Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung, phương pháp dạy học chủ đề giới hạn và đạo hàm thể hiện qua sáh giáo khoa đại số và giải tích lớp 11

Cấu trúc của luận văn: Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 ch-ơng: - Chơng 1: Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn và phần mở đầu chủ đề Đạo hàm trong sách g

Trờng đại học vinh

-o0o -Trần thị hà

nghiên cứu một số vấn đề về nội dung, phơng

pháp dạy học chủ đề giới hạn và đạo hàm thể hiện

qua sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11

Chuyên ngành: Lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích là nội dung mới và khó đối với lớp học sinh lớp 11 Trớc đó

học sinh đã học nhiều năm về Đại số; nhng Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo

hàm thì các em mới đợc làm quen từ đầu.

T duy các vấn đề thuộc về Giải tích và kỹ thuật giải quyết các bài toánGiải tích có phần khác với Đại số Học sinh chuyển từ sự làm việc trên những

đối tợng hữu hạn sang những đối tợng vô hạn, đòi hỏi trí tởng tợng và t duy

trừu tợng phải phong phú và ở mức độ cao hơn

Sự thay đổi chơng trình và sách giáo khoa môn Toán trong thời gian qua

đã tạo ra sự thiếu ổn định và gây nên những khó khăn cho giáo viên trực tiếpgiảng dạy trên lớp Mặc dù đã có những đợt bồi dỡng thờng xuyên theo chu

kỳ, những đợt tập huấn về chơng trình mới, nhng thực ra vẫn cha đủ để làmcho giáo viên có những cái nhìn sâu sắc về bản chất vấn đề, hình dung rõ

những điểm, lí do và mức độ thay đổi về chơng trình và nội dung sách giáo

khoa Bản lĩnh, trình độ và t duy phê phán của giáo viên nhiều lúc cha thể giúp

họ tự mình vợt qua, tìm lời giải đáp thoả đáng đối với những chỗ còn phânvân, cấn cái

Nhiều kiến thức đã thay đổi cách trình bày, nhng khi giảng dạy, giáoviên vẫn cha kịp cập nhật theo chơng trình mới, vẫn có tình trạng cũ, mới xenkẽ

Đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng hoạt động hoá ngời học cần

đ-ợc tiến hành triển khai trong quá trình dạy về Giới hạn và Đạo hàm ở lớp 11nhằm nâng cao khả năng lĩnh hội kiến thức một cách vững vàng, chủ động chohọc sinh

Giới hạn và Đạo hàm là hai trong số những chủ đề của Giải tích ở trờngphổ thông Mặc dầu có nhiều sự thay đổi về nội dung và chơng trình, đòi hỏi

có những đối chiếu và so sánh; phân tích và bình luận; đề xuất và kiến nghịmột số vấn đề về nội dung và phơng pháp dạy các chủ đề này, nhng đến naycha có công trình nào nghiên cứu đầy đủ vấn đề đó

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn

là: “Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung, phơng pháp dạy học chủ đề

Giới hạn và Đạo hàm thể hiện qua sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp

11”..

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu để tìm hiểu, làm sáng tỏ một số thay đổi và điều chỉnh trong

cách trình bày kiến thức thuộc chủ đề Giới hạn và phần mở đầu Đạo hàm ởcác SGK Đại số và Giải tích 11 những năm gần đây và hiện tại Từ đó, đa ranhững đánh giá và nhận định về những thuận lợi và khó khăn trong việc dạycác kiến thức này, và trên cơ sở đó, đề xuất những cải tiến về nội dung và ph-

ơng pháp dạy học một cách phù hợp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu; phân tích; so sánh, đối chiếu nội dung chủ đề Giới hạn vàphần mở đầu Đạo hàm trong các sách giáo khoa Toán những năm gần đây,nắm bắt quan điểm và dụng ý của tác giả, để:

- Làm sáng tỏ mức độ chính xác, tính trong sáng của ngôn ngữ diễn đạt; tínhvừa sức, tính s phạm, tính hệ thống của cách trình bày

- Thể hiện những nhận định và bình luận trên cơ sở quan điểm của tác giả luậnvăn; đề xuất hoặc kiến nghị những chỗ cần chỉnh lí hoặc hoàn thiện

- Đề xuất một số vấn đề về phơng pháp dạy học vận dụng trong quá trình dạyhọc các chủ đề này

- Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của những

kiến nghị, đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Nếu tiến hành phân tích, so sánh, đối chiếu chủ đề Giới hạn và mở đầu

về Đạo hàm trong sách giáo khoa Toán hiện hành và những năm gần đây, thì

có thể làm sáng tỏ một số điểm cần và có thể điều chỉnh, hoàn thiện về mặt

nội dung; đề xuất đợc những luận điểm phù hợp về phơng pháp dạy học nhằmgóp phần nâng cao hiệu quả dạy học các chủ đề này ở trờng phổ thông

5 Phơng pháp nghiên cứu

Các phơng pháp nghiên cứu đợc sử dụng bao gồm:

5.1 Nghiên cứu lý luận;

5.2 Tìm hiểu, điều tra thực tiễn;

5.3 Thử nghiệm s phạm;

6 Đóng góp của luận văn

6.1.Về mặt lý luận: Xây dựng và thực nghiệm các phơng thức s phạmthích hợp trong dạy học về giải tích chủ đề giới hạn và phần mở đầu của đạohàm

6.2.Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu thamkhảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trờngTHPT.

7 Cấu trúc của luận văn:

Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3

ch-ơng:

- Chơng 1: Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn và phần mở đầu chủ

đề Đạo hàm trong sách giáo khoa Toán THPT

- Chơng 2: Một số vấn đề về phơng pháp dạy học nội dung chủ đề Giới

hạn và phần mở đầu Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11)

- Chơng 3: Thử nghiệm s phạm

Chơng 1

Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn và phần mở đầu chủ đề

Đạo hàm trong sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông

1.1 Chủ đề Giới hạn và mở đầu chủ đề Đạo hàm trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (ban Cơ bản) hiện hành:

1.1.1 Chủ đề Giới hạn:

Đây có thể xem là chủ đề cơ bản nhất và quan trọng của Giải tích vìGiải tích đợc xây dựng trên cơ sở của Lý thuyết Giới hạn Đây cũng là mộttrong những chơng khó của Giải tích ở trờng THPT Các khái niệm Giới hạn là

mới và trừu tợng (định nghĩa dãy số có giới hạn 0, định nghĩa giới hạn của

hàm số, giới hạn vô cực của dãy số và hàm số, …) Cách tiếp cận các khái ).

niệm mới này cũng khác với cách tiếp cận toán học khác trớc đây

Mục tiêu của chơng: chơng này cung cấp cho học sinh kiến thức cơ bản

về lý thuyết giới hạn

Về kiến thức: Làm cho học sinh nắm đợc:

- Định nghĩa dãy số có giới hạn 0;

- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn;

- Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực;

- Định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của hàm số;

- Các định lý và các quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và giớihạn một bên của dãy số và hàm số;

- Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một

đoạn;

- Một số tính chất của hàm số liên tục;

Về kỹ năng:

- Giúp học sinh biết vận dụng linh hoạt các định lý và các quy tắc tìm giớihạn của dãy số và hàm số để từ một số giới hạn đã biết tìm đợc giới hạncủa những dãy số và những hàm số khác

- Biết tìm tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

- Biết chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một

đoạn Biết áp dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục đểchứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phơng trình đơn giản

Cấu tạo của chơng:

Chơng gồm hai phần, dự kiến đợc thực hiện trong 20 tiết, phân phối cụthể nh sau:

A Giới hạn của dãy số (6 tiết)

Đ1 Dãy số có giới hạn 0 (1 tiết)

Đ2 Dãy số có giới hạn hữu hạn (2 tiết)

Đ3 Dãy số có giới hạn vô cực (1 tiết) Luyện tập (2 tiết)

B Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục (11 tiết)

Đ1 Định nghĩa và một số định lý về giới hạn của hàm số (3 tiết)

Đ2 Giới hạn một bên (1 tiết) Luyện tập (1 tiết)

Đ3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực (1 tiết)

Đ4 Các dạng vô định (1 tiết) Luyện tập (1 tiết)

Đ5 Hàm số liên tục (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn tập và kiểm tra chơng (3 tiết)

Cách sắp xếp các bài học và cách trình bày chơng này trong Đại số và

Giải tích 11 có nhiều điểm khác với các SGK và sách Chỉnh lý hợp nhất trớc

đây

- Sách Chỉnh lí hợp nhất đã định nghĩa dãy số có giới hạn (hữu hạn) màkhông định nghĩa dãy số có giới hạn 0.

- Trong SGK này các tác giả đã dành một tiết cho khái niệm dãy số cógiới hạn 0

- Sách chỉnh lí đã đa số dơng  nhỏ tuỳ ý và một số nguyên dơng Nvào trong định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn Sau đó đã áp dụng địnhnghĩa đó để chứng minh 3 kết quả:

- Trong SGK này các tác giả không đa ra các kí hiệu , N vì cho rằng

điều đó sẽ làm rắc rối cho học sinh

Về dãy số dần đến vô cực, sách Chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã giớithiệu dãy số có giới hạn +∞ và -∞ Trong khi SGK mới chỉ giới thiệu dãy số

có giới hạn +∞ và dãy số có giới hạn -∞ mà không đề cập đến dãy số có giớihạn ∞ Vì sao có sự thay đổi này? Điều này sẽ đợc làm rõ trong Đ3 Đây là sựthay đổi lớn trong cách trình bày của SGK mới

- Sau khi định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực và hàm số có giới hạnvô cực, các SGK trớc đây cũng nh sách chỉnh lý hợp nhất đã lu ý học sinhkhông đợc áp dụng các định lý về giới hạn của dãy số và hàm số để tìm giớihạn vô cực của dãy số và hàm số Tuy nhiên học sinh đã không đợc chỉ dẫncách tìm giới hạn vô cực Trong sách chỉnh lý, sau Định lý: “Nếu lim un= 0

(un ≠ 0,nN *) thì  

n u

1 lim Ngợc lại, nếu lim un= thì lim 1 0

3 2 2

3

3 1 2

1 2 1 lim 3

n n n

n

n

n

(vì tử số dần tới 1 và mẫu số dần tới 0)

Dựa vào đâu mà học sinh có kết luận trên? với cách trình bày nh trênchắc là học sinh sẽ gặp khó khăn lúng túng khi giải bài tập tìm giới hạn vôcực

Mục 3 của Đ3 và Đ6 chơng VI của SGK đã giới thiệu một vài quy tắctìm giới hạn vô cực của dãy số và hàm số Đó là cơ sở lý thuyết mà học sinh

có thể vận dụng để tìm giới hạn vô cực của dãy số và hàm số Đây là các điểmmới so với các SGK và sách chỉnh lý hợp nhất trớc đây

* Về định nghĩa Giới hạn của hàm số:

Sách Chỉnh lý hợp nhất năm 2000 đã giới thiệu định nghĩa giới hạncủa hàm số tại một điểm, định nghĩa hàm số có giới hạn vô cực và định nghĩagiới hạn của hàm số tại vô cực rải rác ở các trang 117, 118, 121, 123 xen kẽvới các định lý về giới hạn hữu hạn Cách trình bày này có phần tản mạn, thiếutập trung Ta biết rằng có hai định nghĩa giới hạn của hàm số: định nghĩa Côsi

và định nghĩa Hainơ, hai định nghĩa này là tơng đơng Các định nghĩa trongSGK và sách chỉnh lý hợp nhất cũng nh SGK này đều đợc cho dới dạng Hainơ.Trong chơng trình mới điều này là bắt buộc Nếu các định nghĩa giới hạn củahàm số cho dới dạng Côsi thì cách trình bày trong sách chỉnh lý hợp nhất là cóthể chấp nhận đợc Song dới dạng Hainơ, giới hạn của hàm số tại một điểm,tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số đều đợc định nghĩa thông qua giớihạn của dãy số Các định nghĩa đợc xây dựng hoàn toàn tơng tự Vì vậy SGKnày chỉ nêu một vài định nghĩa các trờng hợp còn lại đợc giao cho học sinh tựxây dựng và phát biểu

Cách trình bày này không những tiết kiệm đợc thời gian và tránh đợc sựnhàm chán khi phải nhắc đi nhắc lại các định nghĩa đợc xây dựng theo cùngmột cách trong các tiết học khác nhau mà còn hợp lí vì rằng các định lí về giớihạn của hàm số đúng cho cả trờng hợp giới hạn tại một điểm lẫn giới hạn vôcực của hàm số(và đúng cho cả trờng hợp giới hạn một bên của hàm số)

* Về các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn:

Khi đề cập đến các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn, hầu hếtcác SGK Toán ở cấp THPT đều giới thiệu định lý Bônxanô - Côsi (Bolzano -Cauchy), tức là định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục Một số ít SGKcòn giới thiệu thêm một định lí quan trọng nữa, đó là định lí Vâyơxtrát(Weierstrass):

Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì:

a Hàm số bị chặn trên [a; b]

b Hàm số đạt đợc giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn này

Sách Chỉnh lí hợp nhất đã giới thiệu cả hai định lí, đã nêu và gộp chúngtrong Định lí 3 (trang 135) Đây là lần đầu học sinh làm quen với hai định líquan trọng này Nên phát biểu chúng riêng rẽ, nh vậy học sinh dễ tiếp thu hơn

Hệ quả của định lí 3 ở trang 136 của sách Chỉnh lí hợp nhất thật ra chỉ là hệquả của Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục

SGK này đã không đề cập đến định lí Vâyơxtrát, lí do đơn giản: cáchàm số liên tục hay gặp thờng có đạo hàm trên một khoảng, có thể trừ ra một

số hữu hạn điểm Lập bảng biến thiên của hàm số trên một khoảng hay đoạn

đợc xét, có thể tìm đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm sốtrên khoảng hoặc đoạn đó

1.1.2 Chủ đề Đạo hàm

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải tích

Nó là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số Nhờ khái niệm

đạo hàm, ta có thể nghiên cứu: tính đơn điệu của hàm số, vấn đề cực trị củahàm số, các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số, … điều này giúp điều này giúpích rất nhiều cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Đạo hàm cũng là mộtcông cụ hữu hiệu để giải quyết một số bài toán quan trọng trong nhiều lĩnhvực khoa học (Cơ học, Điện học, Hoá học, … điều này giúp)

Mục tiêu của chơng:

Về kĩ năng: Học sinh cần đạt đợc các yêu cầu sau

- Tính đợc đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa đối với một

số hàm số đơn giản;

- Vận dụng tốt các quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thơng các hàm

số và cách tính đạo hàm của hàm số hợp;

- Biết cách tính đạo hàm cấp cao của một số hàm thờng gặp;

- Biết các ứng dụng của đạo hàm và vi phân để giải một số bài toán về tiếp tuyến, vận tốc,… điều này giúp

Cấu tạo của chơng: Gồm 5 bài, dự kiến thực hiện trong 16 tiết, cụ thể:

Đ1 Khái niệm đạo hàm (3 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ2 Các quy tắc tính đạo hàm (3 tiết) Luyện tập (1 tiết)

Đ3 Đạo hàm của các hàm số lợng giác (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ4 Vi phân (1 tiết) Đ5 Đạo hàm cấp cao (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn tập và kiểm tra chơng (2 tiết)

* Những điểm mới về cấu trúc và thời lợng:

Trong chơng trình, SGK Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung phầnGiải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm đợc dành 46 tiết và đợc phân bốvào 2 chơng đầu của lớp 12:

Chơng I: Đạo hàm (20 tiết)

Chơng II: ứng dụng của đạo hàm (26 tiết)

Trong chơng trình đổi mới này, nội dung trên của SGK nâng cao đợcchia thành 3 mảng nội dung và đợc phân bố vào 2 năm học: Đạo hàm (cuốilớp 11, tiếp nối ngay với chơng giới hạn trớc đó), ứng dụng của đạo hàm đầulớp 12 và công thức tìm đạo hàm của các hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm

số luỹ thừa (xen kẽ vào nội dung của chơng tiếp theo ở lớp 12)

Đạo hàm trình bày ở chơng V- Chơng cuối của năm học lớp 11 Điều

Về mục câu hỏi và bài tập sau mỗi bài, SGK đã cố gắng cải tiến theo ớng:

h-Bớt những bài tập phải tính toán cồng kềnh, những bài tập áp dụng quytắc tính đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian, những bài tậptính Đạo hàm của các hàm số cho bởi nhiều biểu thức Giải tích

- Đa dạng hoá các bài tập: cụ thể có nhiều câu hỏi và bài tập có hình

ảnh hình học, nhiều bài tập ôn tập đợc những kiến thức mà học sinh đã học ởlớp 10 và đầu lớp 11 nhiều bài tập áp dụng thực tế

* Những điểm mới về nội dung:

Để thực hiện những định hớng về đổi mới nội dung và PPDH môn Toántheo tinh thần phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh SGK Đại số vàGiải tích lớp 11 nâng cao đã có những thay đổi sau:

- Đổi mới phơng pháp trình bày một số khái niệm nh: thay đổi địnhnghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp,

- Giảm một số kiến thức khó nh: Đạo hàm một phía, đạo hàm trên đoạn,quan hệ giữa đạo hàm và liên tục, Bớt chứng minh một số định lí

- Tăng cờng luyện tập tại lớp, thêm một số bài tập về nhà (nhng các bàitập này thờng là dễ) bỏ hẳn những bài toán phức tạp hoặc những bài toán khó.Chẳng hạn: Bớt đi những bài toàn tính theo định nghĩa Đạo hàm của hàm sốcho bởi hai hay nhiều biểu thức, đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm sốtrung gian

- Thêm một số bài toán ứng dụng thực tế, bài toán có hình ảnh hình học,bài toán tổng hợp (mà không khó) ôn tập đợc nhiều kiến thức đã học ở lớp 10

và lớp 11

Ví dụ: Đ3 Đạo hàm của các hàm số lợng giác

Trớc khi phát biểu Định lí 1, nên yêu cầu học sinh xem (mà không tính

toán) bảng giá trị của

Định lí: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0; các hàm số g1, f và

g2 cùng xác định trên D = (a; b)\{x0} sao cho g1(x)  f(x)  g2(x) với mọi x

thuộc D Khi đó, nếu g x g x L

x x x

2 sin lim 2

x

x

Đó chỉ là một trờng hợp riêng của định lí: “Nếu hàm số u = u(x) thoả

mãn các điều kiện: u(x) 0 với mọi x  x0 và lim ( ) 0

) ( sin lim

0



 u x

x u x x

Có thể chứng minh phần b) của định lí 2 nh sau:

Hàm số y = g(x) = sin(u(x)) có thể xem là hàm số hợp của hàm số f(u)

= sinu và hàm số trung gian u = u(x) chú ý rằng f ‘(u) = (sinu)’ = cosu

áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta đợc:

y’ = g’(x) = f’[u(x)].u’(x) = [cos u(x)].u’(x), chứng minh tơng tự cho phần b) của các định lí 3, 4 và 5

* Một số vấn đề lu ý khi dạy khái niệm Giới hạn vô cực

Định nghĩa khái niệm Giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực vàgiới hạn vô cực của hàm số đều đợc định nghĩa thông qua Giới hạn của dãy

số, nên khái niệm Giới hạn vô cực của dãy số (ở đây coi vai trò của n là x tức:

x  (-, a+, a-) hoàn toàn tơng tự, nên khi đã nắm vững bản chất về Giới hạn

vô cực của dãy số, thì sẽ là bớc đệm để học tốt về Giới hạn vô cực của hàm số.

Chính vì vậy, khi dạy học về các khái niệm Giới hạn nói chung, khái niệm

Giới hạn vô cực của dãy số nói riêng, ta quan tâm đến các vấn đề:

a Khi dạy học về khái niệm Giới hạn của dãy số

Ta phải định nghĩa phân biệt rõ ràng giới hạn dơng vô cực (+) và âm

vô cực (-) chứ không định nghĩa giới hạn vô cực () ở dạng chung chung:

+) ''Dãy số un đợc gọi là có giới hạn + khi n dần tới dơng vô cực nếuvới mỗi số dơng M tồn tại số nguyên dơng n0 sao cho: un > M,  n > n0.

Kí hiệu: nlimun = +''

+) ''Dãy số un đợc gọi là có giới hạn - khi n dần tới dơng vô cực nếuvới mỗi số dơng M tồn tại số nguyên dơng n0 sao cho: un < - M, n > n0,

Kí hiệu: nlim(un ) = -''

+) Hoặc để đơn giản và làm rõ mối quan hệ giữa hai khái niệm ()

ta xem định nghĩa dãy số un có giới hạn - thông qua + nh sau: ''Dãy số

un đợc gọi là có giới hạn - nếu nlim(-un ) = +”

b Về kí hiệu: +, - có thể xem nh là Giới hạn của dãy số

Qua ví dụ này ta thấy, với ''một số thực rất lớn'' là nói đến một số cụ thể

ở “trạng thái tĩnh tại, cố định'' Còn bản chất của + và - không phải lànhững số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của + tức

là khoảng (a, +) và lân cận của - là khoảng (-; a) với a R, do

đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng, nhng

kết quả giới hạn (nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn (0, hằng số

L 0) hoặc Giới hạn vô cực ( ), nên ta có thể xem kí hiệu + và - nh

là giới hạn của dãy số Thực ra, có thể định nghĩa đợc các giới hạn vô cực +

 và

-, nhng định nghĩa này khác hẳn về bản chất so với định nghĩa của giới hạnhữu hạn Nh vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa haikhái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổicác phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu nh:

0

1

=  ?; (+) - (+) = 0 ?; 0  = 0 ?

c Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn hoặc vô cực ( )

Ví dụ: Dãy số un = (-1)n không có giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

d Khi tìm giới hạn của dãy số:

Ta sẽ gặp một số trờng hợp đặc biệt, mà khi đó các qui tắc thông thờng và các

định lý về giới hạn hữu hạn không cho phép xác định đợc giới hạn của các dãy số là

có hay không và nếu có thì bằng bao nhiêu đấy chính là các dạng vô định của dãy số.

0

0:

u

=xlim(

n

1) =0

+) Với: un=

n

1, vn =

n

1, mà

0, hay , hoặc không tồn tại

Vậy các trờng hợp tổng quát về dạng vô định (

e Khi thực hiện các phép toán về giới hạn vô cực của dãy số:

Lúc này không áp dụng đợc các định về giới hạn hữu hạn của dãy số để tìm giới hạn các dãy số này, nhng SGK thì không hớng dẫn cách thực hiện các phép

7 2 9 lim 3

3

7 2 9 lim

3 2

3 2

n

n n

n

n n

n n

(?) Có phải tử số dần tới 9 và mẫu số dần về 0, nên phân thức dần về 

?

(?) Dựa vào đâu mà có kết luận nh trên ?

Với cách trình bày nh trên chắc chắn học sinh sẽ gặp khó khăn và lúngtúng khi giải các bài toán liên quan đến tìm giới hạn vô cực của dãy số

Vì vậy, nên ta phải xét đến các định lý về mối liên hệ giữa: Giới hạn

hữu hạn (0; L 0) với giới hạn vô cực () Chúng là cơ sở cho việc tìm

giới hạn: '' tổng, hiệu, tích, thơng '' của các dãy số dạng này

; ,

) ( , lim

0

0 n N n

n u u v u n n n

n n

);

( , ) (

) ( , lim

thì nlim (un+vn) = +,(- )

lim

v v v u

n n

n n

lim

v v v u

n n

n n

1 = 0 

N n v

v u u u

n n n

n

n n

, 0

; 0

, 0

; 0 lim

0 0 lim

n n

v

u u

u

= 0

(Theo qui tắc tích dấu định lý 6).

* Trên cơ sở đó, ta xây dựng qui tắc về các phép toán giới hạn vô cực



nlim u  n v n =





nlim u n -





nlim  v n Kết quả đợc thể hiện ở bảng 2 nh sau:

nlim u n





nlim  v n

- 0 L 0 +

-  (-)

(vô định) +  +  + 

0 -  0 L 0 +

L' 0 -  - L' 0 L - L' +

+ -  - - (-)

(vô định) * Qui tắc 3: Sử dụng với phép toán:   nlim u n v n =   nlim  u n   nlim  v n

Kết quả đợc thể hiện ở bảng 3 nh sau: nlim u n   nlim  v n -  0 L 0 + L<0 L >0 -  + (vô định)(0.) + -  -  0 (0.) (vô định) 0 0 (0.) (vô định) L' 0 L'<0 +  0 L L' -  L'>0 -  + + -  (vô định)(0.) -  + + * Qui tắc 4 Sử dụng với phép toán:   nlim       n n v u =     n n n n v u lim lim Kết quả đợc thể hiện ở bảng 4 nh sau:

Qua việc thiết lập 4 bảng này ta thấy, nếu chỉ xem giới hạn vô cực kiểu

chung chung là  thì sẽ không có kết quả ở các dòng và cột chia nhỏ của

4 bảng trên (mỗi bảng gồm 5 cột và 5 dòng chính) Ngoài ra, ở bảng 4 và

bảng 5 sẽ không có kết quả - và + mà chỉ là , đây cũng chính là nhữngkhó khăn và sai lầm gây thắc mắc cho học sinh trong quá trình giải toán vềtìm giới hạn nói chung, giới hạn vô cực nói riêng, nhất là trong việc khảo sáthàm số

1.2 Chủ đề Giới hạn, Đạo hàm trong chơng trình 11 Nâng cao và chơng trình 11, 12 Chỉnh lí hợp nhất

1.2.1 Trong SGK do Đoàn Quỳnh Tổng chủ biên

Trớc hết, thông qua ví dụ cụ thể điển hình, bằng việc tổ chức cho họcsinh biểu diễn dãy số và nhận xét khoảng cách từ điểm U n đến tọa độ 0 Quathao tác s phạm, giáo viên hớng dẫn học sinh làm sao nêu bật lên đợc mặtlôgic của khái niệm Giới hạn 0, một cách trực quan nhất, lúc này cả ba mặt''trực giác số'', ''trực giác hình học'' và ''suy luận'' đều đợc đề cập nhằm hìnhthành ở học sinh biểu tợng ban đầu về khái niệm Giới hạn 0 của dãy số Tuynhiên, mặt ''suy luận'' chỉ đợc đề cập có mức độ Vậy muốn đi đến khái niệmGiới hạn 0, học sinh lại cần hiểu đợc mệnh đề tổng quát ''U n nhỏ hơn một số d-

ơng bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi'' Sau đó thông báo rằng với đặc trng

này dãy (U n) đợc gọi là có giới hạn 0 khi n  +

Mệnh đề nêu trên chỉ dừng ở mức độ ''U n nhỏ hơn '', chứ cha phải là ''

n

U nhỏ hơn '' Tuy nhiên, với dãy số này, học sinh có thể có quan niệm sai

lệch rằng: ''nếu dãy ( U n ) có giới hạn là 0, thì U n phải là dãy đơn điệu và dần tới 0

chỉ từ một phía, thậm chí ( U n ) phải dơng'' Nhng dãy ( U n) có thể là dãy không

đơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hay từ bên phải, hoặc từ cả hai phía.Mục đích chủ yếu vẫn là giúp học sinh hiểu một cách trực giác khái niệm Giớihạn 0, do đó mô tả đặc trng của dãy số này trên cả hai phơng diện ''trực giácsố'' và ''trực giác hình học'' Để khắc phục khuyết điểm này và cũng cố biểu t-ợng ban đầu về Giới hạn 0, nên xét ví dụ dãy đan dấu:

n u

n n

) 1 ( lim 





 = 0

n n

hạng nào đó trở đi'' có thể còn mơ hồ đối với học sinh, vì thế ta phải cho cụ

Việc trình bày hỗn hợp ''trực giác - suy luận'' nh vậy cho phép đảm bảo

đợc cả tính s phạm và tính chặt chẽ toán học trong việc khẳng định tính chấtcơ bản của dãy số đã cho Giới hạn L 0 đợc định nghĩa qua khái niệm Giới

hạn 0 và theo con đờng suy diễn (nghĩa là phát biểu ngay định nghĩa, sau đó trình

bày ví dụ củng cố).

Vấn đề là đa vào khái niệm Giới hạn qua “mô tả” mà không trình bày

định nghĩa chính xác, nên khó có thể lột tả đợc bản chất khái niệm, trên tinhthần đó trong SGK mới, khái niệm Giới hạn 0 và Giới hạn + đợc đa vào

theo con đờng qui nạp Cụ thể qua các hoạt động và ví dụ, khái niệm đợc “mô

tả” nhờ vào các ghi nhận "trực giác số" và ''trực giác hình học" với “ suy

luận” Còn các khái niệm Giới hạn L 0 và Giới hạn - đợc định nghĩa quacác Giới hạn 0 và Giới hạn +

Ngoài ra, SGK còn cho một số kết quả của giới hạn cơ bản đặc biệt, để học sinh sử dụng kết quả đó làm cơ sở chứng minh những bài toán về giới

hạn (mà theo nh cách 2, của bớc 1 là đối với loại toán này ta không có cách

giải, mà chỉ có cách là công nhận các kết quả và định lý về giới hạn)

1.2.2 Trong SGK do Trần Văn Hạo và Ngô Thúc Lanh chủ biên năm 2000:

Đối với SGK Đại số và Giải tích 11, định nghĩa hàm số liên tục tại một

điểm tơng tự nh SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000

''Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (c; b) Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục tại điểm a(c; b) nếu limx a f(x) = f(a)''.

Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x = a thì gọi là gián đoạn tại điểm x

= a, tuy nhiên sau đó sách đã đa ra chú ý:

"Nh vậy một hàm số f(x) là liên tục tại điểm x = a nếu và chỉ nếu 3 điều kiện

sau đợc thỏa mãn đồng thời:

i) f(x) xác định tại x=a;

ii) limx a f(x) tồn tại;

iii) limx a f(x) = f(a)

Một hàm số là gián đoạn tại x = a khi và chỉ khi một trong ba điều kiện không

đợc thỏa mãn "

tục - gián đoạn của hàm số tại một điểm

Qua phân tích trên ta thấy, có những quan điểm và sự không thống nhất

về các khái niệm chủ đề Giới hạn, do đó sẽ khó khăn cho học sinh trong hiểu

và nắm vững kiến thức, dẫn tới khó khăn và sai lầm trong ứng dụng vào bàitập

1.2.3 Về mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số

1.2.3.1 Một số vấn đề về giới hạn vô cực của dãy số

lim với q < 1 đều không tồn tại

Cũng có một số quan điểm coi rằng tơng tự nh số tự nhiên +7 và +8

đ-ợc viết cho gọn là 7 và 8 nên cũng có thể xem kí hiệu  đợc dùng để chỉ +

, nh vậy việc dùng kí hiệu  để chỉ đại lợng vô cùng lớn nh vậy có thể gâynhầm lẫn

1.2.3.2 Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số

+ Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số ra vô cực (f(x)   ); giới

hạn tại vô cực (x  ) để ứng dụng khảo sát nh tìm tiệm cận của hàm số

Nh SGK Đại số và Giải tích 11 (Đoàn Quỳnh Tổng chủ biên) đã phân biệt cácgiới hạn tại  và tại  , cũng nh các giới hạn  và   Điều đó dẫn

đến những khác biệt ở Giải tích 12 (SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000) khi xéttiệm cận

Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang (SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000)

thờng chỉ phải tìm một giới hạn xlim f x , nay ta phải xét cả hai giới hạn 

 0

lim

x x

ơng tự đối với tiệm cận xiên Cũng nh vậy, khi xét tiệm cận đứng, phải xét tất

cả các điểm x0 sao cho một trong các giới hạn 

Ví dụ: Tính: lim1  1

 x

x

Ta có tập xác định D = [1; +) Nên x phải lấy các giá trị lớn hơn hoặc

bằng 1, rõ ràng x không thể dần đến 1 từ phía bên trái, tức lim 1

Ví dụ: Tính:

x x

1 lim

0



Lúc này ta phải phân biệt ra:

x x

1 lim

0 

 = -  và

x x

1 lim

0 

 = +, vậy:

x x

1 lim

0



giới hạn này không tồn tại ở ví dụ này thì ta thấy:

+ Điểm a = 0 là điểm “giáp ranh” cho nên khi x  0  , tức là các dãy xnmang giá trị âm; còn khi x  0  tức là các dãy xn mang giá trị dơng;

+ Điểm a  0 các dãy xn a, (a 0) thì ta thấy rằng dù cho x  a+ hay

x  a- thì các dãy xn không đổi dấu

Tóm lại, trong nhiều trờng hợp cần phân biệt: giới hạn hàm số khi x 

a hoặc cả hai phía x  a+ hay x  a-

b Mối quan hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn tại vô cực của hàm số f(x):

f x

a x

1 1 lim

1 1 1

1 1 lim 1

1 1

x x x x

x x x x

x x

Trong SGK năm 2000, nội dung phần Giải tích liên quan đến khái niệm

đạo hàm đợc giành 46 tiết và phân bố trong hai chơng đầu của lớp 12:

Chơng I: Đạo hàm (20 tiết)

Chơng II: ứng dụng của đạo hàm (26 tiết)

Nh vậy, thời gian dành để dạy hai chơng này trong SGK 2000 đã chiếmquá nửa thời lợng của cả năm học môn giải tích ở lớp 12 (Cụ thể chiếm đến56%)

*SGK Giải tích năm 2000 đã định nghĩa: “Nếu cát tuyến M0M có vị trígiới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần đến điểm M0 thì đờngthẳng M0T đợc gọi là tiếp tuyến của đờng cong (C) tại M0”

Định nghĩa này tuy có vẻ trực giác nhng lại rất mơ hồ, bởi lẽ ta cha có khái

niệm về vị trí giới hạn của một đờng thẳng khi một điểm chuyển động đến

một vị trí nào đó Trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao, các tác giả đã

cố gắng làm rõ hơn khái niệm “vị trí giới hạn của cát tuyến M 0 M của một

khái niệm giới hạn mà học sinh dã đợc học ở chơng IV Cụ thể, “vị trí giới

đ-ờng thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc là k0 = x x k M

M 0

lim

 , trong đó kM là hệ

số góc của cát tuyến M0M

Từ đó, ta định nghĩa rằng M0T là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0

* Theo định nghĩa đó, điều kiện cần và đủ để đờng cong (C) có tiếp

tuyến tại điểm M0 là sự tồn tại của giới hạn x x k M

x x

x f x f M

x x

x f x f M

M



 , tức là sự tồn tại của đạo hàm f’(x0)

Nh vậy, hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x0) tại x0 khi và chỉ khi đồ thịhàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm M0(x0; f(x0))

* Nếu tại điểm x0 hàm số f không có đạo hàm thì đơng nhiên ta sẽkhông xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (x0; f(x0))

Chẳng hạn, không xét tiếp tuyến của đồ thị các hàm số y= 3 x và y =

x

sin tại điểm (0; 0) (vì hàm số này không có đạo hàm tại điểm (0; 0))

1.3 Chủ đề Giới hạn và Đạo hàm trong sách giáo khoa Cải cách 1.3.1 Các cách tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số“ ”

1.3.1.1 Cách 1: Của nhóm tác giả do Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1995 theo ngôn ngữ '' , N( )''

Con đờng đi tới định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số là qui nạp, từ

việc mô tả: ''Khi n càng lớn thì U n càng bé và bé bao nhiêu cũng đợc'', đợc chuyển

qua ngôn ngữ " , N( )" bằng cách chọn miền giá trị  cụ thể để tiến tớikhái quát hóa cho mọi  : ''Ta nói rằng dãy số thực ( U n ; n = 1, 2, 3, …) ) có giới hạn là L (LR), khi n  + nếu với mọi số dơng  cho trớc (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên N( ) sao cho với mọi n > N( ) thì U n  L < .

Kí hiệu nlimU n = L''.

Định nghĩa này khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lần

đầu tiên học sinh tiếp cận với ký hiệu của Hy Lạp là  Học sinh khá thì thắcmắc tại sao nói là ''với mọi số dơng  cho trớc'' còn sử dụng cụm từ ''nhỏ baonhiêu tùy ý '' để làm gì ? Thực ra, nếu không có lời giải thích đó các em sẽ ít

chú trọng đến tính chất ''vô cùng bé'', (đây là đặc trng của Giải tích) mà các em

chỉ nghĩ đến giá trị cố định  , thì t duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rời rạc’', ''hữuhạn'' của Đại số Lời giải thích này hớng vào kiểu t duy ''biến thiên'', ''liêntục'', ''vô hạn'' của lĩnh vực Giải tích

1.3.1.2 Cách 2: Của nhóm tác giả do Phan Đức Chính chủ biên năm 1999 theo ngôn ngữ mô tả “ ”

Khái niệm giới hạn dãy số đợc định nghĩa dới dạng “mô tả” bằng ngôn ngữ thông thờng, đa vào từng bớc để giảm nhẹ mức độ trừu tợng của nó.

+) B ớc1 : Định nghĩa ''Giới hạn 0 của dãy số” là: ''dãy số ( U n ; n = 1,2,3, ) gọi là dần về 0 hay có giới hạn 0 khi n

lớn) tức là có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn đợc n đủ lớn Kí hiệu nlim U n

= 0 hoặc U n  0 khi n  +''

Định nghĩa này cha đảm bảo tính chính xác của một định nghĩa khái

niệm, nhng vì tính chất “mô tả” nên học sinh không bị choáng ngợp, vì vậy giúp học sinh bớc đầu hình thành khái niệm Giới hạn 0 của dãy số Tuy nhiên

với cách định nghĩa này, học sinh không thể dùng định nghĩa để chứng minh một dãy

có Giới hạn 0 và làm các bài toán về chứng minh Giới hạn bằng định nghĩa, mà học sinh chỉ có mỗi một con đờng là công nhận tất cả các Giới hạn cơ bản, cũng nh các

định lý về Giới hạn

+) B ớc 2 : Định nghĩa “Giới hạn L  0 của dãy số U n” là: ''Ta nói rằngdãy số thực (U n; n = 1,2,3,… điều này giúp) có giới hạn là L (LR), khi n  + nếu vớimọi số dơng  cho trớc (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên N( ), sao cho vớimọi n > N( ) thì U n  L < Kí hiệu nlimU n = L''.

Qua sự phân tích trên ta thấy cần có sự thống nhất giữa các quan điểm

để học sinh lĩnh hội đợc các khái niệm, ngoài ra đảm bảo tính vừa sức, tínhlôgic đúng đắn, từ đó giúp học sinh có sự nhận thức rõ ràng và sâu sắc hơn.Chính vì vậy, mà chơng trình cải cách SGK lần này đã quán triệt tinh thần đó,

của nhóm tác giả Phan Đức Chính.

1.3.2 Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số“ ”

ở Phổ thông trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 khái niệm Giới

hạn hàm số đợc các tác giả trình bày theo hai ngôn ngữ khác nhau là: ''dãy'' và

'' , ''

1.3.2.1 Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1995 theo ngôn ngữ '' , ''

Định nghĩa khái niệm Giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ '' , '' là: ''

Ta nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi x dần tới a (hoặc có giới hạn L khi x  a) nếu mọi số dơng cho trớc (nhỏ bao nhiêu tùy ý), ta có thể tìm đợc một số dơng 

sao cho khi 0 < x  a < thì f(x)  L < Kí hiệu limx a f x = L"

Cách phát biểu này đảm bảo về tính chính xác và tổng quát, tuy nhiênlại không đảm bảo về tính vừa sức đối với học sinh vì ngôn ngữ khá trừu tợng

và khó tiếp thu Nhất là đối với loại bài tập dùng định nghĩa để chứng minhgiới hạn của hàm số học sinh phải có bớc dự đoán kết quả rồi áp dụng địnhnghĩa để chứng minh và việc tìm số  theo  quả là không hề đơn giản

1.3.2.2 Cách 2: Của nhóm tác giả do Phan Đức Chính chủ biên và một số SGK của các nhóm tác giả khác theo ngôn ngữ ''dãy''

Trình bày theo ngôn ngữ ''dãy'' các cách phát biểu có thể khác nhau

nh-ng nhìn chunh-ng đều cơ bản đảm bảo tính chính xác về khoa học và cũnh-ng khônh-ngkém phần trừu tợng hơn so với ngôn ngữ '' , '' Tuy nhiên nó dựa trên khái

niệm dãy số đã đợc định nghĩa trớc đó cùng với sự “mô tả” đã làm cho học

sinh dễ tiếp nhận hơn, bởi tính kế thừa của nhận thức Tức từ khái niệm Giớihạn dãy số có thể chuyển qua Giới hạn hàm số bằng cách chọn định nghĩa quaGiới hạn dãy số Cụ thể định nghĩa ''Giới hạn hàm số'' trong SGK có thể phátbiểu ở các dạng sau:

a Dạng 1: f(x) xác định trên tập hợp số thực D bất kỳ, trong quá trình

x  a chỉ yêu cầu x  a, với xD mà không yêu cầu x  a (nghĩa là có thể

a

x

limx = a hoặc x  a) Dạng này đợc trình bày SGK Đại số & Giải tích lớp 11

(1996) của nhóm tác giả do Phan Đức Chính chủ biên, có thể phát biểu nh sau:

”.Ta nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi x dần tới a (hoặc f(x) có giới hạn bằng L

khi x dần đến a) nếu với mọi dãy số (x n )  D và (x n )  a thì dãy các giá trị tơng ứng (f(x n ))  L Ta viết limx a f(x) = L hay f(x n )  L khi x  a ”.

b Dạng 2: f(x) xác định trên tập hợp số thực D bất kỳ, trong quá trình

x  a chỉ yêu cầu với x  D và yêu cầu x  a Dạng này đợc trình bày trong

SGK chỉnh hợp nhất năm 2000 của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo & Ngô Thúc

Lanh chủ biên, có thể phát biểu nh sau: ''Ta nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi

x dần tới a (hoặc f(x) có giới hạn bằng L khi x dần tới a) nếu mọi dãy số (x n )  D với

(x n ) a và (x n )  a thì dãy các giá trị tơng ứng (f(x n ))  L Ta viết limx a f(x) = L hay

f(x n )  L khi x  a ”

c Dạng 3: f(x) xác định trong một lân cận nào đó của điểm a trừ điểm

a và trong quá trình x  a yêu cầu x  a Dạng này định nghĩa bằng ngôn ngữdãy đợc trình bày trong SGK Giải tích 12 ban khoa học kỹ thuật (1995) của

nhóm tác giả do Phan Đức Chính chủ biên, có thể phát biểu nh sau: "Giả sử a

 (c; b), (-< c  b <+) và hàm số f(x) xác định trên tập hợp (c; b)\{a} Ta nói rằng hàm số có giới hạn là L khi x dần đến a và viết:

a

x

limf(x) = L hay f(x)  L khi x  a, nếu với mọi dãy số thực bất kỳ

(x n )(c; b) \{a} sao cho

+ Thứ nhất: Trong vấn đề chọn dãy (xn)  a Ta thấy, ở dạng 1 không

yêu cầu dãy (xn)  a nhng ở dạng 2 và dạng 3 yêu cầu dãy (xn)  a, ta thấy

đây là điều kiện cần thiết bởi vì ta có thể minh chứng rõ nét qua phản ví dụsau:

; sin )

(

x x x x

2

; 1





n

n n

0

; 1 )

(

x x

x x

x f

2

; 1





n n v

n n u

n n

Do

n

u n 1> 0 nên ( )  1  1

n u



x f(x) và giá trị f(0) của hàm số

Mặt khác, đa số bài toán tìm giới hạn lim f(x) khi x dần tới a bằng định nghĩa

đều rơi vào trờng hợp f(x) không xác định tại x =a khi đó với mọi dãy (x n ) thoả mãn:

(x n )  D, (x n )  a là để f(x n ) xác định trên D

+ Thứ hai: Có sự khác nhau đối với mức độ yêu cầu của hàm y = f(x)

có giới hạn khi x  a Đó là, về tập xác định của hàm số f(x), (SGK chỉnh lí

hợp nhất năm 2000) ở dạng 2, đã trình bày là không chỉ rõ yêu cầu của f(x) xác

định trong một lân cận nào đó của điểm a Nhng ở dạng 3, lại yêu cầu f(x) xác

định trong một lân cận nào đó của a và có thể không xác định tại điểm a, taminh chứng qua ví dụ sau:

Ví dụ: Tính: lim2





x x 2

Tìm giới hạn của hàm số f(x) = x 2 khi x  -2.Ta thấy tập xác địnhcủa hàm số này là D =  2 ;  Theo dạng ba thì cần một lân cận của -2,

nhng ở đây f(x) lại không xác định trong một lân cận của -2 Do đó không thểtồn tại giới hạn của f(x) khi x  -2

Ngợc lại, theo dạng hai không yêu cầu lân cận cho nên ta chọn dãy bất

kỳ (xn)  -2+ và (xn)  -2 thì ta có ngay giới hạn xlim2f(x) = 0

Với định nghĩa khái niệm nh ở dạng ba, học sinh chỉ có câu trả lời là

đúng trong trờng hợp hàm số xác định trong khoảng chứa điểm a, còn trờnghợp hàm số xác định trong đoạn có đầu mút điểm a thì không giải đợc Tuy

nhiên trong định nghĩa ở dạng 2, khiến cho học sinh đồng nhất ngoại diên của

khái niệm tại một điểm của hàm số với ngoại diên khái niệm một phía củahàm số tại a Thực tế thì giới hạn một phía chỉ là một phần trong khái niệmgiới hạn hàm số, có nghĩa là có ngoại diên nhỏ hơn Do đó để phân biệt ngoạidiên của hai khái niệm giới hạn hàm số và giới hạn một phía, cần cho học sinhxét các ví dụ cụ thể dới dạng bài tập

1

; 1

2

x x

x x

Điều quan trọng lu ý, khi dạy học chủ đề Giới hạn là làm sao cho học

sinh hiểu rõ bản chất, lĩnh hội đợc nội dung và ý nghĩa của khái niệm, nắm

đ-ợc tinh thần cơ bản để từ đó có kỹ năng vận dụng vào giải toán Nếu dạy phần

lý thuyết quá trừu tợng thì học sinh không những không nắm đợc kiến thức màcòn khó có thể học tốt đợc những nội dung còn lại của Giải tích

1.3.3 Các cách định nghĩa sự liên tục - gián đoạn hàm số tại một

điểm

Có nhiều điểm khác nhau về định nghĩa ''hàm số liên tục tại một điểm'' ở

trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 của các nhóm tác giả trên, từ đó có

nhiều quan điểm về ''điểm gián đoạn'' Ta nhìn nhận điểm khác nhau đó:

1.3.3.1 Cách1: Của nhóm tác giả do Ngô Thúc Lanh chủ biên năm

1995

Đối với SGK Đại số và Giải tích 11 (chỉnh lý hợp nhất 2000) lại đa ra định

nghĩa hàm số liên tục tại một điểm nh sau:

''Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (c; b) Hàm số f(x) đợc gọi là liên

tục tại điểm a  (c; b ) nếu limx a f(x) = f(a)''.

Nếu tại điểm x = a, hàm số không liên tục thì nó đợc gọi là gián đoạntại điểm x = a Theo sách này, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x = a nếu xảy ramột trong hai điều kiện:

i) Không tồn tại limx a f(x);

ii) Tồn tại limx a f(x) nhng

a x

lim (x)  f(a).

Nh vậy, nếu tại điểm x = a hàm số không xác định thì ta không xét tínhliên tục cũng nh tính gián đoạn tại điểm đó Điều này cũng đợc khẳng định

trong hớng dẫn giảng dạy toán 11 là: "Ta không đặt vấn đề xét tính liên tục hay

gián đoạn của các điểm không thuộc tập xác định của hàm số ".

Nhng đến phần bài tập, ngay từ bài tập 1 đã đa ra yêu cầu: xét xem các

hàm số sau đây có liên tục tại mọi điểm của x không ? nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm không liên tục đó ?

Trong đó có xét hàm số y=

x x

x x

2

6 5

2 2





 ; câu trả lời đợc cho trong sách

bài tập Đại số và Giải tích 11 là: Hàm này không liên tục tại x = 0; x = 2 Rõ ràng

hai giá trị 0 và 2, không thuộc tập xác định của hàm số đã cho Nh vậy, theohớng dẫn trên thì ta không xét tính liên tục hay gián đoạn của hàm số tại 2

điểm này Câu trả lời nh vậy là có mâu thuẫn giữa phần lý thuyết và phần bàitập

1.3.3.2 Cách 2: Sách của nhóm tác giả do Phan Đức Chính chủ biên

Đối với SGK Đại số và Giải tích 11, Ban khoa học tự nhiên (1996) và SGK

Đại số và Giải tích 11 (1996), đa ra định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm:

'' Hàm số y = f (x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu:

i) f(x) xác định tại x = a;

ii) limx a f(x) = f(a)''.

Cách phát biểu này có u điểm là làm rõ các thuộc tính bản chất của kháiniệm hàm số liện tục tại một điểm, nhng quá dài dòng

Hàm số không liên tục tại điểm x = a thì gọi là gián đoạn tại điểm x=a

Nh vậy theo sách này, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x = a nếu xảy ra ít nhấtmột trong ba điều kiện sau:

i) f(x) không xác định tại x=a;

ii) Không tồn tại limx a f(x);

iii) Tồn tại limx a f(x) nhng

a x

Nh trong phần đầu đã nêu, cách trình bày các khái niệm trong bài củaSGK hiện hành hoàn toàn khác với cách trình bày trong sách chỉnh lí hợpnhất SGK chỉ giới thiệu các khái niệm “dãy số có giới hạn +” và khái niệm

“dãy số có giới hạn - ” chứ không giới thiệu khái niệm “dãy số có giới hạn

” nh trong sách chỉnh lí hợp nhất và trong một số SGK trớc đây

Trong lí thuyết giới hạn, ngoài khái niệm “dãy số có giới hạn hữu hạn”.còn có hai khái niệm cơ bản khác nữa, đó là “dãy số có giới hạn là +” và

“dãy số có giới hạn là - ” nhng sách chỉnh lí hợp nhất đã bỏ qua hai kháiniệm này? Hiếm có giáo trình giải tích nào khi đề cập tới giới hạn của dãy số

mà lại bỏ qua hai khái niệm giới hạn + và - 

Khái niệm dãy số dần đến vô cực trong sách chỉnh lí hợp nhất (kí hiệu

là limun= hay un  ) thờng đợc gọi là vô cùng lớn Các giáo trình giảitích của Nga trớc đây thờng giới thiệu khái niệm vô cùng lớn rồi từ đó đa racác khái niệm + và

-  Có thể kể ra rất nhiều giáo trình giải tích của Nga trớc kia đã trìnhbày các khái niệm đại lợng vô cùng lớn và các giới hạn + và -  theo cách

đã nêu

ở đây có một số điểm cần chú ý:

- Thứ nhất, sau khi đề cập đến khái niệm vô cùng lớn các giáo trìnhgiải tích đều giới thiệu các giới hạn + và - , chứ không bỏ qua hai kháiniệm quan trọng này nh sách chỉnh lí hợp nhất

- Thứ hai, các định nghĩa dãy số có giới hạn + hoặc -  trong giáotrình giải tích vừa nêu hiển nhiên là tơng đơng với các định nghĩa tơng ứngtrong SGK lần này Tuy nhiên có thể thấy ngay rằng cách trình bày đó là nặng

nề, thiếu sáng sủa và những ngời lần đầu làm quen với lí thuyết giới hạn khó

mà tiếp cận đợc các khái niệm mới vốn đã rất khó đợc trình bày theo cách đó

- Về kí hiệu cũng có một điều cần lu ý Trong giáo trình giải tích củaNga, sau khi dịnh nghĩa các giới hạn + và -  tác giả có ghi chú “ thay cho+ ngời ta thờng chỉ viết  ” Có thể kể ra nhiều giáo trình giải tích trong

đó có kí hiệu  đợc dùng để chỉ + ( cũng tơng tự nh các số +3 và +5 đợcviết gọn là 3 và 5) nh vậy việc dùng kí hiệu  để chỉ đại lợng vô cùng lớn cóthể gây nhầm lẫn Theo định nghĩa dãy số có giới hạn + và -  trong SGKnày thì limn2 =  và limqn = + với q>1 còn các dãy số ((-1)n n2) và (qn) với( q<-1) không có giới hạn

* Trong phần lớn các giáo trình giải tích và trong các SGK trớc đây,các định nghĩa dãy số có giới hạn + và -  đợc phát biểu nh sau:

Ta nói rằng:

a Dãy số (un) có giới hạn là + nếu với một số dơng A bất kì, tồn tạimột số nguyên dơng n sao cho:

n > N  un < A

Khi đó ta viết lim un = -  hoặc un  - 

Trong SGK lần này các tác giả đã giới thiệu các định nghĩa trên nhngkhông sử dụng các kí hiệu A và N mà thay đổi cách diễn đạt để học sinh dễhình dung khái niệm này hơn

* Cần lu ý các điều sau đây:

- Các kí hiệu + và -  không phải là những số thực Học sinh dễhiểu sai + là một số rất lớn Các ví dụ sau có thể góp phần giúp các em hìnhdung tốt hơn khái niệm vô cực:

lim 1010  0

n và lim(n – 1020) = +

- Giới hạn vô cực và giới hạn hữu hạn có ý nghĩa hoàn toàn khác nhau.Với limun = L  R, các điểm biểu diễn (trên trục số) các số hạng un

chụm lại quanh điểm L

Với limun = +, các điểm biểu diễn các số hạng un đi xa mãi theo ớng âm của trục số, vợt qua mọi điểm L dù L cách xa điểm gốc đến mấy

h Không áp dụng đợc các định lí về giới hạn hữu hạn cho dãy số vô cực

- Chẳng hạn nếu lim un = + và limvn = + thì không thể kết luận:

lim(un - vn) = lim un – lim vn = + - ( +) = 0, hoặc nếu lim un = + và

lim vn = -  thì không thể kết luận lim(un+ vn) = 0

Khác với các SGK trớc đây và sách chỉnh lí hợp nhất, trong SGK lầnnày có nêu một số quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số Đây là cơ sở líthuyết mà học sinh có thể vận dụng để tìm giới hạn vô cực của dãy số, có thểthấy các quy tắc này khó hơn các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số Việcvận dụng các quy tắc này lại càng khó khăn hơn Giáo viên cần giúp các emnắm đợc các quy tắc trong bài và biết vận dụng chúng một cách linh hoạt đểtìm giới hạn vô cực của dãy số

Các SGK trớc đây thờng lu ý học sinh không áp dụng đợc các định lí vềgiới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số để tìm giới hạn vô cực Nhằm giảm bớtkhó khăn cho học sinh khi giải một số bài tập tìm giới hạn vô cực, các tác giả

đã đa vào SGK nâng cao một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số vàhàm số Các quy tắc này, nhất là quy tắc 3 trong Đ3 và quy tắc 2 trong Đ6 khóhơn các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số Việc áp dụng cácquy tắc lại càng khó hơn Giáo viên cần giúp học sinh hiểu và nhớ các quy tắc

đó và biết vận dụng chúng để giải các bài tập tìm giới hạn vô cực của dãy số

và hàm số Qua việc giải quyết các bài tập, học sinh sẽ từng bớc hình dung

đ-ợc các khái niệm + và -  một cách rõ hơn, dần dần cảm thấy chúng íttrừu tợng hơn

* Về khái niệm giới hạn của hàm số, chơng trình đòi hỏi định nghĩathông qua khái niệm giới hạn dãy số Điều này cho phép tránh đợc những khókhăn của học sinh khi sử dụng các định nghĩa theo ngôn ngữ  , 

Mặt khác, cũng nh giới hạn của dãy số, SGK đa vào hai khái niệm phân biệt:giới hạn + và giới hạn - 

Chơng trình yêu cầu không đa vào một mục chuyên biệt về giới hạndạng vô định nh trong các SGK trớc đây hay SGK nâng cao, với mục đích chủyếu là giảm tải Tuy nhiên, nghiên cứu giới hạn không thể tránh khỏi việc tínhcác giới hạn thuộc dạng vô định Vì thế, SGK chỉ đa vào các ví dụ và bài tậpdạng đơn giản, nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đạo hàm trong chơng trìnhsau và khảo sát hàm số ở lớp 12 Do đó, giáo viên không nên khai thác quásâu các bài tập mà việc khử dạng vô định đòi hỏi các kĩ thuật biến đổi phứctạp Hơn nữa, nếu yêu cầu học sinh giải các bài tập phức tạp, lắt léo về giớihạn thuộc dạng vô định, thì cũng chỉ có tác dụng rèn luyện kĩ năng biến đổi

đại số, chứ cha hẳn làm cho các em hiểu rõ thêm về giới hạn của hàm số

Ngoài ra, để phù hợp với quy định của chơng trình, SGK không đa vào

định lí về tính duy nhất của giới hạn (của dãy số và của hàm số), định lí vềtính bị chặn của dãy số có giới hạn hữu hạn(điều kiện cần để dãy số hội tụ),

định lí về giới hạn của dãy số(hàm số) bị kẹp giữa hai dãy số(hàm số) có cùnggiới hạn và định lí về giới hạn của dãy số đơn điệu, bị chặn Điều này cũngphù hợp với tinh thần giảm tải

* Ta có thể định nghĩa khái niệm giới hạn + và -  của dãy số một cách chính xác nh sau:

+ Dãy số (u n ) đợc gọi là có giới hạn + khi n dần tới dơng vô cực nếu với số dơng M bất kì, luôn tồn tại số nguyên dơng n 0 sao cho:

 và của hàm số cũng nh giới hạn của hàm số khi x  + hoặc khi x 

-, chứ không định nghĩa giới hạn x   của hàm số và giới hạn của hàm số

khi x   Nh vậy, trong sách chỉnh lí hợp nhất  



 1

1 lim

1 

 x

* Về mặt hình thức, ngời ta thờng xem việc đa vào khái niệm giới hạn

đánh dấu sự bắt đầu của bộ môn Giải tích Tuy nhiên có thể nói, các yếu tốcủa giải tích đã xuất hiện rất sớm trong chơng trình toán ở trờng phổ thông

Đặc biệt, t tởng “ chuyển qua giới hạn” kiểu t duy “ vô hạn và liên tục” đã đợcvận dụng khi định nghĩa và tính độ dài đờng tròn nh là giới hạn của chu vi đagiác đều nội tiếp, khi gấp đôi mãi số cạnh

Từ phân tích trên, nghịch lí Zênôn đã đợc đa vào ngay đầu chơng IVvới hai mục đích chính sau:

- Làm cho học sinh bớc đầu ý thức đợc về sự hạn chế của các phép toán

và quy tắc đại số trong việc giải quyết các vấn đề liên quan tới sự vô hạn

- Tạo động cơ cho việc đi vào nghiên cứu chơng giới hạn Cụ thể hơn,làm cho học sinh ý thức đợc về tầm quan trọng của khái niệm giới hạn và do

đó có nhu cầu, hứng thú nghiên cứu nó

Để đạt đợc hai mục đích này, ngoài nghịch lí Zênôn, tuỳ theo đối tợnghọc sinh, giáo viên có thể khai thác thêm một số nghịch lí khác sau đây

2

3 2

3 2

3

2

3

2

3 2

Về khái niệm giới hạn của dãy số, chơng trình yêu cầu:

- Không dùng ngôn ngữ  , N để định nghĩa giới hạn của dãy số

- Thông qua các ví dụ cụ thể để hình thành khái niệm giới hạn 0, từ đódẫn tới giới hạn khác 0

Nói cách khác, vấn đề là đa vào khái niệm giới hạn dãy số mà khôngtrình bày định nghĩa hoàn toàn chính xác Vả lại, ở cấp độ phổ thông, khi đãkhông dùng ngôn ngữ  , N thì khó có định nghĩa nào có thể mô tả đúng bảnchất của khái niệm giới hạn

Trên tinh thần đó, trong SGK, khái niệm giới hạn 0 và giới hạn +

của dãy số đợc đa vào theo con đờng quy nạp Cụ thể, qua các hoạt động, kháiniệm đợc mô tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học Sau

đó, định nghĩa tổng quát dới dạng mô tả sẽ đợc trình bày Còn các khái niệmgiới hạn khác 0 và giới hạn -  đợc định nghĩa qua các giới hạn 0 và giới hạn+

Đặc biệt, trong các SGK trớc đây, tuỳ trờng hợp mà ký hiệu  có thể

đợc hiểu theo nhiều cách khác nhau nh +, -  hay hỗn hợp cả hai chẳnghạn:

Tuy nhiên, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12, ta chỉ nghiên cứu tínhchất của hàm số ở + hay - , chứ không xét chung chung ở vô cực Ngay ởbậc đại học, khi xét tập số thực mở rộng, ta cũng bổ sung 2 phần tử là + và

lim nh trớc đây, mà đa

vào hai khái niệm khác nhau; giới hạn + và giới hạn - (  

Ngợc lại, SGK trớc đây dùng khái niệm  



 n

n u

lim , nhng lại không coi

 là giới hạn của dãy số (un), vì lí do  là một kí hiệu chứ không phải là sốthực Điều này thờng gây thắc mắc cho giáo viên và học sinh: Vì sao (un)không có giới hạn mà lại viết  

Trong định nghĩa này, ta cũng không giả thiết rằng hàm số f xác địnhtại điểm xo Trong trờng hợp f xác định tại điểm x0 thì giới hạn (nếu có) và giátrị của SGK nâng cao có đa ra định lí:

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x 0 và f, g là hai hàm số xác

định trên (a; b)\{x 0 } Nếu f(x)  g(x) với mọi x(a; b)\{x 0 } và  

 ( )

lim

0

x f

x x

 , nó đợc suy ra từ định nghĩa giới hạn của hàm số và từ định lí tơng tự

về giới hạn vô cực của các dãy số

+) Hai quy tắc sau là hệ qủa của định lí vừa nêu

Nếu lim f(x) = + (hoặc - ) và lim g(x) = + (hoặc - ) ( x  x0,

x  

0

x , x x0 , x  hoặc x  ) thì lim f(x) g(x) và lim f(x).g(x)

đợc cho trong hai bảng sau:

lim f(x) lim g(x) lim [f(x)+g(x)]

Khi giải bài tập, học sinh đợc quyền sử sụng định lí và các quy tắc vừanêu Một vài điều cần lu ý khi áp dụng quy tắc 2:

- Trớc hết ta phát biểu quy tắc 2 một cách đầy đủ(để cho gọn ta sẽ chỉlấy ra hàng thứ 2 của bảng)

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x 0 và f, g là hai hàm số xác định

trên (a; b)\{x 0 } Nếu lim0 ( ) 0

0 g x

x f x

(Có thể lấy khoảng (a; b) nhỏ tuỳ ý chứa điểm x 0 ).

- Trong thực hành, ta thờng gặp trờng hợp hàm số g xác định trên mộttập hợp số thực X chứa điểm x0 mà điều kiện g(x) < 0 không đợc thoả mãn vớimọi xX\{x0} nhng đợc thoả mãn với mọi x(a;b)\{x 0 }, trong đó (a; b) là

một khoảng chứa trong X Khi đó, đơng nhiên có thể áp dụng quy tắc đã nêu

Để cho tiện, ngời ta phát biểu quy tắc đó nh sau:

x g

x f

Quy tắc 2 trong các trờng hợp x  , x 

 x0 , x 

 x0 đợc phát biểumột cách tơng tự

Ví dụ1: Tìm

10

3 10 lim

2 10

lim 2 10

10

1 ( 10

( 10

1



x nên

2 10

x x

7 5 3 lim 2

2 4

4 2 2

4

15 1

7 5 3 15

7 5

x x

x x x

x

x x

15 1 ( 1 15

1

2 3

2    

x x

f

15 1

7 5 3 )

Nội dung của Đ8 Hàm số liên tục trong Đại số và Giải tích 11 nâng cao

về cơ bản không có gì khác so với sách chỉnh lí hợp nhất trừ một điểm; SGKlần này đã không giới thiệu định lí Weirstrass nh trong sách chỉnh lí hợp nhất

* Để giúp học sinh nắm chắc đợc định nghĩa hàm số liên tục tại một

điểm, nên nhấn mạnh các điều sau:

- Theo định nghĩa trong SGK, khi nói hàm số f liên tục tại điểm x0 tahiểu rằng hàm số xác định trên một khoảng (a; b) nào đó chứa điểm x0

- Hàm số f liên tục tại điểm x0 nếu nó thoả mãn 3 điều kiện:

+ Hàm số f xác định tại một khoảng chứa điểm x0

+ Tồn tại lim  

0

) (

x x x

+ Giới hạn đó bằng giá trị của hàm số tại điểm x0: lim ( ) ( 0)

0

x f x f

x

Có thể định nghĩa khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

độc lập với khái niệm giới hạn của dãy số thông qua ngôn ngữ  ,  nh sau:

Cho khoảng K, x0 K và hàm số y = f (x) xác định trên K (hoặc K\{x0})

Số L đợc gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x0 nếu với    0tồn tại số   0 sao cho f(x)  L   với mọi xK \{x0} và x x0  

trên K\{x 0 } Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x  x 0 nếu với dãy

Hơn nữa, cần lu ý học sinh rằng giả thiết “ Hàm số xác định trênkhoảng K” không có nghĩa K là tập xác định của nó, mà thông thờng K có thểchỉ là một tập con của tập xác định Tơng tự, nếu nói “Hàm số y = f(x) xác

định trên K\{x0}” thì phải hiểu rằng nó có thể xác định tại x0 hoặc không xác

định tại điểm này

Nói cách khác, trong định nghĩa chỉ cần giả thiết “ Cho khoảng K chứa

điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K\{x0}” là đủ Tuy nhiên, vì lí do sphạm và tránh cho học sinh hiểu nhầm rằng theo giả thiết hàm số y = f(x)không xác định tại x0, SGK đã cho giả thiết nh trong định nghĩa nêu trên Kháiniệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm đợc đa vào theo con đờng quynạp, thông qua hoạt động 1 Sau khi giải quyết xong câu 2 trong hoạt động 1,giáo viên cần thông báo khái niệm có liên quan (nhng không nêu định nghĩa)

mà yêu cầu học sinh thảo luận để phát hiện thuộc tính bản chất của khái niệmnày và trình bày một phác thảo của định nghĩa tổng quát.

Để tiện lợi về sau, trong định nghĩa 1 ta giả thiết hàm số xác định trênkhoảng K chứ không phải (a; b)

Thực ra, có thể xem (a; b) nh là một khoảng tuỳ ý, nghĩa là xem a và b

nh các số thực hay  Nhng để tránh nhầm lẫn cho học sinh khi áp dụngcác định lí về giới hạn, ta ngầm quy ớc viết a, b hay L khi chúng hữu hạn

Tuy nhiên, việc nói khoảng K có thể gây mơ hồ cho học sinh Vì thế,trớc hoặc sau khi định nghĩa giáo viên nên lu ý học sinh rằng K có thể có cácdạng nh đã nêu trong SGK

Sau hoạt động 1 và ví dụ 1 cần lu ý học sinh rằng hàm số có thể khôngxác định tại x0 nhng lại có thể có giới hạn tại điểm này Từ đó, giải thích lí dovì sao trong định nghĩa lại cho giả thiết hàm số y = f(x) xác định trên khoảng

K hoặc trên K\{x0}

* Về chủ đề Đạo hàm

Để thực hiện những định hớng về đổi mới nội dung và phơng pháp dạyhọc môn Toán theo tinh thần phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh,SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao đã có những thay đổi sau:

a Đổi mới phơng pháp trình bày một số khái niệm nh: thay đổi địnhnghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp, … điều này giúp

b Giảm một số kiến thức khó nh: Đạo hàm một phía, đạo hàm trên

đoạn, quan hệ giữa đạo hàm và liên tục ; bớt chứng minh một số định lí

c Tăng cờng luyện tập tại lớp, thêm một số bài tập về nhà( nhng các bàitập này thờng là dễ), bỏ hẳn những bài toán phức tạp hoặc những bài toán khó.Chẳng hạn: bớt đi những bài toán tính theo định nghĩa đạo hàm của hàm sốcho bởi hai hay nhiều biểu thức đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm sốtrung gian

d Thêm một số bài toán ứng dụng thực tế, bài toán có hình ảnh hìnhhọc, bài toán tổng hợp (mà không khó) ôn tập đợc nhiều kiến thức đã học ởlớp 10 và lớp 11

Để làm ví dụ mở đầu dẫn đến khái niệm đạo hàm, trong SGK 2000 đãxét một bài toán chuyển động thẳng có phơng trình chuyển động s = s(t) Còntrong SGK hiện nay, các tác giả đã thay bài toán đó bằng bài toán chuyển

động rơi tự do mà học sinh đã học ở Vật lí 10 Rơi tự do là chuyển động(không đều) khá đơn giản ở chỗ: Đây là chuyển động thẳng chỉ theo một hớng