Bồi dưỡng một số thành tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học giải bài tập đại số luận văn thạc sỹ toán học

Những nguyên nhân trên dẫn thựctrạng là thế hệ trẻ được đào tạo trong trường phổ thông mang tính thụ độngcao, hạn chế khả năng sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giảiquyết

PHẠM XUÂN HIẾU

"Båi dìng mét sè thµnh tè cña t duy s¸ng t¹o cho häc

sinh trung häc c¬ së th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp §¹i sè".

Chuyên ngành: LÍ LUẬN & PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên tôi trong suốt quá trìnhnghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa Toán ,khoa đào tạo sau đại học, các thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý luận vàphương pháp dạy học Toán, Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện tốt nhất đểtôi hoàn thành khóa học

Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, những người thân vàbạn bè là nguồn động viên lớn lao, tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thànhluận văn này

Vinh, tháng 9 năm 2012

Tác giả

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .3

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN .3

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN .4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .5

1.1 Kỹ năng .5

1.1.1 Khái niệm về kỹ năng .5

1.1.2 Vai trò của kỹ năng .8

1.1.3 Sự hình thành các kỹ năng .9

1.1.4 Phân loại kỹ năng trong môn toán .13

1.2 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề .13

Kết luận chương 1 .27

Chương 2: RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ KỸ NĂNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH Ở THCS .29

2.1 Phân tích hệ thống kiến thức chủ đề phương trình ở trường THCS 29 2.1.1 Phân phối chương trình về chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ở trường THCS .30

2.1.1.1 Phân phối chương trình lớp 8 .30

2.1.1.2 Phân phối chương trình lớp 9 .30

2.1.2.3 Phương trình bậc ba ( nâng cao) .32

2.1.2.4 Phương trình bậc bốn ( nâng cao) .33

2.1.2.5 Hệ đối xứng ( nâng cao) .35

2.1.2.6 Hệ đẳng cấp bậc hai ( nâng cao) .35

2.2 Một số biện pháp nhằm rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải toán phương trình ở trường THCS. .36

2.2.1 Biện pháp 1: Kỹ năng dùng dự đoán để phát hiện và giải quyết vấn đề .36

2.2.2 Biện pháp 2: Kỹ năng khái quát hóa bài toán từ đó phát hiện và giải quyết vấn đề .43

2.2.3 Biện pháp 3 : Kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ từ đó phát hiện và giải quyết vấn đề .50

2.2.3.1 Kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thường .50

2.2.3.2 Kỹ năng đổi biến(đặt ẩn phụ ) .54

2.2.4.Biện pháp 4: Kỹ năng phân chia trường hợp riêng dẫn đến phát hiện và giải quyết vấn đề .58

2.2.5.Biện pháp 5: Kỹ năng quy lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, biến đổi các bài toán về dạng tương tự .62

2.2.6 Biện pháp 6: Kỹ năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải quyết vấn đề đó .65

2.2.6 1 Kỹ năng: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử .65

2.2.6.2 Kỹ năng: Thêm bớt cùng một hạng tử 67

2.2.6.2 Một số kỹ năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác .90

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm .100

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm .120

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm .127

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm .129

3.4.1 Đánh giá định tính .130

3.4.2 Đánh giá định lượng .132

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 133

KẾT LUẬN .133

TÀI LIỆU THAM KHẢO .134

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

1.1 Nghị quyết hội nghị lần thứ tư Ban Chấp hành Trung ương Đảng

Cộng sản Việt Nam khoá VII "Đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các

cấp, các bậc học, áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề"

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)

quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,

tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”.

1.2 Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A Stôliar),trong đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải toán Bài tập toán mang nhiều chứcnăng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy

và chức năng kiểm tra đánh giá Dạy học giải bài tập toán được xem là mộttrong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán Khối lượng bàitập toán ở trường THCS là phong phú, đa dạng Có những lớp bài toán cóthuật giải, nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuậtgiải Đứng trước những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinhnhư thế nào để giúp họ giải quyết được bài toán là một vấn đề hết sức quantrọng Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được những gợi

ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáoviên

Trong trường THCS, nội dung kiến thức toán học trang bị cho học sinhkhông chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ năng vàphương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng líthuyết mà còn có trong bài tập tương ứng Dạy học giải toán có vai trò đặcbiệt trong dạy học toán ở trường phổ thông Các bài toán là phương tiện cóhiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo Hoạt động giải toán là điềukiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán Do đó tổ chức cóhiệu quả việc dạy giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy họctoán

Tuy nhiên, thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông cho thấy nănglực giải toán của học sinh còn hạn chế Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phươngpháp dạy học chủ yếu dựa trên quan điểm giáo viên là trung tâm của quá trìnhdạy học, trong đó giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnhhội tri thức của học sinh mang tính thụ động cao Phương pháp thuyết trìnhcủa giáo viên được sử dụng quá nhiều dẫn trình trạng hạn chế hoạt động tích

cực của học sinh, việc sử dụng các phương pháp dạy học phát huy tính tíchcực, tự lực và sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tìnhhuống thực tiễn chưa được chú trọng Những nguyên nhân trên dẫn thựctrạng là thế hệ trẻ được đào tạo trong trường phổ thông mang tính thụ độngcao, hạn chế khả năng sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giảiquyết các tình huống thực tiễn cuộc sống

1.3 Bồi dưỡng tư duy cho học sinh trong dạy học giải toán có vai tròquan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khảnăng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết Học sinh cũng thấyđược mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của học sinh

mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà cònphụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải Đồng thời, qua việc bồidưỡng tư duy cho học sinh trong dạy học giải toán làm cho học sinh biết đượctính thực tiễn của toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thựctiễn Nguồn gốc sức mạnh của toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của

nó Nhờ trừu tượng hoá mà toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật,hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự màkhả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có nhữngsuy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệmqua việc bồi dưỡng tư duy Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừ tượng hoá

mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng đượchình thành và phát triển Bởi qua các thao tác tư duy đó học sinh tự mình pháthiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết vàcũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng nhưnhững ý nghĩ và tư tưởng của người khác Một mặt các em cũng phát hiện rađược những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

Bồi dưỡng thao tác tư duy trong dạy học giải toán có vai trò quan trọngtrong quá trình phát triển tư duy học sinh Nhưng trong thực tế, nó chưa được

ưu tiên thích đáng xứng với vị trí của nó Nguyên nhân dẫn tình trạng nàyphải chăng do giáo viên chưa chú ý được tầm quan trọng của nó hoặc chưaxây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lựcgiải toán cho học sinh.

1.4 Chương trình đại số ở trường trung học cơ sở có nhiều tiềm năngthuận lợi cho bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh Bài tập đại số có nhiềudạng thuộc về nhiều chủ đề kiến thức khác nhau Khi giải các bài tập đại sốđòi hỏi người học sinh phải biết định hướng, phải sử dụng một cách tổng hợpkiến thức liên quan nhiều lĩnh vực khác nhau Hệ thống bài tập đại số kháphong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đốitượng học sinh có trình độ nhận thức rèn luyên kỹ năng, phát triển tư duy vàbồi dưỡng năng lực giải toán Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thểkhai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy cho học sinh trong quátrình dạy học

1.5 Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác

giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán

học" nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất

của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học Đồng thời trong tác phẩm

"Tâm lý năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc

năng lực toán học của học sinh Ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, NguyễnCảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân,Phạm Gia Đức, … đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận

và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt độngdạy học toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồidưỡng tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải các bài tập đại số ở trườngtrung học cơ sở là vấn đề cần tiếp tục được nghiên cứu Vì vậy, tôi chọn đề tài

nghiên cứu của luận văn này là: " Bồi dưỡng một số thành tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học giải bài tập Đại số".

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về tổ chức hoạt động bồidưỡng tư duy sáng tạo và đề xuất một số quan điểm nhằm góp phần bồidưỡng một số thành tố của tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạyhọc giải bài tập đại số

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu dạy học đại số theo quan điểm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho họcsinh thì có thể góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiệnnay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THCS

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

4.1 Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy toán học, tư duy sáng tạo.4.2 Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm bồi dương tư duy sáng tạocho học sinh

4.3 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập toán phù hợp với sự pháttriển tư duy sáng tạo cho học sinh

4.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tínhhiện thực, tính hiệu quả của đề tài

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1- Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luậndạy học môn toán

- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đề tài.5.2 Điều tra quan sát

- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinhtrong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp họcđối chứng trên cùng một lớp đối tượng

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

Góp phần làm rõ một số thành phần trong giải toán của học sinh thôngqua việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo

Đưa ra được những quan điểm sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡngnăng lực giải toán thông qua bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THCStrong quá trình giải bài tập toán

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chươngChương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Bồi dưỡng một số thành tố của tư duy sáng tạo cho học sinhTrung học cơ sở thông qua dạy học giải bài tập toán

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

các loại, các dạng tư duy Điều đó không hề đúng, thà rằng ở chỗ nào đấymình có thể nói là “ Tư duy trong phần tam thức bậc hai tốt” Trước hết tưduy toán học nó có những đặc điểm chung của tư duy nói chung và sau đó nó

sẽ có đặc thù riêng, như Rubinstêin X.L đã nói “ Tư duy chỉ xuất hiện khiđứng trước những hoàn cảnh có vấn đề, cho nên nếu bây giờ ra cho ta mộtbài toán tính tổng hai số không lớn thì hầu như trong đầu ta chẳng phải suynghĩ gì, có thể cho kết qua ra ngay, lúc ấy hành động của chúng ta theo kiểu

tự động hoá, trước mắt chúng ta chẳng có hoàn cảnh có vấn đề nào, cho nênlúc ấy không phải là quá trình tư duy diễn ra Ngược lại nếu giao cho chúng tamột bài toán rất khó và bật mí trước đó là sử dụng trong một kỳ thi học sinhgiỏi ở một cấp rất cao thì nhiều khi chúng ta cũng không sẵn sàng bắt tay vàosuy nghĩ bởi vì chúng ám chỉ rằng mày mò mãi cũng không xong Lúc ấy tathiếu ý chí là vì hoàn cảnh ta đang gặp chẳng phải là “ có vấn đề đối vớimình” Vậy để tư duy xuất hiện trong đầu thì trước hết vấn đề ta bắt gặp ởtầm vừa phải, quá dễ dàng thì cũng không phải tư duy mà quá khó quá thìnhiều khi cũng không dám suy nghĩ để giải quyết nó

Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý conngười, nó cung cấp vật liệu cho những hoạt động tâm lý cao hơn Tuy nhiênthực tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính con ngườikhông thể nhận thức và giải quyết được Muốn cải tạo thế giới thì con ngườiphải đạt mức độ nhận thức cao hơn đó là nhận thức lý tính hay còn gọi là tưduy

Như vậy, tư duy là nhận thức lý tính có nghĩa là phải có sự suy nghĩtrong đầu óc, phải có sự lập luận, diễn đạt, phân tích trong đầu óc

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tưduy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụngnhững quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí củacon người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn Tuynhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, conngười không thể nhận thức và giải quyết được Muốn cải tạo thế giới, conngười phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, nghĩa là phải tư duy.

Có rất nhiều cách định nghĩa về tư duy, sau đây là một số quan điểm:

- Theo cách hiểu của Rubinstêin X.L: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong

ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với

- Theo Phạm Minh Hạc: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh

những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan”.

Hoặc: “ Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ

- quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”.

Nhà tâm lí học CRUGLIĂC nói rằng: “nhờ tư duy mà có thể chuyển

được những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tượng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai, Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện tượng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra được chúng Tư duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một cách có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu Tri thức và tư duy gắn

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới

khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận tư duy xuất hiện trongquá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thựctại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại

tư duy chỉ tồn tại trong một mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người Cho nên, tư

duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói,

và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tưduy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lênnhững vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giảthiết, những ý niệm, Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩnào đó Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của tư duy được biểuhiện ở khả năng của con người có thể xây dựng những khái niệm chung, gắnliền với sự trình bày những quy luật tương ứng Khả năng phản ánh thực tạimột cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic,chứng minh của con người Xuất phát từ chỗ phân tích những sự kiện có thể trigiác được một cách trực tiếp, nó cho phép nhận thức được những gì không thểtri giác được nhờ các giác quan Những khái niệm và những hệ thống kháiniệm (những lí luận khoa học) ghi lại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loàingười, là sự tập trung những tri thức của con người và là điểm xuất phát để tiếptục nhận thức thực tại Tư duy con người được nghiên cứu trong những lĩnhvực khoa học khác nhau và bằng những phương pháp khác nhau” 20, tr 4

Từ các định nghĩa trên, ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây

của tư duy:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánhtích cực thế giới khác quan;

- Bản chất của tư duy (mà cũng là điều khó khăn) là ở sự phân biệt sựtồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được quakhả năng hoạt động suy nghĩ của con người nhằm phản ánh được đối tượng;

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo;

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người;

- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;

- Tư duy có tính khái quá và tư duy có tính gián tiếp ;

- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ , kết quả của

nó bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ: “tư duy vàngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau không tách rời nhau, nhưng cũngkhông đồng nhất với nhau Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ

ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy” 20, tr 9].

- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính;

- Tư duy là một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kếtthúc: Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được minh hoạbởi sơ đồ (do nhà toán học Liên xô cũ Plantônôv K.K đưa ra):

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giải thuyết

Sơ đồ : Quá trình tư duy [20,Tr 10]

- Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: Quá trình tư duy được diễn

ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiềuthao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hànhđộng trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

Có nhiều cách phân loại tư duy:

Theo Phạm Minh Hạc, Sácđacôp M N có ba loại tư duy sau đây:

a Tư duy trực quan hành động: Đó là loại tư duy bằng các thao tác cụ

thể tay chân hướng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan

b Tư duy trực quan hình tượng: Là loại tư duy phát triển ở mức độ cao

hơn, ra đời muộn hơn so với tư duy trực quan hành động, chỉ có ở người, đó

là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào hình ảnh sự vật, hiện tượng

c Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic): là loại tư duy phát triển

ở mức độ cao nhất, chỉ có ở người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn

đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn

ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện 20, tr 11.

Theo A.V.Pêtrôvxki và L.B.Itenxơn, có bốn loại tư duy đó là: tư duyhình tượng, tư duy thực hành, tư duy khoa học và tư duy lôgic Việc phát triển

tư duy lôgic bao giờ cũng được coi là một nhiệm vụ quan trọng đặt ra hàngđầu trong quá trình dạy học toán Nói tư duy lôgic người ta nhấn mạnh tư duybiện chứng nghiên cứu tư duy dưới góc độ cách thức nhận thức sự phát triển

và biến đổi của các sự vật hiện tượng

Như vậy, dựa trên cách chia đó ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa cácloại tư duy là có một mối quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp cao từ cái

đơn giản phức tạp Từ những điều trông thấy những vấn đề cần có tư duycao độ Mối quan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng trong sự phát triển

xã hội loài người Sự phát triển từ thấp cao đó là một quá trình nhận thức củacon người phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan Quá trình nhậnthức bằng tư duy diễn ra không đơn giản, thụ động, máy móc, Mà đó là mộtquá trình phản ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con người năng động sángtạo, biện chứng Đó là quá trình đi từ cái chưa biết, chưa sâu sắc, từ cái biết ítcái biết nhiều, từ nhận thức cảm tính nhận thức lí tính Vì vậy, quá trình tư

duy con người nói chung diễn ra hai giai đoạn nhận thức cảm tính và nhận

thức lí tính và quá trình đó trải qua khi gặp tình huống có vấn đề Đó là hai

giai đoạn khác nhau về chất, có đặc điểm và vai trò khác nhau về việc nhậnthức sự vật khách quan Nhận thức cảm tính là phản ánh trực tiếp, cụ thể, sinhđộng sự vật, còn nhận thức lý tính là phản ánh gián tiếp, mang tính trừu tượngkhái quát Nhận thức cảm tính đem lại những hình ảnh bề ngoài, chưa thật sâusắc về sự vật, còn nhận thức lý tính phản ánh được mối quan hệ bên trong,bản chất, phổ biến, tất yếu của sự vật Do đó nhận thức lý tính phản ánh sự vậtsâu sắc hơn đầy đủ hơn

Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhất biệnchứng với nhau, liên hệ, tác động lẫn nhau, bổ sung, hỗ trợ cho nhau, khôngtách rời nhau Chúng đều cùng phản ánh thế giới vật chất, có cùng một cơ sởsinh lý duy nhất là hệ thần kinh của con người và đều cùng chịu sự chi phốicủa thực tiễn lịch sử - xã hội Nhận thức cảm tính là cơ sở của nhận thức lýtính, không có nhận thức cảm tính thì không có nhận thức lý tính Trái lại,nhận thức cảm tính mà không có nhận thức lý tính thì không thể nắm bắt đượcbản chất và quy luật của sự vật, hiện tượng Trên thực tế, chúng thường diễn

ra đan xen vào nhau trong mỗi quá trình nhận thức Phép biện chứng kháchquan của thế giới xung quanh ta được phản ánh vào phép biện chứng chủquan đây là vấn đề có tính chất nền tảng

1.1.2 Tư duy toán học

Tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ tư duy biệnchứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quátrình áp dụng toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốcdân, Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởibản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học đểnhận thức các hiện tượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phươngthức chung của tư duy mà nó sử dụng

Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạngkhông gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực” 13, tr 5 

* Vai trò của tư duy toán học

Từ vấn đề được hiểu về tư duy toán học trên ta thấy rằng “tư duy toánhọc không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán họccủa học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách cóphương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong sự truyền đạt cho học

sinh hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học” 20, tr 13.

Như vậy, tư duy toán học đó là một quá trình phát triển từ thấp lên cao,việc giải quyết vấn đề thứ nhất và thứ hai có kết quả, thì sẽ dẫn tới việc giảiquyết công việc thứ ba Điều này cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề đó làmột quá trình biện chứng Nó giúp ta hiểu được một cách đúng đắn và sâu sắcqua việc nhận thức kiến thức toán học Tư duy toán học không chỉ là thànhphần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn làthành phần mà thiếu nó thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụkiến thức toán học cho học sinh

*Một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Triết học duy vật biện chứng thể hiện cácquy luật chung nhất của sự phát triển tự nhiên, xã hội và tư duy của conngười Nó là cơ sở phương pháp luận của mọi khoa học Và cũng theo Ông,

thì nó giúp ta hiểu được đối tượng và phương pháp của khoa học toán học mộtcách đúng đắn và sâu sắc giúp hình thành thế quan duy vật biện chứng của thế

hệ trẻ Nó cung cấp cho ta phương pháp nghiên cứu đúng đắn: xem xét nhữnghiện tượng giáo dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộclẫn nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, phát hiện những sự biến đổi sốlượng dẫn tới những biến đổi về chất lượng

Từ đó cho ta thấy phương pháp luận duy vật biện chứng đóng vai trò hếtsức quan trọng trong toán học Để đi cái mới trong toán học phải kết hợpđược tư duy lôgic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng cũng như tưduy khác và nhiều phẩm chất khác của con người

Ta thấy rằng tư duy là một vấn đề không thể không nhắc tới khi nóitoán học Vậy thì từ tư duy ở đây có vai trò chủ đạo như thế nào? Chính vìvậy mà V.I.lêNin nói: “Từ trực quan sinh động tư duy trừu tượng và từ đó trở

về thực tiễn - đó là con đường biện chứng của nhận thức chân lí, nhận thứchiện thực khách quan ” đã được đặc biệt trích dẫn trong nhiều công trìnhnghiên cứu về tâm lí học sư phạm và lí luận dạy học Còn theo các tác giảPhạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình thì đối tượng và sự kiệntoán học với tư cách là tư duy có tính hiện thực sâu vừa có tính trừu tượng

cao Hai mặt “hiện thực” và “trừu tượng” của chúng đối lập nhau nhưng lại

tồn tại trong mối quan hệ biện chứng lẫn nhau phụ thuộc và tồn tại hữu cơ với

nhau, mặt “hiện thực” là nguồn gốc mặt “trừu tượng” là thể hiện nguồn gốc

trên, chúng thống nhất với nhau trong mối quan hệ vật ảnh (mà cơ quan phản

ánh là não người) Mặt “hiện thực” gắn liền với cảm tính, cái riêng cái cụ thể

còn mặt “trừu tượng” gắn liền với cái lí tính, cái chung, cái trừu tượng Chonên trong tư duy toán học cũng phải được thể hiện mối quan hệ biện chứnggiữa các cặp phạm trù: cái cảm tính và cái lí tính, cái riêng và cái chung, cái

cụ thể và cái trừu tượng

Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng và

để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic: nên tư duy toánhọc cũng phải là sự thống nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện

dung và phương pháp dạy học” 26, tr 53

*Các loại hình tư duy Toán học

Các loại hình tư duy toán học đã được các tác giả nước ngoài và trongnước nghiên cứu và trình bày, chẳng hạn:

Nguyễn Cảnh Toàn đã đề cập bảy loại tư duy: Tư duy lôgic hình thức,

tư duy biện chứng, tư duy quản lí, tư duy kỹ thuật, tư duy kinh tế, tư duy thuậttoán, tư duy hình tượng

Nguyễn Bá Kim cũng trình bày về: tư duy thuật toán, tư duy hàm, Nguyễn Văn Lộc trình bày năm cách xem xét về phương diện tư duy:xem xét về phương diện lịch sử hình thành và phát triển tư duy, xem xét vềphương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng, xem xét về phương diệntính chất và kết quả của quá trình tư duy, xem xét về phương diện dấu hiệucấu trúc khác nhau của hiện thực, xem xét về phương diện các dấu hiệu đặcthù của đối tượng tư duy

1.1.3 Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra được cái mới Tuy nhiên, học sinh trongquá trình sáng tạo, tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xã hội mà là đốivới chủ quan mình, nhưng cái mới ấy đồng thời cũng có ý nghĩa xã hội, bởi vìkhi đó cá nhân được hình thành và biểu lộ

Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là

những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét

ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn

Bá Kim - Phương pháp dạy học bộ môn toán)

Solo R.L thì: “Sáng tạo là hoạt động nhận thức mà nó đem lại một

cách nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống”.

Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng từ: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ

những hiểu biết đã có những hiểu biết mới, vận động đi liền với bản chất”.

Còn Tôn Thân quan niệm: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập

tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo

tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc

vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó” [19, Tr 21]

Nhà tâm lý học người Đức Mehlhorn cho rằng: "Tư duy sáng tạo là hạt

nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"

Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng hoạtđộng trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chínhxác,

Trong khi đó, J.Danton lại cho rằng: "Tư duy sáng tạo đó là những năng

lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ; là một chức

năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá; là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như:

sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".

Như vậy: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng

mới, độc đáo và có hiệu quả cao trong giải quyết vấn đề”.

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì

đó là tư duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn những tri thứcmới về thế giới về các phương thức hoạt động Lene đã chỉ ra các thuộc tínhsau đây của tư duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểulời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành mộtphương thức mới)

Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phảitrong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lậpđều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệmdưới dạng vòng trong đồng tâm

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Có thể nói tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó chưa biết Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo

giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tínhhợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.

1.1.4 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúccủa tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóngtrật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quanniệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xâydựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới,hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán Suynghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹnăng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố

đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinhnghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước Đó là nhận

ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đốitượng quen biết

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duysáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các emgiải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.

b Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cáchnhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàncảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chấtlượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượngnhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khảnăng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh

ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìmđược nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trướcmột vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm

và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tốiưu

- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, cómột cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khôngphải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

c Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bênngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan

hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ

hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiệncho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà

có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan

hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tínhnhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên

tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

d Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hànhđộng, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

e Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ởhọc sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tậptoán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổicác hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phântích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải Ở họcsinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sángtạo Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy học thíchhợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em

1.2 Dạy học giải bài tập

1.2.1 Các chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh,trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán cótầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phương pháp

dạy học toán ở trường phổ thông Đối với học sinh có thể coi việc giải bàitoán là một hình thức chủ yếu của việc học toán, vì bài tập toán có nhữngchức năng sau:

1) Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lýthuyết đã học Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt đểdẫn dắt học sinh tự mình đi kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý,

mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập

mà học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

2) Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn vềtính chất thực tiễn của toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bàitoán từ cuộc sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc Đồng thời, học sinhphải thể hiện một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạtđộng toán mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc

có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làmtrung thực khiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong toán học và trongthực tiễn

3) Chức năng phát triển:

Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặcbiệt là bồi dưỡng những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duykhoa học

4) Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng họctoán và trình độ phát triển của học sinh và vận dụng kiến thức đã học Trong

việc lựa chọn bài toán và hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên cần phải chú

ý đầy đủ tác dụng về nhiều mặt của bài toán

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý phát huy tácdụng giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho họcsinh làm nhiều bài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý chức năng củabài tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán.Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyênnhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

1.2.2 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹnăng quan trọng nhất, mà việc bồi dưỡng các thao tác tư duy là một thànhphần không thể thiếu trong dạy học giải toán Trong tác phẩm của G Pôlyaông đã đưa ra bốn bước để đi lời giải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải

có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ýhướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toáncủa các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích

giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện.Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới

một hình thức khác được không? Như vậy, ngay ở bước “ Hiểu rõ đề toán ” ta

đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải

2) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ hai này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thểhiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơngiản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét cáctrường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng gần giống lần nào chưa.

Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?.

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một

bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em

có thể giải một phần của bài toán?.

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa?

Đã để ý mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?.

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định chừng mực nào và biến đổi thế nào?.

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được nhữnggợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải chocác bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiêntrì tất cả các giờ dạy toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vàohoạt động giải toán của mình

3) Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy

rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?.

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải củabài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gìkhông, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vìvậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cáchgiải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán nhiềukhi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạocủa học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiêncũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kémchán nản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho mộtbài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với họcsinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinhgiỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể

cho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để ápdụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới.

1.3 Phương hướng chủ yếu bồi dưỡng một số thành tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trong giải bài tập toán.

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác.

Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trongmối quan hệ với các hoạt động trí tuệ khác như: Phân tích, tổng hợp, sosánh, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoátrong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy Học sinhcần luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổnghợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, trong nhữngmối liên hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùngphép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng lẻ này sang trường hợp riêng lẻkhác, khai thác mối liên hệ mật thiết với với trừu tượng hoá, làm rõ mốiquan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặcbiệt hoá và hệ thống hoá Ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hoá tàiliệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ vàtình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sựkiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ gì với nhau, khả năng tìm ragiải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tínhnhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt để nghiêncứu, trong đó giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề để dẫn dắt học sinh

tìm tòi, khám phá kiến thức mới Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinhsuy luận có lý thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá,tương tự để có thể tự mình tìm tòi, tự giác, độc lập dự đoán được nhữngquy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dựđoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán, hướngchứng minh một định lý Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán

và suy diễn trong quá trình dạy học toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điềuphải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề vàgiải quyết vấn đề

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tốcủa tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thểkhai thác nội dung các vấn đề giảng dạy Đề xuất các câu hỏi thông minhnhằm giúp lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắmthật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thụ động,máy móc và lối vận dụng thiếu tính sáng tạo

Sử dụng từng bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạonhư: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thứctổng quát để khắc phục “ tính ỷ”( hành động máy móc, không thay đổi phùhợp với điều kiện mới); những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏihọc sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác.Những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, songsong nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồngthời với việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài toán không theomẫu, không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lý,quy tắc trong chương trình

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hànhthường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm kháctrong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như cáchoạt động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyệnkhả năng tdst trong việc toán học hoá các tình huống thực tế, những bài toán

có cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ các bài toán đã giải

Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các

đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lựcTDST của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểmtra đó trên cơ sở bộc lộ rõ năng lực TDST của bản thân Đó là cách tốt nhất

để chống lại cách học thiếu tính sáng tạo

1.3.5 Các hoạt động bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua giải bài tập toán.

1.3.5.1 Bồi dưỡng khả năng phân tích, tổng hợp bài toán:

Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho ở đây vấn đề quantrọng là cách nhìn bài toán Phải biết nhìn bài toán dưới dạng chính quy mẫumực Đây là cách nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài toán Phải biếtnhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toán trongtừng bối cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài toán trong mối tương quan với cácloại bài toán khác Phải biết liên tưởng giữa các phạm vi khác nhau trong khinhìn bài toán Nói chung trong việc rèn luyện cách nhìn một bài toán, phải

có những cái nhìn và cách nhìn đúng Đây là chìa khoá mở đường cho việctìm kiếm các đường lối giải

Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác

tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng

khác nhau của các quá trình đó Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua

bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc bồi dưỡng cho học sinh khả

năng phân tích và tổng hợp.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là nhìn

bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các

bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh.Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phươnghướng cho sự phân tích tiếp theo [22, tr 122]

Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập toán họccủa học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúphọc sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [4, tr 15]

Theo M N Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ

phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu vàthuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theomột hướng nhất định Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đíchnghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức

được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tượng Tổng hợp (cộng) là sự tổng

hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làmthành một tổng số của các bộ phận đó

Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược

nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trítu? cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trênnền tảng của phân tích và tổng hợp Có thể nói không một vấn đề tổng hợp(không tầm thường) nào lại chẳng cần dùng phân tích trong quá trình pháthiện và giải quyết vấn đề

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau Chúng là hai

mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổnghợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó Vì phân

tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên

hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích một cái toàn thể là con đường

để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn Sự thống nhất của quá trình phân tích tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) địnhhướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả củaphân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2)

-Như vậy, phân tích và tổng hợp theo con đường: tổng hợp 1 - phân tích - tổng

hợp 2 Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệcủa con người

Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích,

tổng hợp xen kẽ với nhau bẳng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm“ Giải

bài toán như thế nào ” đã đưa ra quy trình bốn bước để giải bài toán Trong

mỗi bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổnghợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được bốn bước của quá trình giảitoán Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thườnggắn bó khăng khít với nhau Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thànhphần) và trong quá trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic

và tính định hướng của quá trình tổng hợp) Một điều hiển nhiên là: Một bàitập mà học sinh cần phải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do chươngtrình học tập yêu cầu, do học sinh biết được trong quá trình tự học vv ) chỉ

có hữu hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sửdụng các kiến thức đã có (kiến thức đã được học, kiến thức tự tích luỹ ) củahọc sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thườnglà:

Định hướng tìm tòi bài toán

Nội dung và hình

thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán

Nhận thức đề Phân tích k  chọn lựa hoặc bác bỏ

Hướng thứ k

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra

lời giải của bài tập

Do vậy việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua việc giải bàitập nhất thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh Không có

một cách“ rèn luyện ” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những

quá trình phân tích -tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học

sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối

tượng, nghiên cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩmột bài tập trước khi hướng dẫn cho học sinh quá trình phân tích - tổng hợpkhi giải bài tập toán là rất quan trọng Dưới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Bài 57 a trang 25 – SGK toán 8 tập 1)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) x 2 4x 3

Cách 1: tách hạng tử thứ hai để làm xuất hiện nhân tử chung.

Ta có đa thức: f(x) x 2  4x 3

và quá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó làtrường hợp của một người chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trước hết, phảihiểu bài toán như một cái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn đểxem xét những điểm chi tiết nào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát vàphân chia bài toán thành từng bước và chú ý, không đi quá xa khi chưa cầnthiết” [15, tr 74]

Khi bài toán cần giải đã được hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõgiả thiết kết luận), đã tìm hiểu được mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vàochi tiết Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện

xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn

x t

Vậy nghiệm của phương trình là: x1  1;x2,3   1 2 2

* Phép phân tích đi lên (suy ngược lùi): Tức là muốn chứng minh A thì

ta chỉ cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta chỉ cần chứng minh A2,

…, cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta chỉ cần chứng minh An Khi A n là điều đã biết (tiên đề, định nghĩa, định lí…) thì dừng lại Theo tam đoạn luận