Ung dung ham so de tim GTLN GTNN cua bieu thuc

www.facebook.com/toihoctoan

1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN

CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

A PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số nhiều biến bằng phương pháp hàm số, thông thường ta

thực hiện theo các bước sau :

 Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau

 Đưa vào một biến mới t, bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên

 Xét hàm số f (t) theo biến t Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t)với tD

 Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t)với tD

 Chú ý : trong trường hợp không thể xây dựng trực tiếp được hàm số f (t)với tD, ta có thể đi tìm

 f (t)với tDthỏa P f (t) đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

 f (t)với tDthỏa P f (t) đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất

B MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

I XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM SỐ f t( ) BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ:

Phương pháp chung:

 Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t thích hợp

 Có thể biến đổi được về hàm f(t) không cần sử dụng tính chất bất đẳng thức.

 Hàm f(t) tương đối khảo sát được

 Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)

 Thích hợp cho các đề thi khối B và D

Thí dụ 1 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1

0,

y x

y x

nên

4

1 0

f

P  2  1

2

2 2

t

t t

 ta thấy f' t 0 với mọi  



16

1

;0

t , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng

1min

min

] 16

1

; 0 (

3 3 2

3 3

2 2

3 3

3 3

3)

())(

y x y

x

xy y x y

x

xy y x y x y

x

y x A

 Xét hàm số

t

t t

f( ) 3

với t   3 t 1, ta có /( )   32  0

t t f

y x xy y

x xy y x

31

11

)(3)(

11

1

3 3

31

1)

3)

(

t t t

)(

_ -3

1

-∞

; 3

3 3 2 1 2

) ( /   

0

4+2 3

1 4

1 4 0

1 16

25 2 12

2 0

0

x y

)2(3

3)

2()2(

2

2 2

x x x

x x

x x x

x x

P

2 2

2 /

)1(

22

x P

Thí dụ 7 Cho các số thực thay đổi x y, thỏa điều kiện x  y 1, 2 2

1

x y xy  x y Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

1

xy P

4 4 3 4

) (xy 2  xy t2  t    t  Khi đó

1

12

1 3

0

2 1

0

P

P / x

5

 Xét hàm số

1

1)

(2

)2(

2)

Thí dụ 8 Cho các số thực thay đổi x y, thỏa điều kiện x y, 0, 2 2

xy xy x y   x y Tìm GTLN của biểu thức P 1 1

t

t t t xy y

)(

2 3 2

 Khi đó

2

22

t t xy

y x P

 Xét hàm số

2

2)

t t t

f t  2  2 t với

2 2

2 /

)2(

443)(

t t t

3

2 0

) ( /     

1 3

-2 3

_ -2

2

) (

 Xét hàm số

1

32)(

342)

f

 Vậy GTNN

2

1 ) 1 ( 

1 (  

a a

b b

a a

b b

a ab

b a a

b b

a

2222

12

)2(1112

 Đặt

2

50

15442221

a t

 Ta có 4 9 2 4 ( 3 3 ) 9 ( 2 2 )

2

2 2

3 3

a a

b b

f /(t)  12t2  18t 12 ; 2

2

1 0

) ( /     

1 2

1

25 6

-1 3

_

f(t)

f / (t) t

+∞

+∞

t

f / (t) f(t)

+

5 2

-23 4

7

 Suy ra

4

232

2 2 1

t t P

Thí dụ 12 Cho các số thực a b c, , thỏa abc2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2 2 4 4

2 2 4 4 2 2

2 2 4 4

2 2 4 4 2 2

))(

())(

())(

(

a c a c

a c a c a c c

b c b

c b c b c b b

a b a

b a b a b a P

t t A

t t t

)1(

22)(

x t

f

P /

2 15

1 3

-15

2 15

0

1 4

0

0 _

P t

+

8

3

2 ) (

3

1 ) (

3

1 ) (

Thí dụ 13 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x1, y1 và 3(xy)4xy

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3

 Suy ra x, y là nghiệm của phương trình 0





y x

 Suy ra

xy y

x y

x xy y

9 2

3   



a a a

3

16 8 4

9 )

(  3 2  a

a a a a f

2

3(382

93)(

a a

a a a a a f

a 3

4 )(

' a

)

(a f

94

12 113

 Dựa vào BBT ta suy ra

12

113 minP , đạt khi ;

3,14

y x

y x

1

2

zx yz xy zx

yz xy

 Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ] Do đó .

3

14 ) 3 ( ) (t  f 

Thớ dụ 15 Cho hai số thực x thỏa món 0 x 1, 0 y 1 và x y 4xy

Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

031)1(.1

0)0(.1

04

t s

t h

t h

t t

3

1 4

132

90

932)(

t M'(t)

2 2

uv

a v u

a v u

a v u

u, v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh   0

2

22

0.1

3

y x y

 Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 636 

t  

  Khi đó ta được P

2 3 (1 ) (1 ) 3 1

 Khả năng biến đổi được về hàm f(t)là khó buộc phải sử dụng bất đẳng thức.

 Lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức điều kiện dấu bằng xảy ra phải đúng

 Cần thuộc một số bất đẳng thức phụ để có thể đưa về theo một đại lượng thích hợp nào đó theo ý mong muốn

 Hàm f(t) tương đối khảo sát được

 Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)

 Thích hợp cho các đề thi khối A và B

Thí dụ 1 (Khối B 2009) Cho các số thực thay đổi thỏa 3

2)

(xy x y 

2 )

(

2 2 2 2 2

 Xét hàm số 2 1

4

9)(

f

 Suy ra

16

9 ) 2

1 ( )

)(

+

1 2

9 16

( )

f t

10 6 39

ca bc ab

ca bc ab

0abc c

 Ta cóP 3 (ab)2 6ab 3c2  4abc  3 ( 3 c)2  3c2  2 ( 3 c)ab

2 2

2

2 ) 3 ( 2 3 ) 3 (

2

2

3 ) 3 ( 2 3 ) 3 (

3 )

13

3 2

xyz z

 Xét hàm số

t t t

f( )3 3 với

3

1

0t ( ) 3 3 3 23 0

t f

 Suy ra ) 10

3

1()

 f t f P

2

3)3(3111)

y x z

y x P

 Xét hàm số

t t t

t f

10

1 3

0

_

f(t)

f / (t) x

82

1 9

0

_

f(t)

f / (t) x

17

9

1 ( )

0)(

c a a

b a a

b b ab a

3

c b a

c b a

 Vậy GTLN P12 khi a0;b1; c2 và các hoán vị 

Thí dụ 7 Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc  0; 2

c

a c

20

20

2

)2(

1)

(1

4

1)(1

b c

b

a c

 Suy ra

4

1)2(

11

P

0

9 4

12

0

2 _

18

 Xét hàm số

4

1)2(

11

b

f với 0 b 2

3 3

/

)2(

22

)(

b b

b f

 f P

x f







12

12

1)(/

 f P

d c b

2 ) (

3

10

)(/   

Suy ra 2 3

3

1)

4

1 ) 1 ( 2

1 ) (

1 )(

1 )(

541

y x P

 Đặt t xyz11

3

)2(

542







t t P

)2(

542

)(







t t t

f với 1 t

)2(

1622

)(

+∞

1 4

0

4 _

 f P

z b x

2 2

2

11

121

11

11

11

1

c b

a c

b a

P

x x

2 1

2 1

1 2

f

 Suy ra

2

3)2

1

 f P

( ) (

3 a b c  abc a b c a b c a bb cc aab bc ca

22

2

2 2 2 2

2 2

2 2 3

2 2 3

2 2 3

b a a

c ca c

c b bc b

b a ab a

z y x



t

t t z y x

z y x z

y x

P

2

9)

(2

)(

9

2 2 2

2 2 2 2

t f

2

9 2

1 )

(    với 3 t

-∞

0

3 2

1 2

t

f / (t) f(t)

+

21

/ 2

2

9 1 ) (

t t

 Suy ra

4

1)4( 

 f P

3

3 3

3

3 3 3

64)(64)()(

164

a

z z

a a

z y

x z

y x

z y x

f    với 0 t 1 /  2 2

) 1 ( 64 3 )

9

10

)(/   

6481

1

2 2 2 2 2 2

y x

x

2

1 2

1 2

2 2

2

 Xét hàm số

t

t t

2)(

t t t

Thí dụ 15 (Khối A 2011)Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x y x, z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a    

21

11

t P

2 22

 Xét hàm số

t t

t t f

1()32(

9)12(3)34(2)

t t t

t t

f

34 33

1 ) 1 ( 2

1 ) ( 2

1 )(

1 )(

541

b a

 Đặt tabc1,t1 Khi đó ta có 3

)2(

542







t t

)2(

542

)(







t t t

f trên (1; ) Ta có

4

1)

2(90)2(

3.542)(

t t

t t

Suy ra BBT

t 1 4 )

41

 Dựa vào BBT suy ra

4

1



P Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t  4 abc 1

 Vậy giá trị lớn nhất của P là

4

1, đạt được khi abc 1.

Thí dụ 17 (khối D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn   2 2

x  y  xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3   

y x

P 3  3  3  3

Hướng dẫn : đặt t  x yz

Bài 2: Cho các số dương x,y,z thỏa x yz3 Tìm GTNN của biểu thức

yz xz

)(12)(

Bài 3: Cho các số dương x,y,z thỏa x2  y2 z2  1 Tìm GTLN của biểu thức

xyz x

z y

1(262

27)

(

2

6

2 2

2 2 2

x x z

y x x z y

Bài 4: Cho các số dương x,y,z thỏa 21xy2yz8zx12 Tìm GTNN của biểu thức

z y x

b

x

a 1;  2;  3, bài toán đưa về tìm GTNN Pabc với

7 2

4 2

72

1422

722

117

2

14227

2

141442

ab a

a ab

a a a b a

a b a

a a b a

(

t t

t t

Bài 5: Cho các số thực x,y,z không đồng thời bằng 0 thỏa x2 y2z2  2 (xyyzzx) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

))(

3 3 3

z y x z y x

z y x P

y b





z y x

z c





 4 Khi đó abc 4 và abbcca 4

Bài 6: Cho các số dương x,y,z thỏa (xyz)3  32xyz Tìm GTLN của biểu thức

4

4 4 4

)(x y z

z y x P

Xét hàm số f(t)  ( 16  2t)2 2 (t2 16 )

Bài 7: Cho các số dương x,y,z thỏa

7

12 2

zx yz xy

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

4

4 4 4

)(x y z

z y x P

zx yz xy

9

17

1)(

zx yz xy

z z

3

1 0

, ,

(

9)(

zx yz xy z y x

xyz z

y x P

, ,

z