Bồi dưỡng năng lực khái quát hóa cho học sinh THPT trong dạy học đại số và giải tích luận văn tốt nghiệp đại học

Việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo hiện nay gắn liền với một phươngpháp nhận thức mới là phương pháp giải quyết bài toán với quan niệm mới chorằng nhiệm vụ của khoa học không phải v

Trêng §¹i häc Vinh

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Th.SNguyễn Thị Mỹ Hằng Trong thời gian làm khóa luận tác giả đã nhận được sựquan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ phương pháp cũng như các thầy

cô giáo trong khoa toán trường Đại Học Vinh và sự động viên khích lệ của giađình và bạn bè

Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng tới Th.SNguyễn Thị Mỹ Hằng đã dành nhiều thời gian hướng dẫn giúp đỡ, xin cảm ơncác thầy cô giáo, gia đình cùng các bạn đã dành cho tác giả những tình cảm cũngnhư sự quan tâm giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu đề tài Trong thời gian hoànthành khóa luận tác giả có nhiều cố gắng nhưng cũng không tránh khỏi nhữngthiếu sót vì vậy rất mong được sự thông cảm và sự đóng góp ý kiến của các thầy

cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả khóa luận

Trêng §¹i häc Vinh

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Đóng góp của khóa luận 4

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn 7

1.1 Năng lực toán học 7

1.1.1 Khái niệm năng lực 7

1.1.2 Năng lực toán học 8

1.2 Một số vấn đề khái quát về tư duy 10

1.2.1 Tư duy 10

1.2.2 Đặc điểm của tư duy 11

1.2.3 Các thao tác trí tuệ của tư duy 12

1.2.4 Tác dụng của tư duy 13

1.2.5 Tư duy toán học 14

1.3 Tương tự - Trừu tượng hóa - Khái quát hóa 15

1.3.1 Tương tự 15

1.3.2 Trừu tượng hóa 17

1.3.3 Khái quát hóa 18

1.3.4 Mối quan hệ giữa tương tự, trừu tượng hóa và khái quát hóa 20

1.4 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong Đại số và Giải tích 27

1.5 Kết luận chương 1 31

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng năng lực khái quát hóa cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích 32

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp 322.1.1 Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng góp phần bồi dưỡng nănglực khái quát hóa, đồng thời giúp học sinh nắm vững tri thức của môn học 322.1.2 Hệ thống các biện pháp phải khả thi, phổ biến 322.1.3 Hệ thống các biện pháp phải dựa trên những khó khăn và sai lầm phổ biếncủa học sinh 322.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực khái quát hóa cho học sinh 322.2.1 Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức 322.2.2 Biện pháp 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh năng lực dự đoán các tình huống tương tự làm tiền đề cho việc khái quát hóa một định lý, một bài tập Thường xuyên ra những bài toán tương tự trong đó có những con số mang tính

“thời sự”, mang tính “lịch sử” 452.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả năng trừu xuất các dấu hiệu chung và bản chất ra khỏi các dấu hiệu không bản chất Phân biệt “dấu hiệu chung” và “dấu hiệu bản chất” .662.3 Kết luận chương 2 80TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Th.S

Nguyễn Thị Mỹ Hằng Trong thời gian làm khóa luận tác giả đã nhận được sự

quan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ phương pháp cũng như các thầy

cô giáo trong khoa toán trường Đại Học Vinh và sự động viên khích lệ của giađình và bạn bè

Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng tới Th.S

Nguyễn Thị Mỹ Hằng đã dành nhiều thời gian hướng dẫn giúp đỡ, xin cảm ơn

các thầy cô giáo, gia đình cùng các bạn đã dành cho tác giả những tình cảm cũngnhư sự quan tâm giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu đề tài Trong thời gian hoànthành khóa luận tác giả có nhiều cố gắng nhưng cũng không tránh khỏi nhữngthiếu sót vì vậy rất mong được sự thông cảm và sự đóng góp ý kiến của các thầy

cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả khóa luận

Phạm Thị Trang

Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 BCH Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam(khoá VII,1997) khẳng định: “…Phải đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo,khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện tư duy sáng tạo cho ngườihọc…’’

Luật giáo dục 1998 khẳng định: “Phương pháp giáo dục phổ thông pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp vớitừng đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lạiniềm vui, hứng thú học tập của học sinh…”

Luật giáo dục 2005, qui định: “Nhà nước phát triển giáo dục nhằm nângcao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ”, “…Phương pháp giáo dụcphải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học…’’

Chương trình toán thí điểm trường trung học phổ thông chỉ rõ: “Môn toánphải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ hình thành khảnăng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…”

Việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo hiện nay gắn liền với một phươngpháp nhận thức mới là phương pháp giải quyết bài toán với quan niệm mới chorằng nhiệm vụ của khoa học không phải và cũng không thể là tìm kiếm chân lí,

mà là tìm kiếm lời giải bài toán mà con người liên tục gặp phải trong cuộc sống

Yếu tố chủ yếu của phương pháp giải quyết của bài toán là tư duy sángtạo, sáng tạo trong việc xác định bài toán, xác định các mục tiêu của bài toán,

tạo cho học sinh các ý tưởng bằng các thao tác trí tuệ như: tưởng tượng, phỏngđoán, so sánh, cụ thể hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa …

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hóa tài liệu toán học làthành phần cơ bản nhất của năng lực toán học Góp phần quan trọng trong quátrình phát triển tư duy cho học sinh, chẳng hạn: khái quát hóa liên quan đến việcphát triển các khả năng suy đoán, tưởng tượng, liên quan đến việc rèn luyện cácthao tác tư duy phân tích tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa Nó cũng gópphần hình thành các phẩm chất trí tuệ và các lập luận lôgic có lí

Việc khái quát hóa và việc hình thành các khái niệm được thực hiện nhờ

sự trừu tượng hóa Trong quá trình nghiên cứu các sự vật và hiện tượng riêng lẻban đầu tách ra và trừu xuất các thuộc tính và các mối liên hệ chung, bản chấtnghĩa là trừu tượng hóa khỏi các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất.Sau đó nhờ tổng hợp và khái quát các thuộc tính và các mối liên hệ chung vàbản chất đó ta thu được các tri thức khái quát, trừu tượng, dưới hình thức nhữngkhái niệm, định luật hoặc quy tắc

Như vậy, mọi tri thức khái quát đều có tính chất lý luận dưới hình thứccác khái niệm, định luật hoặc quy tắc mà học sinh đã tiếp nhận trong quá trìnhhọc tập đều đạt được bằng trừu tượng hóa Sự trừu tượng hóa là một thành phầnkhông thể tách được của quá trình khái quát hóa, nó góp phần phát triển hoạtđộng tư duy khái quát của học sinh

Mỗi vật thể đều có những dấu hiệu và thuộc tính bản chất và không bảnchất Cũng như vậy, mỗi hiện tượng đều hiện ra trước mắt ta qua các mối liên hệ

và quan hệ bản chất và không bản chất Các mối liên hệ, các dấu hiệu bản chấtcủa sự vật hoặc hiện tượng cùng loại bao giờ cũng có những liên hệ và dấu hiệuchung

Chỉ có khái quát hóa các dấu hiệu và các mối liên hệ chung, bản chất vàtrừu tượng của một nhóm các sự vật hay hiện tượng nhất định nào đó được kháiquát hóa, ta mới thu được những tri thức có tính chất lý luận khái quát về nhómcác sự vật hiện tượng đó

Năng lực khái quát hóa quan trọng như vậy, tuy nhiên vấn đề này chưađược coi trọng đúng mức ở trường phổ thông Thực tế cho thấy nhiều học sinhmặc dù có khả năng, có tư chất tốt nhưng vẫn thiếu sự sáng tạo trong toán học,các em thường giải các bài toán ở đâu đó mà không biết đề xuất bài toán tương

tự, bài toán tổng quát…Từ đó chưa thể phát huy hết năng lực cũng như sáng tạocủa các em

Với những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của khóa luận:

“Bồi dưỡng năng lực khái quát hóa cho học sinh THPT trong dạy học Đại số

và Giải tích”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khóa luận là nghiên cứu nhằm làm sáng tỏ nănglực khái quát hóa ở các khía cạnh sau đây: khái niệm, vai trò, tính phổ dụng đồngthời nghiên cứu cách thức để rèn luyện cho học sinh năng lực khái quát hóa

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn có liên quan tới vấn đề bồi dưỡngnăng lực khái quát hóa cho học sinh

- Nghiên cứu và đề ra biện pháp sư phạm tổ chức các hoạt động nhằm bồidưỡng năng lực khái quát hóa cho học sinh

4 Giả thuyết khoa học

Nếu quan tâm đúng mức việc rèn luyện và bồi dưỡng năng lực khái quát

hóa trong dạy học “Đại số và Giải tích” sẽ góp phần phát triển năng lực sáng

tạo của học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học môn toán, góp phần thực hiện tốtmục tiêu và nhiệm vụ đổi mới PPDH trong giai đoạn hiện nay

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1.Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu: Giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về toán học, các công trình khoahọc giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài

5.2 Điều tra, quan sát:

Dự giờ quan sát giờ dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quátrình khai thác các bài tập

6 Đóng góp của khóa luận

- Xác định tầm quan trọng của năng lực khái quát hóa trong học toán ởtrường phổ thông

- Xác định được một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng năng lựckhái quát hóa cho học sinh

- Xây dựng được một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực khái quát

hóa cho học sinh trong học toán ở trường phổ thông, đặc biệt là trong “Đại số

và Giải tích”.

- Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

- Khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên THPT

7 Cấu trúc của khóa luận

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Đóng góp của khóa luận

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.2.2 Đặc điểm của tư duy

1.2.3 Các thao tác trí tuệ của tư duy

1.2.4 Tác dụng của tư duy.

1.2.5 Tư duy toán học

1.3 Tương tự - Trừu tượng hóa - Khái quát hóa

1.3.1 Tương tự

1.3.2 Trừu tượng hóa

1.3.3 Khái quát hóa

1.3.4 Mối quan hệ giữa tương tự, trừu tượng hóa và khái quát hóa

1.4 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong Đại số và Giải tích.1.5 Kết luận chương 1

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng năng lực khái quát hóa cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích.

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp

2.1.1 Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng góp phần bồidưỡng năng lực khái quát hóa, đồng thời giúp học sinh nắm vững tri thức củamôn học

2.1.2 Hệ thống các biện pháp phải khả thi, phổ biến

2.1.3 Hệ thống các biện pháp phải dựa trên những khó khăn và sai lầmphổ biến của học sinh

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực kháiquát hóa cho học sinh

2.2.1 Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúphọc sinh chiếm lĩnh tri thức

2.2.2 Biện pháp 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh năng lực dự đoáncác tình huống tương tự làm tiền đề cho việc khái quát hóa một định lý, một bàitập Thường xuyên ra những bài toán tương tự trong đó có những con số mangtính “thời sự”, mang tính “lịch sử”

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả năng trừu xuất các dấuhiệu chung và bản chất ra khỏi các dấu hiệu không bản chất Phân biệt “dấu hiệuchung” và “dấu hiệu bản chất”

2.3 Kết luận chương 2

Tài liệu tham khảo

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực toán học

1.1.1.Khái niệm năng lực

Ở phương tây có rất nhiều quan điểm về năng lực

- Theo quan điểm di truyền học, trường phái A.Binet (1875 – 1911) vàT.Simon cho rằng: Năng lực phụ thuộc tuyệt đối vào tính chất bẩm sinh của ditruyền gen

- Theo quan điểm xã hội học, E.Dunkhiem (1858 – 1917) cho rằng: Nănglực nhân cách con người được quyết định bởi xã hội (như một môi trường bấtbiến, tách rời khỏi điều kiện chính trị)

- Theo phái tâm lí học hành vi, J.B.Watson (1870- 1958) coi năng lực củacon người là sự thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống

Nhìn chung, các quan điểm này chủ yếu xem xét năng lực từ khía cạnhbản thân Từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người coi nhẹ yếu tố giáo dục

Các nhà tâm lí học Macxit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề năng lực theocách khác Họ không tuyệt đối hóa vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối vớinăng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thànhnăng lực

Cacmac chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của cá nhân khôngphải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động”

Ănghen cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người”

Trường phái tâm lí học xô viết với A.G.Covaliov, N.X Lâytex…Và tiêubiểu là B.M Chieplov đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực trí tuệ B.MChieplov coi năng lực là những đặc tính tâm lí cá nhân liên quan tới kết quả tốtđẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó Theo ông có hai yếu tố cơ bảnliên quan tới khái niệm năng lực

Thứ nhất, năng lực là những đặc tính tâm lí, mang tính cá nhân Mỗi cá

thể khác nhau có năng lực khác nhau về một lĩnh vực không thể nói rằng mọingười đều có năng lực như nhau

Thứ hai, khi nói đến năng lực không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung

mà năng lực còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kếtquả tốt

Cũng theo quan điểm trên, X.L.Rubinstilen chú trọng đến tính có ích củahoạt động, ông coi năng lực là điều kiện cho hoạt động có ích của con người:

“Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp vớimột hoạt động có ích cho xã hội nhất định”

Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến mục đích và nhân cách của năng lực, PhạmTất Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợpcác đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí củamột nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo

ra kết quả của một hoạt động nào đó

Như vậy mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơbản như tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lí,sáng tạo, độc đoán trong giải quyết nhiệm vụ…

1.1.2 Năng lực toán học

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực toán học từ những phươngdiện khác nhau:

- Theo V.A.Krutecki năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa:

Một là: Theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông Nắmmột cách nhanh và tốt các kiến thức kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

Hai là: Theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực hoạt

động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới khách quan có giá trị lớn đốivới xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệtđối Nói đến học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán một cách độc lập và sángtạo, đã tự đặt và giải bài toán không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con đường cácphương pháp sáng tạo để chứng minh các định lí, độc lập suy ra các công thức, tựtìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực.

- Theo A.N.Kôlmôgôrôv xem xét năng lực toán học trên cơ sở ba thành

tố có liên quan khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:

1)Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìmkiếm các phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình

2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”

3) Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lý tuần tự

- UNESCO đã công bố 10 tiêu chí năng lực toán học cơ bản như sau:1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phéptoán, các khái niệm

2) Năng lực dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu

3) Năng lực tính nhanh và tính cẩn thận sử dụng đúng các kí hiệu

4) Năng lực biểu diễn dữ liệu, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúngthành kí hiệu

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

6) Năng lực xây dựng một chứng minh

7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa

8) Năng lực giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa)

9) Năng lực phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng.10) Năng lực khái quát hóa toán học

Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, sau đây là một số địnhnghĩa về năng lực toán học:

Định nghĩa 1:

Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là cácđặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc

nắm giáo trình toán một cách sáng tạo Giúp cho việc nắm một cách tương đốinhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo toán học [14].

Định nghĩa 2:

Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết

là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học, trongnhững điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trongviệc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệtnắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tronglĩnh vực toán học [11]

Tuy nhiên ở mỗi người cũng có sự khác nhau về mức độ năng lực toánhọc Do vậy trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là lựa chọn nội dung vàphương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng caodần về mặt năng lực toán học

1.2 Một số vấn đề khái quát về tư duy

1.2.1 Tư duy

Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của conngười, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn Tuy nhiên, thực tếcuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thểnhận thức và giải quyết được Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tới nhậnthức cao hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy)

Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đãđược trình bày trong các công trình của X.L.Rubinstêin Những công trình này

đã thúc đẩy hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu hình thứchoạt động tâm lí phức tạp Theo cách hiểu của X.L.Rubinstêin: “Tư duy đó là sựkhôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diệnhơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [4, tr 246]

Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy làquá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ cótính qui luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [7, tr.117]

hoặc “Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trìnhtìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần haykhái quát thực tế trong khi phân tích hoặc tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sởhoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”.

Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ tư duybằng thao tác tay chân, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tưduy bằng ngôn ngữ, tư duy khái quát – hình thức tư duy đặc biệt của con người[7, tr.19) Trong quá trình tư duy, sử dụng phương tiện ngôn ngữ, sản phẩm cótính xã hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hành các thao tác tưduy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá nhằm đi đếnnhững khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật – những sản phẩm khái quátcủa tư duy

1.2.2.Đặc điểm của tư duy

Thuộc bậc thang nhận thức cao – nhận thức lí tính – tư duy có những đặcđiểm mới về chất lượng so với cảm giác và tri giác Tư duy có những đặc điểm

cơ bản sau [7, tr.119-125]

 Tư duy nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề

 Tư duy có tính khái quát

 Tư duy có tính gián tiếp

 Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ

Tư duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhaunhưng cũng không đồng nhất với nhau Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữthể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy

“Đặc điểm điển hình của tư duy của con người là mối liên hệ không thểchia cắt được giữa tư duy và ngôn ngữ Nhận thức, tư duy của con người chỉ cóthể thực hiện thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của tư duycon người khác với tính chất thuần tuý của sinh vật của hoạt động tâm lí củađộng vật

* Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy thường bắtđầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có trừu tượng và khái quát đến đâu thì nộidung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác,hình tượng trực quan….) X.L.Rubinstêin khẳng định rằng: “Nội dung cảm tínhbao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tưduy” [7, tr 22].

* Tư duy là một quá trình: Tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tưduy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giaiđoạn kế tiếp nhau được minh hoạ bởi sơ đồ

* Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: Quá trình tư duy được diễn rabằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thaotác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành độngtrí tuệ, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá

1.2.3 Các thao tác trí tuệ của tư duy

Sự phát triển của tư duy nói chung được đặc trưng bởi sự tích luỹ các thaotác tư duy thành thạo Các thao tác trí tuệ của tư duy bao gồm: phân tích, tổnghợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá

tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành hệ thống”

Phân tích và tổng hợp có quan hệ qua lại mật thiết với nhau, tạo thành sựthống nhất không tách rời được: sự phân tích được tiến hành theo hướng tổnghợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích Chúng là hai

hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều

diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp.

1.2.3.2 So sánh.

Theo [25]: “So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhauhay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay khôngbằng nhau giữa các đối tượng nhận thức (sự vật, hiện tượng)”

1.2.3.3 Tương tự.

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tương tự là giống

nhau ở mức độ hơn và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm

1.2.3.4 Trừu tượng hoá – Khái quát hóa.

Theo [25]: “Trừu tượng hoá là quá trình dùng trí óc gạt bỏ những mặt,

những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại

những yếu tố cần thiết cho tư duy Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để hợp

nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộctính, những liên hệ, quan hệ chung nhất định”

Theo [15]: “Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng

sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặcđiểm chung của các phần tử trong tập xuất phát”

Như vậy chúng ta thấy tất cả các thao tác trí tuệ nêu trên đều góp phần bồidưỡng năng lực sáng tạo và củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế thìcác thao tác tư duy này chủ yếu được hình thành và phát triển ở học sinh thôngqua hoạt động học tập và cụ thể là hoạt động giải bài tập toán

1.2.4 Tác dụng của tư duy

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tư duy

để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng nhữngquy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

1.2.5 Tư duy toán học

Cũng như những lĩnh vực khác, Toán học luôn chứa đựng những điều màcon người chưa biết Nhưng nhiệm vụ của thực tiễn và cuộc sống đòi hỏi phảihiểu thấu những điều chưa biết một cách sâu sắc Vì vậy, Toán học cũng là mộtđối tượng của tư duy, khi đó ta có tư duy của toán học

Toán học với tư cách là đối tượng của tư duy, cũng như những đối tượng

và sự kiện toán học khác, nó là những sao chép phản ánh mặt nào đó của thếgiới hiện thực, đó là tính hiện thực của tư duy, ngoài ra tư duy toán học còn cótính trừu tượng nữa

Mặt hiện thực và trừu tượng thống nhất biện chứng, theo [11]: “Để nhậnthức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy lôgic Do đó, tư duy toánhọc là sự thống nhất giữa biện chứng và tư duy lôgic Theo đó tư duy Toán họccũng có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức cảm tính

- nhận thức lí tính, cái chung - cái riêng, cái bản chất - cái không bản chất

Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp, nhằm đạt cácmục tiêu:

- Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những kiến thức cơbản của Toán học

- Rèn luyện cho học sinh những kĩ năng, kĩ xảo Toán học

- Phát triển tư duy Toán học cho học sinh

Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất, vấn đềthứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết đến vấn đề thứ

ba Có nghĩa là cho rằng, sự phát triển tư duy Toán học diễn ra một cách tự pháttrong quá trình giảng dạy Toán Trong một chừng mực nào đó điều này có thểđúng, nhưng chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi

Tư duy toán học không chỉ là một thành phần quan trọng trong quá trìnhhoạt động Toán học của học sinh nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự pháttriển một cách có phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việctruyền thụ cho học sinh hệ thống kiến thức và kĩ năng Toán học

1.3 Tương tự - Trừu tượng hóa - Khái quát hóa

1.3.1 Tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tương tự là giống

nhau nhưng ở mức độ hơn và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm [19]

Trong “Lôgic học” Đ P Goocki viết: “Tương tự là phép suy luận trong

đó từ chỗ 2 đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng cácđối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tượng A có dấu hiệu là

a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giảđịnh rằng đối tượng B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phépsuy luận tương tự như sau:

có thể thay “đường thẳng” bởi “mặt phẳng” thì định lí vẫn đúng

Nói về vai trò của tương tự, nhà sư phạm đồng thời là nhà toán học nổitiếng người Mỹ G.Pôlya có nhận xét: “Trong Toán học cao cấp cũng như trongToán học sơ cấp, phép tương tự có trong mọi phép chứng minh Trong một số

phép chứng minh, phép tương tự đóng vai trò hơn cả”, còn đối với nhà thiên vănhọc tài ba Kepler (người Đức), người đã phát minh ra ba định luật nổi tiếngtrong thiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự, những ngườithầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã giúp tôi khám phá ra các bímật của tự nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở ngại” [18, tr.148].

Đối với học sinh, tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyệnnăng lực khái quát hóa Để giải một bài toán, chúng ta thường nghĩ về một bàitoán tương tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy Sau đó, để giải bài toán banđầu, ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình

Vậy S(n) chưa tính được, nhưng ta lại tính được S n nhờ liên hệ với1 

S(n) Điều đó gợi cho ta suy nghĩ rằng muốn tính được S(n) phải liên hệ với mộttổng tương tự dù phức tạp hơn

S n2   1.2.3 2.3.4    n n   1   n  2 

Tương tự nhân S(n) với 3 ta có:

3 S n    1.2.3 2.3.3    n n   1 3 

Như vậy nhờ phép tương tự ta đã tính được tổng trên.

1.3.2 Trừu tượng hóa

Theo [25]: “Trừu tượng hoá là quá trình dùng trí óc gạt bỏ những mặt,

những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lạinhững yếu tố cần thiết cho tư duy”

Theo [15]: “Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những

đặc điểm không bản chất”

Trong quá trình nghiên cứu các sự vật và hiện tượng riêng lẻ ban đầu tatách ra và trừu xuất các thuộc tính và các mối liên hệ chung, bản chất Nghĩa làtrừu tượng hóa khỏi các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất Sau đó nhờtổng hợp và khái quát hóa các thuộc tính và các mối liên hệ chung và bản chất

đó ta thu được các tri thức khái quát, trừu tượng, dưới hình thức những kháiniệm, định luật hoặc quy tắc [17]

Chẳng hạn, trừu tượng hóa mệnh đề: “Bình phương của một số âm là một

số dương” cho học sinh phải tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũbằng 2 để được mệnh đề “lũy thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương”

Trừu tượng hóa là một “hoạt động của tư duy”, hoạt động này của bộ não

con người có thể hướng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng

là của Toán học

Sự phát triển của việc trừu tượng hóa của học sinh được biểu hiện trongviệc hình thành khả năng tách ra và trừu xuất các dấu hiệu, các mối liên hệ vàcác mối quan hệ chung và bản chất khỏi các sự vật và hiện tượng riêng lẻ, cũng

như biết phân biệt các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất của các sự vậthiện tượng này và biết trừu xuất chúng.

1.3.3 Khái quát hóa

Theo G.Pôlya: Khái quát hóa là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập

hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tậphợp ban đầu Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứutam giác sang nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý Chúng ta cũng kháiquát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của góc nhọnsang việc nghiên cứu những hàm lượng giác của một góc tùy ý

Có thể nhận thấy rằng trong hai ví dụ trên sự khái quát hóa đã được thểhiện theo hai hướng có tính chất khác nhau Ở ví dụ đầu, trong việc chuyển từ

tam giác sang đa giác n cạnh chúng ta thay “hằng” bởi “biến” Ở ví dụ thứ hai,

khi chuyển từ góc nhọn sang góc tùy ý  , ta đã vứt bỏ điều kiện hạn chế

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp

đối tượng sang một tập lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một sốđặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [15]

Theo Đào Văn Trung: “đó là từ trong những sự vật khác nhau tìm ranhững tính chất chung của chúng và quy kết lại, phương pháp tư duy này gọi là

khái quát hóa” [24, tr.169].

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hóa tài liệu Toán học

là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học, điều này đã được các nhà sưphạm, nhà toán học như V.A Kruchetxki, A.I Marcusêvich, tổ chức quốc tếUNESCO ….khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình

Trong môn Toán THPT, nói riêng trong môn “Đại số và Giải tích”, có

nhiều tình huống liên quan đến hoạt động khái quát hóa

Ví dụ:

- Khái quát hóa để hình thành khái niệm

- Khái quát hóa để hình thành định lí

- Khái quát hóa các bài toán Toán học

- Khái quát hóa để hình thành phương pháp giải các lớp bài toán

- Khái quát hóa hướng suy nghĩ giải bài tập toán

Về vai trò của khái quát hóa được Đào Văn Trung đề cập đến trong cuốn

“Làm thế nào để học tốt toán ở Phổ thông”: “Trong cuộc sống và học tập, khắp

nơi và mọi lúc đều cần đến phương pháp tư duy khái quát này” Đúng như đại

văn hào Nga – LepTônxtôi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát

hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con người mới có thể hiểu được nó”.

Không có khái quát thì không có khoa học, không biết khái quát thì không biết cách học.

Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năngkhái quát Toán học là khả năng đặc biệt Trong quá trình làm Toán, chúng tathấy rất nhiều bài tập dễ giải hơn trong trường hợp tổng quát Vì vậy, có nhữnglúc đứng trước một bài toán mà ta chưa tìm ra cách giải ta thử tìm ra bài toántổng quát và giải nó đôi khi sẽ cho ta những điều thú vị Ví dụ sau sẽ chứngminh cho điều ấy

Ví dụ: Giải thích tại sao phương trình sau lại có nghiệm duy nhất.

Sau khi giải và đối chiếu với nghiệm tìm được với điều kiện: 0   x 3

ta thấy rằng phương trình đã cho chỉ có nghiệm x = 1 là thích hợp, vậy bài toán

đã được giải quyết

Như vậy ta thấy rằng bài toán sau tuy tổng quát hơn bài toán ban đầunhưng lại dễ hơn nhiều và giúp ta có thể tìm ra kết quả của bài toán ban đầu.Điều đó tưởng chừng như mâu thuẫn nhưng qua ví dụ trên chứng tỏ rằng quả làđúng như vậy

Bằng cách nghĩ ra bài toán tổng quát, ta đã vượt qua được khó khăn chủyếu của bài toán đặc biệt Sau việc sáng tạo đó, công việc còn lại chỉ là phụ.Như vậy, trong trường hợp này việc giải bài toán tổng quát chỉ là một phần,phần phụ của việc giải bài toán đặc biệt

1.3.4 Mối quan hệ giữa tương tự, trừu tượng hóa và khái quát hóa

a) Tương tự và khái quát hóa:

Phép tương tự là phép suy luận có lí đi từ một số thuộc tính giống nhaucủa hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai

đối tượng đó Kết luận của phép tương tự có thể đúng có thể sai, nó có tính chất

dự đoán

Chúng ta xét mối quan hệ giữa tương tự và khái quát hóa, xét mệnh đề:

“Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân

“Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhâncủa nó” (c)

Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hóa, việc chuyển

từ (a) sang (b) là tương tự Phép tương tự ở đây rất gần khái quát hóa, phép

tương tự ở đây có thể xem là tiền thân của khái quát hóa bởi vì, việc chuyển từ

một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát là một bước để đi tớinhững trường hợp riêng bất kì của cái tổng quát đó

Ví dụ: Sau khi cho học sinh chứng minh:

- Nếu a1a2a3 0thì ta suy ra điều phải chứng minh.

Nếu học sinh gặp khó khăn ta có thể dẫn dắt học sinh như sau: Có thể

biến đổi tỉ số 1 2 3 4

4

a a a a

thế nào để sử dụng được bất đẳng thức đã biết

Để sử dụng bất đẳng thức đối với hai số buộc học sinh phải tạo ra các tỉ số

như thế học sinh có thể định hướng cách giải

Việc chứng minh bất đẳng thức đối với ba số ta có thể gợi cho học sinhđến việc chứng minh trong trường hợp tổng quát hơn (với 4 số) rồi từ đó ápdụng cho trường hợp 3 số hoặc liên hệ học sinh đến sự phân tích:

2

a b c  abc a b c   a b  b c  a c 

Như vậy, ta đã tập cho học sinh phép tương tự Tuy nhiên, không dừng lại

ở đó mà còn đi xa hơn yêu cầu học sinh phát biểu bài toán tổng quát Tức là yêucầu học sinh từ những phép tương tự tiến lên khái quát hóa

b) Trừu tượng hóa và khái quát hóa:

Khi nói về mối quan hệ giữa trừu tượng hóa và khái quát hóa, nhóm tácgiả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân khẳng định: “Khái quát

hóa có quan hệ mật thiết với trừu tượng hóa Trừu tượng hóa là sự nêu bật vàtách những đặc điểm không bản chất ra khỏi đặc điểm bản chất Trừu tượng hóa

là điều kiện ắt có nhưng chưa đủ để khái quát hóa”

Để khai thác mối quan hệ của khái quát hóa và trừu tượng hóa có thể tạođiều kiện cho học sinh tập luyện trừu tượng hóa cùng với khái quát hóa dựa trên

cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ có thể nâng cao yêu cầu trừu tượng hóabằng cách bố trí những trường hợp riêng lẻ mang một số đặc điểm chung và nổibật nhưng không cần thiết cho việc dự đoán quy luật tổng quát

Ta đi đến bài toán sau:

“Giả sử a, b là hai số thõa mãn điều kiện a > 1, b > 1 và 1 1 1

a b  Khi đó,với mọi u 0,v0ta có bất đẳng thức sau:

Do đặc điểm trừu tượng hóa của Toán học việc bồi dưỡng cho học sinhnăng lực khái quát hóa và trừu tượng hóa cho học sinh, cần nắm mối quan hệqua lại chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng, theo con đường nhậnthức chân lí: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó đến thựctiễn”, trong khi hình thành và cũng cố kiến thức cho học sinh, giáo viên cần đưa

ra các hình ảnh, hình vẽ, ví dụ điển hình trong đó dấu hiệu bản chất của kháiniệm được giữ nguyên, còn dấu hiệu không bản chất được biến thiên, từ đó dẫndắt học sinh tìm ra dấu hiệu bản chất của khái niệm Đó là con đường hình thànhkhái niệm bằng quy nạp, con đường này có thể phát triển khả năng trừu tượnghóa, khái quát hóa

b) Dự đoán công thức tổng quát S n

Thông qua việc giải ví dụ này ta có thể giúp học sinh bước đầu “tập trừu

tượng hóa để khái quát hóa một bài toán” qua đó các em sẽ hiểu sâu hơn một

Dựa vào một “đặc điểm bản chất” là việc tách mỗi số hạng dạng

k  k để rút gọn “đoạn giữa” không phụ thuộc vào n mà chỉ có kết

quả của việc rút gọn là phụ thuộc vào n Đặc điểm này giúp ta viết:

n

 

 Ta khẳng định điều đó bằng phương phápchứng minh quy nạp toán học

Ví dụ: Để hình thành cho học sinh khái niệm “cấp số cộng” giáo viên cho

học sinh quan sát các dãy số sau:

vậy là những cấp số cộng Các dãy số này có tính chất chung và bản chất đó là:

kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước

nó và một số d không đổi, và hình thành cho học sinh khái niệm cấp số cộng

 u n là cấp số cộng   n 2,u n u n1 d

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Trong quá trình hoạt động tư duy trừu tượng hóa của học sinh cần phải côlập và nhờ đó mà loại trừ hoặc hạ đến mức thấp nhất sự tác động của các dấuhiệu và mối quan hệ không bản chất của các đối tượng được nghiên cứu Điều

đó làm cho sự trừu tượng hóa và khái quát hóa các dấu hiệu và các quan hệ bảnchất được dễ dàng hơn và do đó đảm bảo chất lượng của tri thức lí luận kháiquát

Như vậy, sự trừu tượng hóa là thành phần không thể tách được của quátrình khái quát hóa, nó góp phần phát triển hoạt động tư duy khái quát hóa củahọc sinh Trừu tượng hóa là điều kiện cần để khái quát hóa

1.4 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong Đại số và Giải tích

1.4.1 Sai lầm do không nắm vững quy luật lượng chất

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của hàm số:

a) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T  2 

b) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là

2

Học sinh sẽ khái quát hóa bài toán như sau: Hàm số y sinn x c osn x

tuần hoàn với chu kỳ T  2  nếu n lẻ,

2

T  nếu n chẵn

Sai lầm của học sinh: Với n = 2 thì y = 1 tuần hoàn không có chu kỳ cơ sở.

Ví dụ 2: Tính I x1  x2008dx , từ đó tổng quát bài toán.

1.4.2 Sai lầm do lẫn lộn giữa nội dung và hình thức

Sau khi học xong định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

Học sinh phải hiểu được rằng: limxa xanhư sau: Xét hàm số f(x) = x.Với mọi dãy  x n mà x n a với mọi n và limx n a Ta có f x n x n nên

 

lim f x n a Do đó: lim   lim

x a f x x a x a

1.4.3 Sai lầm trong đại số tổ hợp, bài toán đếm (phân chia trường hợp riêng)

Phân chia trường hợp riêng là biện pháp hay dùng khi giải các bài toán tổhợp Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản bài toángiúp học sinh giải bài toán một cách chính xác Tuy nhiên, để có thể phân chiađúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân Nếu quy tắc nhânthì phân chia thành các công đoạn thích hợp, còn nếu quy tắc cộng thì phân chiathành các trường hợp riêng Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phânchia nên đã dẫn đến sai lầm khi giải toán Để phân chia khái niệm thành kháiniệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí của sự phân chia)

Nhiều học sinh trong quá trình phân chia một khái niệm thành những kháiniệm nhỏ đã vi phạm tính đầy đủ hoặc độc lập nên dẫn đến sai lầm khi giải toán

Ví dụ 1: Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế xung quanh một bàn tròn,

trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp saocho không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau?

Có học sinh giải như sau:

“Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữđều ngồi cạnh một học sinh nữ khác

Ta có A42cách chọn 2 học sinh nữ bất kì (có thứ tự) Như vậy, 4 học sinh

nữ được chia làm hai nhóm Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp họcsinh nữ này Có C52 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ

6 học sinh nam còn lại được xếp tùy ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vịtrí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn

Vậy số cách xếp để mỗi học sinh nữ ngồi cạnh học sinh nữ khác là :

Sai lầm của học sinh: Phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau,

học sinh nữ còn lại không ngồi cạnh bạn nữ nào

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một phân biệt, trong đó

có mặt chữ số 2 và chữ số 0”

Có học sinh giải như sau:

Dựa vào dấu hiệu “có mặt chữ số 0 và chữ số 2”, chia tập hợp các số gồm

5 chữ số đôi một phân biệt làm hai loại:

Loại 1: Có mặt chữ số 0 và 2

Loại 2: Không có mặt chữ số 0 và 2, loại này có A85cách chọn

Do đó loại 1 có tất cả: A105  A94  A85 cách chọn

Sai lầm của học sinh: Phân chia trường hợp riêng chưa đầy đủ, thiếu

trường hợp: có mặt chữ số 0, không có mặt chữ số 2; có mặt chữ số 2, không cómặt chữ số 0

1.4.4 Khó khăn trong việc tìm lời giải cho bài toán tương tự

Ví dụ: (Bài tập số 43, trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số  u n xác định bởi:

a) Chứng minh rằng: Dãy số  v n , với v n u n 2 là cấp số nhân Hãy tìm

số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

b) Dựa vào kết quả câu a) hãy tìm số hạng tổng quát của u n

Học sinh giải như sau:

tự Với bài tập tương tự, học sinh khó khăn trong việc tìm lời giải Chẳng hạn,

- Chúng tôi đã giải thích rõ một số khái niệm xuất hiện trong đề tài như:Năng lực, năng lực toán học, tư duy, tư duy toán học, tương tự, trừu tượng hóa,khái quát hóa

- Chúng tôi đã đưa ra cơ sở lí luận và thực tiễn: Sự cần thiết của việc bồi

dưỡng năng lực khái quát hóa cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích ở

trường phổ thông

Chương 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY

HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp

2.1.1 Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng góp phần bồidưỡng năng lực khái quát hoá, đồng thời giúp học sinh nắm vững tri thức và kĩnăng môn học

2.1.2 Hệ thống các biện pháp phải khả thi, phổ biến

2.1.3 Hệ thống các biện pháp dựa trên những khó khăn và sai lầm phổbiến của học sinh

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực khái quát hoá cho học sinh

2.2.1 Biện pháp 1: Sử dụng hợp lí các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức

Trong thực tiễn dạy học, học sinh thường gặp khó khăn có khi tưởngchừng không vượt qua nổi khi chuyển từ cụ thể lên trừu tượng và khi đi từ cáitrừu tượng lên cái cụ thể trong tư duy Khó khăn đó nằm chủ yếu ở chỗ: Khi trigiác cái cụ thể hiện thực học sinh không biết phát hiện ra cái chung bản chất vàchủ yếu ẩn nấp hoặc bị che lấp trong muôn vàn cái riêng không bản chất và thứyếu của cái cụ thể; ngược lại, khi vận dụng khái niệm, định luật vào nhữngtrường hợp cụ thể thì học sinh lại lúng túng trong việc tìm ra cái riêng biệt đơnnhất, độc đáo của chúng mặc dù chúng đều có cùng một cái chung bản chất

Mặt khác, không phải bất cứ cái cụ thể hiện thực nào cũng có thể mangđến cho học sinh tri giác trực tiếp được Vì vậy nhà trường phải nghiên cứu một

dạng phương tiện dạy học đó là: “Phương tiện dạy học trực quan” để giúp học

sinh dễ dàng chuyển tư duy của mình từ diện cụ thể cảm tính sang diện trừutượng, khái quát hóa và từ đó lên cái cụ thể trong ý thức [16, tr.139]

2.2.1.1 Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học.

Trong dạy học Toán, việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan đóngmột vai trò rất quan trọng Phương tiện trực quan không chỉ giúp cho việc minhhọa và tập trung sự chú ý của học sinh vào những thuộc tính và đặc điểm bênngoài của đối tượng và hơn thế phương tiện trực quan còn giúp học sinh nhanhchóng phát hiện những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ bản chất củađối tượng và cho phép nhận ra nó như một cái toàn bộ thống nhất

Phương tiện trực quan không chỉ tham gia vào quá trình hình thành kháiniệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải bài tập toán… phươngtiện trực quan là cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu tượng hóa (từ

cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) và cả trong giai đoạn cụ thể hóa (táitạo ra cái cụ thể trong tư duy)

Nhà toán học nổi tiếng A N Kôlmôgôrôv lưu ý giáo viên “đừng để hứng

thú đến mặt lôgíc của giáo trình làm lu mờ việc giáo dục tư duy trực quan cho học sinh”.

Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học là rất quantrọng Do đặc điểm của Toán học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãinhất, có ý nghĩa nhất trong môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ,

đồ thị, bảng, công thức, kí hiệu…) Phương tiện trực quan tượng trưng là một

hệ thống ký hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách rời khỏi tất cả các tính chất khác của đối tượng và hiện tượng [1, tr 81].

GS Hoàng Chúng giải thích thêm: là một hệ thống quy ước nên trực quantượng trưng là một loại ngôn ngữ, do đó cũng như mọi ngôn ngữ khác, nó phảiđược nghiên cứu, học tập, luyện tập mới có thể hiểu được, mới rõ ràng trực quanđược, mới trở thành một phương tiện dạy học có hiệu quả Chẳng hạn hình thànhkhái niệm là một quá trình tâm lý phức tạp theo sơ đồ: Cảm giác – Tri giác –Biểu tượng, lúc này trực quan đóng một vai trò rất quan trọng để dẫn tới việcđịnh nghĩa của khái niệm

Đánh giá đúng vai trò của phương tiện dạy học nhằm góp phần nâng cao

chất lượng giáo dục toàn diện, Bộ giáo dục đã ban hành bản “Tiêu chuẩn

phương tiện dạy học” của các trường Phổ thông cấp I, II, III Bản tiêu chuẩn này

được xây dựng căn cứ vào:

- Chương trình và sách giáo khoa

- Khả năng thực tế (bao gồm kinh phí của nhà nước, khả năng nhập từnước ngoài…)

Các phương tiện trực quan đóng một vai trò vô cùng quan trọng không chỉtrong việc cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác, mà còn

ở chỗ giúp học sinh kiểm tra lại tính đúng đắn của các kiến thức lý thuyết, sửachữa và bổ sung, đánh giá lại chúng nếu không phù hợp với thực tiễn Đứngtrước vật thực hay các hình ảnh của chúng, học sinh sẽ học tập hứng thú hơn,tăng cường sức chú ý đối với các hiện tượng nghiên cứu, dễ dàng tiến hành cácquá trình phân tích, tổng hợp các hiện tượng để rút ra kết luận đúng đắn

2.2.1.2 Chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học.

Các phương tiện trực quan không chỉ làm phong phú, mở rộng kinhnghiệm cảm tính của học sinh mà còn làm nổi rõ cái chung, cái cơ bản qua cáiriêng lẻ, đơn nhất, do đó giúp các em có khả năng hình thành và nắm vững kháiniệm, lĩnh hội định lý, giải bài tập toán…

Quan niệm mới về thành phần và chức năng của phương tiện trực quandẫn đến xu hướng sử dụng ngày càng nhiều các mô hình trong dạy học Khi mức

độ trừu tượng của các đối tượng nhận thức đối với việc học trong môn toán đượcnâng cao thì các phương tiện trực quan trở thành phương tiện nhận thức có hiệuquả, giúp học sinh tìm thấy được các mối liên hệ và quan hệ giữa các yếu tốthành phần trong sự vật hiện tượng hoặc giữa các sự vật hiện tượng với nhau

Trong quá trình dạy học chức năng của phương tiện trực quan thể hiện sựtác động tích cực có định hướng đến học sinh nhằm đạt được mục đích học tập

Có thể nêu ra các chức năng chủ yếu sau đây của phương tiện dạy học trực quan