16a) Nếu biểu thức một ra là biến, ta kiểm tra toán hạng thứ hai:
- Nếu toán hạng thứ hai cũng là biến thì đạo hàm của phép chia là’0’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số:
+ Nếu giá trị biểu thức số này khác 0 thì đạo hàm của phép chia là lấy 1chia cho giá trị của hằng số của toán hạng thứ hai, rồi đổi sang kiểuchuỗi
+ Nếu giá trị biểu thức số này bằng 0 thì thông báo lỗi “Phép chia bởi số0.”
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến
+ Tính đạo hàm của của toán hạng thứ hai (cất vào biến m1)
+ Nếu giá trị của m1 là chuỗi hằng số ta đảo dấu giá trị đó dới dạng số vàm1 bây giờ là chuỗi số đã đợc đảo Kiểm tra giá trị sau khi đảo dấu: Nếu bằng 0 thì đạo hàm của phép chia là ‘1/’+bieuthuc2
Nếu bằng 1 thì đạo hàm của phép chia là ‘(‘+bieuthuc2+’-‘+bieuthuc1+’)/’+bieuthuc2+’^2’
Nếu bằng –1 thì đạo hàm của phép chia là ‘(‘+bieuthuc2+bieuthuc1+’)/’+bieuthuc2+’^2’
Nếu khác 0, 1 và -1 thì đạo hàm của phép chia là m1+’*’+bieuthuc1+’+’+bieuthuc2+’)/’+bieuthuc2+’^2’
+ Nếu m1 là biểu thức con chứa biến thì đạo hàm của phép chia là
‘(‘+bieuthuc2+’-‘+bieuthuc1+’*(‘+m1+’))/’+bieuthuc2+’^2’
b) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức số (hằng số) thì kiểm tra toán hạngthứ hai là:
Trang 17- Biến thì ta phải kiểm tra kiểm tra giá trị dới dạng số của toán hạng thứnhất :
+ Nếu giá trị dới dạng số bằng 0 thì đạo hàm phép chia là 0
+ Nếu giá trị dới dạng số khác 0 thì
Đảo dấu của giá trị này rồi chuyển sang dạng chuỗi
Ghép chuỗi số đảo dấu với các chuỗi ‘/’+biêuthuc2+’^2’
- Toán hạng thứ hai là chuỗi biểu thức số:
+ Nếu biểu thức số có giá trị là 0 thì thông báo “Phép chia bởi số 0.”.+ Ngợc lại, đạo hàm của phép chia là’0’
- Toán hạng thứ hai là chuỗi biểu thức chứa biến Ta thực hiện các bớc sau:+ Nếu giá trị số của biểu thức số (toán hạng thứ nhất) bằng 0 thì đạo hàmcủa phép chia
+ Ngợc lại, tính đạo hàm toán hạng thứ nhất cất vào biến m
Nếu m là chuỗi hằng số có giá trị ở kiểu số bằng 0 thì đạo hàm củaphép chia bằng 0
Nếu m là chuỗi hằng số có giá trị ở kiểu số khác 0 thì
Lấy giá trị này nhân với giá trị ở kiểu số của biểu thức số (toán hạng thứ nhất), rồi đảo dấu kết quả thu đợc, sau đó lại chuyển sang dạng chuỗi
Ghép chuỗi: chuỗi vừa tìm đợc ở trên với ‘/’+bieuthuc2
+’^2’
Nếu m là biểu thức con chứa biến
Đảo dấu giá trị ở dạng số của biểu thức số (toán hạng thứ nhất) rồi chuyển sang dạng chuỗi (cất biến bieuthuc1)
Ghép chuỗi: bieuthuc1+’*(‘+m+’)/’+bieuthuc2+’^2’
c) Toán hạng thứ nhất là biểu thức chứa biến
- Tính đạo hàm của biểu thức một (cất vào biến m)
Trang 18- Nếu toán hạng thứ hai là biến thì ta phải kiểm tra đạo hàm của toán hạngthứ nhất trong biến m.
+ Nếu m là chuỗi hằng số mà giá trị ở dạng số bằng 0 thì đạo hàm củaphép chia là ‘-‘+bieuthuc1+’/’+bieuthuc2+’^2’
+ Nếu m là chuỗi hằng số mà giá trị ở dạng số bằng 1 thì đạo hàm củaphép chia là ‘(‘+bieuthuc2+’-‘+bieuthuc1+’)/’+bieuthuc2+’^2’
+ Nếu m là chuỗi hằng số mà giá trị ở dạng số khác 0 hoặc 1 thì đạo hàmcủa phép chia là ‘(‘+m+’*’+bieuthuc2+’-‘+bieuthuc1 +’)/’ +bieuthuc2+’^2’
+ Nếu m là biểu thức con chứa biến thì đạo hàm của phép chia là
‘((‘+m+’)*’+bieuthuc2+’-‘+bieuthuc1+’)/’+bieuthuc2+’^2’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số Ta xét giá trị dới dạng số của biểuthức số:
+ Nếu giá trị dạng số bằng 0 thì thông báo “Phép chia vô nghĩa.”
+ Nếu giá trị dạng số khác 0, ta kiểm tra tiếp kết quả đạo hàn toán hạngthứ nhất m :
Nếu m là chuỗi hằng số thì đạo hàm của phép chia là lấy giá trị ởdạng số của m chia cho giá trị ở dạng số của biểu thức số (toán hạng thứhai)
Nếu m là biểu thức con chứa biến thì
Nếu giá trị ở dạng số của toán toán hạng thứ hai là nhỏ hơn 0 thì đạo hàm của phép chia là ‘-(‘+m+’)/’+bieuthuc2
Ngợc lại, đạo hàm của phép chia là ‘(‘+m+’)/’+bieuthuc2
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến thì
+ Tính đạo hàm của biểu thức hai cất và biến m1
+ Nếu m và m1 đều là chuỗi hằng số Ta đảo dấu giá trị ở kiểu số củachuỗi hằng số trong m1 Sau đó, xét từng trờng hợp cụ thể:
Trang 19 Nếu m có giá trị ở dạng số bằng 0 Ta xét tiếp giá trị ở dạng số củam1:
Nếu giá trị ở dạng số của m1 bằng 0 thì đạo hàm của phép chia là
Nếu giá trị ở dạng số của m1 số dơng thì đạo hàm của phép chia
là ‘(‘+bieuthuc2+’+’+ m1+ ’*’+ bieuthuc1 +’)/’+bieuthuc2+’^2’
Nếu giá trị ở dạng số của m1 số âm khác –1 thì đạo hàm củaphép chia là ‘(‘+bieuthuc2 +m1 + ’*’+bieuthuc1 +’)/’+bieuthuc2+’^2’ Nếu m có giá trị ở dạng số khác 0 và 1 Xét tiếp giá trị ở dạng số củam1:
Nếu giá trị ở dạng số của m1 bằng 0 thì đạo hàm của phép chia làm+’*’+bieuthuc2 +’/’ + bieuthuc2+’^2’
Nếu giá trị ở dạng số của m1 bằng -1 thì đạo hàm của phép chia
là ‘(‘+m+’*’+bieuthuc2+‘-‘+bieuthuc1+’)/’+ bieuthuc2+’^2’
Nếu giá trị ở dạng số của m1 số dơng thì đạo hàm của phép chia
là ‘(‘+m+’*’+bieuthuc2+’+’+ m1+’*’+bieuthuc1 +’)/’+ bieuthuc2+ ’^2’
Nếu m là biểu thức con chứa biến thì đạo hàm của phép chia là
Trang 20‘((‘+m+’)*’+ bieuthuc2+’-(’+m1+’)*’+bieuthuc1 +’)/’+bieuthuc2+’^2’.2.3.3.4 Phép toán nhân ‘*’.
a) Nếu toán hạng thứ nhất là biến Ta kiểm tra toán hạng thứ hai:
- Nếu toán hạng thứ hai là biến thì đạo hàm của phép nhân là
b) Toán hạng thứ nhất là biểu thức số
- Nếu giá trị ở dạng số của biểu thức số bằng 0 thì đạo hàm của phép nhânbằng ‘0’
- Nếu giá trị ở dạng số của biểu thức số khác 0 Ta xét toán hạng thứ hai:+ Toán hạng thứ hai là biền thì đạo hàm của phép nhân chính bằng toánhạng thứ nhất
+ Toán hạng thứ hai là hằng số đạo hàm của phép nhân là’0’
+ Toán hạng thứ hai là biểu thức chứa biến Ta tính đạo hàm của toánhạng thứ hai (cất vào biến m1)
Trang 21 Nếu m1 là chuỗi hằng số thì ta lấy giá trị ở dạng số của m1 và toánhạng thứ nhất nhân với nhau, rồi chuyển sang dạng chuỗi Đạo hàm củaphép nhân chính là chuỗi ta vừa tìm đợc.
Nếu m1 là chuỗi biểu thức con thì đạo hàm của nhân làbieuthuc1+’*(‘+m1+’)’
c) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức chứa biến Ta tính đạo hàm của toánhạng thứ nhất (cất vào biến m) Kiểm tra toán hạng thứ hai:
- Nếu toán hạng thứ hai là biến:
+ Nếu m là chuỗi số mà giá trị của nó ở dạng số bằng 0 thì đạo hàm củaphép nhân là biến (toán hạng thứ hai)
+ Nếu m là chuỗi số mà giá trị của nó ở dạng số bằng 1 thì đạo hàmbieuthuc1+’+’+bieuthuc2
+ Nếu m là chuỗi số có mà giá trị của nó khác 0 và 1 thì đạo hàmm+’*’+bieuthuc2+’+’+bieuthuc1
+ Nếu m là biểu thức chứa biến thì đạo hàm của ‘(‘+m+’)*’+bieuthuc2+
’+’+bieuthuc1
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số
+ Nếu m là chuỗi số thì đạo hàm của phép nhân ta lấy giá trị ở dạng sốcủa m và toán hạng thứ hai nhân với nhau, rồi chuyển sang dạng chuỗi
Đạo hàm của phép nhân chính là chuỗi ta vừa tìm đợc
+ Nếu m là biểu thức chứa biến thì đạo hàm của phép nhân là
‘(‘+m+’)*’+bieuthuc2
- Nếu biểu thức hai là biểu thức chứa biến Ta tính đạo hàm của biểu thứchai (cất vào biến m1)
+ Nếu m và m1 đều là hằng số Xét từng trờng hợp cụ thể:
Nếu m có giá trị ở dạng số bằng 0 Ta xét giá trị hằng số của m1: Nếu giá trị hằng số của m1 bằng 0 thì đạo hàm của phép nhân là
‘0’
Trang 22 Nếu giá trị hằng số của m1 bằng 1 thì đạo hàm của phép nhân làtoán hạng thứ nhất.
Nếu giá trị hằng số của m1 khác 0 và 1 thì đạo hàm của phépnhân là m1+’*’+ bieuthuc1
Nếu m có giá trị ở dạng số bằng 1 Ta xét giá trị hằng số của m1: Nếu giá trị hằng số của m1 bằng 0 thì đạo hàm của phép nhân làtoán hạng thứ nhất
Nếu giá trị hằng số của m1 bằng 1 thì đạo hàm của phép nhân làbieuthuc2+’+’ bieuthuc1
Nếu giá trị hằng số của m1 khác 0 và 1 thì đạo hàm của phépnhân là m1+’*’+ bieuthuc1+’+’+bieuthuc2
Nếu m có giá trị ở dạng số khác 0 và 1 Ta xét giá trị hằng số củam1:
Nếu giá trị hằng số của m1 bằng 0 thì đạo hàm của phép nhân làm+’*’+bieuthuc2
Nếu giá trị hằng số của m1 bằng 1 thì đạo hàm của phép nhân làm+’*’+ bieuthuc2+’+’bieuthuc1
Nếu giá trị hằng số của m1 số dơng khác 1 thì đạo hàm của phépnhân là m+’*’+ bieuthuc2+’+’+m1+’+’+bieuthuc1
Nếu giá trị hằng số của m1 là số âm thì đạo hàm của phép nhân
Trang 23 Nếu giá trị hằng số của m1 khác 0 và 1 thì đạo hàm của phép nhân làm+’*’+bieuthuc2+ ’+(‘+m1+’)*’+ bieuthuc1.
+ Nếu m là biểu thức chứa biến và m1 là chuỗi hằng số Xét từng trờnghợp cụ thể giá trị của m1 khi ở dạng số:
Nếu giá trị hằng số của m1 bằng 0 thì đạo hàm của phép nhân là
+ Nếu biểu thức hai là biểu thức số có giá trị khi đổi thành kiểu số khác
0 và 1 thì ta kiểm tra đạo hàm của toán hạng thứ nhất (m)
Nếu giá trị hằng số của m bằng ‘1’ thì ta xóa nó về rỗng
Nếu giá trị hằng số của m bằng ‘0’ thì đạo hàm của hàm mũ là ‘0’ Nếu giá trị hằng số của m khi đổi ra kiểu số mà nhỏ hơn 0 thì ta nối thêm ‘*(‘ vào phía đầu và ‘)’ vào phía cuối chuỗi số trong biến m (m:= *( ’ ‘
Trang 24+m+ ) ;’ ’ ).
Sau khi thay đổi nội dung của m thì ta thực hiện tiếp:
Nếu giá trị biểu thức số của toán hạng thứ hai ở dạng số bằng 2 thì đạo hàm của hàm mũ là ‘2’+m+’*’+bieuthuc1
Nếu giá trị biểu thức số của toán hạng thứ hai ở dạng số khác 0,1,2 thì ta tính mũ của biểu thức đạo hàm:
Giá trị của mũ bằng giá trị của giá trị của toán hạng thứ hai sau khi đổi thành kiểu số trừ đi 1 Kết quả thu đợc chuyển sang dạng chuỗi
Nếu giá trị của toán hạng thứ hai sau khi đổi thành kiểu số mà nhỏ hơn 1 thì ta nối ‘(‘ vào đầu và ‘)’ vào cuối chuỗi mũ ta tính đợc ở trên Khi đó, đạo hàm của hàm mũ là bieuthuc1+m+’*’+bieuthuc1+’^’+ mu
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến:
+ Nếu toán hạng thứ hai là biến hoặc hàm lợng giác nh sin, cos, …hoặccan(), log() thì ta thay đổi toán hạng thứ (bieuthuc1) là bieuthuc2+’*ln(‘+bieuthuc1+’)’ Ngợc lại, toán hạng thứ nhất là bieuthuc2+’*ln‘+bieuthuc1
+ Đạo hàm của hàm mũ bây giờ là ‘(‘+đạo hàm của toán hạng thứ nhất+’)exp(‘+toán hạng thứ nhất
Ví dụ: (x+2)^(x+3) thì biểu thức tơng đơng là exp((x+3)*ln(x+2)) và đạo hàmcủa biểu thức tơng đơng là chuỗi nối các chuỗi sau:
‘(‘ + dham((x+3)*ln(x+2)) + ’)*exp((x+3)*ln(x+2))’ Với dham là tên thủ tụctính đạo hàm
b) Nếu biểu thức một là biểu thức số Ta kiểm tra giá trị của biểu thức nàykhi đã đổi sang kiểu số:
- Giá trị bằng 0 và toán hạng thứ hai cũng là biểu thức số thì đạo hàm củahàm mũ là ‘0’
- Ngợc lại, xét toán hạng thứ hai:
Trang 25+ Nếu giá trị của biểu thức một khi đã đổi sang kiểu số mà nhỏ hơn 0 vàkhác 1 thì thông báo “Không tồn tại a^x vì a<0.”
+ Nếu giá trị của biểu thức một khi đã đổi sang kiểu số mà lớn hơn 0 vàtoán hạng thứ hai là biểu thức chứa biến Ta tính đạo hàm của toán hạngthứ hai (cất vào biến m1)
Nếu m1 là chuỗi hằng số có giá trị sau khi đổi sang dạng số bằng 0 thì đạo hàm của hàm mũ bằng 0
Nếu m1 là chuỗi hằng số có giá trị sau khi đổi sang dạng số bằng 1 thì xóa biến m về rỗng
Nếu m1 là chuỗi hằng số có giá trị sau khi đổi sang dạng số khác 0
và 1 thì nối thêm ký tự ‘*’ vào cuối chuỗi số của biến m (m1:=m1+ *’ ’) Nếu m1 là biểu thức chứa biến thì thay đổi chuỗi trong biến m1
bằng cách nối ‘*(‘ vào đầu và ‘)’ vào cuối chuỗi trong biến m1(m1:= *( ’
+ m1+ )’ ’)
Sau khi xác định đợc m1 Ta xác định đạo hàm của hàm mũ là:
m1+bieuthuc1+’^’+bieuthuc2+’*ln(‘+bieuthuc1+’)’
2.3.3.6 Phép toán là ‘log(‘
a) Nếu toán hạng thứ nhất là biến
- Nếu toán hạng thứ hai cũng là biến thì đạo hàm của hàm log là’0’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số
+ Nếu giá trị của biểu thức số sau khi đổi ra dạng số mà nhỏ hơn hoặcbằng 0 thì thông báo “Không tồn tại hàm log cơ số <0.”
+ Ngợc lại, đạo hàm của hàm log là ‘1/(‘+bieuthuc2+’*ln(‘+bieuthuc1+’))’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức con chứa biến
+ Đổi toán hạng thứ hai (bieuthuc2) thành bieuthuc2 := ‘ln’ + bieuthuc2 +’)’
+ Đạo hàm của hàm log sẽ là ‘((‘+bieuthuc1+‘/’+bieuthuc1+’)-((‘ + đạo
Trang 26hàm của bieuthuc1+’)*ln(’+bieuthuc1+’))/’+bieuthuc2+’^2’.
b) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức số
- Nếu giá trị của biểu thức số này sau khi đổi sang dạng số mà bằng 0 thìthông báo “Không tồn tại hàm log”
- Ngợc lại, ta xét toán hạng toán hạng thứ hai:
+ Nếu toán hạng thứ hai là biến thì đạo hàm của hàm log là ‘1/(‘+bieuthuc2+’*ln(‘+bieuthuc1+’))’.\
+ Nếu toán hạng thứ hai cũng là biểu thức số thì đạo hàm của hàm log là
c) Nếu toán hạng thứ nhất là biểu thức chứa biến:
- Thay đổi toán hạng thứ nhất (bieuthuc1) thành: ‘ln(‘+bieuthuc1+’)’
- Tính đạo hàm của biểu thức một sau khi đổi và cất kết quả vào biến m.+ Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số có giá trị ở dạng số nhỏ hơn 0 thìthông báo “không tồn tại hàm log”
+ Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số có giá trị ở dạng số lớn hơn 0 thì
đạo hàm của hàm log là ‘((‘+m+’)*ln(‘+bieuthuc1+’)-(‘+bieuthuc1+
’/’+bieuthuc2+’))/ln(‘+bieuthuc2+’)^2’
- Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số
+ Nếu toán hạng thứ hai là biểu thức số có giá trị ở dạng số nhỏ hơn 0 thìthông báo “Không tồn tại hàm log.”