SKKN tìm cực trị của biểu thức

Mở đầuI - Cơ Sở th c tiễn Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vợt trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó mà không ai v

Mở đầu

I - Cơ Sở th c tiễn

Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vợt trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó

mà không ai vợt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh vực lại có những đại lợng "lớn nhất" hay "hỏ nhất" ngời ta thờng gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trờng Cao đẳng, Đại học cũng nh các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm Nội dung các bài toán cực trị rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ

ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh

Với những lí do nh vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số phơng pháp

giải toán cực trị” Với mong muốn đợc trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy

của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự đóng góp chân thành để

đề tài đợc phát huy hiệu quả

II - Nhiệm vụ của sáng kiến:

1/ Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu:

- Đối tợng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)

- Phơng pháp nghiên cứu:

+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện

+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề

+ Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

2/ Nhiệm vụ của sáng kiến:

- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra đợc sai lầm th-ờng mắc phải

- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải

- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị

III - Nội dung sáng kiến:

Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất Những sai lầm thờng mắc phải khi giải toán cực trị.

Chơng II: Một số phơng pháp tìm cực trị

1/ Phơng pháp tam thức bậc hai

2/ Phơng pháp miền giá trị

3/ Phơng pháp bất đẳng thức

Chơng I:

Kiến thức cơ bản

I - Định nghĩa:

1/ Định nghĩa 1:

Cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D, ta nói M là giá trị lớn

nhất của f(x, y, ) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) Với x , y thuộc D thì f(x,y, )M với M là hằng số.

ii) Tồn tại x0,y0 thuộc D sao cho f(x,y, ) M

2/ Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y, )xác định trên miền D , ta nói m là giá trị nhỏ

nhất của f(x, y, ) trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) Với mọix , y thuộc D thì f(x,y, )m với m là hằng số.

ii) Tồn tại x0,y0 thuộc D sao cho f(x,y, ) m

Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần

nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau:

+ Chứng tỏ f(x,y, ) M hoặc f(x,y, ) m) với mọi x , y, thuộcD

+ Chỉ ra sự tồn tại x0,y0 thuộc D để f(x,y, ) đạt cực trị

Chú y đến miền giá trị của biến

Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của

A

II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1/ Tính chất 1: Giả sử A  Bkhi đó ta có:

a/ Max f(x) max f(x)

B x A

b/ Min f(x) min f(x)

B x A

2/ Tính chất 2: Nếu f(x,y)0 với mọi x thuộc D, ta có:

a/ Max xD f(x) maxxD f2(x) Min xD f(x) minxD f2(x)

3/ Tính chất 3:

) ( )

( ))

( ) ( /

2 1

x f Max x

f Max x

g x f Max

a

D x D

x D

(1)

) ( )

( ))

( ) ( /

2 1

x f Min x

f Min x

g x f Min

b

D x D

x D

Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó f (x)và

)

(x

g cùng đạt giá trị lớn nhất Tơng tự nếu tồn tại x0thuộc D mà tại đó f , g

cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì (2) có dấu bằng

4/ Tính chất 4:

)) ( ( min )

(

1

x f x

f Max

D x D





5/ Tính chất 5:

Nếu đặt M Max f (x)

D x

 , m min f(x)

D x

 thì Max f x MaxM m

D x D



6/ Tính chất 6:

Giả sử D1 xD;f(x)  0 vàD2 xD;f(x)  0thì

( )  max ( ); min ( )

2 1

x f x

f Min

x f Min

D x D

x D

Khi dạy phần này, giáo viên nên hớng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh

đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập

Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ

cũng phải tìm TXĐ Cùng một hàm số f (x)nhng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tơng ứng khác nhau Để cho phù hợp với chơng trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó

III - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị:

1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

5 4 4

3 2







x x A Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn

nhất khi mẫu nhỏ nhất

Ta có:

x x

x

x  4  5  ( 2  1 )  4  4 , 

x x

4

3 5 4 4

3 2

2

1 4

3







Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định “A có tử

số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà cha đa ra

nhận xét tử mẫu là các số dơng

Ta đa ra một ví dụ:

Xét biểu thức 21 4





x B

Với lập luận “phân thức Bcó tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu

nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng  4khi x 0, ta sẽ đi đến:

4

1 maxB   không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x  3 thì

4

1 5

1



Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên

Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x2  4x5(2x 1)2 44 nên tử

và mẫu của A là các số dơng Hoặc từ nhận xét trên suy ra A0, do đó A lớn

nhất khi và chỉ khi A1 nhỏ nhất 4 2 4 5





 x x nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: Ax2y2biết xy4

Lời giải sai:

Ta có: Ax2y2 2xy

Do đó A nhỏ nhất x2 y2 2xy





  xy 2

Khi đó MinA2222 8

Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm Ta

mới chứng minh đợc f(x,y)g(x,y), chứ cha chứng minh đợc f(x,y) m với

m là hằng số.

Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng x2 4x 4

sẽ suy ra: x2 nhỏ nhất  x2 4x 4 (x 2)2 0 x2

Dẫn đến: Minx2 4 x2

Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x2 0 x0

Cách giải đúng:

Ta có: (xy)242 x22xyy216 ( 1 )

Ta lại có: (x y)2 0 x2 2xyy2 0 ( 2 )

Từ (1), (2): 2(x2y)2 16 x2y2 8 Vậy MinA8 xy 2

2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: Ax x

Lời giải sai:

4

1 2

1 4

1 4









































A

Vậy MinA  41

Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f(x)  41, cha chỉ ra trờng hợp xẩy ra dấu đẳng thức f(x)  41. Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x   12,

vô lý

Lời giải đúng:

Để tồn tại x phải có x0

Do đó Ax x  0

Min A0 x0

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:

) )(

( (x y y x z x xyz

Với x,y,z0và xyz1

Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab(ab)2

1 ) (

) (









y z x y z x

1 ) (

) (









z x y z x x

1 ) (

) (









x y z x y x

Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)

1 ) ) )(

(

64xyz xy yx zx 

64

1



MaxA

Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra dấu

đẳng thức Điều kiện để A641 là:

Cách giải đúng:

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

3

3

3 ) ( ) ( ) (

2  xy  yz  zx  xy yz zx (2)

Nhân từng vế (1) với (2)do 2 vế đều không âm)

3 3

9

2

9















3

1 9

2 3





















MaxA

Chơng II:

























0 ,

,

1

z y

x

z y

x

y x

z

x z

y

z y

x



















0 ,

,

1 0

z y x

z y

x

z y

x



mâu thuẩn

một số phơng pháp tìm cực trị 1/ Phơng pháp tam thức bậc hai

I - Nội dung:

Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do

II - Các ví dụ:

Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của Ax2  8x1

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B2x2  4x1

3/ Tìm giá trị nếu có của C  3x2  4x1

4/ Cho tam thức bậc hai Pax2 bxc

Tìm giá trị nhỏ nhất của Pnếu a 0

Tìm giá trị lớn nhất của Pnếu a 0

HD giải:

Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai

1/ Ax2  8x1(x 4)2 15 15

4 15

min    

2/ B 2x2  4x12(x 1)2  1 1

1 1

min    

2 2





























C

3

2 3

7 max   

4/ P ax bx c a x a b x a c a x 2b a b 4c4ac

2 2 2











































+ Nếu a 0: minP b 4a4ac x 2b a

2













+ Nếu a 0: maxP b 4a4ac x 2b a

2













Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A(x2 x1)2

HD: MinA Min(x2 x1)

Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: Bf(x)2k (kN)

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C x(x 3)(x 4)(x 7)

HD: Dùng phơng pháp đổi biến

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng

số, có mẫu là tam thức bậc hai.

VD: Tìm giá trị lớn nhất của 4 2 34 5







x x M

Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình

phơng nhị thức:

VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2

2 ) 1 (

1









x

x x P

1 1

1 1











x x

P

Đặt  11,

x

2 2

























P

1 2

1 4

3









MinP

Cách 2: Viết N dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:

3 1 ( 2

1 4

3 )

1 ( 4

4 4 4

2

2































x

x x

x x P

1 4

3





MinP

D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña mét biÓu thøc quan hÖ gi÷a

c¸c biÕn:

VD: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

2 2

3xy x y

BiÕt x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 5x 2y  10

Gi¶i:

Ta cã: 5x2y10 y1025x

 A41(59x2 160x 100)

25 59

160 4

59 2



















25 3481

6400 59

80 4





































25 59

1600 59

80 4





















59

125 59

80 4

59 59





















VËy















59 95 59 80 59

125 max

y

x A

III - Mét sè bµi tËp tù gi¶i:

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:

a/ A4x2  20x35 b/ B  2x2  3x 1

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a/ A(x 1)(x 2(x 3)(x 5) b/ Bx2 2xy24y5

2

2 5

2x y

P  với ã3y 7

ab b a

Q 3 3 với ab1

IV - Tiểu kết:

Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc hai

là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ năng giải toán,

đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai

2/ Phơng pháp miền giá trị của hàm số:

I - Nội dung phơng pháp:

Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x)với

.

D

x  Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ

ph-ơng trình (ẩn x ) sau có nghiệm:

0 ) (x y

f  (1)

D

Tuỳ dạng của hệ (1), (2)mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ đa về dạng ay0 b (3)

Vì y0là một giá trị bất kỳ của f (x)nền từ (3)ta thu đợc: Min f(x)a và

b

x

f

Max ( )  trong đó x  D.

Nh vậy thực chât của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử

dụng điều kiện 0.

II - Các ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:

1

1 2

2











x x

x x A

Giải:

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình ẩn x ãsau đây có nghiệm:

1

1 2

2











x x

x x

Do x2 x10 nên (1) 2 2 1











 ax ax a x x

)(a 1)x2 (a1)x(a 1)0(2)

+ TH1: Nếu a1thì ( 2 )có nghiệm x0

+ TH2: Nếu a 0thì để ( 2 ) có nghiệm, cần và đủ là  0, tức là:

0 ) 1 ( 4 ) 1







a

0 ) 2 2 1 4 )(

2 2 1

0 ) 3 )(

1 3

) 1 ( 3 3

1







Với a13 hoặc a 3 thì nghiệm của (2) là:

) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ( 2

) 1 (

a

a a

a x















Với a13 thì x 1, với a 3 thì x 1

Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:

1 3

1





MinA

1

3   

MaxA

Cách khác:

3 1

) 1 ( 2 3 1

2 4 2 3 3 3

2

2 2

2 2





























x x

x x

x

x x x

x

A

1 3

max    

1 ) 1 (

3

) 1 ( 2 3

1 ) 1 (

3

) 1 2 ( 2 ) 1 (

3

1 3

3 3

3 3 3

2

2 2

2 2

2 2

2











































x x

x x

x

x x x

x

x x x

x

x x

A

1 3

1







Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dới dạng khác, đó là:

1/ Chứng minh: 31 2 11 3

2













x x

x x

2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiệm):

0 1

1 2

2











x x

x x

3/ Cho phơng trình: (3m2 2m1)x2  (2m2 10m3)x10 có 2 nghiệm

.

, 2

1 x

x Tìm giá trị lớn nhất của tổng x 1 x2.

III - Bài tập tự giải:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

1

1

2









x

x x y a

1

1

2









x

x x y b

IV - tiểu kết:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Phơng pháp này có u điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình

3/ Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc

1/ Nôi dung phơng pháp:

Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số





















M x f D x

D x M x f x

Maxf M

0

0 : (

, ) ( )

(





















m x f D x

D x M x f x

f Min m

0

0 : (

, ) ( )

(

Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x)trên miền

Dnào đó, ta tiến hành theo hai bớc:

+ Chứng minh một bất đẳng thức

+ Tìm x 0 Dsao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở thành

đẳng thức

Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản nh Côsi, Trêbsep, Bunhia côpxki thì các điểm nh vậy thờng đợc tìm thấy nhờ phần 2 trong cách phát hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp

2/ Các bất đẳng thức thờng dùng:

1/ a2 0. Tổng quát a2k 0 ,k

 nguyên dơng Xẩy ra dấu đẳng thức  a0

2/  a2 0. Tổng quát ( a) 2k 0 ,k



Xẩy ra dấu đẳng thức  a0

3/ a 0. Xẩy ra dấu đẳng thức  a0

4/  a aa Xẩy ra dấu đẳng thức  a0

5/ ab a b Xẩy ra dấu đẳng thức  ab0 (a,bcùng dấu)

a b a b Xẩy ra dấu đẳng thức  ab0 (a,bcùng dấu)

abc a  b c Xẩy ra dấu đẳng thức  ab0; bc0;ac0;

6/ ab; ab0 1a 1b. Xẩy ra dấu đẳng thức  a  b

7/ b aa b 2 với a, bcùng dấu Xẩy ra dấu đẳng thức  a  b

8/ Bất đẳng thức Côsi:

+ Đối với 2 số dơng a, b bất kỳ

ab b a





2 (hoặc a2b2 2ab) Xẩy ra dấu đẳng thức  a  b + Đối với a1 0; i1, ,n:

n

n a a a n

a a

a

2 2 1 2

1   

9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:

Nếu (a1,a2, a n)và (b1,b2, b n)là những số tuỳ ý, ta có:

) ,

(a12 a22 a n2 1 1 2 2 2

2 2

2

2

(b b  b n  a b a b  a n b n

Dấu bằng xẩy ra

j

j

i

i

b

a b

a



 (với quy ớc rằng nếu a i 0 thì b i 0) 10/ Bất đẳng thức Trêbsép

+ Nếu a1 a2  a n

b1 b2  b n thì

).

).(

( )

(a1b1 a2b2 a n b n a1 a2 a n b1 b2 b n

Dấu bằng xẩy ra  a  i a j hoặc b i b j;a i,b j tuỳ ý

+ Nếu a1 a2  a n

b1 b2  b n thì

).

).(

( )

(a1b1 a2b2 a n b n a1 a2 a n b1 b2 b n

Dấu bằng xẩy ra  a  i a jhoặc b i b j;a i,b j tuỳ ý

III - Các ví dụ:

VD1: Cho biểu thức xyyzzx 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px4y4 z4

Giải

áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với (x, y,z)và (y,z,x)

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

) (

1  xyyzzx  x y z y z x   x y z (1)

Mặt khác, đối với (1, 1, 1)và x2,y2,z2), ta có:

) (

) 1 1 1 ( ) 1 1

1

( x2  y2  z2 2  2  2  2 2 y4 z4 x4 ( 2 )

Từ (1) và (2)suy ra: 13(y4z4x4)3P P31