Vấn đề duy nhất của hàm phân hình khi đạo hàm của đa thức chung nhau một hàm nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUỐC CƯỜNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU

MỘT HÀM NHỎ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUỐC CƯỜNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU

MỘT HÀM NHỎ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

THÁI NGUYÊN - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là trung thực, khách quan và không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam

Tôi xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đều được ghi

rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Quốc Cường

LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Hà Trần Phương đã trực tiếp hướng dẫn khoa học và tận tình giúp

đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm Lãnh đạo phòng đào tạo, đặc biệt là các thầy cô trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K24 (2016-2018) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khoá học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các đồng nghiệp, bạn bè cùng toàn thể gia đình, người thân đã động viên tôi trong thời gian nghiên cứu đề tài

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Quốc Cường

Möc löc

1 C¡c ki¸n thùc cì sð trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà 31.1 C¡c h m Nevanlinna 31.2 Hai ành lþ cì b£n 10

2 V§n · duy nh§t cho h m ph¥n h¼nh 122.1 Mët sè ki¸n thùc bê sung 122.2 V§n · duy nh§t cho h m ph¥n h¼nh 232.3 Chùng minh c¡c ành lþ tø 2.9 ¸n 2.13 33

Mð ¦u

V§n · nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t cõa c¡c h m ¡nh x¤ ph¥nh¼nh thæng qua £nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n thu hót ÷ñc sü quant¥m nghi¶n cùu cõa c¡c nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc G Polia, R.Nevanlinna, F.Gross, v  thu ÷ñc nhi·u k¸t qu£ quan trång N«m 1926,

R Nevanlinna ¢ chùng minh n¸u hai h m ph¥n h¼nh f, g chung nhau n«mgi¡ trà ph¥n bi»t th¼ tròng nhau K¸t qu£ n y cõa Nevanlinna cho th§ymët h m ph¥n h¼nh phùc ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t ¡nh x¤ ng÷ñc,khæng kº bëi, cõa n«m gi¡ trà ph¥n bi»t Cæng tr¼nh n y cõa æng ÷ñcxem l  khði nguçn cho c¡c nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t cõa hai h m

¡nh x¤ ph¥n h¼nh V· sau, v§n · nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t cõahai ¡nh x¤ ph¥n h¼nh thæng qua £nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n thu hót

÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc

Mët v§n · ÷ñc ÷a ra bði F Gross â l  : Tçn t¤i hay khæng mëttªp húu h¤n S, i·u ki»n E (S, f) = E (S, g) k²o theo f = g? Trong thüct¸ c¥u häi cõa F Gross câ thº ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Tçn t¤i hay khæng

a thùc P sao cho vîi b§t k¼ c«p ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v  g ta câ f = gn¸u P (f) v  P (g) chung nhau gi¡ trà kº c£ bëi? V§n · n y ¢ ÷ñcnghi¶n cùu mët c¡ch li¶n töc m¤nh m³ vîi nhúng k¸t qu£ cõa M L Fang

v  W L Hong, W C Lin v  H X Yi thíi gian g¦n ¥y câ mët sè t¡cgi£ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh trong hai tr÷ínghñp phùc v  p−adic khi ¤o h m cõa hai a thùc cõa c¡c h m ph¥n h¼nhchung nhau mët h m nhä (xem [2],[3],[11])

Möc ½ch cõa · t i luªn v«n l  tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ mîi cõa c¡ct¡c gi£ ¢ cæng bè trong thíi gian g¦n ¥y v· c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶ntr÷íng sè phùc v  p−adic, khi hai a thùc f0P0(f ) v  g0P0(g) chung nhaumët h m nhä ÷ñc cæng bè bði ba t¡c gi£ A Escassut, K.Boussaf, J.Ojeda

Luªn v«n chia th nh hai ch÷ìng, Ch÷ìng 1 giîi thi»u v· mët sè v§n ·

cì b£n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà bao gçm hai ành lþ cì b£n trong

lþ thuy¸t Nevanlinna trong tr÷íng hñp phùc v  tr÷íng hñp p−adic còngmët sè k¸t qu£ chu©n bà Trong Ch÷ìng 2, tr¼nh b y v§n · duy nh§t khi

f0P0(f ) v  g0P0(g) chung nhau mët h m nhä

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, Tæi xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS.TS H  Tr¦n Ph÷ìng, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îngd¨n º tæi câ thº ho n th nh khâa luªn n y Tæi công xin b y tä lángbi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n, ¤ihåc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ d¤y b£o tæi tªn t¼nhtrong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa Nh¥n dàp n y Tæi công xin ÷ñcgûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b±, ¢ luæn b¶n tæi, cê vô,

ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«ntèt nghi»p

Th¡i Nguy¶n, ng y 19 th¡ng 08 n«m 2017

T¡c Gi£

Nguy¹n Quèc C÷íng

Vîi méi sè thüc x > 0, k½ hi»u: log+

x = max{log x, 0} Khi âlog x = log+x − log+(1/x)

B¥y gií ta ành ngh¾a h m ¸m, h m x§p x¿, h m °c tr÷ng cõa mët

1

f (reiϕ)

cüc iºm bëi ch°n bði k cõa f (tùc l  cüc iºm bëi l > k ch¿ ÷ñc t½nh kl¦n trong têng nk(r, f ) trong Dr.

t→0n(t, f ); nk(0, f ) = lim

t→0nk(r, f ) Sè k trong nk(r, f ) ÷ñcgåi l  ch¿ sè bëi bà ch°n Ta k½ hi»u:

ành lþ sau ¥y tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m x§p x¿,

h m ¸m, h m °c tr÷ng

Bê · 1.1 Cho c¡c h m ph¥n h¼nh f1, f2, , fp, khi â :

N (r, f0) = N (r, f ) + N (r, f ),Z(r, f0) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + Sf(r)

Hìn núa, cho Q ∈ C[x] câ bªc q Th¼

ρ ≤ ∞ Gi£ sû f ∈ M(ρ(Cp) l  mët h m ph¥n h¼nh, khi â tçn t¤i hai

h m f0, f1 ∈ Ar(Cp) sao cho f0, f1 khæng câ nh¥n tû chung trong Ar(Cp)

bm0 Câ thº th§y

f∗(0) = lim

z→0zm0−m1f (z) ∈ Cp∗.Hìn núa, sû döng cæng thùc Jensen cho c¡c h m f1 v  f0 ta câ

Ti¸p theo ta ành ngh¾a h m bò (hay cán gåi l  h m x§p x¿) cõa h m

Ti¸p theo ta xem x²t mët sè t½nh ch§t ìn gi£n cõa h m ¸m v  h mx§p x¿

M»nh · 1.1 Gi£ sû fi ∈ M(p(C), (i = 1, 2, , k) Khi â vîi méi



.N¶n cæng thùc (1.2) ÷ñc vi¸t l¤i l 

T



r, 1f



= T (r, f ) − log µ(ρ0, f ) (1.3)

N¸u h m f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n Cp th¼ f ph£i câ c¡c khæng

iºm ho°c cüc iºm, do â

N



r, 1f

Gi£ sû f ∈ M(p(Cp) v  ta vi¸t f = f1

f0, trong â f0, f1 ∈ A(p(Cp), ¡nhx¤

˜

f = (f0, f1) : Cp(0; ρ) →C2p,

÷ñc gåi l  mët biºu di¹n cõa f N¸u f0 v  f1 khæng câ nh¥n tû chung th¼

˜

f ÷ñc gåi l  mët biºu di¹n tèi gi£n cõa f K½ hi»u

| ˜f (z)| = max{|f0(z)|, |f1(z)|}; µ(r, ˜f ) = max{µ(r, f0); µ(r, f1)}.Chó þ r¬ng fk(z) = P

Gi£ sû ˜f l  mët biºu di¹n dõa f Chó þ r¬ng

log µ(r, ˜f ) = max{log µ(r, f0), log µ(r, f1)}

= log µ(r, f0) + max{0; log µ(r, f1) − µ(r, f0)}

Cho f l  h m ph¥n h¼nh v  r > 0 H m

Nram(r, f ) = N (r, 1

f0) + 2N (r, f ) − N (r, f

0),gåi l  gi¡ trà ph¥n nh¡nh cõa h m f D¹ th§y Nram(r, f ) ≥ 0

ành lþ 1.2 (ành lþ cì b£n thù hai cho h m phùc) Gi£ sû f l  h mph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C, a1, , aq ∈ C, (q > 2) l  c¡c h¬ng sè ph¥nbi»t, khi â vîi méi ε > 0, b§t ¯ng thùc

+ (1 + ε) log+log T (r, f ) + O(1)

óng vîi måi r ≥ r0 n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n

ành lþ 1.3 (ành lþ cì b£n thù nh§t cho h m p-adic) N¸u f l  h mph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n Cp(0, ρ), th¼ vîi méi a ∈ Cp ta câ

Ch֓ng 2

V§n · duy nh§t cho h m ph¥n h¼nh

2.1 Mët sè ki¸n thùc bê sung

K½ hi»u E l  Cp ho°c C Vîi a ∈ E v  R ∈ [0, +∞], k½ hi»u ¾a âng

d(a, R) = {x ∈ E||x − a| 6 R}

v  ¾a mð

d a, R−
= {x ∈ E||x − a| < R}

ành ngh¾a 2.1 ([11]) Mët a thùc Q(X) ∈ E[X] ÷ñc gåi l  a thùcduy nh§t cho mët hå h m F x¡c ành trong tªp con cõa E n¸u i·u ki»nQ(f ) = Q(g) k²o theo f = g

Trong suèt luªn v«n, chóng ta s³ biºu di¹n bði P (X) l  mët a thùctrong E[X] sao cho P0(X) câ d¤ng

ành ngh¾a 2.2 ([11]) Gi£ sû P (a1) = 0 v  °t P0(X) = bΠli=1(X − ai)ki

vîi l > 2 a thùc P s³ ÷ñc thäa m¢n gi£ thi¸t (G) n¸u P (ai)+P (aj) 6= 0,

∀i 6= j

ành ngh¾a 2.3 ([11]) Cho L l  mët tr÷íng âng ¤i sè v  P ∈ L[X]\L.K½ hi»u Ξ(P ) l  tªp c¡c 0 iºm cõa P0 sao cho P (c) 6= P (d) cho méi c°p

khæng iºm c, d cõa P0 sao cho c 6= d K½ hi»u Φ(P ) l  sè ph¦n tû cõaΞ(P ).

Vîi tr÷íng sè E, k½ hi»u A(E) c¡c tªp c¡c h m nguy¶n tr¶n E, M (E)

l  tªp c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n E, tùc l  tr÷íng c¡c h m th÷ìng cõa c¡cph¦n tû thuëc A(E) K½ hi»u E(X) l  tr÷íng c¡c h m húu t¿ tr¶n E.Trong suèt luªn v«n, ta k½ hi»u A (d (a, R−)) l  K-¤i sè cõa chuéi lôythøa P∞

n=0

an(x − a)n hëi tö trong d (a, R−), M (d (a, R−)) tr÷íng c¡c h mph¥n h¼nh tr¶n d (a, R−), ngh¾a l  tr÷íng c¡c ph¥n thùc cõa c¡c h mthuëc A (d (a, R−)) Hìn núa, chóng ta gåi Ab(d(a, R−)) l  K-¤i sè concõa A(d(a, R−)) bao gçm c¡c h m gi£i t½ch bà ch°n trong d(a, R−), ngh¾a

Mu(d(a, R−)) = M(d(a, R−))\Mb(d(a, R−))

B¥y gií chóng ta ành ngh¾a mët h m nhä èi vèi h m ph¥n h¼nh v mët sè thuëc t½nh th½ch hñp

ành ngh¾a 2.4 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(E)(t÷ìng ùng cho f ∈ M(d(0, R−)))sao cho f(0) 6= 0, ∞ Mët h m Sf(r) ∈ M(E) (t÷ìng ùng Sf(r) ∈M(d(0, R))) l  mët h m nhä èi vîi f, n¸u nâ thäa m¢n

lim

r→+∞

T (r, Sf(r))

T (r, f ) = 0,t÷ìng ùng

Chó þ 2.1 ([5]) Tø t½nh ch§t cõa h m Nevanlinna T (r, f) ta câ

ành ngh¾a 2.5 ([11]) Gi£ sû f, g, α ∈ M(E) (t÷ìng ùng gi£ sû f, g, α ∈M(d(0, R−))) Ta nâi r¬ng f v  g chung h m α kº c£ bëi, n¸u f − α v 

g − α câ còng sè khæng iºm kº c£ bëi trongE (t÷ìng ùng trong d(0, R−))

ành lþ 2.1 ([4, 7]) Cho a1, , an ∈ Cp (t÷ìng ùng a1, , an ∈ d(0, R−),t÷ìng ùng a1, , an ∈ C) vîi n > 2, n ∈ N v  gi£ sû f ∈ M(Cp) (t÷ìngùng f ∈ M(d(0, R−)), t÷ìng ùng f ∈ M(C)) Gi£ sû S = {a1, , an}.Khi â, cho r > 0 chóng ta câ

T (r, f ) ≤ Z(r, f ) + Z(r, f − u) + Sf(r)

ành ngh¾a 2.6 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(d(a, R−)) v  r ∈ [0, R] Ta k½ hi»u

|f |(r) = lim

|x|→r,|x|6=r|f (x)|

Bê · 2.1 ([11]) Vîi méi r ∈ [0.R], ¡nh x¤ |.|(r) l  mët chu©n vîi ph²pnh¥n tr¶n M(d(0, R−)).

Bê · 2.2 (cæng thùc p-adic Schwarz) Gi£ sû f ∈ A(Cp) (t÷ìng ùng

f ∈ A(d(0, R−))) v  r0, r00 ∈ [0, +∞] (t÷ìng ùng r0, r00 ∈ [0, R]) thäa m¢n

r0 < r00 Khi â

log(|f |(r00)) − log |f |(r0)) = Z(r00, f ) − Z(r0, f )

Bê · 2.3 ([11]) Cho f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R−))) Gi£ sû

câ tçn t¤i a ∈ Cp v  d¢y kho£ng c¡ch In = [un, vn] sao cho un < vn < un+1,lim

h trong â g, hthuëc v· A(Cp) v  khæng câ chung khæng iºm Ti¸p theo, v¼ Cp ¦y õc¦u, n¸u f thuëc M(d(0, R−)) chóng ta câ thº °t nâ ð d¤ng g

Do d¢y Bn → +∞, theo Bê · 2.2, d¢y (Dn) ÷ñc x¡c ành l 

Dn = sup

r∈In

|g − ah|(r)max(|g|(r), |h|(r))d¦n tîi 0 Do â theo Bê · 2.1, ta câ |g|(r) = |ah|(r) trong In, khi n õlîn Do â, theo Bê · 2.2, ta câ

Z(r, g − bh) = Z(r, (a − b)h) = Z(r, h) + O(1)

Hìn núa, ta th§y r¬ng

Z(r, g) = Z(r, h) + O(1)

trong L, tø ¥y

max(Z(r, g), Z(r, h)) = max(Z(r, g − bh), Z(r, h)) = Z(r, h)) + O(1),t÷ìng ùng

T (r, f ) = T (r, f − b) + O(1)trong L

n→+∞un = +∞(t÷ìng ùng limn→+∞un = R) v 

lim

n→+∞( inf

r∈In(T (r, f ) − Z(r, f − at)) = +∞ (2.2)Gi£ sû L = ∪∞

n=1In Khi â bði Bê · 2.3, trong L ta câZ(r, g − akh) = T (r, f ) + O(1), ∀k 6= t

Do â q

X

j=1

Z(r, f − aj) > (q − 1)T (r, f ) + O(1)trong L, m¥u thu¨n vîi (2.1) Do â ành lþ óng

Chó þ 2.2 ([11]) ành lþ 2.3 l  ìn gi£n èi vîi c¡c h m gi£i t½ch, thªtvªy vîi h m f ∈ A(Cp) hay A(d(0, R−)) ta câ T (r, f) = Z(r, f) M°t kh¡c

ành lþ n y khæng ¡p döng cho c¡c h m ph¥n h¼nh trong C Thªt vªy, x²tmët h m ph¥n h¼nh f tr¶n C bä hai gi¡ trà a v  b Ta câ

nT (r, f ) ≤ T (r, f0Q(f )) + m(r, 1

f0) ≤ (n + 2)T (r, f ) + Sf(r))

°c bi»t, n¸u

f ∈ A(Cp)(t÷ìng ùng

f ∈ A(d(0, R−))),khi â

nT (r, f ) ≤ T (r, f0Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) − log r + O(1),

(t÷ìng ùng

nT (r, f ) ≤ T (r, f0Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) + O(1))

Bê · 2.5 ([11]) Cho Q ∈ Cp[x] v  f, g ∈ A(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈

Au(d(0, R−))) sao cho Q(f) − Q(g) bà ch°n Khi â f = g

Chùng minh a thùc Q(X) − Q(Y ) ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng (X −

Y )F (X, Y ) vîi F (X, Y ) ∈ Cp[X, Y ] V¼ Q(f) − Q(g) bà ch°n, v¼ vªy c£hai y¸u tè n y ·u l  nûa chu©n |.|(r) vîi ph²p nh¥n tr¶n A(Cp) (t÷ìngùng Au(d(0, R−))) Do â f − g l  mët h¬ng sè c (t÷ìng ùng l  mët

ành lþ 2.4 ([11]) Gi£ sû P, Q ∈ Cp[x] thäa m¢n mët trong hai i·uki»n sau:

ành lþ 2.6 ([11]) Gi£ sû P, Q ∈ C[X] thäa m¢n mët trong hai i·u ki»nsau:

¤i sè vîi mët tr÷íng si¶u metric gièng Cp (vîi p b§t k¼ khæng nguy¶n tè),

m  khæng m§t t½nh têng qu¡t chóng ta câ thº chuyºn b i to¡n l¶n tr÷íng

Cp V¼ vªy, £nh cõa a thùc F trong Cp[X, Y ] l  a thùc ˜F (X, Y )

Nh÷ vªy, gi£ thi¸t P

¡p döng ành lþ 2.5 chùng minh r¬ng khi hai h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n

P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, ∀x ∈ C, th¼ chóng l  h¬ng sè

ành ngh¾a 2.7 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(C) sao cho f(0) 6= 0, ∞ Chóng

ta biºu thà bði Z[2](r, f ) l  h m ¸m t¤i c¡c khæng iºm bªc ch°n bði 2tùc l  t¤i méi khæng iºm, n¸u bëi nhä hìn ho°c b¬ng 2 th¼ ¸m b¬ng sèbëi â, n¸u bëi lîn hìn 2 t½nh b¬ng 2

C¡c v§n · sau ¥y ¡p döng cho hai h m phùc v  h m ph¥n h¼nh Mëtchùng minh ÷ñc ÷a ra trong [2] vîi c¡c h m ph¥n h¼nh p-adic v  trong[3] èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nh phùc

câ gi¡ trà si¶u vi»t (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(a, R−))) v  θ = P (f)f0 ∩

P (g)g0 N¸u θ ∈ Mf(E) ∩ Mg(E), (t÷ìng ùng n¸u θ ∈ Mf(d(a, R−)) ∩

Mg(d(a, R−))) th¼ ta câ nhúng i·u sau :

(a) n¸u l = 2 th¼ n ∈ {k, k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1}

(b) n¸u l = 3 th¼ n ∈ {k

2, k + 1, 2k, 2k + 1, 3k2 − k, 3k3 − k},(c) n¸u l > 4th¼ n = k + 1

Hìn núa, n¸u f, g ∈ M(Cp) v  n¸u θ l  h¬ng sè th¼ n = k + 1 Hìnnúa n¸u f, g ∈ A(E), th¼ θ 6∈ Af(E)

Bê · 2.6 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d0(0, R−)), t÷ìngùng f ∈ M(C)) Khi â

Bê · 2.9 ([11]) Cho f, g ∈ M(E) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(0, R−))) l khæng êi v  chung gi¡ trà kº c£ bëi Gi£ sû Ψf,g = 0 v 

Khi â ho°c f = g ho°c fg = 1

M»nh · 2.1 ([11]) Cho P ∈ Cp[X] thäa m¢n gi£ thi¸t (G) v  n > 2(t÷ìng ùng n > 3) N¸u h m ph¥n h¼nh f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈M(d(a, R−))) thäa m¢n P (f(x)) = P (g(x))+C (C ∈ C∗p), ∀x ∈ Cp (t÷ìngùng ∀x ∈ d(a, R−)), th¼ c£ f v  g l  h¬ng sè (t÷ìng ùng f v  g thuëc v o

Mb(d(a, R−)))

Chùng minh Gi£ sû r¬ng hai h m f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈M(d(a, R−))) thäa m¢n P (f(x)) = P (g(x))+C(C ∈Cp), ∀x ∈ Cp (t÷ìngùng ∀x ∈ d(a, R−)) Chóng ta câ thº ¡p döng ành lþ 2.4 b¬ng c¡ch °tQ(X) = P (X) + C V¼ vªy, chóng ta câ h = l v  bi = ai, i = 1, , l Gi£

sû Γ l  ÷íng cong cõa ph÷ìng tr¼nh P (X) − P (Y ) = C Theo gi£ thi¸tchóng ta câ n > 2, v¼ vªy Γ l  bªc > 3

Do â n¸u Γ khæng câ iºm k¼ dà, nâ câ gièng > 1 v  do â, b¬ng ành

lþ Picard-Berkovich, k¸t luªn l  ngay lªp tùc Do â chóng ta câ thº gi£

ành r¬ng Γ l  câ mët iºm ìn (α, β) Nh÷ng sau â P0(α) = P0(β) = 0

v  do â (α, β) l  câ d¤ng (ah, ak) Do â, C = P (ah) − P (ak) v  v¼

C 6= 0, chóng ta câ h 6= k Chóng ta s³ chùng minh r¬ng ho°c a1 ∈ F0ho°c a1 ∈ F ”

Gi£ sû a1 ∈ F/ 0∪ F ” Tø a1 ∈ F/ 0, tçn t¤i i ∈ {2, , l} sao cho P (a1) =

P (ai) + C B¥y gií tø 1 /∈ F ”, tçn t¤i j ∈ {2, , l} sao cho P (a1) +

C = P (ai) Nh÷ng v¼ C = −P (ai), chóng ta câ P (aj) = −P (ai), do

â P (aj) + P (ai) = 0 V¼ P thäa m¢n (G), chóng ta câ i = j, v¼ vªy

P (ai) = 0 Nh÷ng khi â C = 0, m¥u thu¨n V¼ vªy, chóng ta chùng minhr¬ng a1 ∈ F0∪ F ” B¥y gií theo ành lþ 2.4, f v  g l  h¬ng sè (t÷ìng ùng

f, g ∈ Mb(d(a, R−)))

M»nh · 2.2 ([11]) Cho P ∈ C[X] thäa m¢n gi£ thi¸t (G) v  n > 3 N¸u

h m ph¥n h¼nh f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f(x)) = P (g(x)) + c, (c ∈ C∗),

∀x ∈ C, th¼ c£ f v  g l  h¬ng sè

Chùng minh Gi£ sû hai h m f, g ∈ M(C)thäa m¢n P (f(x)) = P (g(x))+

C, (C ∈ C , ∀x ∈ C Chóng ta s³ ¡p döng ành lþ 2.6 b¬ng c¡ch °tQ(X) = P (X) + C Do n > 3, ta câ deg(P ) > 4 v  do â Γ câ bªc

4 Do â, n¸u Γ khæng câ iºm °c tr÷ng, nâ câ bªc > 2 v  do â,theo ành lþ Picard's, khæng tçn t¤i c¡c h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n

P (f (x)) = P (g(x)) + C, ∀x ∈ C Do â, chóng ta câ thº gi£ sû Γ thøanhªn mët iºm chung duy nh§t (ah, ak) Chùng minh t÷ìng tü nh÷ cõaM»nh · 2.1

2.2 V§n · duy nh§t cho h m ph¥n h¼nh

Tr÷íng hñp p-adic

N«m 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda, ¢ chùng minh ành lþ sau:

ành lþ 2.8 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X]l  mët a thùc duy nh§t cõa A(Cp)(t÷ìng ùng Au(d(a, R−))), °t P0(X) = bΠli=1(X − ai)ki Gåi f, g ∈ A(K)

l  h m sè si¶u vi»t (t÷ìng ùng f, g ∈ Au(d(a, R−))) sao cho f0P0(f ) v 

Khi â ho°c f = g ho°c fg =

M»nh · 2.1 ([11]) Cho P Cp[X]... data-page="13">

M»nh · 1.1 Gi£ sû fi ∈ M(p(C), (i = 1, 2, , k) Khi õ vợi mội



.Nản cổng thực (1.2) ữủc viát lÔi l

T



r, 1f... data-page="14">

ữủc gồi l mởt biu diạn cừa f Náu f0 v f1 khổng cõ nhƠn tỷ chung thẳ

f ữủc gồi l mởt biu diạn tối giÊn cừa f Kẵ hiằu

| f (z)| = max{|f0(z)|,