Ứng dụng của cấu trúc nhóm trong một số bài toán đại số và số học

MỤC LỤCTrang CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Ứng dụng của các nhóm hữu hạn trong một số bài toán giải phương trình hàm 15 2.2.. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỤC LỤC

Trang

CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

Ứng dụng của các nhóm hữu hạn trong một số bài

toán giải phương trình hàm

15

2.2 Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong bài toán xây

dựng các phép biến đổi phân tuyến tính

MỞ ĐẦU

Trong khoảng một thế kỷ, rất nhiều nhà toán học đã gặp khó khăn khi nghiên cứu các bài toán trong Đại số trước khi Lý thuyết nhóm ra đời Bắt đầu là JosephLouis Lagrange sử dụng nhóm hoán vị để tìm nghiệm đa thức (1771) Sau đó trong các bài báo, nghiên cứu về phương trình đại số của Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel (1824) và Evariste Galois (1830), những thuật ngữ trong lý thuyết nhóm đã xuất hiện Lý thuyết nhóm cũng được hình thành từ Hình học vào khoảng giữa thế kỉ 19 và từ Lý thuyết số

Vào khoảng cuối thế kỉ 19, Lí thuyết nhóm được hình thành như một nhóm độc lập của Đại số (những người có công trong lĩnh vực này phải kể đến là Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu ) Nhiều khái niệm đại số được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho sự phát triển của một ngành quan trọng trong Toán học

Hiện nay Lí thuyết nhóm là một phần phát triển nhất trong Đại số và có nhiều ứng dụng trong Tôpô học, Lý thuyết hàm, Mật

mã học, Cơ học lượng tử và nhiều ngành khoa học cơ bản khác

Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại số hiện đại Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trong nhiều hướng khác nhau của Toán học, Vật lí Đặc biệt, một số kỹ thuật trong Lí thuyết nhóm đã được sử dụng để mang lại những kết quả đẹp đẽ và sâu sắc của Toán học Chẳng hạn, tính giải được bằng căn thức của các phương trình đại số đa thức đã được giải quyết trọn vẹn bởi E Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của Lí thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình

với Lí thuyết trường.

Việc sử dụng cấu trúc nhóm để giải toán cũng đã xuất hiện trong các đề thi Olimpic Toán học quốc tế (IMO)

Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của Lí thuyết nhóm vào lĩnh vực Tổ hợp, Đại số sơ cấp và Số học Công cụ chủ yếu của Lí thuyết nhóm được vận dụng ở đây là Định lí Lagrange; Bổ đề Burnside về quỹ đạo của tác động nhóm lên một tập, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn, nhóm đối xứng, nhóm

ma trận, p- nhóm

Luận văn này được trình bày trong 2 chương

Chương 1 gồm những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm, bao gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, lớp ghép, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp, p-nhóm Vì các bài tập minh họa đều có lời giải sơ cấp, nên luận văn sẽ không tập trung trình bày chi tiết các lời giải này mà chủ yếu phân tích sự xuất hiện các cấu trúc nhóm Trong tiết 1.1, luận văn chứng minh lại những công thức số học cổ điển Lucas bằng phương pháp sử dụng công cụ các lớp ghép và Bổ đề Burnside trong Lí thuyết nhóm Ngoài ra, chương 1 điểm lại một vài ứng dụng của nhóm phép thế để giải một số bài toán tổ hợp và bài toán tô màu

Chương 2 là những ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong các bài toán giải phương trình hàm Tiết 2.1 chỉ rõ ứ ng dụng của các nhóm hữu hạn theo chủ đề vừa nêu Tiết 2.2 xây dựng các phép biến đổi phân tuyến tính bằng cách sử dụng công cụ nhóm Tiết 2.3 gồm những ví dụ minh họa về việc cấu trúc đồng cấu nhóm xuất hiện trong đề ra và lời giải các phương trình hàm trong các

đề thi Olimpic Toán quốc tế (IMO) và của một số nước khác Rõ ràng là, nếu chúng ta biết sử dụng các tính chất của nhóm thì lời giải bài toán trở nên sinh động hơn rất nhiều

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang, người thầy giáo đã đặt vấn đề nghiên cứu và tận tình chỉ dẫn, để tác giả hoàn thành bản luận văn này.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong

bộ môn Đại số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học thuộc trường Đại học Vinh đã động viên cổ vũ, có những góp ý quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập, nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học tại Trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do nhiều nguyên nhân, luận văn chắc chắn còn có nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

TÁC GIẢ

CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA CẤU CHÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

Cấu trúc nhóm xuất hiện tự nhiên trong các bài toán sơ cấp Ví dụ đơn giản nhất là các nhóm ¢ , ¤ , ¡ , £ với phép toán cộng Ví dụ ít hiển nhiên hơn là các nhóm hữu hạn (nói chung không aben) xuất hiện trong Lý thuyết số, Lý thuyết

tổ hợp và Đại số

Chúng tôi sẽ điểm lại một vài ứng dụng của lý thuyết nhóm để giải một số bài toán tổ hợp Do các bài tập minh họa đều có lời giải sơ cấp, chúng tôi sẽ không tập trung trình bày các lời giải này mà chủ yếu phân tích sự xuất hiện các cấu trúc nhóm như thế nào

.1 Một số ki ế n thứ c cơ sở về Lý thuyế t nhóm

1.1.1 Định nghĩa Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử thì ta nói G là một

nhóm hữu hạn Cấp của G là số phần tử của nhóm đó và ký hiệu là |G| Với mỗi g∈G có một số nguyên dương n sao cho g n = 1 Khi đó, số nguyên dương n nhỏ nhất như vậy được gọi là cấp của g và ký hiệu là ord(g).

1.1.2 p-nhóm Cho p là một số nguyên tố Một p - nhóm là một nhóm hữu hạn với

các phần tử có cấp là một lũy thừa của p.

1.1.3 Mệnh đề Nhóm aben G là p-nhóm khi và chỉ khi G có cấp là một lũy thừa

của p.

Chứng minh Thật vậy, giả sử nhóm G có cấp là một lũy thừa của số nguyên tố p

và a∈G Xét nhóm xyclic H sinh bởi a Rõ ràng H = or ( )d a Do đó, theo Định lý

Lagrange, ord(a) là ước của cấp của G, hay G là một p –nhóm.

Ngược lại, giả sử G là một p-nhóm aben và H là một nhóm con lớn nhất của

G mà có cấp là một lũy thừa của p Ta sẽ chứng minh H = G Giả sử có một phần

tử a ∈ G - H Khi đó ord(a) = p n với n > 0 nào đó Xét tập H' ={ab b H; ∈ } Dễ

thấy H' là hợp rời của các tập hợp H aH a H, , 2 , ,a p n− 1H và H’ là một nhóm aben Nói riêng, H' là một nhóm con của G với cấp là H' = H p n > H Điều này mâu thuẫn với cách chọn H là nhóm con lớn nhất của G Vậy G = H và G có cấp là một lũy thừa của p ▄

Xét nhóm đối xứng S n và tập X ={1, 2, ,n} Với mỗi σ ∈ S n , i∈ X, ta được

Với mỗi a ∈ X, tập con

or ( )b a = g a( ) ∈X g G; ∈

được gọi là quỹ đạo của a

Phần tử a∈X gọi là cố định dưới tác động của nhóm G nếu và chỉ nếu

Với một tập con Y ⊂ X, tập

là một nhóm con của G và được gọi là nhóm con ổn định của Y

Ta có một song ánh {g Stab a ( ); g G∈ } → or ( )b a cho bởi gha g a( )

Nói riêng, orb(a) là ư ớ c củ a |G|

Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm Xét một tác động của G lên

một tập hữu hạn X Theo Mệnh đề 1.1.5, những quỹ đạo có nhiều hơn một phần tử

có số phần tử là lũy thừa của p.Những quỹ đạo còn lại ứng với các điểm cố định

của X

Ký hiệu X G là tập các điểm cố định, ta có mệnh đề sau

1.1.6 Mệnh đề X ≡ X G (mod )p

Một ứng dụng thú vị của mệnh đề trên là định lý số học sau đây

1.1.7 Đinh lý (Lucas) Cho các số nguyên m, n ≥ 0 và số nguyên tố p Ta có

0

(mod ),

k i

m m

=

=∏ ¢ ¢ tác động tự nhiên theo từng thành

phần lên tập M Ở đây ( / ¢ p i¢ )m i = ¢ / p i¢ L ¢ × × / p i¢ là tích m i lần ¢ / p i¢ .

Gọi X là tập tất cả các tập con của M có n phần tử Như vậy |X| =

N ⊆ M có n phần tử và bất biến dưới tác động của G là

0

k i

i i

m n

Công cụ nhóm tỏ ra có hiệu quả trong việc chứng minh tính trù mật trong tập hợp các số thực ¡ Ta bắt đầu công việc nay bởi mệnh đề sau:

1.1.8 Mệnh đề Nếu A là một nhóm con không tầm thường của nhóm cộng các số thực ¡ thì A hoặc là nhóm xyclic hoặc trù mật trong ¡ .

 

= ∈

  ¢ Kh i đ ó , ta có a < Na n < b Vì A là mộ t

n h ó m nê n Na n∈A, d o đ ó ( a , b ) ∩ A ≠ φ là tr ù mậ t tr o n g ¡

● T r ư ờ ng h ợ pε < 0,ε∉A: Tư ơ ng tự nh ư tr ên , có mộ t d ã y số th ự c d ư ơ n g { }a n n∈¥ ⊂ A g iả m d ầ n

x uố n g ε V ì ε < 0 nê n v ớ i ch ỉ số n đ ủ lớ n 0 < a n + 1 - an <ε Đ iề u n ày mâ u th u ẫ n v ớ i các h ch ọ n ε

v ì an +1 - a n ∈ A (A là mộ t nh ó m) Do đ ó tr ư ờ ng h ợ p nà y k h ô n g x ả y r a

● T r ư ờ ng h ợ pε > 0,ε∈A: Mọi số thực a ∈ A đ ề u có b iể u d iễ n d ạ ng a = nε + b v ớ i n∈ ¢ và

0 ≤ b <ε Do A là một nhóm nên b = a - nε ∈ A Từ các h ch ọ n ε su y r a b = 0 Vậ y A =ε

¢ là mộ t nh ó m x y c li c ▄

chữ nhật thành hai hoặc ba hình chữ nhật bằng nhau và giữ lại một Chứng minh rằng với mọi∈> 0 cho trước, xuất phát từ hình chữ nhật ban đầu, có hữu hạn cách cắt sao cho hình chữ nhật cuối cùng có tỷ lệ hai cạnh nằm trong khoảng (1 - ∈, 1 +

∈).

Lời giải Gọi tỷ số độ dài hai cạnh của hình chữ nhật ban đầu là r Sau một số hữu

hạn lần cắt, tỷ số độ dài hai cạnh hình chữ nhật mới có dạng 2 3 ; ,m n r m n∈ ¢ Để chứng minh tỷ số này gần 1 tùy ý, ta chứng minh kết quả tổng quát hơn là tập

{2 3 : ,m n m n∈ ¢}trù mật trong tập hợp các số thực không âm Điều này tương đương vói tập {m n+ log 3; 2 m n, ∈ ¢} trù mật trên ¡ Khẳng định được suy ra từ Mệnh đề 1.1.8

Chứng minh Một lũy thừa 2 k có chữ số đầu tiên là 7 khi và chỉ khi tồn tại h∈ ¢ sao

không âm, hay tương đương, tập A={k h+ log 5; , 2 k h∈ ¢} trù mật trong tập hợp các số

thực ¡ Điều này được suy ra từ Mệnh đề 1.1.8

Bằng phương pháp tương tự ta chứng minh được các kết quả sau:

tập các điểm sao cho X đóng kín đối với các phép lấy đối xứng qua cạnh của P Khi

đó, tập X trù mật trên mặt phẳng.

1.2 Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong một số bài toán tổ hợp

1.2.1 Phép thế Một phép thế σ ∈ S n được hoàn toàn xác định bởi các giá trị σ(1)

, , σ (n) Do đó, có một cách khác biêủ diễn của σ là

n n

( , , )a a n với a i =σ( )i Nếu a i =i thì ta có thể bỏ a i trong ký hiệu trên Tác động

tự nhiên của nhóm xyclic (σ ) lên tập X = {1,2, ,n} cho ta phân tích của X thành

hợp rời các quỹ đạo

X = X 1∪ X 2∪ .∪ X r với mỗi X i có dạng {a, σ (a ) , , σ ki (a)} Mỗi X i được gọi là một chu trình của σ

Từ đó

( )

! (mod !) 2

Điều này mâu thuẫn với khẳng định trên

Vậy có hai phép thế khác nhau a,b sao cho: S a( ) ≡S b( )(mod !)n ▄

1.2.3 Bài toán (IMO 1999). Có n cô gái chơi một trò chơi(n ≥ 2), mỗi người

giữ một quả bóng Mỗi cặp trong số tất cả

cặp, theo một thứ tự nào đó, đổi

quả bóng họ đang có cho nhau Trò chơi được gọi là "thú vị” nếu cuối cùng không

có cô gái nào nhận lại quả bóng ban đầu Ngược lại, nếu cuối cùng tất cả các cô gái đều nhận lại quả bóng ban đầu thì trò chơi được gọi là "chán ngắt” Tìm giá trị của n để

=  ÷  phép chuyển vị (i,j) của tập {1, , n}

Giả sử thứ tự đó là t 1, , tN Một trò chơi sẽ ứng với phép hoán vị P t t= N N−1 t1 Trò

chơi là thú vị tương ứng với P không có điểm cố định Trò chơi là chán ngắt nếu P =

id là phép đồng nhất.

a) Tồn tại một trò chơi thú vị khi và chỉ khi n ≠ 3

Thật vậy, nếu n = 2 thì P2 = (1, 2) rõ ràng là thú vị Nếu n = 3 thì mỗi trò chơi có

dạng P = (2,3)(1,3)(1,2) = (1, 3) nên trò chơi là không thú vị.

Ngược lại, giả sử n ≡ 0,1 (mod 4) Xét trường hợp n = 4k Chia các cô gái vào

k nhóm gồm 4 cô gái Trong mỗi nhóm xét thứ tự sau

(1, 3)(2, 4)(2, 3)(1, 4)(1, 2) = id.

Giữa hai nhóm khác nhau (ký hiệu là {1, 2, 3,4} và {5,6,7,8}), ta có

(4, 7) (3, 7) (4, 6) (1, 6) (2, 8)(3, 8) (2, 7) (2, 6) (4, 5) (4, 8) (1, 7) (1, 8) (3, 5) (3, 6) (2, 5) (1, 5) = id .

Trường hợp n = 4k + 1 ta chia thành k + 1 nhóm gồm k nhóm có 4 cô gái và

một nhóm chỉ có một cô gái Giữa hai nhóm có 4 cô gái khác nhau ta làm như trên Với mỗi nhóm có 4 cô gái, ký hiệu là 1, 2, 3, 4, ta thêm cô gái dư, ký hiệu là

5 và tiến hành theo thứ tự sau

( 3 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 5 ) = i d ▄

1.3 Ứng dụng của Lý thuyết nhóm

Toán học rời rạc mà ngày nay ứng dụng to lớn của nó trong Công nghệ thông tin được khởi đầu bởi 3 bài toán tô màu sau:

1 Một chuỗi hạt ngọc trai có tất cả n hạt được tô bởi r màu Hỏi xem có tất

cả bao nhiêu chuỗi ngọc trai khác nhau

2 Một hình lập phương, các mặt của nó được tô bởi 2 màu khác nhau Hỏi

có bao nhiêu hình lập phương khác nhau từ cách tô màu đó.

3 Cho trước 1 công thức hoá học hãy tìm xem nó có bao nhiêu đồng phân

Bài toán tô màu là một ứng dụng điển hình của lý thuyết nhóm (nhóm đối xứng) trong tổ hợp. Bài toán tô màu được giải bằng cách sử dụng Bổ đề Burnside và Định lý đếm của Polya.

Xét một tập hữu hạn X cùng với một tác động của một nhóm hữu hạn G Với mỗi g G∈ , ký hiệu

g

F

Mỗi phần tử x X∈ xuất hiện đúng |Stab(x)| lần trong tập Z Như vậy, các

phần tử trong orb(a) xuất hiện or ( ) d a Stab a( ) = G lần.

1.3.1 Bổ đề Burnside S ố quỹ đạo của tác động nhóm G lên tập X là

1.3.2. Bài toán tô màu Cho r mảnh vải giống hệt nhau và n màu khác nhau Tô mỗi mảnh vải bằng một

màu nào đó Cho G là một nhóm gồm các phép hoán vị n mảnh vải Hai cách tô màu sẽ được đồng nhất

nếu cách này nhận được từ cách kia bằng một phép hoán vị trong G Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu (sai khác hoán vị bởi nhóm G)?

Áp dụng bổ đề Burnside, ta phát biểu lại bài toán tô màu trên: Ký hiệu các mảnh vải là

v1 , , v r , các màu là c 1 , , c n X é t t ậ p h ợ p c á c á n h x ạ ( h à m ) :

X = { f : { v1 , , v r } → {c 1 , , cn}}.

Mỗi cách tô màu tương ứng một – một với một hàm f ∈ X. Nhóm G ⊆ S r tác động lên tập {v 1, , v r} nên có tác động tự nhiên lên tập X cho bởi ( , )g f ∈ ×G X a f go ∈X Theo Bổ đề Burnside, số các quỹ đạo của tác động này là:

Gọi các chu trình của σ là V 1 , , V t Khi đó f ∈ F(σ ) tương đương với f là ánh

xạ hằng khi hạn chế lên từng chu trình Vi, i =1, ,t. Như vậy, F( )σ =n c( )σ với ( )cσ =t là

Bài toán tô màu sau được giải bằng cách sử dụng Định lý đếm của Polya.

1.3.5 Bài toán (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2010) Người ta dùng n màu để tô tất cả các ô vuông con của bảng ô vuông kích thước 3 3 × , mỗi ô được tô bởi một màu Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách tô màu này nhận được từ cách tô màu kia nhờ một phép quay quanh tâm của bảng ô vuông Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu khác nhau?

Lời giải Gọi τ là phép quay quanh tâm hình vuông góc π2 theo chiều kim đồng

hồ Khi đó G = (τ ) là một nhóm xyclic cấp 4 Số chu trình của τ là 3, của τ 2 là 5, của τ 3 là 3 và của τ 4 = id là 9 Theo Định lý đếm của Polya, số cách tô màu là