Bước đầu tìm hiểu tập đại số và tôpô zariski

Tập đại số vàTôpô Zariski là một trong những kiến thức cơ sở nền tảng trong đại số.Hơn nữa, trong chương trình học phần kiến thức này không được giới thiệu và giảng dạy.. Miền nguyên Miề

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài, chúng em đã nhậnđược sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn khoa học Thạc sĩNguyễn Đình Yên, giảng viên khoa Toán - Lý -Tin, trường Đại học TâyBắc, cùng các thầy cô giáo giảng dạy môn Toán Chúng em xin bày tỏ sựcảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo.

Ngoài ra, trong quá trình thực hiện đề tài chúng em còn nhận được sựgiúp đỡ nhiệt tình của:

Phòng quản lý Khoa học và Quan hệ Quốc tế trường Đại học Tây Bắc,Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý -Tin, cán bộ Trung tâm thư viện trườngĐại học Tây Bắc đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ chúng

em hoàn thành đề tài

Đây là đề tài đầu tay và cũng là lần đầu tiên chúng em được làm quenvới phương pháp nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếusót Chúng em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo

và các bạn sinh viên để đề tài đầy đủ và hoàn thiện

Cuối cùng chúng em xin kính chúc các thầy cô giáo sức khỏe, công táctốt, chúc các bạn sinh viên mạnh khỏe thành công trong học tập

Sơn La, tháng 05 năm 2015Nhóm sinh viên thực hiệnNguyễn Lệ QuyênĐinh Thị YêuNguyễn Thị Quýt

Lê Thị Thúy Hồng

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp đề tài 2

8 Cấu trúc của đề tài 2

NỘI DUNG ĐỀ TÀI 4

Chương 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1 Nhóm, Vành, Trường 4

1.1 Nhóm 4

1.2 Vành 6

1.3 Trường 8

2 Iđêan, Vành thương 10

2.1 Iđêan 10

2.2 Iđêan sinh bởi một tập 10

2.3 Các phép toán trên iđêan 12

2.4 Vành Thương 13

2.5 Iđêan nguyên tố và Iđêan tối đại 14

3 Các vành đặc biệt 17

3.1 Vành chính 17

3.2 Vành Noetherian 18

3.3 Vành đa thức 19

4 Tôpô 22

5 Một số định lý liên quan 27

Chương 2.TẬP ĐẠI SỐ VÀ TÔPÔ ZARISKI 31

1 Không gian afine 31

2 Tập đại số và Iđêan 35

3 Iđêan căn và Nullstellensatz 49

KẾT LUẬN CHUNG 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI, thế kỉ của khoa học công nghệ

và hội nhập Vì vậy, việc trang bị kiến thức toán học là vô cùng quan trọngtrong sự phát triển của xã hội

Hình học đại số phát triển khá mạnh trong những năm gần đây Hìnhhọc đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hìnhhọc Nó có vị trí trung tâm trong toán học hiện đại và liên quan tới nhữngmôn học khác như: Giải tích phức, Tôpô và Lý thuyết số Tập đại số vàTôpô Zariski là một trong những kiến thức cơ sở nền tảng trong đại số.Hơn nữa, trong chương trình học phần kiến thức này không được giới thiệu

và giảng dạy

Là sinh viên ngành Toán với mong muốn tìm hiểu, nâng cao kiến thức

để mở rộng thêm vốn hiểu biết về đại số hiện đại và giải tích Chúng em

hi vọng với sự cố gắng của mình, đề tài này có thể là tài liệu tham khảocho các bạn sinh viên yêu thích Toán

Xuất phát từ những lý do trên chúng em đã chọn đề tài nghiên cứulà: "Bước đầu tìm hiểu tập đại số và Tôpô Zariski "

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các vấn đề về tập đại số và tôpô Zariski

- Làm rõ các định nghĩa, tính chất, mệnh đề và các ví dụ liên quanđến tập đại số và tôpô Zariski

- Tập đại số, Tôpô Zariski

- Khái niệm, tính chất cơ bản của Tập đại số, Tôpô Zariski

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp thảo luận nhóm

- Trao đổi với giáo viên hướng dẫn

8 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm 2chương sau:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở.

2.2 Iđêan sinh bởi một tập hợp

2.3 Các phép toán trên iđêan

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Nhóm

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập hợp Mỗi ánh xạ: X × X −→ X

(x; y) 7−→ x.ygọi là một luật hợp thành (hay một phép toán hai ngôi) trên X; cònx.y là tích hợp thành của x và y

Một nhóm là một cặp (X, ·) trong đó tập hợp X 6= ∅ và "·" là mộtluật hợp thành trên X thỏa mãn ba điều kiện sau:

(i) Phép toán có tính chất kết hợp, tức là:

∀x; y; z ∈ X, (x · y) · z = x · (y · z)(ii) ∃e ∈ X, ∀x ∈ X: x · e = e · x = x

(iii) ∀x ∈ X, ∃x0 ∈ X: x · x0 = x0 · x = e

Trong đó: e gọi là phần tử đơn vị của (X, ·);

x0 gọi là phần tử nghịch đảo của x trong (X, ·) và kí hiệu x−1.Luật hợp thành của một nhóm thường kí hiệu bởi các dấu "·", "+"

• Khi sử dụng ký hiệu "+" ta nói rằng nhóm được viết theo lối cộng.Khi đó:

+) Kết quả phép cộng a với b được gọi là tổng của a với b và kíhiệu là a + b ;

+) Phần tử đơn vị được gọi là phần tử không và ký hiệu là 0;+) Phần tử đối của a kí hiệu là −a;

+) Tổng của n phần tử a (n ∈ N) được gọi là bội n của a và kíhiệu là n · a Đặc biệt: 0 · a = a · 0 = 0; 1 · a = a · 1 = a.

• Khi sử dụng ký hiệu " · " ta nói rằng nhóm được viết theo lối nhân.Khi đó:

+) Kết quả phép nhân a với b được gọi là tích của a với b và kíhiệu là a · b

+) Phần tử trung hòa được gọi là phần tử đơn vị và kí hiệu là ehoặc 1;

+) Phần tử nghịch đảo của a kí hiệu là a−1;

+) Tích của n phần tử a (n ∈ N) được kí hiệu là an Đặc biệt:

Nếu tập X có vô hạn phần tử, ta nói rằng X là nhóm vô hạn

Nếu tập X có hữu hạn phần tử, ta nói rằng X là nhóm hữu hạn

Ví dụ 1.1 a) Nhóm cộng các số nguyên Z, nhóm cộng các số hữu tỉ Q,nhóm cộng các số thực R

b) Nhóm nhân các số hữu tỷ khác không Q∗, nhóm nhân các số thực kháckhông R∗

Mệnh đề 1.1 Giả sử (X, ·) là một nhóm Khi đó:

(i) Phần tử đơn vị của X là duy nhất.

(ii) Phần tử nghịch đảo của X là duy nhất

Hệ quả 1.1 (Luật giản ước)

Giả sử X là một nhóm, khi đó:

(i) ∀a; x; y ∈ X, ax = ay suy ra x = y và xa = ya suy ra x = y Tacũng nói trong nhóm X luật giản ước bên trái và bên phải được thực hiện.(ii) Các phương trình: ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất

Định lý 1.1 Giả sử X 6= ∅ được trang bị một phép nhân có tính chất kếthợp, khi đó X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏamãn:

(i) ∃e ∈ X sao cho ea = a, ∀a ∈ X (e được gọi là đơn vị trái của X).(ii) ∀x ∈ X, ∃x0 ∈ X sao cho xx0 = e (x0gọi là nghịch đảo trái của X)

Hệ quả 1.2 Giả sử X 6= ∅ được trang bị một phép nhân có tính chất kếthợp, khi đó X là một nhóm nếu và chỉ nếu ∀a; b ∈ X các phương trình

ax = b và ya = b đều có nghiệm trong X

Định nghĩa 1.2 ( Nhóm con chuẩn tắc)

Nhóm con A của nhóm X được gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu

thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

có phần tử 1 ∈ X sao cho:

1x = x1 = x, ∀x ∈ X

Ví dụ 1.2 a) Z, Q, R, C là các vành với "+" và "·" thông thường

b) Vành Zm các lớp thặng dư theo môđun m là một vành giao hoán.c) Q(√2) = a + b√2; a, b ∈ Z là một vành giao hoán có đơn vị.Tính chất 1.1 1) Trong một vành, phần tử không và phần tử đối của mỗiphần tử là duy nhất

2) Trong vành X phần tử đơn vị nếu có là duy nhất

3) ∀x, y, z ∈ X :

x(y − z) = xy − xz, (y − z)x = yx − zx4) Giả sử X là một vành, ∀x ∈ X, ta có:

x · 0 = 0 · x = 05) Tập hợp chỉ gồm phần tử không với phép cộng và phép nhân cho bởi:

0 + 0 = 0; 0 · 0 = 0

Ví dụ 1.3 Trong vành tích Z × Z, các phần tử a = (1, 0) và b = (0, 1) làkhác không, nhưng tích a.b = (0, 0).

Định nghĩa 1.5 ( Miền nguyên)

Miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, cóđơn vị, không có ước của không

Ví dụ 1.4 Vành số nguyên Z, vành hữu tỷ Q đều là những miền nguyên.1.3 Trường

Định nghĩa 1.6 Một trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tửkhác 0 đều khả nghịch

Ví dụ 1.5 Tập các số hữu tỷ Q, tập các số thực R, tập các số phức C vớiphép cộng và nhân thông thường là một trường

Định nghĩa 1.7 Cho X là một trường Tập con A của X được gọi làtrường con của X nếu A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng vớihai phép toán cảm sinh tạo thành một trường

Ví dụ 1.6 Q là trường con của trường số thực R

Định nghĩa 1.8 Trường X được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức

f (x) ∈ X [x] , degf (x) ≥ 1, đều có thể phân tích thành tích các đa thứcbậc nhất

f (x) = c(x − α1)(x − α2) (x − αn)Trường đóng đại số còn được gọi là đầy đủ đại số

Nhận xét 1.1 Dễ dàng thấy rằng định nghĩa trên tương đương với mộttrong các điều khẳng định sau đây:

a) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi các đa thức bậc nhất là tất cảcác đa thức bất khả quy trong X [x]

b) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi f (x) ∈ X [x] , degf (x) = n ≥ 1,

có đủ n nghiệm trong X

c) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi f (x) ∈ X [x] , degf (x) = n ≥ 1,

có ít nhất một nghiệm trong X

Tính chất 1.2 Mọi trường đóng đại số có vô hạn phần tử

Chứng minh Giả sử X là trường hữu hạn, X = a1, a2, , an

Khi đó, đa thức

(x − a1) (x − an) + 1 ∈ X [x]

có bậc ≥ 2 và không có nghiệm trong X

Do đó, X không là đóng đại số

Định lý 1.2 Trường số phức C là trường đóng đại số

Định lý 1.3 Mỗi trường X đều tồn tại mở rộng đóng đại số

2 Iđêan, Vành thương

2.1 Iđêan

Định nghĩa 2.1 Cho X là một vành Vành con A của X được gọi là iđêantrái (iđêan phải) nếu mọi x ∈ X, a ∈ A đều có xa ∈ A(ax ∈ A) Vành con

X gọi là iđêan nếu nó vừa là iđêan phải, vừa là iđêan trái

Nếu X là vành giao hoán thì iđêan trái, iđêan phải của X đều là iđêan

Ví dụ 2.1 a Mỗi vành X đều có hai iđêan đó là {0} và X

Iđêan {0} gọi là iđêan tầm thường, X gọi là iđêan đơn vị, các iđêankhác X gọi là iđêan thực sự

b nZ = {nx : x ∈ Z} là một iđêan của vành Z

Z là một vành con của Q, nhưng Z không là iđêan của vành Q

2.2 Iđêan sinh bởi một tập

Định lý 2.1 Giao của một họ bất kì khác rỗng những iđêan của một vành

Định nghĩa 2.2 Cho S là một tập con của vành X Giao của họ tất cảcác iđêan trái (phải, hai phía) của X chứa S là một iđêan trái (phải, haiphía) nhỏ nhất chứa tập S Iđêan trái (phải, hai phía) được gọi là iđêantrái (phải, hai phía) sinh bởi tập S, kí hiệu hSi.

Nếu S là một tập hữu hạn thì iđêan sinh bởi S được gọi là iđêan hữuhạn sinh Iđêan sinh bởi một phần tử {a} gọi là iđêan sinh bởi phần tử a,

kí hiệu là hai Nếu tồn tại phần tử a sao cho iđêan của I = hai thì iđêan Iđược gọi là iđêan chính Đặc biệt, khi S = ∅ thì iđêan sinh bởi tập rỗng là0

Chú ý 2.1 Iđêan sinh bởi S là giao của tất cả các iđêan chứa S Cụ thể:

Giả sử a = x1a1+ + xnan, b = y1a1+ + ynan là hai phần tử tùy

ý thuộc I và x là một phần tử tùy ý thuộc X Ta có:

Cuối cùng mọi iđêan chứa a1, , an thì cũng chứa x1a1, , xnan với

x1, , xn ∈ X và do đó chứa x1a1 + + xnan

Vậy I là giao của tất cả các iđêan chứa {a1, , an}, tức là iđêan sinh

2.3 Các phép toán trên iđêan

Định lý 2.3 Cho I1, I2 là hai iđêan của vành X Khi đó

Định nghĩa 2.3 Iđêan I1 + I2 được gọi là tổng của hai iđêan I1, I2.Định lý 2.4 Cho I, J là hai iđêan của vành X Khi đó

Chứng minh Trước hết ta có 0 = 0 · 0 ∈ IJ Giả sử

Vì I là iđêan nên

x0y0− xy = (a + x)(b + y) − xy = xb + ay + ab ∈ I

Từ đó:

x0y0+ I = xy + IVậy cách đặt trên cho ta một phép toán nhân trên X/I

Dễ dàng kiểm tra (X/I, +, ·) là một vành

Vành này được gọi là vành thương của X theo iđêan I

Hai phép toán trong vành thương X/I thường được kí hiệu bởi

x + y = x + y

x · y = xyNhận xét 2.1 Nếu X là vành giao hoán thì vành thương X/I cũng là vànhgiao hoán Nếu vành X có đơn vị e thì X/I là vành có đơn vị e = e + I

Ví dụ 2.2 Đối với iđêan mZ của vành số nguyên Z ta có

2.5 Iđêan nguyên tố và Iđêan tối đại

Định nghĩa 2.5 Cho X là một vành giao hoán có đơn vị khác không.a) Iđêan I của X gọi là iđêan tối đại trong X nếu I 6= X và nếu với

bất kỳ iđêan B của X sao cho I ⊂ B ⊂ X thì B = X hoặc B = I.

b) Iđêan K của X gọi là iđêan nguyên tố nếu K 6= X và nếu tích

(⇒) Giả sử I là một iđêan tối đại, ta chứng minh X/I là trường

Thật vậy, I là một iđêan tối đại của X thì I 6= X, do đó X/I có nhiềuhơn một phần tử Vì X là một vành giao hoán có đơn vị nên X/I cũng làmột vành giao hoán có đơn vị

Giả sử (a + I) là một phần tử khác không hay a + I 6= I Vậy a /∈ I.Xét iđêan I của X mà M = I + aX Khi đó I ( M vì a ∈ M , I là tối đạinên M = X

Suy ra e ∈ M Do đó, e = i1 + aa1, a1 ∈ X và i1 ∈ I

hay e + I = i1 + aa1 + I = aa1 + I = (a + I)(a1 + I)

Suy ra a1 + I là nghịch đảo của a + I

Do đó, X/I là một trường

(⇐) Giả sử vành thương X/I là một trường, ta chứng minh iđêan I là tối

đại trong X.

Thật vậy, X/I là một trường, khi đó X/I có nhiều hơn một phần tử,

do đó X 6= I

Gọi M là iđêan của X mà I ( M

Như vậy có một phần tử a ∈ M −I Ta xét a+I ∈ X/I vì a /∈ I nên a+I khảnghịch, nghĩa là có một phần tử a0+I sao cho (a0+I)(a+I) = a0a+I = e+Ihay e = a0a + i Vì a ∈ M và i ∈ I nên e ∈ M Do đó M = X

Vậy I là iđêan tối đại của X

b) Iđêan K là nguyên tố trong X khi và chỉ khi vành thương X/K là mộtmiền nguyên

(⇒) Giả sử Iđêan K là nguyên tố trong X, ta chứng minh vành thươngX/K là một miền nguyên

Thật vậy, K là iđêan nguyên tố của vành X,

Xét X/K = {a + K \ a ∈ X} là vành thương của X theo iđêan K

Vì K nguyên tố nên K 6= X Do đó, X/K có nhều hơn một phần tử.Đơn vị của X/K là e + K với e là đơn vị của X Do X là vành giao hoánnên X/K cũng là vành giao hoán

Giả sử a + K và b + K là hai phần tử tùy ý của X/K;

Thật vậy, X/K là một miền nguyên

Khi đó, X/K có nhiều hơn một phần tử, do đó X 6= K, gọi a, b là các phần

tử thuộc X sao cho ab ∈ K Ta có:

ab + K = (a + K)(b + K) = K = 0 + K.

Vì X/K không có ước của không suy ra

a + K = K hoặc b + K = K hay a ∈ K hoặc b ∈ K

Vậy K là iđêan nguyên tố

3.1 Vành chính

Định nghĩa 3.1 Một miền nguyên X gọi là một vành chính nếu mọiiđêan của X đều là iđêan chính Một miền nguyên chính gọi là một miềniđêan chính

Ví dụ 3.1 Mọi iđêan của vành Z đều có dạng mZ = hmi, do đó đều làiđêan chính.Vậy Z là vành chính

Để thiết lập bao hàm ngược ta cố định g ∈ I

Bởi thuật toán phân chia, ∃q, r ∈ k [x] thỏa mãn r là đa thức đơn và

g = qf + r , với r = 0 hoặc deg(r) < deg(f ) Từ I là iđêan, r = g − qf ∈ I

Bởi bậc của f nhỏ nhất, ta có deg(r) < deg(f ), suy ra r = 0.

⇒ g = qf và g ∈ hf i

Từ g ∈ I là tùy ý, ta có I ⊆ hf i, và do đó I = hf i .3.2 Vành Noetherian

Định nghĩa 3.2 Ta nói rằng một vành X là Noetherian nếu mọi iđêancủa X đều hữu hạn sinh

Mệnh đề 3.2 Cho X là một vành Khi đó, các điều kiện sau là tươngđương:

Do đó, I là một iđêan Từ X là Noetherian, I là hữu hạn sinh,

∃a1, , am ∈ I sao cho, I = ha1, , ami

Suy ra, ∀k ∈ N sao cho a1, , am ∈ Ik và ta có:

I = Ik = Ik+1 = = Ik+n =

(ii) ⇒ (i) Giả sử X thỏa mãn điều kiện mọi dãy tăng các iđêan đều dừng,nhưng X không là Noetherian, và cho I là một iđêan của X và không làhữu hạn sinh.

Chọn a0 ∈ I, và cho I0 = ha0i

Vì I không là hữu hạn sinh nên I0 6= I

Chọn a1 ∈ I\I0 và cho I1 = ha0, a1i

Vì I không là hữu hạn sinh nên I0 ( I1 6= I

Cứ tiếp tục lí luận bằng phương pháp quy nạp, ta được một dãy tăngcác iđêan

I0 ( I1 ( ( In ( không dừng (Mâu thuẫn) 

Định lý 3.1 Mỗi trường là một vành Noetherian

Chứng minh Thật vậy,

Giả sử X là một trường, A / X

Khi đó, nếu A = hai thì ∃a ∈ A, a 6= 0

Do X là một trường nên ∃a−1 ∈ A : 1 = a.a−1 ∈ A

3.3 Vành đa thức

Định nghĩa 3.3 Vành X gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong

X, hay gọi tắt là vành đa thức của ẩn x trên X và ký hiệu là X [x] Cácphần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong X

Trong một đa thức

f (x) = a0x0 + a1x1 + + anxntrong đó: ai, i = 0, 1, 2, , n, gọi là các hệ tử của đa thức

aixi gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt a0x0 = a0 gọi là hạng

tử tự do

Định nghĩa 3.4 Bậc của đa thức khác 0

f (x) = a0x0 + a1x1 + an−1xn−1 + + anxnvới an 6= 0, n ≥ 0, là n Hệ tử an gọi là hệ tử cao nhất của f (x)

Như vậy, ta chỉ định nghĩa bậc của một đa thức khác 0 Đối với đathức 0 ta bảo nó không có bậc

Định lý 3.2 Giả sử f (x) và g(x) là hai đa thức khác 0

(i) Nếu deg f (x) 6= deg g(x), thì ta có:

f (x) + g(x) 6= 0 và bậc (f (x) + g(x)) = max(degf (x), degg(x))

Nếu degf (x) = deg g(x), và nếu f (x) + g(x) 6= 0 , thì ta có

deg(f (x) + g(x)) ≤ max(degf (x), degg(x))(ii) Nếu f (x)g(x) 6= 0, thì ta có:

deg(f (x)g(x)) ≤ degf (x) + degg(x)Định lý 3.3 Nếu X là một miền nguyên f (x) và g(x) là hai đa thức khác

0 của vành X [x] thì f (x)g(x) 6= 0 và

deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x)Chứng minh Giả sử f (x) và g(x) ∈ X [x] là hai đa thức khác 0

f (x) = a0 + a1x1 + + amxm (am 6= 0)g(x) = b0 + b1x1 + + bnxn (bn 6= 0)Theo quy tắc nhân đa thức ta có

f (x)g(x) = a0b0 + (a1 + b1)x1 + + (a0bk+ + akb0)xk+ + ambnxm+n,

vì am, bn 6= 0, nên ambn 6= 0 (X không có ước của không),

Do đó, f (x)g(x) 6= 0 và deg(f (x)g(x)) = m + n = degf (x) + degg(x)



Định lý 3.4 (Phép chia với dư)

Giả sử X là một trường, f (x) và g(x) 6= 0 là hai đa thức của vành

X [x] Thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) ∈ X [x]sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), với degr(x) < degg(x) nếu r(x) 6= 0.Chứng minh Trước hết ta hãy chứng minh tính duy nhất

Giả sử f (x) = g(x)q0(x) + r0(x), với degr0(x) < degg(x) nếu r0(x) 6= 0

Ta suy ra: 0 = g(x)(q(x) − q0(x)) + r(x) − r0(x)

Thay r(x) − r0(x) = g(x)(q0(x) − q(x)) Vì g(x) 6= 0 và A [x] là một miềnnguyên, nên ta suy ra

q(x) − q0(x) = 0 ⇔ r(x) − r0(x) = 0

Giả sử r(x) 6= r0(x),

Khi đó, deg(r(x) − r0(x)) = deg(g(x)(q(x) − q0(x))) = degg(x) +deg(q(x) − q0(x))

Mặt khác, theo giả thiết, ta có:

deg(r(x) − r0(x)) ≤ max(degr(x), degr0(x))

< degg(x) ≤ degg(x) + deg(q(x) − q0(x))

Định nghĩa 3.5 (Nghiệm của một đa thức)

Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành X, f (x) = a0+a1x1+ +anxn

là một đa thức tùy ý của vành X [x]; phần tử

f (x) = a0 + a1c + + ancn ∈ X

có được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f (x) tại c

Nếu f (c) = 0 thì c được gọi là nghiệm của f (x) Tìm nghiệm của f (x)trong X gọi là giải phương trình đại số bậc n

anxn + + a1x + a0trong X, với x là ẩn

Ví dụ 4.1 a) Cho X là tập tùy ý khác rỗng Khi đó τ = {∅; X} là mộttôpô trên X Tôpô này là tôpô yếu nhất trên X, được gọi là tôpô thô.b) Cho X là tập tùy ý khác rỗng Gọi τ là tập tất cả các tập con Gcủa X sao cho G = ∅ hoặc G = X hoặc X\G là một tập hữu hạn Khi đó

Cho không gian tôpô (X, τ ), x ∈ X Ta gọi tập hợp V ⊂ X là một lâncận của điểm x nếu tồn tại một tập hợp G ∈ τ sao cho x ∈ G ⊂ V Tậptất cả các lân cận của điểm x được kí hiệu là νx

Ta thấy rằng với mọi x ∈ X, bản thân không gian X là một lân cậncủa x nên X ∈ νx, vì thế νx 6= ∅ Họ νx có các tính chất sau đây:

Cho (X, τ ) là một không gian tôpô Khi đó tập G ⊂ X được gọi là tập

mở nếu G ∈ τ ; Tập A ⊂ X là tập đóng nếu và chỉ nếu X\A là tập mở.Định lý 4.1 Trong không gian tôpô (X, τ ) ta có:

1) Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở Hợp của một

1) Điểm x ∈ A là một điểm trong của tập A nếu tồn tại một lân cận

V của x nằm hoàn toàn trong A, tức là tồn tại V ∈ νx sao cho V ⊂ A.Tập tất cả các điểm trong của tập A được gọi là phần trong của tập hợp

A và kí hiệu là Int A hoặc A0

2) Điểm x ∈ A là một điểm dính của tập A nếu mọi lân cận của x đềuchứa ít nhất một điểm của A, tức là V ∩ A 6= ∅ với mọi V ∈ νx Tập hợptất cả các điểm dính của tập A được gọi là bao đóng của tập A và được kíhiệu là A

3) Điểm x ∈ X là một điểm tụ của tập A nếu mọi lân cận của x đềuchứa ít nhất một điểm của A khác với x, tức là V ∩ A\ {x} 6= ∅ với mọi

Ngược lại, nếu A = A0 thì mọi điểm của A đều là điểm trong của A,

do đó với mỗi x ∈ A, tồn tại V ∈ νx sao cho V ⊂ A Vì V ∈ νx nên tồntại tập Dx ∈ τ sao cho x ∈ Dx ⊂ V ⊂ A Từ đó ta có: A = S

x∈A

Dx, suy ra

A ∈ τ Theo định nghĩa, A là tập mở

2) Trước hết ta luôn có A ⊂ A

Giả sử A là tập đóng, khi đó tập X\A là tập mở Nếu x /∈ A thì

x ∈ X\A nên tồn tại V ∈ νx sao cho x ∈ V ⊂ X\A

Suy ra V ∪ A = ∅ và do vậy x /∈ A Chứng tỏ, nếu x ∈ A thì x ∈ A, nghĩa

là A ⊂ A Vậy nếu A đóng thì A = A

Ngược lại, giả sử A = A

Lấy một phần tử tùy ý x ∈ X\A = X\A Khi đó x /∈ A nên tồn tại

V ∈ νx sao cho V ∩ A = ∅, vậy ta có V ⊂ X\A nên x ∈ Int(X\A) Vì x ∈X\A là điểm tùy ý suy ra X\A ⊂ Int(X\A) và do đó X\A = Int(X\A)nên X\A là tập mở

Định nghĩa 4.5 (Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô)

Cho f : X −→ Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X đến khônggian tôpô Y Ta nói f liên tục tại x0∈ X nếu và chỉ nếu: Với mọi lân cận

V của f (x0) đều tồn tại lân cận U sao cho f (U ) ⊂ V

Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi điểmcủa X.

Định lý 4.3 Cho f : X −→ Y là một ánh xạ từ không gjan tôpô X đếnkhông gian tôpô Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

1) f liên tục trên X;

2) Nghịch ảnh qua f của mọi tập mở trong Y là tập mở trong X;3) Nghịch ảnh qua f của mọi tập đóng trong Y là tập đóng trong X.Chứng minh (1) ⇒ (2): Cho D là tập mở tùy ý trong Y , ta chứng minhrằng f−1(D) là tập mở trong X

Thật vậy, giả sử x ∈ f−1(D) là điểm tùy ý

Do D là tập mở và f (x) ∈ D neenn D llaf một lân cận của f (x) Vì fliên tục nên tồn tại lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ D, do đó x ∈ U ⊂ f−1

Vậy x là điểm trong của f−1(U )

Do x ∈ f−1(U ) là điểm tùy ý nên ta suy ra f−1(U ) = Intf−1(U ).Vậy f−1(U ) là tập mở

Ngược lại, lấy điểm bất kì x ∈ X và giả sử V là một lân cận tùy

ý của f (x), khi đó tồn tại tập mở D sao cho f (x) ∈ D ⊂ V , suy ra

x ∈ f−1(D) ⊂ f−1(D) ⊂ f−1(V ) Theo giả thiết f−1(D) là tập mở nên

U = f−1(D) là lân cận mở của x và f (U ) ⊂ V , điều này chứng tỏ f liêntục tại x Vì x ∈ X là điểm tùy ý suy ra f liên tục trên X

(2) ⇒ (3): Do với mọi F ⊂ Y ta có X\f−1(F ) = f−1(Y \F ) nên nếu

F là tập đóng trong Y thì Y \F là tập mở và theo giả thiết f−1(Y \F )

là tập mở trong X, do đó X\f−1 là tập mở nên f−1(F ) là tập đóng.Ngược lại, nếu F là tập mở trong Y thì Y \F là tập đóng và theo giả thiết

f−1(Y \F ) = X\f−1 là tập đóng, do đó f−1(F ) là tập mở trong X

Định nghĩa 4.6 (Không gian Hausdorff)

Cho X là không gian tôpô Khi đó, X được gọi là không gian Hausdorff

nếu ∀x, y ∈ X, x 6= y, tồn tại lân cận U của x và tồn tại lân cận V của ysao cho U ∩ V = ∅.

Định nghĩa 4.7 ( Không gian compact)

Cho X là không gian tôpô Tập con A ⊂ X được gọi là tập compacttrong X nếu mọi phủ mở của A đều chứa một phủ con hữu hạn của A.Không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu bản thân X làmột tập compact của X

Định lý 4.4 Cho X là không gian tôpô, khi đó:

1) Nếu X là không gian compact thì mọi tập con đóng của X cũng làcompact

2) Nếu X là không gian tách Hausdorff thì mọi tập compact của Xđều là tập đóng

Chứng minh 1) Giả sử X là không gian compact và A là một tập con đóngcủa X Ta chứng minh A là tập compact Thật vậy,

Giả sử U là một phủ mở bất kì của A

Khi đó, họ U∗ = U ∪ {X\A} là một phủ mở của X

Do X là compact nên U∗ chứa một phủ con hữu hạn U0∗ của X Suy

ra U0 = U0∗\ {X\A} là họ con hữu hạn của U và U0 phủ A

Vậy A là tập compact

2) Giả sử X là không gian tách Hausdorff và A là tập compact của

X Ta chứng minh A là tập đóng, nghĩa là CA là tập mở

Lấy một điểm tùy ý x ∈ CA, khi đó với mỗi y ∈ A ta có y 6= x

Do X là T2- không gian nên tồn tại lân cận mở Ux, Uy theo thứ tự của

x, y sao cho Ux∩ Uy = ∅ Rõ ràng họ {Uy}y∈A là một phủ mở của X, vì A

là tập compact nên họ {Uy}y∈A chứa một họ con hữu hạn phủ A nghĩa làtồn tại y1, y2, , yn ∈ A sao cho A ⊂

m

S

k=1

Uyk

Với mỗi k = 1, m, gọi Uxk là lân cận mở của x tách x, yk cùng với lâncận mở Uyk và đặt U =

m

T

k=1

Uxk.Khi đó U là tập mở chứa x và:

U ⊂ Uxk ⊂ CUykvới mọi k = 1, mnên

có giao điểm ở vô cực Trường hợp đường thẳng là tiếp tuyến thì hai giaođiểm này trùng nhau đó là tiếp điểm chung duy nhất

Tương tự, hai đường cong bậc hai trong cùng mặt phẳng sẽ có tối đavới nhau 2 × 2 = 4 giao điểm và các giao điểm này có thể ở vô cực haychúng trùng nhau tạo thành các tiếp điểm

Định lý 5.2 (Euler)

Cho m nguyên dương Khi đó với mọi số nguyên a nguyên tố với m,