Góp phần phát triển khả năng sáng tạo bài toán mới thông qua việc dạy học giải bài tập trong sách giáo khoa ( chương '' dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân '' đại số và giải tích 11 )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHKHOA TOÁN GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI

TOÁN MỚI THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC

GIẢI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOÁ LUẬN

ThS Nguyễn Thị Mỹ Hằng Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Hạnh Nhân

VINH - 2010

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU……….2

1 Lý do chọn đề tài………2

2 Mục đích nghiên cứu……….4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu ……… 4

4 Giả thiết khoa học……….4

5 Phương pháp nghiên cứu……… 5

6 Đóng góp của luận văn……… 5

CHƯƠNG I: KHÁI QUÁT VỀ NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO……7

1 Một số vấn đề về tư duy sáng tạo………7

1.1 Khái niệm tư duy……… 7

1.2 Những đặc điểm cơ bản của tư duy……… 7

1.3 Các thao tác trí tuệ của tư duy……… 8

1.4 Hoạt động giải toán của học sinh……….9

1.5 Sự sáng tạo và tư duy sáng tạo……… 11

1.6 Các mức độ của tư duy……… 13

CHƯƠNG II: BỒI DƯỠNG KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI TOÁN… 14

1 Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho……… 14

2 Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa:……… 15

3 Hướng dẫn giải một số bài tập trong sách giáo khoa……….42

4 Hệ thống bài tập của chương “ Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân”…52 KẾT LUẬN………64

TÀI LIỆU THAM KHẢO………65

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI - thế kỉ của sự sáng tạo và hội nhập Đất nước ta đang trong thời kì phát triển và đổi mới Chính vì vậy những năm gần đây người ta đòi hỏi nền giáo dục phải trang bị cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo như là một phẩm chất quan trọng của con người hiện đại, đặc biệt là

từ khi thế giới đã bắt đầu chuyển mạnh sang nền kinh tế tri thức Cho nên phát triển giáo dục và đào tạo là một động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp CNH -HĐH đất nước, là điều kiện phát huy nguồn lực con người - yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững

Sự nghiệp giáo dục phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho thế hệ trẻ tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải quyết vấn đề Điều này đã được luật giáo dục nước CHXHCN Việt Nam quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duysáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật GD 1998, chương I điều 4)

Nghị quyết hội nghị lần thứ 4 BCH TW Đảng khoá VII đã nêu rõ một trong những quan điểm chỉ đạo để đổi mới sự nghiệp GD và đào tạo là phải “Phát triển giáo dục nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đào tạo những con người có kiến thức văn hoá, khoa học, có kĩ năng nghề nghiệp, lao động tự chủ, sáng tạo và có kỷ luật, giàu lòng nhân ái, yêu nước, yêu CNXH, sống lành mạnh đáp ứng nhu cầu phát triển đất nước”

Nghị quyết TW 2 (khoá VIII) lại tiếp tục chỉ rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duysáng tạo của người học…”

Trong giai đoạn đổi mới hiện nay, trước những thời cơ và thách thức to lớn,

để tránh nguy cơ tụt hậu việc rèn luyện khả năng sáng tạo cho thế hệ trẻ là yêu cầu cấp thiết của xã hội

1.2 Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thì môn toán đóng vaitrò quan trọng Vì dạy học môn toán gắn liền với các phép suy luận lôgic và các phép suy luận có lí, các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, tương tự hoá… Đó là những thành tố cốt yếu của năng lực trí tuệ và là cơ

sở để hình thành các phẩm chất trí tuệ: Tính linh hoạt, độc lập và sáng tạo

1.3 Hiện nay các loại sách tham khảo tràn ngập thị trường Không đề cập đến chất lượng sách tham khảo ở đây Xét ở một góc độ nào đó sách tham khảo là cần thiết cho học sinh Nó bổ trợ kiến thức, củng cố nâng cao nhận thức tư duy họctập cho các em nếu các em biết cách sử dụng sách tham khảo Nhưng tiếc rằng trong thực tế nhiều học sinh chưa biết học cái hay cái bổ ích từ sách tham khảo, chỉbiết sao chép sử dụng một cách máy móc Tạo ra một lối học lười nhác, ỷ lại vào sách tham khảo, rất lười suy nghĩ, thiếu tinh thần ham muốn học hỏi thấu đáo sâu sắc, có ý thức phản biện truy tìm đến ngọn nguồn của một bài toán Như vậy ở mộtgóc độ nào đó thì sách tham khảo lại làm hại tư duy học sinh

1.4 Ở nhà trường phổ thông hoạt động giải bài tập toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động dạy học Các bài tập ở chương trình phổ thông là một phương tiện không thể thiếu được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy Đặc biệt môn giải tích và bài tập giải tích có rất nhiều tiềm năng góp phần phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh

1.5 Qua thực tế đợt thực tập sư phạm, qua các cuộc điều tra quan sát từ giáoviên và học sinh tôi thấy việc ra thêm bài tập ngoài, bài tập nâng cao cho học sinh còn quá phụ thuộc vào các tài liệu tham khảo bên ngoài Trong khi đó bản thân cácbài tập trong SGK đã tiềm ẩn một khối lượng bài tập đa dạng và phong phú Từ một bài tập tưởng chừng rất đơn giản, chỉ mang tính chất củng cố lí thuyết trong sách giáo khoa, nhưng xuất phát từ nó ta hoàn toàn có thể xây dựng, phát biểu thành một bài toán tổng quát và từ đó có thể xây dựng một hệ thống các bài tập

tương tự - nếu chúng ta biết thay đổi một số yếu tố của bài toán bằng các thao tác trí tuệ như: tương tự, khái quát hoá… Đây chính là tiềm năng ẩn tàng của bài tập SGK.

1.6 Dãy số là một chủ đề khó trong chương trình toán phổ thông Tuy nhiên

nó lại cung cấp một khối lượng lớn kiến thức cho các phần sau này Có rất nhiều dãy số mang tính chất quy luật, đặc biệt, chẳng hạn như: cấp số cộng, cấp số nhân,

… Do những tính chất mang tính quy luật đó mà ta hoàn toàn có thể xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện khả năng sáng tạo bài mới cho học sinh Khi đi sâu vào nghiên cứu phần này chúng ta sẽ thấy được tiềm năng của các bài tập trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 là hết sức phong phú Vấn đề là ta sẽ khai thác tiềm năng đó như thế nào? Chính vì lí do đó mà tôi chọn đề tài này: “Góp phần phát triển khả năng sáng tạo bài toán mới thông qua việc dạy học giải bài tập trong sách giáo khoa (chương “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” - Đại số và Giải tích 11) ”

2 Mục đích nghiên cứu:

2.1 Giúp học sinh phát triển khả năng sáng tạo thông qua khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn toán ở trường PT

2.2 Đề xuất một số bài toán trong phần cấp số cộng, cấp số nhân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

3.1 Làm sáng tỏ khái niệm tư đuy sáng tạo và một số đặc điểm của tư duy sáng tạo

3.2 Xác định các con đường để khai thác các bài tập trong SGK nhằm phát triển khả năng sáng tạo

3.3 Hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho một số bài tập một và xây dựng hệ thống bài tập chương “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân”

4 Giả thiết khoa học

Trong quá trình dạy học toán nếu người giáo viên biết cách khai thác các bàitập trong SGK nhằm phát huy vai trò tích cực và chủ động của học sinh thì sẽ góp

phần rất lớn giúp các em phát triển tư duy sáng tạo Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông.

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu chương trình SGK, SGK, các tài liệu có liên quan đến chuyên

đề dãy số trong trường phổ thông

- Các tạp chí GD, tâm lí học, giáo dục học phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu, các vấn đề có liên quan đến đề tài (các luận văn, các chuyên đề…)

5.2 Quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy ở các tiết học luyện tập giải bài tập của giáo viên

và việc học của học sinh

5.3 Điều tra, tổng kết kinh nghiệm

Điều tra, tổng kết kinh nghiệm dạy học các bài tập về dãy số của giáo viên

và học sinh ở trường phổ thông

6 Đóng góp của luận văn

- Xác định được các con đường khai thác bài toán trong SGK 11 theo hướng phát triển năng lực tư duy sáng tạo

- Xác định tầm quan trọng của bài tập trong SGK

- Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cùng với hệ thống câu hỏi dẫn dắt

- Xây dựng được hệ thống bài tập của chủ đề “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân”

- Góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học

- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm Toán và giáo viên THPT

7 Cấu trúc của luận văn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thiết khoa học

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

CHƯƠNG I KHÁI QUÁT VỀ NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO

1 Một số vấn đề về tư duy sáng tạo

1.1 Khái niệm tư duy

1.2 Những đặc điểm cơ bản của tư duy

1.3.Các thao tác trí tuệ của tư duy

1.4 Hoạt động giải toán của học sinh

1.5 Sự sáng tạo và tư duy sáng tạo

1.6 Các mức độ của tư duy

CHƯƠNG II: BỒI DƯỠNG KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI TOÁN

1 Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho

2 Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa

3 Bài tập và hướng dẫn giải

4 Một số bài tập tương tự

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG I: KHÁI QUÁT VỀ NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO

1 Một số vấn đề về tư duy sáng tạo

Trước hết ta hãy nói về năng lực tư duy trong triết học Triết học chỉ có thể ra đời khi năng lực tư duy trừu tượng của con người đạt đến trình độ phát triển nhất định cho phép khái quát những hiểu biết riêng lẻ, rời rạc thành một hệ thống nhữngquan điểm và quan niệm chung về thế giới

Vào thế kỉ 17 Đềcác cũng đã có câu nói nổi tiếng: ”Tôi tư duy vậy tôi tồn tại”.Nguyên lý cơ bản của ông mang ý nghĩa tiến bộ trong lịch sử bởi nó khẳng định được rằng mọi khoa học chân chính đều phải xuất phát từ “sự nghi ngờ” Nghi ngờ

ở đây không phải là hoài nghi chủ nghĩa mà là sự hoài nghi về phương pháp luận, nghi ngờ để đạt đến sự tin tưởng Có nghĩa là con người muốn tồn tại thì phải tư duy

Vậy tư duy là gì?

1.1 Khái niệm tư duy

Có rất nhiều quan điểm khác nhau về tư duy Theo tâm lý học: Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ bên trong

có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (Theo [7])

1.2 Những đặc điểm cơ bản của tư duy

- Tư duy là một quá trình tâm lý có sự tìm kiếm và phát hiện ra cái mới về chất một cách độc lập

- Tư duy có đặc điểm quan trọng là tính có vấn đề Tức là trong một hoàn cảnh có vấn đề thì tư duy được nảy sinh

- Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ cho nên kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ

- Tư duy là mức độ cao nhất của sự nhận thức lý tính nhưng có quan hệ chặt chẽ với quá trình nhận thức cảm tính Nó có khả năng phản ánh những thuộc tính bản chất của sự vật, hiện tượng trên cơ sở những dấu hiệu bên ngoài của sự vật và hiện tượng qua cảm giác và tri giác

Như V.I.Lênin đã từng nói “Quá trình nhận thức của con người phải đi từ trựcquan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” - đó

là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, nhận thức hiện thực khách quan

1.3 Các thao tác trí tuệ của tư duy

Sự phát triển trí tuệ của tư duy nói chung được đặc trưng bởi sự tích lũy các thao tác tư duy thành thạo Theo[5] các thao tác trí tuệ của tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, phép quy nạp, suy diễn, loại suy v v…

1.3.1 Phân tích

Phân tích là hoạt động tư duy phân chia sự vật, hiện tượng thành các yếu tố, các bộ phận nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ, sâu sắc, trọn vẹn hơn theo một hướng nhất định

1.3.4 Trừu tượng hóa

Trừu tượng hóa là quá trình con người dùng trí óc gạt bỏ những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu của sự vật, hiện tượng và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tư duy

1.3.5 Khái quát hóa

Khái quát hóa là tìm ra cái chung, cái bản chất trong số các dấu hiệu của sự vật, hiện tượng rồi quy chúng lại thành khái niệm

Trong thực tế các thao tác trên đây đan chéo nhau xen kẽ nhau chứ không tuân theo trình tự máy móc.

1.3.6.Phép quy nạp

Là cách phán đoán dựa trên sự nghiên cứu nhiều hiện tượng, trường hợp riêng

lẻ để đi đến kết luận chung, tổng quát về những tính chất, những mối liên hệ tương quan bản chất nhất, chung nhất

Trong phép quy nạp sự nhận thức đi từ cái riêng biệt đến cái chung, giúp cho kiến thức được nâng cao và mở rộng

1.3.8.Phép loại suy (suy lý tương tự)

Phép loại suy là sự phán đoán đi từ cái riêng biệt này đến cái riêng biệt khác

để tìm ra những đặc tính chung và những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng

Phép loại suy có bản chất là dựa vào sự giống nhau (hoặc tương tự nhau) của hai vật, hiện tượng về một số dấu hiệu để đi đến kết luận về sự giống nhau của các dấu hiệu khác nhau nên kết luận của chúng chỉ gần đúng, có tính giả thiết nhưng cótác dụng tích cực trong nghiên cứu và học tập

Như vậy chúng ta thấy tất cả các thao tác trí tuệ nêu trên đều góp phần bồi dưỡng năng lực sáng tạo và củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế thì các thao tác tư duy này chủ yếu được hình thành và phát triển ở học sinh thông qua hoạt động học tập và cụ thể là hoạt động giải bài tập toán

1.4.Hoạt động giải toán của học sinh

Hoạt động giải bài tập toán là một hoạt động chủ đạo trong việc học toán của học sinh ở trường phổ thông

Để giải được một bài tập học sinh phải thực hiện các thao tác trí tuệ Ngược lại thông qua hoạt động giải bài tập toán sẽ góp phần hình thành, củng cố tri thức,

kĩ năng kĩ xảo cho học sinh, phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

Do đó việc rèn luyện việc giải bài tập toán cho học sinh là một trong những nội dung quan trọng của việc dạy học toán ở trường phổ thông

Tuy nhiên, trong quá trình dạy học dạng hoạt động này chúng ta không thể dạy cho học sinh một thuật toán tổng quát để giải một bài toán Nhưng chúng ta có thể hướng dẫn, gợi ý cho học sinh cách suy nghĩ khi đứng trước một bài toán nói riêng và một dạng toán nói chung và từ đó học sinh sẽ tự mình tìm tòi, phát hiện ra cách giải quyết bài toán, dạng toán đó

Về phương pháp chung để giải một bài toán dựa theo Polya ta có thể đưa ra các bước sau:

1.4.1 Tập cho học sinh thói quen phân tích bài toán, tìm hiểu kĩ nội dung của bài toán, xác định dạng của bài toán.

Cần lưu ý với học sinh rằng: mỗi bài toán đều có hai phần:

+ Giả thiết: là những dữ kiện mà bài toán cho

+ Kết luận: là cái cần phải tìm, cần phải chứng minh

Muốn giải được bất cứ bài toán nào bắt buộc học sinh phải xác định tường minh hai bộ phận đó Tức là học sinh cần phải xác định được đâu là giả thiết đâu làkết luận

Tiếp đó cần phải khai thác triệt để các giả thiết của bài toán và chú ý tập trung

tư duy vào những từ quan trọng của một bài toán

1.4.2.Rèn luyện cho học sinh tự xây dựng chương trình giải Có thể dẫn dắt để học sinh có hướng suy nghĩ như sau:

Muốn trả lời câu hỏi của bài toán ta cần phải biết những gì?

Cần phải thực hiện những phép tính nào?

Cái gì đã biết? Cái gì chưa biết?

Muốn tìm cái chưa biết ấy lại cần phải biết những gì? Phải làm những gì?

Cứ như thế ta dẫn dắt học sinh đi đến những điều đã cho trong đề toán.

Như vậy thông qua hệ thống các câu hỏi dẫn dắt của giáo viên, học sinh sẽ phác thảo và dự kiến được con đường để đi tới giải quyết bài toán Và từ đó học sinh sẽ rút ra được sơ đồ giải các bài toán cùng loại

1.4.3 Trình bày lời giải

Dựa vào kết quả phân tích bài toán ở trên, xuất phát từ những điều đã cho trong giả thiết ta lần lượt thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số

Cần lưu ý phải thử lại kết quả xem có thỏa mãn điều kiện bài ra hay không

1.4.4 Rèn luyện cho học sinh khả năng nghiên cứu lời giải (phần này dành cho học sinh giỏi)

Tức là sau khi đã giải xong bài toán cần suy nghĩ xem bài toán có thể giải bằng cách khác nữa hay không? Từ đó học sinh sẽ nghiên cứu, khai thác, phân tích

và tìm tòi lời giải khoa học nhất cho bài toán trên Việc làm này giúp học sinh có thói quen tập dượt với hình thức nghiên cứu khoa học, nắm được bản chất cách giải quyết vấn đề trong giải toán Đồng thời góp phần rèn luyện tư duy cho học sinh

Ngoài ra giáo viên cần chú trọng hướng dẫn học sinh tìm các bài tập có liên quan và sáng tạo các bài toán mới

Muốn vậy trước tiên học sinh cần phải biết phân tích bài toán để nắm vững đặc điểm và bản chất các yếu tố thuộc bài toán, thấy được mối liên hệ giữa các bài toán với nhau Và cao hơn nữa là giúp học sinh tự sáng tạo ra các bài toán mới từ bài toán ban đầu bằng nhiều con đường, nhiều cách khác nhau, cụ thể là có thể thay đổi các dữ kiện các yếu tố đã cho từ bài toán gốc để đi đến một bài toán mới.Nhưng sáng tạo là gì?

Và tư duy sáng tạo là gì?

Dạy cho học sinh về tư duy sáng tạo là dạy những nội dung gì? Và quan trọnghơn nữa là dạy như thế nào để thật sự bồi dưỡng và nâng cao năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

1.5 Sự sáng tạo và tư duy sáng tạo

1.5.1 Sáng tạo

Theo nghĩa thông thường thì sáng tạo là một tiến trình phát kiến ra các ý tưởng và quan niệm mới hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm đã có

Hay đơn giản hơn “sáng tạo là việc tìm ra được cái mới, một cách giải quyết vấn đề mới, không bị phụ thuộc vào cái đã có”

Với cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất đối với sáng tạo là phải có các ý tưởng Như lời nói của nhà toán học Poin Care: “Trong sáng tạo khoa học, ý tưởng chỉ là những ánh chớp nhưng ánh chớp đó là tất cả”

Hay lời của một nhà khoa học vĩ đại khác Lincds Pauling khi trả lời câu hỏi làm thế nào mà người ta sáng tạo ra được các lý thuyết khoa học? Ông nói: “Người

ta phải cố nắm bắt được nhiều ý tưởng” và “con đường để có được một ý tưởng tốt

là có thật nhiều ý tưởng”

1.5.2 Tư duy sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra rất nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Theo Lecne [9] có hai kiểu tư duy cá nhân là:

- Tư duy tái hiện hay tạo lại

- Tư duy tạo mới hay sáng tạo

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là

tư duy tạo ra cái mới Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới và các phương thức hoạt động

Theo [5] “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cầnthiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo”

Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhưng cần phải nhấn mạnh thêm rằng: tìm ra cái mới không có nghĩa là ta sẽ coi nhẹ cái cũ

Ví dụ: Các khái niệm nhóm, vành, trường là sự trừu tượng hóa, khái quát hóa những đối tượng, những quan hệ, và những tính chất đã biết trên một tập hợp số

Rõ ràng việc đi từ tập hợp số tới các khái niệm vành, nhóm, trường là một sự sáng tạo lớn.

Tính sáng tạo có thể dẫn đến những suy nghĩ rất táo bạo nhưng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận chứ không phải là nghĩ liều làm liều Vậy tư duy sáng tạo có những mức độ nào và chúng có mối quan hệ với nhau ra sao?

1.6 Các mức độ của tư duy

Như chúng ta đã biết tư duy là một quá trình tâm lý Vậy quá trình tâm lý này

có những mức độ nào?

Nhà nghiên cứu V.A.Krutexcki đã nêu ra ba mức độ tư duy khác nhau Đó là:

tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo Và ông đã biểu diễn mối quan hệ giữa ba mức độ tư duy trên bởi một sơ đồ gồm ba đường tròn đồng tâm như sau:

Như vậy tư duy tích cực, tư duy độc lập và tư duy sáng tạo có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Tư duy tích cực là tiền đề cho tư duy độc lập và tư duy độc lập lại là tiền đề cho tư duy sáng tạo Trong tư duy sáng tạo có tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phải mọi tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải mọi tư duy độc lập đều là tư duy sáng tạo

Tư duy tích cực (học sinh chú ý lắng nghe thầy chứng minh định lý và cố gắng hiểu)

Tư duy độc lập (học sinh tự đọc định lý và chứng minh theo gợi ý trong sách)

Tư duy sáng tạo (học sinh tự khám phá ra định lý, tự tìm cách chứng minh mà học

sinh đó chưa biết)

CHƯƠNG II: BỒI DƯỠNG KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI TOÁN

1 Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho

Có rất nhiều con đường để sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho Nhưng ở đây chúng ta chỉ đi sâu vào nghiên cứu hai con đường phổ biến nhất đó là khái quát hóa và tương tự hóa

Đây là hai con đường phổ biến nhất và hơn nữa còn giúp học sinh phát huy tính tích cực sáng tạo của mình Và nhiệm vụ của người giáo viên là phải xây dựngđược hệ thống các hoạt động để hướng dẫn học sinh đề xuất các bài toán tương tự

và khái quát hóa bài toán Vậy hoạt động khái quát hóa bài toán là gì?

Khi đứng trước một bài toán nào đó đôi lần ta đã nghĩ đến khả năng thay các

số cho trong các điều kiện của bài toán bằng những số khác (chủ yếu là các số lớn hơn) hoặc tổng quát hơn là ta thay số bằng chữ để tạo nên những bài toán khái quáthóa Như Đề-Các đã từng nói “hãy tước bỏ khỏi vấn đề những cái dư thừa và dẫn

nó đến những yếu tố đơn giản nhất”

Có nghĩa là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán mới nhờ bỏ đi một

số yếu tố của bài toán cũ Hay nói cách khác là ta hãy làm yếu đi giả thiết của bài toán cũ hoặc bỏ bớt đi một số điều kiện ràng buộc, hoặc bỏ đi một số đòi hỏi của kết luận, hoặc thay hằng bởi một biến nào đó

Đa số học sinh thường cảm thấy khó khăn và lúng túng khi chuyển bài toán

cụ thể sang bài toán tổng quát Do đó muốn học sinh khái quát hóa được bài toán người thầy phải dạy cho học sinh biết suy đoán và tưởng tượng Nhưng sự suy đoán đó không phải là đoán mò mà phải là sự suy đoán hợp lý và có căn cứ rõ ràng

Để khái quát hóa bài toán có hiệu quả và đi đến bài toán tổng quát nhất thì trước hết cần phải biết phân tích bài toán để tìm ra dấu hiệu đặc trưng và xét bài toán đó trên từng dấu hiệu để khái quát Tiếp theo là sự kết hợp các dấu hiệu để có bài toán khái quát hơn

Có một điều cũng không kém phần quán trọng trong việc khái quát hóa bài toán mà ít người quan tâm đến đó là việc cố gắng giải các bài toán gốc theo nhiều

cách khác nhau Vì có những bài toán khi giải theo cách này sẽ khó tìm ra bài toán tổng quát nhưng khi giải theo cách khác sẽ rất rõ ràng để có được điều đó

Sau đây, chúng tôi đi vào khai thác một số bài toán trong SGK Đại số và Giải tích 11 - Nâng cao, chương “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” để từ đó ta có thể sáng tạo ra những bài toán mới và xây dựng được một hệ thống bài tập nâng dần mức độ khó

2 Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa:

2.1 Dãy tuyến tính cấp 1

Bài tập ban đầu: Bài 15 trang 109, SGK Đại số và giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số  un xác định bởi:

Giả sử công thức un  5n  2 đúng với n  k tức là ta có uk  5k  2

Ta cần chứng minh công thức đúng với n  k  1

Thật vậy ta có: uk1  uk  5  5k  2  5  5k  3  5k  1 2 (đúng)

Vậy un  5n  2,  n  1.□

Thiết nghĩ bài toán trên nếu ta đưa ra ngay kết luận un  5n  2, thì sẽ hạn chế khả năng tư duy của học sinh Chúng ta có thể giấu đi kết luận của bài toán và nhiệm vụ của học sinh là đi tìm công thức tổng quát của dãy số đã cho Việc làm này sẽ giúp học sinh phát huy được hết khả năng sáng tạo và tư duy lôgic của mình Từ đó ta có cách giải thứ 2 cho bài toán trên như sau:

Cách 2: Coi như ta chưa biết kết luận của bài toán Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm công

thức tổng quát của dãy  un cho bởi công thức truy hồi trên

Dễ dàng nhận thấy dãy số  u n ở trên là một cấp số cộng với công sai d = 5,

3 u

n 1 1

Tìm công thức tổng quát của dãy  un xác định ở trên

Với cách đặt câu hỏi như vậy học sinh được đặt vào một tình huống có vấn

đề, các em phải suy nghĩ tìm tòi để giải quyết vấn đề đó

Từ bài toán trên ta có thể khái quát hoá bài toán như sau:

a u

n 1 1

0 u

n 1 1

1.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi:

 

1 n 2010;

u u 2010

u 1

1.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức truy hồi:

19 u

n 1 1

1.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức truy hồi:

n 1 1

Từ bài toán trên ta có thể thay đổi cách cho dãy  un để có bài toán mới như sau:

Bài tập ban đầu: Bài tập số 4, trang 122, SGK Đại số và Giải tích 11 - Nâng cao

Cho dãy số  un xác định bởi u1  1 và un1 5un  8

a) Chứng minh rằng dãy số  v n , với vn  un 2, là một cấp số nhân Hãy tìm

số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

b) Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n

Bài tập trên sẽ khó khăn hơn nếu ta ra đề dưới dạng như sau:

Cho dãy số  un xác định bởi 

1 u

n 1 1

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số  un

Trước hết ta hãy nghiên cứu lời giải cho bài toán trên như sau:

Đặt vn  un  2

Từ công thức xác định  un ta có:

2 u

Để có thể hình dung được cách giải được hình thành bằng cách nào, chúng

ta có thể hướng dẫn học sinh các hoạt động giải bài toán đó như sau:

- Trước tiên yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa của cấp số nhân

- Hãy nhận xét xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân hay không?

- Tìm a sao cho: un1 a  5un  a

- Nếu đặt vn  un  2 thì dãy  v n có dạng đặc biệt nào?

- Hãy tìm số hạng tổng quát của  un

Với cách hướng dẫn như trên học sinh sẽ không thấy có sự áp đặt trong cách đặt vn  un  2

Từ đó học sinh sẽ giải quyết được câu hỏi trên và có thể tự mình giải được những bài toán tương tự

Câu hỏi đặt ra: Bài toán trên còn có thể giải bằng cách nào khác nữa không?

Trả lời: Ngoài cách giải trên chúng ta có thể nghĩ tới một hướng làm khác như sau:

Cách 2:

8 5u

un  n1

 n 1

n 1

n u 5 u u

Vậy nếu đặt v n  u n1  u n thì dãy  vn có gì đặc biệt?

- (Dự kiến):  v n là cấp số nhân với công bội bằng 5 và số hạng đầu v1  12

- Hãy tìm số hạng tổng quát của v n?

- (Dự kiến): Số hạng tổng quát của  v n là n 1

5.1 8 8 5

5 1 1 5

1 n 1

Từ bài toán này ta có bài tập thứ 2 như sau:

1 b , 1 n c;

bu u a u

n 1 1

c u

c u

8 1

- Nếu  

1 b 0 c

  un là cấp số nhân công bội b, số hạng đầu u1  a

- Nếu 





 0 c

1 b

0 a

0 u

n 1 1

2.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức:

8 u

n 1 1

2.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức:

22 u

n 1 1

2.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức:

9 u

n 1 1

Bài tập 1 ta có thể viết lại cách cho dãy  un như sau:

Dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi: 

1 u

n 1 1

Ở cách cho dãy  un trên nếu ta thay số “0” bởi số “1” thì ta có bài tập mới như sau:

1 u

n 1 1

a 8 n 4b 4an    

4 1 a

Với cách đặt n 1633

4

1 u

  vn là cấp số nhân với công bội bằng 5, số hạng đầu v1 1653

 Số hạng tổng quát của  vn : n 1

n 5 16

1 5 16

53 16

33 n 4

1 v

u 1  n   bởi a, b, cn + d ta có bài toán khái quát như sau:

a u

n 1 1

c u

c u

c d db b 1 b

c d db n 1 b

c u

  v n là một cấp số nhân với công bội b, số hạng đầu:

 2 1

c d db 1 b

c u v

2 b 1

b

bc d db

 Số hạng tổng quát của là:

 2 n

n

1 b

c d db n 1 b

c v

b

bc d db

c d db n 1 b

0 u

n 1 1

4.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi:

1 u

n 1 1

4.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi:

2 u

n 1 1

4.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi:

1890 u

n 1 1

- Bây giờ ta xét trường hợp b 1

Với trường hợp b  ta có dạng bài toán mới như sau:1

R) d c, (a, 1 d;

cn u u a u

n 1 1

u 1  n  

n 1 d c

u

un  n1  

c u u u

un1 n  n  1 

- Vậy nếu đặt v n  u n1  u n thì dãy số  v n có gì đặc biệt?

- (Dự kiến):  vn là cấp số cộng với công sai bằng c, số hạng đầu

1 2

1 u u

v   = a  cn  d a  cn  d

 Số hạng tổng quát của vn là:

n 1c 2cn d c d

cn

vn       

- Hãy tính tổng n số hạng đầu tiên của  v n

- (Dự kiến): Tổng n số hạng đầu tiên của  vn là:

=  

2

n c 2d 3cn  

2

n c 2d 3cn u

2

1 n 4c 2d 3cn

1 u

n 1 1

5.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức truy hồi:

0 u

n 1 1

5.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức truy hồi:

3 u

n 1 1

5.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un cho bởi công thức truy hồi:

2

1 u

n 1 1

Xem cn  d là trường hợp đặc biệt của A n 2 B n C



 Ta có một dạng bài tập mới như sau:

dn cn bu u a u

2 0

1 u

2 n 1 0

a 1 a b 4an 4bn 4c 2n

4 c b a

4b 1 a 2 2 4a

- Vậy với cách đặt: n 165

4

3 n 2

1 u

n

n     thì dãy  vn có gì đặc bệt?

- Dự kiến:  v n là cấp số nhân với công bội q  5, số hạng đầu v1 1641

- Từ đó hãy tìm số hạng tổng quát của  un

- (Dự kiến) Số hạng tổng quát của  v n là n 1

n 5 16

3 n 2

1 5 16

2c 1 b d n 1 b

c u

2 2

2 n

b

2c 1 b d 1 b

c u

2 2

2c 1 b d n 1 b

c α.b

2 2

2 1

0 u

2 n 1 0

6.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy  un sau:

1 u

2 n 1 0

6.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy  un sau:

2 u

2 n 1 0

6.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy  u n sau:

5 u

2 n 1 0

Đặc biệt trong trường hợp b  ta có bài tập mới như sau:1

Bài tập 7: Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n sau:

R e d,

; 0 e;

dn cn u u a u

2 n 1 0

u

1 n

n       

n 2 dn 2 e c

u

2 n 1

n       

n 3 dn 3 e c

u

3 n 2

n       

e d c u

0 u

2 n 1 0

7.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un sau:

2 n 1 0

7.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un sau:

1 u

2 n 1 0

7.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un sau:

1 u

2 n 1 0

Xét bài 3.73 trang 97- [3]

n 1

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un

1001 2

3 2 2 2

1 u u u u

n    

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un

1001 2

3 2 2 2

1 u u u u

Hướng dẫn giải:

- Muốn xác định số hạng tổng quát của dãy  un ta có thể thông qua số hạng tổng quát của một dãy số đặc biệt khác được hay không? Hãy tìm dãy số đặc biệt đó

Khi đó dãy  vn là cấp số cộng công sai d = 2; số hạng đầu v1  1

 Số hạng tổng quát của dãy  vn là vn  1  2n  1 2n  1

 Số hạng tổng quát của dãy  u n là un  vn  2n  1 với mọi n  1

b)Từ mối liên hệ giữa u 2 và v n ta sẽ dễ dàng làm được câu b

- (Dựkiến): 2

1001 2

3 2 2 2

1 u u u u

2 1001

n     bởi u u 2 b ; n 1

n 1

n     ta có bài tập tổng quát như sau:

n 1

n    

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un

n 2

3 2 2 2

1 u u u u

S     

Hướng dẫn giải:

Từ u u 2 b

n 1

n    u u 2 b

n 2 1

n    

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un

8.2) Cho dãy số  un xác định bởi u1  1 và u u 2 2 ; n 1

n



Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un

8.3) Cho dãy số  un xác định bởi u1  1 và u u 2 1 ; n 1

n 1

n    

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

8.4) Cho dãy số  un xác định bởi u1  1988 và u u 2 2 ; n 1

n 1

n    

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un

Ta có hướng khái quát khác như sau:

Ở bài tập 2 nếu xem n

n 1