Tập đại số và iđêan định nghĩa

Nếumột tập đại số không thể phân tích thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì ta gọi tập đại số đó là một tập bất khả quy.. Mọi tập đại số đều có thể phân tích thành hợp của một số hữu

Trờng đại học vinh

Khoa toán

nguyễn thị giang

tập đại số và iđêan định nghĩa

khóa luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

Chuyên ngành: Đại số

Cán bộ hớng dẫn khóa luận

TS Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Giang

Lớp 44B Toán

Vinh - 2007

Lời nói đầu

Hình học đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiêncứu hình học Để làm đợc điều này ngời ta dùng đồ thị của các phơng trình để

mô tả các hình hình học Có thể coi các hình hình học trong một không gian chiều là các tập nghiệm của các hệ phơng trình n ẩn số Quan niệm này (tuy

n-không chính xác) có một thuận lợi lớn là việc xét mối quan hệ giữa các hìnhhình học có thể quy về việc xét tập nghiệm của các hệ phơng trình mới Lúc đó

ta có thể dùng các công cụ đại số để nghiên cứu các hình hình học:

Cho K là một trờng tuỳ ý có vô hạn phần tử Ngời ta gọi không gian

Đêcac K n là không gian afine n-chiều trên K ký hiệu là A n

K Tập nghiệm của

một hệ phơng trình n ẩn số với các hệ số trong K đợc gọi là một tập đại số

trong A n

K Cho V là một tập đại số trong A n

K , kí hiệu I V là tập tất cả các đa

thức trong vành đa thức n biến Kx , ,1 x n triệt tiêu trên V Khi đó I V là một

iđêan của Kx , ,1 x n và đợc gọi là iđêan định nghĩa của tập đại số V Luận

văn tìm hiểu về hai vấn đề này

Nội dung của luận văn đợc chia làm hai chơng Chơng 1 trình bày về tập

đại số Trong chơng này chúng tôi trình bày khái niệm tập đại số, chứng minhcác tính chất cơ bản của tập đại số, tập đại số bất khả quy, không gian tôpôNoether Trong Chơng 2 chúng tôi trình bày về iđêan định nghĩa Đặc biệt làmối quan hệ giữa iđêan định nghĩa và tập đại số tơng ứng

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình tận tâm của cô giáo,

TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

mô tả các hình hình học Để tìm hiểu về định nghĩa của tập đại số trớc tiên taxét một số ví sau.

1.1 Một số ví dụ

Ví dụ 1 1) Trong mặt phẳng thì các hình hình học cơ bản là các đờng cong,

thờng đợc xác định bởi đồ thị của một phơng trình hai ẩn số fx, y = 0, hàm f

x, y thờng là một đa thức hai biến Ví dụ nh phơng trình tổng quát của một

đờng thẳng có dạng

ax + by + c = 0,

trong đó các hệ số a,b không đồng thời bằng không Còn phơng trình tổng

quát của một đờng cong bậc hai có dạng

trong đó a, b, c không đồng thời bằng không.Tuy nhiên không phải hình hình

học nào trong không gian cũng có thể mô tả bởi duy nhất một phơng trình.Khác với đờng thẳng trong mặt phẳng, một đờng thẳng trong không gian đợcxác định bởi một hệ 2 phơng trình tuyến tính :

2 2 2 2

1 1 1 1

d z c y b x a

d z c y b x a

Điều này ứng với việc đờng thẳng này là giao của 2 mặt phẳng của 2 phơngtrình tuyến tính trên

Có thể coi các hình hình học trong một không gian n-chiều là các tập nghiệm của các hệ phơng trình n ẩn số Quan niệm này (tuy không chính xác)

có một thuận lợi lớn là việc xét các mối quan hệ giữa các hình hình học có thểquy về việc xét tập nghiệm của một hệ phơng trình Lúc đó ta có thể dùng cáccông cụ đại số để nghiên cứu các hình hình học

Ví dụ 2 Ta hãy xét mệnh đề hình học nói rằng một đờng thẳng cắt một đờng

cong bậc hai ở nhiều nhất là hai điểm Tập các giao điểm của đờng thẳng và ờng cong bậc hai cho trớc chính là tập nghiệm của một hệ hai phơng trình códạng

2 2

i hy gx fy exy dx c by ax

Giả sử a ≠ 0 (a, b không đồng thời bằng không) Từ phơng trình thứ nhất ta

nhiều nhất hai nghiệm

Thông thờng ngời ta chỉ xét các đa thức có hệ số là hữu tỷ, số thực hay là

số phức Tổng quát hơn ngời ta có thể xét các hệ phơng trình đa thức với hệ sốnằm trong một trờng nào đó với các nghiệm số cũng nằm trong trờng đó

1.2 Định nghĩa tập đại số.

1.2.1 Định nghĩa Cho K là một trờng có vô hạn phần tử Ngời ta gọi không

gian Đêcac K n là không gian afine n-chiều trên K ký hiệu là A n

0 1

Ví dụ 3 Tập rỗng  cũng là một tập đại số vì nó là tập nghiệm của phơng

trình 1 = 0.

Chú ý Trong không gian afine 1-chiều A1

K các tập đại số chỉ có thể là A1

K ,

các tập con hữu hạn của A1

K hoặc là tập rỗng Điều này có thể dễ dàng suy ra

từ việc tập nghiệm của một đa thức f một biến chỉ có thể là A1

đợc gọi là tập nghiệm của S trong A n

K hay là tập đại số đợc xác định bởi S Nếu S chỉ gồm một đa thức f thì dùng ký hiệu V f và V f đợc gọi là một

1.3 Các tính chất cơ bản của tập đại số.

1.3.1 Bổ đề Cho S1 và S2 là hai tập hợp tuỳ ý trong A n

K Nếu S 1 S2 thì

VS1 V S2

Chứng minh Do S 1 S2 nên mọi nghiệm của S1 cũng là nghiệm của S2

Điều này có nghĩa là VS1 V S2 .

1.3.2 Định lý Cho S K   x Gọi I =  S là iđêan sinh bởi S Khi đó

do f1  = … +a = f r  = 0 Từ đây ta suy ra  V I Do đó V S  V I .

Suy ra điều phải chứng minh 

1.3.3 Bổ đề Hợp của một hệ hữu hạn các tập đại số là một tập đại số.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh hợp của hai tập đại số là một tập đại số.

Cho S 1 và S 2 là hai tập hợp tuỳ ý trong K   x Gọi T là tập các đa thức có dạng

fg, với f  S 1 và g  S 2 Ta sẽ chứng minh rằng

VS1V S2 = V T

Do mọi nghiệm của S 1 hoặc S 2 cũng là nghiệm của T nên VS1V S2  V

 T Đảo lại, giả sử  là nghiệm của T Nếu  không là nghiệm của S 1 thì ta

có một đa thức f  S 1 sao cho f  ≠ 0 Do f  g  = fg  = 0 với mọi g 

S 2 nên g  = 0 Vì vậy,

VS1V S2 V T

Vậy VS1V S2 = V T 

Chú ý Hợp của một tập vô hạn các tập đại số không nhất thiết là một tập đại

số Chẳng hạn, mỗi phần tử a  K là một tập đại số, nhng mọi tập con thực sự

của K có vô hạn phần tử không thể là một tập đại số.

1.3.4 Bổ đề Giao của một hệ tuỳ ý các tập đại số là một tập đại số.

Chứng minh Cho  S i iI là một hệ các tập đa thức trong K   x Đặt S =

I i i

i

S V



 V S Đảo lại, nếu  là một nghiệm của Si với mọi i

I thì  cũng là nghiệm của S Do đó   

I i

i

S V

  V S Suy ra điềuphải chứng minh 

Giả sử V = V S với S là một tập các đa thức trong vành đa thức n biến K   x

Nếu ta coi S là một tập đa thức trong một vành đa thức m+n biến K  x, y thì ta

có thể xét tập nghiệm của S trong A m n

Bổ đề 1.3.3, Bổ đề 1.3.4, Ví dụ 1 và Ví dụ 3 trong Mục 1.2.2 cho thấy ta có

thể trang bị một cấu trúc tôpô cho không gian afine A n

1.4.2 Ví dụ Ta có thể mô tả tôpô Zariski trên không gian afine 1 chiều A1

Z = V I Do K   x là vành chính suy ra tồn tại f  K   x , I =  f Suy ra

K Nh vậy, mỗi tập đại số trong A n

K đều đợc xác định bởi một iđêan trong K

 x Ta sẽ thấy các mối quan hệ cơ bản giữa các tập đại số phản ánh các phéptoán với các iđêan xác định chúng

1.4.3 Bổ đề Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong K   x Ta có:

(ii) Theo chứng minh của Bổ đề 1.3.4 thì V I  V J = VI  J Do đó

iđêan I + J đợc sinh ra bởi I  J nên VI  J= VI  J 

1.4.4 Nhận xét Tơng ứng I  V I giữa các iđêan và tập nghiệm của chúngkhông phải là tơng ứng 1-1 vì hai iđêan khác nhau có thể xác định cùng mộttập đại số

Ví dụ Cho f là một đa thức có bậc dơng trong K   x Ta xét các iđêan  f và

 f2 Nếu f  f2 thì f = hf2 với một đa thức h nào đó của K   x Giản ớc f ta

nhận đợc 1 = hf Điều này vô lý vì bậc của đa thức hf lớn hơn không là bậc của 1 Vậy f   f2 và do đó  f ≠  f2 Nhng V f = V f2 do mọi nghiệm

của f2 cũng là nghiệm của f và ngợc lại.

Trong mục này chúng ta thấy đợc phần nào mối liên quan giữa iđêan và tậpnghiệm của iđêan, để thấy rõ hơn về điều đó chúng ta xét ví dụ sau

1.4.5 Ví dụ Giả sử V = V I với I là một iđêan trong vành đa thức n biến K

 x và W = V J với J là một iđêan trong vành đa thức m biến K   y Gọi  I

và  J là các iđêan đợc sinh ra lần lợt bởi các đa thức của I và J trong vành đa thức m+n bién K  x, y Theo chứng minh của Hệ quả 1.3.4 ta có

Đ2 Tập đại số bất khả quy

Khi xét tập nghiệm của một hệ phơng trình đa thức ngời ta thờng tìm cách quy

về việc xét các hệ phơng trình đa thức đơn giản hơn Về mặt hình học, điềunày có nghĩa là ta phân tích một tập đại số thành các tập đại số nhỏ hơn Nếumột tập đại số không thể phân tích thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì ta

gọi tập đại số đó là một tập bất khả quy.

2.1 Định nghĩa Cho V là tập đại số trong A n

K , V đợc gọi là bất khả quy nếu

V không phân tích đợc thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn, nghĩa là nếu

V = V1 V2với V1, V2 là những tập đại số thì suy ra V1 = V hoặc V2 = V.

Một tập đại số bất khả quy còn đợc gọi là một đa tạp afine.

2.2 Ví dụ a) Các tập đại số sau là các tập bất khả quy:

Chú ý phần bù của một tập đại số nhỏ hơn trong một tập đại số là một tập mở

không rỗng (theo tôpô Zariski) Vì vậy tính bất khả quy của một tập đại số

còn có thể đặc trng bởi tính chất giao của hữu hạn các tập mở không rỗng làmột tập mở không rỗng.

Cho R là một vành giao hoán và P là một iđêan của R P đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P  R và a,b  R mà ab  P thì a  P hoặc b  P.

2.3 Bổ đề Cho I là iđêan trong vành giao hoán R Khi đó I là iđêan nguyên

tố khi và chỉ khi nếu I = I 1  I 2 thì I = I 1 hoặc I = I 2

Chứng minh () Suy trực tiếp từ Định lý tránh nguyên tố.

Ngợc lại, giả sử g  I1  I2 Khi đó tồn tại n1 sao cho gn1  (I,x) Và tồn tại

n2 sao cho gn2  (I,y).

Đặt r = max(n1, n2) ta có gr  (I, x)  (I, y) suy ra

g2r = g r g r  (I,x) (I,y) = I2 + xI + Iy + (xy)  I = I suy ra g  I

Vậy I = I 1  I 2 Suy ra điều phải chứng minh 

2.4 Định lý Mọi tập đại số đều có thể phân tích thành hợp của một số hữu

hạn các tập đại số bất khả quy không bao nhau Các tập bất khả quy trong sự phân tích nh vậy đợc xác định một cách duy nhất.

Chứng minh Gọi M là tập hợp các tập đại số trong A n

K không thể phân tích

thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy Nếu M khác rỗng thì M sẽ

có một tập đại số nhỏ nhất V vì nếu V không là tập đại số nhỏ nhất thì V sẽ phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy trong M Điều này vô lý với cách xây dựng M Tất nhiên là V không bất khả quy vì nếu V bất khả quy thì V = V là một sự phân tích, điều này là vô lý Vì vậy ta có thể viết

V = V1  V2 với V1 và V2 là những tập đại số con thật sự của V Từ tính chất nhỏ nhất của V ta thấy V1 và V2 có thể phân tích đợc thành hợp của một số hữu

hạn các tập bất khả quy Nh vậy V cũng là hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy điều này mâu thuẫn với giả thiết V nằm trong M Vậy M phải rỗng.

Điều này là vô lý Suy ra mọi tập đại số đều có thể phân tích thành hợp một sốhữu hạn các tập bất khả quy

Giả sử

hiện trong W1, , Ws Tơng tự, mọi tập đại số Wj cũng xuất hiện trong V1, ,Vr.Vậy hai tập đại số V , ,1 V r và {W1, , Ws} phải bằng nhau Suy ra điều phảichứng minh 

Chú ý Định lý trên là một sự mở rộng định lý mọi đa thức đều có thể phân

tích đợc thành tích của các đa thức bất khả quy Trong đại số ngời ta gọi mộtiđêan là bất khả quy nếu iđêan đó không là giao của một số hữu hạn các iđêanlớn hơn

Các tập bất khả quy xuất hiện trong sự phân tích một tập đại số V thành hợp các tập bất khả quy đợc gọi là các thành phần bất khả quy của V.

Mọi đa thức bất khả quy chỉ có một thành phần bất khả quy là chính nó Cóthể đặc trng các thành phần bất khả quy nh sau

2.5 Hệ quả Các thành phần bất khả quy của một tập đại số V chính là các

tập bất khả quy lớn nhất trong V.

Chứng minh Giả sử V = V1   V r là một sự phân tích duy nhất V thành

hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy không bao nhau Với mọi tập bấtkhả quy không rỗng tuỳ ý W trong V ta có

V = V  W = V1   Vr  W.

Theo tính chất duy nhất của sự phân tích V thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy không bao nhau thì W phải nằm trong một tập V i nào đó Từ

đây ta thấy mỗi tập V i phải là một tập bất khả quy lớn nhất trong V Nếu W là

một tập bất khả quy lớn nhất trong V thì từ điều kiện W  Vi ta suy ra đợc

W = Vi Vậy {V1, ,Vr} chính là tập các bất khả quy lớn nhất trong V 

Chú ý Các thành phần bất khả quy không phải là các thành phần liên thông

của một tập đại số Để thấy điều này ta chỉ cần chỉ ra một tập bất khả quykhông liên thông

Ví dụ Gọi V là đờng hyperbol xy – y 1 = 0 trong R2 Đây là một tập đại số có

hai thành phần liên thông Do V không là hợp của hai đờng thẳng nên xy – y 1

không thể phân tích đợc thành tích hai đa thức bậc nhất Điều này cũng có

nghĩa xy – y là một đa thức bất khả quy. 1

đều dừng, tức là tồn tại nN sao cho Y n = Y n+1 =

(ii) Không gian tôpô X đợc gọi là tựa compact nếu T là một tập con của X và

3.2 Bổ đề Cho X là một không gian tôpô Khi đó các phát biểu sau là tơng

đ-ơng:

(i) X là không gian tôpô Noether

(ii) Mọi tập khác rỗng các tập con đóng của X đều có phần tử cực tiểu.

(iii) Mọi dãy tăng các tập con mở trong X đều dừng.

(iv) Mọi tập khác rỗng các tập con mở của X đều có phần tử cực đại.

Chứng minh

(i)  (ii) Ta sẽ chứng minh bằng phơng pháp phản chứng

Giả sử  là một họ khác rỗng các tập con đóng của X và không có phần

tử cực tiểu Giả sử Y 1   Vì  không có phần tử cực tiểu nên có Y 2

  và giả sử Y 1 chứa thực sự Y 2 Cứ tiếp tục nh vậy nếu đã có một tập

con Y i vì  không có phần tử cực tiểu nên tồn tại tập con Y i+1 sao cho Y i

chứa thực sự Y i+1 Ta thu đợc một dãy giảm không dừng các tập con đóng của

Y 1  Y2   Yn  Yn+1 

Điều này là mâu thuẫn với giả thiết X là không gian tôpô Noether Suy ra

điêu phải chứng minh

(ii)  (iii) Bằng cách lấy phần bù của các tập đóng giảm Y 1  Y 2  Thì ta

sẽ đợc một dãy tăng các tập con mở nằm trong X theo tính chất của phần bù Vậy mọi dãy tăng các tập con mở trong X đều dừng

(iii)  (iv) Theo cách xây dựng dãy tăng các tập con mở của X nh trên thì ta luôn có đợc một dãy tăng các tập con mở trong X là dãy dừng Bây giờ ta sẽ

chứng minh dãy dừng này có phần tử cực đại Ta sẽ chứng minh bằng phơng

pháp phản chứng Giả sử T là tập khác rỗng các tập con mở của X mà không

có phần tử cực đại Từ đó ta có thể xây dựng đợc một dãy tăng các tập con mở

không dừng, mâu thuẫn với điều vừa nhận xét ở trên Vậy trong T phải có

phần tử cực đại Suy ra điều phải chứng minh

(iv)  (i) Để chứng minh X là không gian tôpô Noether ta chứng minh trong X

có một dãy giảm các tập con đóng là dãy dừng Theo (iv) thì mọi tập khácrỗng các tập con mở đều có phần tử cực đại suy ra theo tính chất phần bù ta cómọi tập khác rỗng các tập con đóng đều có phần tử cực tiểu Xét tập hợp cáctập con đóng  

 0

j j

Y theo lý luận ở trên thì tập con này có phần tử cực tiểu

Giả giử phần tử cực tiểu đó là Y n Suy ra Y n = Y j với mọi j  n Vậy dãy

Y 1  Y 2  là dãy dừng Suy ra X là không gian tôpô Noether 

k \ Y Do Y là tập đại số nên tồn tại iđêan I  K   x sao cho

Y = V I Mặt khác K   x là vành Noether nên I hữu hạn sinh, tức tồn tại hữu hạn đa thức f 1 , … +a ,f m  K   x sao cho I = f , ,1 f n.

f D

1



.

Vậy U = D f1   D f m.

3.4 Định lý Trong không gian tôpô Noether X, mọi tập con đóng khác rỗng Y

đều có thể phân tích thành hợp của các tập con đóng bất khả quy:

Y =Y 1   Y r

Các tập đóng Y i trong sự phân tích nh vậy đợc xác định một cách duy nhất Chứng minh Trớc tiên ta chứng minh sự tồn tại sự phân tích của Y.