Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học bài tập đại số và giải tích

Nghị quyết 4 của ban chấp hành Trung ơng khoá VII đãnêu: '' Đổi mới phơng pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học, ..., áp dụngnhững phơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dỡng cho họ

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh -  -

Ngời hớng dẫn khoa học:

tS Nguyễn văn thuận

vinh - 2010

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thuận- ngời đã trực tiếp hớng dẫn, giúp đỡ về khoa học cũng nh phong cách làm việc, nghiên cứu trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Bộ môn Lý luận và Phơng pháp dạy học bộ môn Toán, khoa Toán, Trờng Đại học S phạm Vinh đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo và các em học sinh trờng trung học phổ thông Nguyễn Mộng Tuân; các bạn bè đồng nghiệp gần xa đã

cổ vũ, động viên tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này

Luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của ngời đọc

Vinh, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thế Anh Mục lục Trang Mở đầu 1

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 5

1.1.T duy sáng tạo 5

1.1.1 T duy, các hình thức cơ bản của t duy, các thao tác t duy 5

1.1.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo 8

1.1.3 Khái niệm t duy sáng tạo, các thành phần của t duy sáng tạo 11

1.1.4 Một số công trình nghiên cứu về năng lực t duy sáng tạo của học sinh 13 1.2 Phơng hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán 17

1.2.1 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 17

1.2.2 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tởng mới 18

1.2.3 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 19

1.2.4 Chú trọng bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập 19

1.3 Một số vấn đề về hệ thống bài tập toán 20

1.3.1 Vai trò của bài tập toán 20

1.3.2 Những căn cứ xây dựng hệ thống bài tập toán nhằm rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh 21

1.3.3 Một số yêu cầu cơ bản xây dựng hệ thống bài tập toán nhằm phát

triển t duy sáng tạo cho học sinh 24

1.4 Thực tiễn vấn đề rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài tập Đại số và Giải tích 24

1.5 Kết luận chơng 1 26

Chơng 2 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập Đại số và Giải tích nhằm bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho học sinh THPT 27

2.1 Một số yếu tố của t duy sáng tạo của học sinh thể hiện trong giải toán Đại số và Giải tích 27

2.1.1 Tính mềm dẻo 27

2.1.2 Tính nhuần nhuyễn 28

2.1.3 Tính độc đáo 28

2.2 Giải pháp 1: Lựa chọn, sắp xếp, bổ sung những bài tập nhằm bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo 29

2.2.1 Rèn luyện tính mềm dẻo của t duy sáng tạo 30

2.2.1.1 Dạng bài tập có nhiều cách giải 30

2.2.1.2 Dạng bài tập có nội dung biến đổi 41

2.2.1.3 Dạng bài tập khác kiểu 48

2.2.1.4 Dạng bài tập thuận nghịch 52

2.2.1.5 Dạng bài tập có tính đặc thù 58

2.2.1.6 Dạng bài tập "mở" 61

2.2.2 Rèn luyện tính nhuần nhuyễn của t duy sáng tạo 66

2.2.2.1 Dạng bài tập có nhiều kết quả 66

2.2.2.2 Dạng bài tập "câm." 73

2.2.3 Rèn luyện tính độc đáo của t duy sáng tạo 77

2.2.3.1 Dạng bài tập không theo mẫu 72

2.2.3.2 Dạng toán vui, toán đố, toán nguỵ biện 75

2.3 Giải pháp 2: Rèn luyện năng lực sáng tạo bài toán mới trên cơ sở tăng

c-ờng phối hợp các hoạt động trí tuệ 87

2.4 Giải pháp 3: Rèn luyện khả năng khám phá những phơng pháp giải toán mới cho học sinh 97

2.5 Kết luận chơng 2 102

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm 103

3.1 Mục đích, nội dung thực nghiệm s phạm 103

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 103

3.1.2 Nội dung thực nghiệm 103

3.2 Kết quả thực nghiệm 105

3.3 Kết luận chơng 3 107

Kết luận 108

Tài liệu tham khảo 109

Phụ lục 111

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phát triển năng lực t duy sáng tạo cho học sinh là một nhiệm vụ quantrọng của nhà trờng phổ thông Để nâng cao chất lợng giáo dục đáp ứng yêu cầucủa đất nớc, vấn đề cấp bách là phải đổi mới việc dạy và học Tại Hội nghị đổimới phơng pháp dạy- học ở Đại học và Cao đẳng năm 2003, Giáo s Hoàng Tụy

đã nhấn mạnh:

Điều gì quyết định bớc tiến nhanh hay chậm của các dân tộc? Cái gì là lực đẩy mạnh nhất trong thế giới ngày nay? Đã đành khoa học, công nghệ, sự hiểu biết có vai trò then chốt, nhng xét cho cùng lực đẩy chủ yếu của tất cả những thứ đó là sức sáng tạo của con ngời, là ý chí và khả năng t duy uyển chuyển, đầu óc tìm tòi, luôn hớng tới trớc, trí tởng tợng sinh động, năng lực đề xuất và tổ chức thực hiện những ý tởng mới Những đức tính này muôn thủa đều quan trọng, nhng đặc biệt quan trọng là ở thời đại văn minh trí tuệ khi sự giàu

có tài nguyên và dồi dào phơng tiện vật chất không còn là yếu tố quyết định sự phát triển nh tất cả chúng ta đều nghe nói và cảm nhận ngày càng rõ rệt Chính vì thế, trong khoảng mơi năm nay, các nền giáo dục tiên tiến thế giới đều nhấn mạnh sức sáng tạo nh là một mục tiêu mọi sự đổi mới về nội dung, phơng pháp,

tổ chức và dạy học Ngời ta thờng nhắc tới lời khuyên của Einstein: Tri thức quan trọng, nhng trí tởng tợng còn quan trọng hơn, vì có tri thức mà kém tởng t- ợng thì không thể có ý tởng mới, không thể có sáng tạo Mà kém ý tởng, kém sáng tạo thì chỉ có đứng lại và thời nay đứng lại hay đi chậm đều đồng nghĩa với thụt lùi hay tụt hậu.

Có thể nói rằng, trong thế giới ngày nay, thời đại của nền kinh tế trí thức,ngời ta coi sáng tạo là yếu tố đặc trng của con ngời thế kỉ XXI Nhiều nhà giáodục hầu hết các nớc đã và đang nỗ lực nghiên cứu tìm kiếm các quan niệm, hìnhthức, phơng pháp dạy học nhằm bồi dỡng và phát triển t duy tích cực, độc lập vàsáng tạo cho học sinh để thay thế cho cách học thụ động, ít hiệu quả, bị chế địnhbởi các hình thức và phơng pháp dạy học truyền thống

Trong giai đoạn đổi mới ở nớc ta hiện nay với xu thế hội nhập ngày càng

đa dạng, dạy học sáng tạo không chỉ mang tính thời đại mà còn thực sự trở thànhmột nhu cầu cấp thiết Nghị quyết 4 của ban chấp hành Trung ơng khoá VII đãnêu: '' Đổi mới phơng pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học, , áp dụngnhững phơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dỡng cho học sinh năng lực t duysáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề Chú ý bồi dỡng những học sinh có năngkhiếu'' Đợc học tập sáng tạo trong nhà trờng, học sinh có khả năng tiếp tục họctập suốt đời, trở thành những ngời lao động sáng tạo trong nhiều lĩnh vực của

cuộc sống, sẵn sàng thích nghi với xã hội không ngừng đổi mới Vấn đề dạy họctoán trong nhà trờng phổ thông hiện nay nói chung tuy đã có những đổi mới vềphơng pháp giảng dạy cũng nh nội dung chơng trình nhng vẫn còn tồn tại phơngpháp dạy học cũ, thiếu tính tích cực từ phía ngời học, thiên về dạy, yếu về học,không kiểm soát đợc việc học Chính vì vậy có chăng học sinh mới có đợc khảnăng giải quyết vấn đề mà ít có đợc khả năng nêu vấn đề mới, không có thờigian và điều kiện để phát triển năng lực sáng tạo Và nh vậy cha đáp ứng đợc yêucầu đổi mới dạy học hiện nay.

Môn Toán là môn học công cụ, có tác dụng cơ bản trong việc rèn luyệnphát triển t duy sáng tạo Có thể đánh giá một cách chủ quan rằng môn Toán cónhiều điều kiện để vận dụng quan điểm dạy học sáng tạo hơn so với môn họckhác, và để làm tốt điều này, đòi hỏi phải có sự đầu t nghiên cứu kỹ lỡng về cơ

sở lý luận cũng nh thực tiễn; đòi hỏi ngày càng có nhiều ngời quan tâm nghiêncứu ở nhiều cấp độ khác nhau, góp phần tích cực vào quá trình đổi mới phơngpháp dạy học, không ngừng nâng cao chất lợng giảng dạy trong nhà trờng phổthông nớc ta hiện nay

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: " Góp phần bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học bài tập Đại

số và Giải tích " để thông qua đó có điều kiện tìm hiểu, học tập, nghiên cứu

nhằm đề xuất một số giải pháp tăng cờng hiệu quả của việc dạy học trong nhà ờng phổ thông hiện nay

tr-2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng một phơng án nhằm bồi dỡng một số yếu tố cụ thể của t duy sángtạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học bài tập Đại số và Giải tích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về t duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và phát triểnloại hình này cho học sinh trung học phổ thông

- Tìm hiểu thực tiễn vấn đề phát triển t duy sáng tạo cho học sinh phổ thông

- Bớc đầu xác định một số yếu tố của t duy sáng tạo thể hiện trong Đại số và Giảitích

- Lựa chọn, xây dựng một hệ thống bài tập Đại số và Giải tích nhằm góp phầnbồi dỡng một số yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo cho học sinh trung học phổthông Thông qua hệ thống bài tập đó, bớc đầu đề xuất giải pháp thực hiện trongdạy học để nâng cao hiệu quả rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh

- Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của phơng pháp dạy học chú ý bồi dỡngcác yếu tố của t duy sáng tạo trên cơ sở thực nghiệm s phạm hệ thống bài tập đã

đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng lý luận về t duy sáng tạo và nắm vững các yếu tố của nóbiểu hiện trong bài tập Đại số và Giải tích, từ đó xây dựng hệ thống bài tập theohớng rèn luyện t duy sáng tạo và khai thác hợp lý trong dạy học thì có thể gópphần phát triển t duy sáng tạo toán học cho học sinh trung học phổ thông

5 Phơng pháp nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phơng pháp nghiên cứu sau:Nghiên cứu lý luận và kết hợp với phơng pháp điều tra thực tiễn, trao đổi kinhnghiệm, thực nghiệm s phạm

- Phơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu về t duy sáng tạo trong các tài liệu

lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, bài giảng, tạpchí giáo dục

- Phơng pháp trao đổi kinh nghiệm và thực nghiệm s phạm: Dựa trên trao đổi vớicác thầy cô giáo có kinh nghiệm giảng dạy và kinh nghiệm của bản thân, tiếnhành thực nghiệm s phạm

6 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Nghiên cú các giải pháp phát triển t duy sáng tạo cho học sinh thông quaviệc xây dựng và khai thác một số bài tập Đại số và Giải tích trong dạy học

7 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chơng 2: Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập Đại số và Giải tích

nhằm bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn1.1 T duy sáng tạo

1.1.1. T duy, các hình thức cơ bản của t duy, các thao tác t duy.

a) Khái niệm về t duy

T duy là "sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quátrình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tợng, kháiniệm, phán đoán T duy bao giờ cũng liên hệ với một hình thức nhất định của sựvận động của vật chất với sự hoạt động của óc Khoa học hiện đại đã chứngminh rằng t duy là đặc tính của vật chất."

T Paplôv đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ cấuvật chất của hoạt động tâm lý Ông viết:" Hoạt động tâm lý là kết quả của hoạt

động sinh lý của một bộ phận nhất định của óc"

"Cơ sở trực tiếp của t duy là những tri giác và biểu tợng hình thành do sự tác

động của tự nhiên vào khí quan cảm giác trong quá trình hoạt động thực tiễn củacon ngời Đó là nguồn gốc của t duy"

"Không còn nghi ngờ gì nữa, trong tơng lai t duy sẽ đợc quy kết thành nhữngvận động phân tử và hóa học nhất định của óc, nghĩa là t duy sẽ cho những sựvận động đó giải thích" [25, tr.873 - 876]

Theo tâm lý học, t duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tínhbản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật,hiện tợng trong hiện thực khách quan mà trớc đó ta cha biết

Từ điển Tiếng Việt nêu rõ: "T duy là giai đoạn cao của quá trình nhậnthức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng nhữnghình thức nh biểu tợng, khái niệm, phán đoán và suy lý" [26, tr.1437]

Một đặc điểm nổi bật của t duy là tính "có vấn đề" ở hoàn cảnh, tìnhhuống có vấn đề mà sự giải quyết vấn đề đó gợi lên một nhu cầu và nằm trong

khả năng hiểu biết tri thức của chủ thể nhận thức thì t duy đợc hình thành và pháttriển.

Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tduy toán học là:

 Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế

 Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất đến mục đích

 Phân chia rành mạch các bớc suy luận

 Sử dụng chính xác các kí hiệu

 Lập luận có căn cứ đầy đủ

b) Các hình thức cơ bản của t duy

Khái niệm: Khái niệm là một hình thức t duy phản ánh một lớp đối tợng

và do đó nó có thể đợc xem xét theo hai phơng diện: Ngoại diên và nội hàm Bảnthân lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi là ngoại diên, còn toàn bộ cácthuộc tính chung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của lớp đối tợng đó.Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: nội hàm càng đợc

mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngợc lại

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì kháiniệm A gọi là khái niệm chủng của B, còn khái niệm B đợc gọi là khái niệm loạicủa A

Trong Toán học ngời ta còn sử dụng những khái niệm không định nghĩa,còn gọi là khái niệm nguyên thủy làm cơ sở xây dựng hệ thống các khái niệmToán học nh: điểm, đờng thẳng, mặt phẳng

Phán đoán: Phán đoán là hình thức t duy trong đó khẳng định một dấuhiệu thuộc hay không thuộc một đối tợng Phán đoán có tính chất hoặc đúnghoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trờng hợp đó mà thôi

Trong t duy, phán đoán đợc hình thành bởi hai phơng thức chủ yếu: trựctiếp và gián tiếp Trong trờng hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiêncứu của quá trình tri giác một đối tợng, còn trong trờng hợp thứ hai, phán đoán

đợc hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng

nh các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán vềnhững đối tợng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm

Suy luận: Suy luận là một quá trình t duy có quy luật, quy tắc nhất định(gọi là quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo quyluật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp, suy diễn đi từcái tổng quát đến cái riêng còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau, quy nạp

để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngợc lại suy diễnkiểm chứng kết quả của quy nạp

So sánh - tơng tự: So sánh là thao tác t duy nhằm xác định sự giống nhauhay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay khôngbằng nhau giữa các đối tợng nhận thức So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích,tổng hợp và đối với các hình thức t duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhngvẫn có thể nhận thức đợc những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tợng

Tơng tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tợng giống nhau ở một số dấuhiệu rút ra kết luận hai đối tợng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Trongcuốn sách "Toán học và những suy luận có lý", G.Polya viết: "Hai hệ là tơng tựnếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa bộphận tơng ứng" [20, tr.29]

Nh vậy tơng tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tợng ở một mức

độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Khái quát hoá - đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác t duy nhằm hợpnhất nhiều đối tợng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính,những liên hệ hay quan hệ chung nhất định Các thuộc tính chung đó gồm hailoại nh: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo GS Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối ợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung củacác phần tử trong tập hợp xuất phát" [13, tr 46]

t-Nh vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt

đến cái chung, cái tổng quát hoặc từ một cái tổng quát đến cái tổng quát hơn.Trong toán học ngời ta thờng khái quát hoá một số yếu tố hoặc nhiều yếu tố củakhái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác t duy ngợc của khái quát hóa

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá thờng đợc vận dụng trongtìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó, ta muốn khái quát hóa ta thử đặc biệthóa Nếu kết quả là của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự

đoán từ khái quát hóa Nhng nếu sai thì dừng lại

Trừu tợng hoá: Trừu tợng hoá là thao tác t duy nhằm gạt bỏ những mặt,những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lạicác yếu tố cần thiết cho t duy Tất nhiên sự phân biệt bản chất hay không bảnchất ở dạy chỉ mang ý nghĩa tơng đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.1.2 Sáng tạo và quá trình sáng tạo.

a) Khái niệm về sáng tạo

Theo từ điển Tiếng Việt: "Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết cái mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có (cái mới, cách giải quyết mới phải

có ý nghĩa, có giá trị xã hội)" [26, tr.1130]

Dới góc độ một phạm trù triết học, sáng tạo đợc hiểu "là quá trình hoạt

động của con ngời tạo ra những giá trị vật chất, tinh thần mới về chất"

Dới góc độ tâm lý học, sáng tạo đợc hiểu là một năng lực tâm lý: "Sángtạo là năng lực đáp ứng một cách thích đáng nhu cầu tồn tại theo lối mới, nănglực gây ra cái gì đấy mới mẻ" [27, tr.28]

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: "Sáng tạo là sự vận động của t duy

từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới" [28, tr.7]

Từ những quan điểm trên, ta có thể quan niệm: Một quá trình t duy đợccoi là sáng tạo nếu nó tạo ra cái mới Tuy nhiên cần chú ý là ta nhấn mạnh cáimới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thờng nẩy sinh và kế thừa từ cái

cũ, hay nói cách khác cái cũ đã chứa mầm mống nảy sinh cái mới Vấn đề nhìncái cũ nh thế nào rất quan trọng

Tuy nhiên nói "sáng tạo" là có tính tơng đối Một phát hiện có thể coi làsáng tạo trong một hoàn cảnh nào đó, cha chắc đã đợc coi là sáng tạo trong mộttình huống, hoàn cảnh khác Một phát hiện có thể là sáng tạo với ngời này nhngkhông phải mới mẻ với ngời khác; sáng tạo ở thời điểm này nhng không là sángtạo ở thời điểm khác;

Trong Toán học nói riêng và các môn khoa học nói chung, việc giải quyếtvấn đề đã quan trọng, nhng nêu vấn đề cũng không kém phần quan trọng và đợc

đánh giá rất cao Thậm chí Albert Einstein còn cho rằng: "Việc thiết lập vấn đềthờng thiết yếu hơn việc giải quyết vấn đề đó, vì giải quyết chỉ là công việc của

kỹ năng toán học hay kinh nghiệm Nêu đợc vấn đề mới, những khả năng mớinhìn nhận những vấn đề cũ dới một góc độ mới đòi hỏi phải có trí tởng tợng và

nó đánh dấu bớc tiến bộ thực sự của khoa học" [27, tr.35] Sáng tạo chính là nêuvấn đề.

Với nhận thức nh trên, trong dạy học sáng tạo phải luyện tập cho học sinh thói quen và khả năng biến đổi các sự vật, hiện tợng, quá trình Đồng thời, đối với học sinh phổ thông, sự sáng tạo đối với họ không nhất thiết đòi hỏi phải đa ra cái mới đối với nhân loại Nếu họ đơng đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập những vấn đề đó để thu đợc cái mới mà họ cha từng biết, hoặc thu đợc các kết quả bằng những thủ pháp mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng tạo.

b) Quá trình sáng tạo

Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình sáng tạotrải qua bốn giai đoạn:

 Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải

quyết vấn đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan

 Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn đềmột cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, cáchoạt động bổ xung cho vấn đề đợc quan tâm

 Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự "bừng sáng"

trực giác, một bớc nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện

đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo Đây là giai đoạn quyết định trong quátrình tìm kiếm lời giải

 Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khaicác luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cáchthức giải quyết vấn đề, khi đó sự sáng tạo mới đợc khẳng định

Quá trình sáng tạo có một số đặc điểm sau:

- Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới

- Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

- Nhận ra chức năng mới ở những điều kiện quen thuộc

- Nhận ra cấu trúc của đối tợng đang nghiên cứu

- Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm

đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

- Năng lực tìm kiếm và quyết định phơng pháp giải quyết độc đáo trong khi

đã biết đợc nhiều phơng pháp truyền thống

- Tính kế hoạch, tỉ mỉ, chuyên cần, kiên định mục đích

Trong quá trình sáng tạo toán học, thờng xuất hiện những trạng thái hay tìnhhuống một t tởng nào đó đột nhiên "bừng sáng" trong đầu óc con ngời hoặc đặtcon ngời trong trạng thái "hứng khởi" cao độ, khi đó các t tởng hình nh cứ theomhau kéo đến một cách dồn dập, những "ý hay", theo cách nói của G.Polya, sẽgiúp họ đi đến những kết quả mới.

1.1.3 Khái niệm t duy sáng tạo, các thành phần của t duy sáng tạo.

a) T duy sáng tạo:

Trong [12], các tác giả cho rằng: "T duy sáng tạo là một dạng t duy độclập, tạo ra ý tởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao ý tởng mớithể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính

độc đáo của ý tởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duynhất" [12, tr.72]

Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: "T duy sáng tạo là hạt nhân của sự sángtạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục" Còn khi xem xét t duysáng tạo trên bình diện nh một năng lực của con ngời thì J.Danton quan niệm:

"T duy sáng tạo, đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấynhững mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến thức, trí tởng tợng và sự

đánh giá…"."

Tuỳ vào mức độ t duy, ngời ta chia nó thành: t duy tích cực, t duy độc lập,

t duy sáng tạo, mỗi mức độ t duy đi trớc là tiền đề tạo nên mức độ t duy đi sau

Đối với chủ thể nhận thức, t duy tích cực đặc trng bởi sự khát vọng, sự cố gắngtrí tuệ và nghị lực còn t duy độc lập thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giảiquyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt đợc Không thể có t duy sángtạo nếu không có t duy tích cực và t duy độc lập Mặt khác, một số tác giả chorằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiếtcủa t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của t duy sángtạo" [13, tr.50]

Có thể biểu thị mối quan hệ giữa các loại hình t duy nh sau:

Nhà tâm lý học V.A Cruchetxki lấy ví dụ cho ba loại hình t duy:

- Mức t duy tích cực: Học sinh chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tham gia nhiệt tình vào bài giảng.

- Mức t duy độc lập: Học sinh tự đọc, tự chứng minh các vấn đề đuợc thầy nêu

ra, có thể là nghiên cứu gợi ý hoặc thậm chí đáp án, miễn là hoạt động độc lậptheo dụng ý trớc của thầy (định hớng)

- Mức t duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá ra định lý, tự chứng minh định lý

đó

Về mặt tâm lý học, t duy sáng tạo có những dấu hiệu đặc trng nh:

- Sản phẩm của t duy có tính mới mẻ và giá trị (có thể theo nghĩa chủ quanhay khách quan)

- Quá trình t duy đợc chỉ đạo bởi t tởng, quan điểm, phơng pháp luận tiến bộ

so với thực tại xã hội

- Quá trình t duy còn đợc đặc trng bởi sự tồn tại của động cơ mạnh, của tínhkiên trì vợt khó khăn, sự nỗ lực cá nhân vợt bậc và của nhiều phẩm chất đặc biệtkhác nhau thuộc nhân cách

Tuy vậy, nh một quá trình sáng tạo, t duy sáng tạo có tính chất tơng đối: Tduy sáng tạo của ai, trong hoàn cảnh nào? Cùng một chủ thể giải quyết vấn đềtrong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo nhng không sáng tạo trong điềukiện khác, hoặc cùng một vấn đề đợc giải quyết có thể đối với ngời này là mangtính sáng tạo còn với ngời khác thì không nh vậy

b) Các thành phần của t duy sáng tạo

Nhiều nghiên cứu đã đa ra các cấu trúc khác nhau của t duy sáng tạo, tuynhiên theo [12] thì t duy sáng tạo đợc đặc trng bởi ba yếu tố cơ bản sau đây:

+) Tính mềm dẻo (flexibility): Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh

chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độquan niệm khác, có khả năng định nghĩa lại sự vật, hiện tợng, xây dựng phơngpháp t duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổiquan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo của tduy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trítuệ của con ngời

+) Tính nhuần nhuyễn (fluency): Đó là năng lực tạo ra một cách nhanhchóng sự tổ hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đa ra giả thuyết về

ý tởng mới Tính nhuần nhuyễn đợc đặc trng bởi khả năng tạo ra một số lợngnhất định các ý tởng trong một đơn vị thời gian Số ý tởng nghĩ ra càng nhiều thìcàng có khả năng xuất hiện ý tởng độc đáo, điều này phù hợp với quy luật lợng

đổi, chất đổi của triết học duy vật biện chứng

+) Tính độc đáo ( orginality) : Là khả năng tìm và quyết định phơng

thức giải quyết lạ hoặc duy nhất

Ngoài ra, chúng ta cũng cần quan tâm tới một vài yếu tố đặc trng khác của

t duy sáng tạo nh:

+) Tính hoàn thiện (elabolation): Là khả năng lập kế hoạch, phối hợpcác ý nghĩ và hành động, phát triển ý tởng, kiểm tra và chứng minh ý tởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề (problem's sensibility ): Là năng lực nhanh

chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, cha tối u và từ đó

đề xuất hớng giải quyết, tạo ra cái mới

Ngoài ra còn có các yếu tố quan trọng khác nh: Tính chính xác (precise),năng lực định giá (ability to valued), phán đoán (decide), năng lực định nghĩa lại(redefinition)

Tuy nhiên có thể thấy: Các yếu tố đặc trng cơ bản của t duy sáng tạo nóitrên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổsung cho nhau Tất cả các yếu tố đặc trng nói trên cùng góp phần tạo nên t duysáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngời

1.1.4 Một số công trình nghiên cứu về năng lực t duy sáng tạo của học sinh.

Cho đến nay, trên thế giới nói chung và ở Việt Nam nói riêng đã có nhiềucông trình nghiên cứu về năng lực sáng tạo cũng nh về vấn đề bồi dỡng, rènluyện năng lực t duy sáng tạo cho học sinh Trên thế giới, từ những năm 50 củathế kỷ XX trở lại đây các công trình nghiên cứu về năng khiếu và tài năng pháttriển rất mạnh mẽ

Vào năm 1960, các nhà trắc nghiệm Mỹ J.W Getzels và P.W Jackson đãthông báo các số liệu chứng tỏ không có sự phụ thuộc giữa các chỉ số trí tuệ (chỉ

số IQ) và năng lực sáng tạo (creativity) Vì vậy, để đánh giá năng lực sáng tạongời ta dựa vào chỉ số CrQ với các tham số nh: Tính linh hoạt của t duy (số lợngcác ý tởng xuất hiện trong một đơn vị thời gian), tính mềm dẻo của t duy (nănglực chuyển từ ý tởng này sang ý tởng khác), tính độc đáo của t duy (năng lực sảnsinh ra các ý tởng khác với các quan niệm đã đợc công nhận chung), tính nhạycảm (đối với các vấn đề trong thế giới xung quanh), năng lực vạch ra các giảthuyết; tính viễn tởng…".Việc tách biệt giữa các chỉ số IQ và chỉ số Cr đã đặt nềntảng cho việc đặt đối lập giữa logic và sáng tạo

`Trong [24], V.A Cruchetxki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán họccủa học sinh Năng lực ở đây đợc hiểu theo hai nghĩa, hai mức độ:

+) Một là, theo nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việchọc toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trờng phổ thông, nắm một cáchnhanh và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tơng ứng

+) Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực đối vớihoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan, có một giá trịlớn đối với loài ngời.

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt

đối Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập đến năng lựcsáng tạo Có nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình toán học một cách

độc lập và sáng tạo, đã tự đặt ra và giải những bài toán không phức tạp lắm, đã tựtìm ra các con đờng, các phơng pháp sáng tạo để chứng minh các

định lí, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phơng pháp giải độc đáonhững bài toán không mẫu mực…"

Tác giả đã sử dụng một hệ thống bài toán thực nghiệm đợc chọn lọc mộtcách công phu để nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh Từ các kếtquả nghiên cứu đó, tác giả kết luận: Tính linh hoạt của quá trình t duy khi giảitoán thể hiện trong việc dễ dàng và nhanh chóng chuyển từ một thao tác trí tuệnày sang một thao tác trí tuệ khác, trong tính đa dạng của các cách xử lý khi giảitoán, trong việc thoát khỏi ảnh hởng kìm hãm của những phơng pháp dập khuôn

Cruchetxki cũng nghiên cứu sâu về tính thuận nghịch của quá trình t duytrong lập luận toán học (khả năng chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ t duy thuậnsang t duy đảo) Tác giả đã nêu lên sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toánhọc ở lứa tuổi học sinh bao gồm các mặt:

+) Thu nhận thông tin toán học+) Chế biến thông tin toán học+) Lu trữ thông tin toán học+) Thành phần tổng hợp khái quát

Trong đó, tính linh hoạt của t duy trong hoạt động toán học, năng lựcnhanh chóng và dễ dàng sửa lại phơng hớng của quá trình t duy, năng lực nhanhchóng chuyển từ t duy thuận sang t duy đảo là những thành phần quan trọng vềmặt chế biến thông tin toán học Đặc biệt năng lực khái quát hóa tài liệu toánhọc đợc coi là thành phần cơ bản của năng lực toán học

ở nớc ta khi nói đến những công trình nghiên cứu về năng lực sáng tạotoán học của học sinh trong những năm vừa qua, trớc hết phải kể đến tác giảNguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng, Phạm Gia Đức, Phạm Văn Hoàn, Trần ThúcTrình, Phạm Gia Cốc, Tôn Thân, Trần Luận,…"

Trong [4], tác giả Hoàng Chúng đã nghiên cứu về vấn đề rèn luyện chohọc sinh các phơng pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học, cụ thể là ph-

ơng pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tơng tự Trong tài liệu này, tác giả đãphân tích vấn đề trên một hệ thống ví dụ cụ thể kèm theo việc đề xuất một số l-

ợng bài tập thực hành hết sức phong phú Đặc biệt là, để giúp học sinh rèn luyệnphơng pháp t duy, tác giả đã vạch ra và phân tích kĩ quá trình suy nghĩ để tìm lờigiải hoặc sáng tạo các bài toán mới cũng nh việc phân tích về những khó khănthờng gặp khi giải toán và phơng hớng khắc phục những khó khăn đó Đó là việc

mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra các phơng pháp giải bài toán để mở rộng,

đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạotoán học, ngoài lòng say mê học tập cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đềmột cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọngdới đây:

+) Khả năng phân tích các niệm, bài toán, kết quả đã biết dới nhiều khíacạnh khác nhau từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tơng tự theo nhiều khíacạnh khác nhau

+) Khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác cáclời giải đó để giải các bài toán tơng tự hay tổng quát hơn hoặc là đề xuất các bàitoán mới

Trong [21], tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã đề ra mục đích chủ yếu củacuốn sách là rèn luyện t duy sáng tạo nhất là t duy biện chứng, đặt trọng tâm vàoviệc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện t duy biện chứng thông qualao động tìm tòi cái mới Tác giả khẳng định: "Muốn sáng tạo, muốn tìm ra cáimới thì trớc hết phải có "vấn đề" có thể do tự mình phát hiện, có thể do ngờikhác đề xuất cho mình giải quyết Nhng muốn trở thành một ngời có khả năngchủ động độc lập nghiên cứu thì phải lo bồi dỡng năng lực "phát hiện vấn đề"[21, tr.166]

Để đi đến cái mới trong Toán học, phải kết hợp đợc t duy logic và t duybiện chứng, cả t duy hình tợng và thói quen tìm tòi thực nghiệm Trong việc pháthiện vấn đề và định hớng cho cách giải quyết vấn đề thì t duy biện chứng đóngvai trò chủ đạo Khi hớng giải quyết vấn đề đã có thì t duy lôgic giữ vai tròchính Thông qua mời đề tài đợc chọn trong cuốn sách, tác giả khẳng định: "Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng là phải giỏi vừa cả về phân tích, vừa cả tổnghợp, phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiệncho cái kia" [24, tr.178]

Trong [7], các tác giả Phạm Gia Đức và Phạm Văn Hoàn đã nêu rõ :

"Rèn luyện kỹ năng công tác độc lập là phơng thức hiệu quả nhất để học sinhhiểu kiến thức một cách sâu sắc, có ý thức và sáng tạo" Vốn kiến thức thu nhận

đợc ở nhà trờng "chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu ngời học sinh biết sử dụng nómột cách sáng tạo bằng công tác độc lập suy nghĩ của bản thân đã đợc tôi luyện.Học sinh không thể có t duy sáng tạo nếu không có t duy độc lập Các tác giả

nhấn mạnh: Công tác độc lập cần phải phát triển ở học sinh sự hoạt động của tduy và sáng tạo" [7, tr.9].

Khi trình bày về công tác độc lập của học sinh trong việc giải bài tập toán,các tác giả lu ý đến một trong những hình thức cao của công tác độc lập đòi hỏinhiều sáng tạo là việc học sinh tự ra lấy đề toán Đó là biện pháp để bồi dỡng tduy sáng tạo cho học sinh Trong quá trình đề xuất bài toán mới, phát hiện vấn

đề mới, các phẩm chất của t duy sáng tạo đợc nảy nở và phát triển Các giáotrình [13] và [12], khi nói đến nhiệm vụ của môn toán đều nhấn mạnh đến nhiệm

vụ phát triển năng lực trí tuệ chung, trong đó có nhiệm vụ hình thành nhữngphẩm chất trí tuệ, đặc biệt là các phẩm chất t duy sáng tạo Trong [12], NguyễnBá Kim đã phân tích: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những

điều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khácnhau của t duy sáng tạo Tính sáng tạo của t duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo racái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấnmạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thờng nảy sinh, bắtnguồn từ cái cũ nhng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ nh thế nào" [15, tr.50]

Trong [10], các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn GiaCốc đã khẳng định: " phát triển những năng lực toán học ở học sinh là mộtnhiệm vụ quan trọng của ngời thầy giáo…"." [10, tr.130]

Nh vậy, chúng ta có thể thấy rằng đã có nhiều nhà tâm lý học, giáo dụchọc trong và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu về năng lực và cấu trúc của t duysáng tạo của học sinh Đó là một năng lực hết sức quan trọng trong cấu trúc nănglực toán học của học sinh

1.2 Phơng hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

1.2.1 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác.

Việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh cần đợc tiến hành trong mốiquan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng

tự, trừu tợng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp

đóng vai trò nền tảng Để bồi dỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của t duy,học sinh cần đợc luyện tập thờng xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thờivới tổng hợp để nhìn thấy đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau Trên cơ sở sosánh từng trờng hợp riêng lẻ, dùng phép tơng tự để chuyển từ trờng hợp riêngnày sang trờng hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tợng hóa,làm rõ mối quan hệ chung với mệnh đề chung riêng giữa mệnh đề xuất phát vàmệnh đề tìm đợc bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể tập luyện cho học

sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm đợc nhiều giải pháp trênnhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trongnhững sự kiện bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giảipháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dỡng tính nhuần nhuyễncũng nh tính độc đáo của t duy.

Theo Hoàng Chúng (trong [4]), các phơng pháp đặc biệt hoá, tổng quáthoá và tơng tự có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vậndụng các phơng pháp này để giải các bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kếtquả, tìm ra phơng hớng giải bài toán để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa cáckiến thức, từ đó giúp phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới, hoặcgiúp ta nhìn thấy sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau Nhờ có những phơngpháp đó, học sinh có thể mở rộng, đào sâu kiến thức bằng cách nêu lên và giảiquyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tơng tự, hoặc đi sâu vào nhữngtrờng hợp đặc biệt có ý nghĩa toán học

1.2.2 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tởng mới.

Khi dạy lý thuyết, giáo viên cần tận dụng phơng pháp tập dợt nghiên cứu,trong đó giáo viên cần tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìmtòi khám phá kiến thức mới Trong quá trình này, tuỳ theo từng loại đối tợng màhọc sinh tự lực tiếp cận các kiến thức với các mức độ khác nhau Chú ý thờngxuyên tập dợt cho học sinh suy luận có lý (thông qua quan sát, so sánh, đặc biệthóa, khái quát hóa, quy nạp, tơng tự,…".) để có thể tự mình tìm tòi, dự đoán cáckết quả, để tìm cách giải một bài toán, chứng minh một định lý, bồi dỡng chohọc sinh các phơng pháp chứng minh toán học nh phân tích, tổng hợp, phảnchứng, quy nạp để có thể tự mình tìm tòi, dự đoán đợc các qui luật của thế giớikhách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán đợc kết quả, tìm đợchớng giải của một bài toán, hớng chứng minh định lý Nói cách khác là tăng c-ờng cả hai bớc suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy toán

Khi luyện tập củng cố, chẳng hạn khi học sinh học một qui tắc nào đó, cầnlựa chọn một vài ví dụ có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổngquát để khắc phục tính ỳ của t duy, tránh hành động máy móc, không thay đổiphù hợp với điều kiện mới Cần coi trọng các bài tập trong đó cha rõ vấn đề cầnchứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyếtvấn đề

1.2.3 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh là một qúa trình lâu dài cần tiếnhành thờng xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm kháctrong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng nh các hoạt

động ngoại khoá Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp đợc rèn luyện khả năng

t duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc tự sángtác những đề toán, tìm tòi những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từcác bài toán đã giải

Khâu kiểm tra đánh giá phải đợc xem là khâu quan trọng song song vớiviệc dạy học Các đề kiểm tra, các đề thi cần đợc soạn với yêu cầu ngoài việckiểm tra việc nắm bắt các kiến thức cơ bản còn phải có những câu kiểm tra đợcnăng lực t duy sáng tạo của học sinh Học sinh chỉ có thể làm đợc hoàn chỉnhcác đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ năng lực t duy sáng tạo của bản thân chứkhông phải chỉ là học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo

Ngoài ra cần tổ chức các hoạt động ngoại khóa, câu lạc bộ toán học Cáchoạt động đó tạo điều kiện cho học sinh có dịp đợc rèn luyện khả năng t duysáng tạo, rèn luyện cho học sinh khả năng làm việc độc lập và kích thích hứngthú học tập của học sinh

1.2.4 Chú trọng bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo qua việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập.

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dỡng từng yếu tố của tduy sáng tạo, đặc biệt là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thểkhai thác nội dung các vấn đề dạy học, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằmgiúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắmvững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh đợc lối học thuộc lòng máymóc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu

tố của t duy sáng tạo Chẳng hạn nh đa ra những bài tập có cách giải riêng đơngiản hơn là áp dụng công thức tổng quát để tránh tính ỳ của t duy, tránh hành

động máy móc không thay đổi phù hợp với điều kiện mới Việc đa ra những bàitập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phơng phápnày sang phơng pháp khác; những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liềnvới nhau, song song với nhau giúp học sinh hình thành các liên tởng ngợc đồngthời với liên tởng thuận Bên cạnh đó, giáo viên cần khuyến khích học sinh tìmnhiều lời giải khác nhau của một bài toán Yêu cầu này đòi hỏi các em phải biếtvận dụng nhiều phơng pháp khác nhau, biết chuyển từ thao tác trí tuệ này sangthao tác trí tuệ khác Cần phải rèn luyện cho học sinh chuyển nhanh chóng và dễ

dàng từ t duy thuận sang t duy nghịch Có thể thực hiện bằng cách làm những bàitập mà trong đó vấn đề thuận, nghịch đi liền với nhau Đối với các bài tập có thểtìm đợc nhiều lời giải, mặc dù mỗi lời giải có một nghĩa khác nhau nhng cũngcần rèn luyện cho học sinh ý thức tự đánh giá và chọn lựa cách giải hay nhất chobài toán Việc tìm nhiều lời giải của bài toán gắn liền với việc nhìn một vấn đề d-

ới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó mở đờng cho sự sáng tạo phong phú Ngoài

ra, khi dạy giải bài tập cần đa ra các bài tập "mở" để học sinh tập dợt sáng tạo, racác bài tập "không theo mẫu", không đa đợc về các loại toán giải bằng cách ápdụng các định lý, quy tắc trong chơng trình để bồi dỡng tính độc đáo của t duysáng tạo

1.3 Một số vấn đề về hệ thống bài tập toán

1.3.1 Vai trò của bài tập toán

Đối với bậc học phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học; đối với học sinh, giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Vì vậy các bài toán là phơng tiện hiệu quả không thể thay thế đợc trong dạy học môn toán Cụ

thể, các vai trò chính của bài tập toán học là:

- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo

- Hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin

và phẩm chất đạo đức ngời lao động mới

- Phát triển năng lực t duy, đặc biệt là các thao tác trí tuệ

- Kiểm tra, đánh giá

Với mục tiêu phát triển t duy sáng tạo cho học sinh theo phơng hớng1.2.4, hệ thống bài tập có định hớng sẽ trực tiếp góp phần bồi dỡng từng yếu tố

cụ thể của t duy sáng tạo

1.3.2 Những căn cứ xây dựng hệ thống bài tập toán nhằm rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh

a) Căn cứ vào các yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo

Nh đã trình bày ở trên, ba yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo đợc tập trungnghiên cứu trong luận văn là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo.Mỗi yếu tố đều có đặc trng riêng Các yếu tố nêu trên đều phải hớng vào việckhơi dậy những ý tởng mới, cụ thể là phát hiện ra những vấn đề mới, tìm ranhững giải pháp mới, tạo ra những kết quả mới Tính chất mới mẻ ở đây có thểhiểu là mới mẻ đối với một cá thể, đối với một nhóm ngời, một tập thể hoặc caohơn nữa là đối với xã hội, đối với loài ngời Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa

là coi nhẹ cái cũ Cái mới thờng nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ Tính mới mẻ của

t duy không mâu thuẫn với việc mà nó cũng nảy sinh trên cơ sở các kinh nghiệm.Cái mới bộc lộ trớc hết ở sự đánh giá các kinh nghiệm đang đợc vận dụng một

cách mới mẻ, gắn vào cấu trúc hệ thống mới, đợc liên kết với những kinh nghiệmkhác Vì vậy, cần cho học sinh làm các bài tập đã đợc xây dựng theo một quan

điểm nhất quán, theo một định hớng rõ rệt để các em có thể vận dụng nhữngkinh nghiệm sẵn có vào hoàn cảnh mới, liên kết những kinh nghiệm cũ đã tíchluỹ đợc vào việc giải quyết những yêu cầu mới Để tạo ra những ý tởng mới, họcsinh cần có năng lực t duy độc lập Nếu chỉ biết suy nghĩ lệ thuộc vào ngời khác,vào cái sẵn có thì không thể tạo ra cái mới Vì thế trong hệ thống bài tập theo

định hớng rèn luyện t suy sáng tạo, cần có những bài tập không theo mẫu, đòihỏi học sinh phải tự tìm ra cách giải độc đáo Học sinh chỉ có thể có đợc nănglực t duy sáng tạo khi họ hoạt động tích cực và tự giác, khi họ trực tiếp tham giatích cực vào hoạt động toán học mà cụ thể là tham gia giải các bài tập đòi hỏisáng tạo

Trong việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh thì vai trò của quy nạpnổi lên so với suy diễn Suy diễn đi từ cái chung đến cái riêng thì chỉ tìm đ ợc tr-ờng hợp riêng, cái mới bị hạn chế Trong khi đó, khái quát và mở rộng cái cũ làcon đờng dẫn đến cái mới Trong quá trình này thì quy nạp giữ vai trò chủ yếu.Vì vậy bên cạnh những bài tập chỉ đòi hỏi chứng minh chân lý mà đề bài nói rõ,cần coi trọng những bài tập cha rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xáclập điều ấy thông qua mò mẫm, dự đoán, nghĩa là phải vận dụng quy nạp trớc khivận dụng suy diễn

Nh vậy căn cứ vào các yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo, hệ thống bài tậpcần khơi dậy trong học sinh những ý tởng mới, đòi hỏi học sinh t duy độc lập,tích cực và tự giác, huy động đợc vốn kiến thức cơ bản, việc vận dụng linh hoạtcác hoạt động trí tuệ cùng với việc sử dụng đan xen các phơng pháp qui nạp suydiễn

b) Căn cứ vào đặc điểm môn Toán

Đặc điểm của Toán học đợc phản ánh vào môn Toán ở trờng phổ thôngqua các đặc trng sau:

+) Đối tợng của môn Toán trong nhà trờng phổ thông là những quan hệhình dạng, quan hệ số lợng, quan hệ logic quan trọng nhất, cần thiết nhất của thếgiới quan

+) Môn Toán so với các môn học khác đợc đặc trng bởi tính trừu tợng cao

độ của nó Trong toán học, cái trừu tợng tách ra khỏi mọi chất liệu của đối tợng.Chỉ giữ lại quan hệ về số lợng và hình dạng không gian tức là những quan hệ vềcấu trúc mà thôi Sự trừu tợng hóa trong toán học diễn ra trên những mức độkhác nhau Trừu tợng hóa trên các trừu tợng hóa có thể dẫn đến lý tởng hóa Tínhtrừu tợng cao độ chỉ có thể che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của toánhọc

+) Về mặt phơng pháp, môn Toán đợc đặc trng bởi sự kết hợp chặt chẽgiữa cái cụ thể và cái trừu tợng, giữa phơng pháp qui nạp và suy diễn điều này đ-

ợc thể hiện ở tất cả các bậc học với yêu cầu tăng dần

c) Căn cứ vào nhận thức hiện đại về quá trình dạy học

Theo nghiên cứu của các nhà giáo dục thì quá trình dạy học có những tínhchất sau:

+) Quá trình dạy học phải đợc xem là quá trình nhận thức và nó có những

đặc điểm đáng chú ý sau: Đó là sự phản ánh tích cực và có phản ánh chọn lọccác hiện tợng thực tiễn Qua quá trình phản ánh, chủ thể phải tiến hành nhữnghoạt động phân tích và tổng hợp tích cực để phát hiện đợc bản chất của đối tợng.Chỉ có những gì liên quan đến nhu cầu, hứng thú, đến hoạt động hiện tại và sựphát triển tơng lai của cá nhân mới đợc chọn lọc và phản ánh Sự phản ánh củacon ngời mang tính chất vợt trớc, nghĩa là con ngời có thể tởng tợng ra, hìnhthành những hiện tợng, sự vật cha tồn tại trong thực tiễn Đó là cơ sở tâm lý tạocái mới

+) Quá trình dạy học là một quá trình tâm lí: Trong quá trình học tập, họcsinh phải cảm giác, tri giác, vận dụng trí nhớ, tình cảm, ý trí, niềm tin Vấn đề

động cơ học tập và hứng thú trong học tập có ý nghĩa rất quan trọng đến hiệuquả của quá trình học tập Để đảm bảo thành công của quá trình dạy học, giáoviên phải đặc biệt chú ý tới mặt tâm lý của quá trình này

+) Dạy học là một quá trình xã hội, trong đó có sự tơng tác giữa ngời vàngời, ngời và xã hội Hiểu đợc tính xã hội của dạy học và ảnh hởng to lớn của xãhội đối với nhà trờng sẽ giúp giáo viên điều khiển quá trình dạy học thuận lợi

Nh vậy, căn cứ vào nhận thức hiện đại về quá trình dạy học, hệ thống bàitập cần phản ánh tích cực có chọn lọc các tri thức phơng pháp, kĩ năng liên quanchặt chẽ đến hoạt động t duy sáng tạo, thúc đẩy sự phát triển các chức năng tâm

lý đặc biệt là hứng thú nhận thức Đồng thời chú ý thích đáng đến kinh nghiệmsống và điều kiện thực tế của học sinh

1.3.3 Những yêu cầu cơ bản xây dựng hệ thống bài tập toán nhằm phát triển t duy sáng tạo cho học sinh.

Trên cơ sở phân tích về vai trò và những căn cứ xây dựng hệ thống bài tập,chúng tôi đặt ra các yêu cầu sau đây đối với việc xây dựng hệ thống bài tậpnhằm phát triển t duy sáng tạo cho học sinh:

- Bám sát nội dung, chơng trình sách giáo khoa.

- Củng cố các kiến thức, kỹ năng cơ bản trong chơng trình.

- Tác động đến từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo.

- Gợi cho học sinh niềm say mê khám phá, tìm tòi sáng tạo toán học.

- Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trong chơng trình.

- Giúp học sinh nâng cao tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập.

- Giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ toán học.

- Bài tập có tác dụng kiểm tra kết quả học tập, đánh giá đợc mức độ phát triển t duy của học sinh.

1.4 Thực tiễn vấn đề rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học bài tập Đại số và giải tích

Vấn đề dạy học toán trong dạy học bài tập Đại số và Giải tích tuy đã có

đổi mới về phơng pháp giảng dạy nhng vẫn còn tồn tại ở nhiều nơi phơng phápdạy học cũ thiếu tích cực từ phía ngời học, thiên về dạy, yếu về học Chúng tavẫn hay gặp tình trạng phổ biến trong dạy học bài tập Đại số và Giải tích là giáoviên chỉ cố gắng chữa hết các bài tập trong sách giáo khoa hoặc có chăng là bổsung thêm một ít bài tập nâng cao Đa số trong các giờ bài tập, giáo viên chỉ chútrọng đến số lợng bài tập mà vấn đề rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh trongdạy học bài tập Đại số và Giải tích cha đợc chú trọng Chính vì vậy sự phát triển

t duy sáng tạo của học sinh đã bị kìm hãm Phần lớn học sinh phổ thông thờngthụ động trong học toán

Trong dạy học môn Toán ở đa số các trờng phổ thông, thầy giáo thờngphân dạng bài tập để chữa cho học sinh rồi luyện cho các em theo những dạng

đó Chính vì thế, các em thờng chỉ giải đợc những bài toán dạng nh thầy đã chữamột cách máy móc mà khi thay đổi bài toán một chút là các em không muốn tiếptục suy nghĩ, tìm tòi lời giải Một thực tế thờng gặp nữa là học sinh chỉ quan tâm

đến việc có giải đợc bài tập hay không chứ không chú trọng đến việc tìm cáccách giải bài toán để tìm ra những cách giải hay, các em cũng không quan tâm

đến việc khai thác kết quả bài tập

Rõ ràng nếu ngời thầy không yêu cầu học sinh giải bài toán bằng nhiềucách giải khác nhau và khai thác hớng đi này thì học sinh chỉ có đợc một bàitoán, tầm nhìn của các em không đợc mở rộng Ngợc lại, nếu ngời thầy chútrọng đến việc phát triển t duy sáng tạo, khéo léo dẫn dắt học sinh khai thác kếtquả bài toán thì hiệu quả của việc dạy và học tăng lên rõ rệt Thực tiễn dạy học

cho thấy còn rất ít giáo viên làm đợc điều này Ngay cả trong dạy học môn Toán

ở các trờng chuyên lớp chọn cũng vậy, học sinh đợc dạy học theo kiểu "luyện gànòi", những tri thức phơng pháp đợc truyền thụ thiên về "mẹo mực" để giải quyếtcác bài toán khó Chính vì vậy những học sinh mà có phẩm chất sáng tạo mà đã

đợc chọn vào trờng chuyên lớp chọn thì sự sáng tạo cũng bị kìm hãm, các emtrở thành những "thợ giải toán", thậm chí "thợ bậc cao" rất giỏi giải quyết vấn đềmột cách rập khuôn, máy móc mà ít có khả năng nêu vấn đề mới

Có thể đánh giá một cách chủ quan rằng: Đại số và Giải tích là phân môntiềm ẩn rất nhiều những khả năng phát triển t duy sáng tạo cho học sinh Chúng

ta cần phải có trách nhiệm khai thác những tiềm năng này trong quá trình dạyhọc để đào tạo ra những thế hệ sáng tạo cho nớc nhà

1.5 Kết luận chơng 1

Trên đây chúng tôi đã đề cập đến một cách tổng quan một số nghiên cứu vềsáng tạo, một số công trình nghiên cứu về năng lực t duy sáng tạo của học sinh

trong học tập môn Toán và thực tiễn vấn đề rèn luyện sáng tạo cho học sinh

trong dạy học bài tập Đại số và Giải tích Trên cơ sở chú trọng đến việc phân tíchnhững yếu tố cơ bản của t duy sáng tạo trong học tập môn Toán, chúng tôi đinghiên cứu về một số phơng hớng chính để bồi dỡng t duy sáng tạo học sinh quamôn Toán ở bậc phổ thông, đó là việc gắn nhiệm vụ bồi dỡng t duy sáng tạo vớicác hoạt động trí tuệ khác, coi trọng rèn luyện các thao tác t duy, đặt trọng tâmvào việc bồi dỡng khả năng phát hiện vấn đề mới và khơi dậy ý tởng mới, là hoạt

động thờng xuyên, lâu dài và đặc biệt là bồi dỡng t duy sáng tạo ở từng yếu tố cụthể thông qua các hoạt động toán học Đó là những cơ sở lý luận chính, làm tiền

đề cho việc đề ra một số giải pháp bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua dạyhọc bài tập Đại số và Giải tích mà trọng tâm là việc đề xuất một phơng án dạyhọc qua hệ thống ví dụ phong phú nhằm mục đích bồi dỡng từng yếu tố cụ thểcủa t duy sáng tạo đợc trình bày ở chơng 2

Chơng 2 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số và giải tích nhằm bồi dỡng một số yếu tố của

t duy sáng tạo cho học sinh THPT 2.1 Một số yếu tố của t duy sáng tạo của học sinh thể hiện trong giải bài tập đại số và giải tích

2.1.1 Tính mềm dẻo:

Tính mềm dẻo của t duy sáng tạo của học sinh thể hiện trong giải bài tập

Đại số và giải tích đợc thể hiện :

+) Học sinh dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệkhác, các em biết vận dụng linh hoạt các thao tác t duy nh phân tích, tổng hợp,trìu tợng hoá, khái quát hoá, cụ thể hóa và các phơng pháp suy luận nh quy nạp,suy diễn, tơng tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điềuchỉnh kịp thời hớng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

+) Suy nghĩ của học sinh không dập khuôn, các em không áp dụng mộtcách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã có vào hoàn cảnh mới,

điều kiện mới trong đó đã có những yếu tố thay đổi; các em có khả năng thoátkhỏi ảnh hởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phơng pháp, những cáchsuy nghĩ đã có từ trớc

+) Học sinh nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấychức năng mới của đối tợng quen biết

Các bài tập thể hiện tính mềm dẻo đợc phân chia thành các dạng sau:

- Dạng bài tập có nhiều cách giải.

- Dạng bài tập có nội dung biến đổi.

đề phải giải quyết, các em nhanh chóng tìm đợc nhiều phơng án khác nhau và từ

đó tìm đợc phơng án tối u

+) Học sinh có khả năng xem xét đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau,

có cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tợng thay vì việcnhìn nhận sự vật hiện tợng một cách bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Các bài tập loại này gồm các dạng chủ yếu sau:

- Dạng bài tập có nhiều kết quả.

- Dạng bài tập " câm".

2.1.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của t duy sáng tạo của học sinh thể hiện trong giải bài tập

Đại số và Giải tích đợc đặc trng bởi các khả năng sau:

+) Học sinh có khả năng tìm ra những liên tởng và những kết hợp mới, khảnăng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tởng nh không cóliên hệ với nhau

+) Học sinh có khả năng tìm ra những giải pháp lạ mặc dù đã biết nhữnggiải pháp khác

Các bài tập loại này gồm các dạng chủ yếu sau:

Dạng bài tập không theo mẫu.

Dạng toán vui, toán đố, toán ngụy biện.

Ngoài ra còn có các yếu tố quan trọng khác nh: Tính hoàn thiện, tính nhạycảm vấn đề, tính chính xác, năng lực phán đoán, năng lực định nghĩa lại cũng đ-

ợc học sinh thể hiện trong giải bài tập Đại số và Giải tích

Trong luận văn này chúng tôi đề xuất ba giải pháp góp phần bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc lựa chọn, xây dựng hệ thống bài tập Đại số

và Giải tích, đó là:

+) Giải pháp 1: Chúng tôi lựa chọn, sắp xếp, bổ sung những bài tập nhằmbồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo Trong nhóm này chúng tôi phânchia các bài tập thành mời dạng nh đã nêu ở trên ở mỗi dạng bài tập, chúng tôi

đề cập đến cấu tạo, tác dụng, biện pháp rèn luyện và đa ra các bài tập minh hoạ

+) Giải pháp 2: Chúng tôi đề cập đến vấn đề rèn luyện khả năng sáng tạobài toán mới cho học sinh trên cơ sở tăng cờng phối hợp các hoạt động trí tuệ

+) Giải pháp 3: Chúng tôi xây dựng một số bài tập giải nhằm góp phần rènluyện khả năng khám phá những phơng pháp giải toán mới cho học sinh

Cần lu ý rằng sự phân chia bài tập theo các dạng và sắp xếp chúng vàocác nhóm giải pháp chỉ mang tính chất tơng đối vì mỗi bài tập đều có nhiều chức năng khác nhau và nhiều bài tập có tác dụng rèn luyện đồng thời nhiều yếu

tố của t duy sáng tạo Đa số các bài tập chúng tôi đều đa ra những gợi ý dạy học

hoặc những nhận xét về đặc điểm của bài toán, dạng toán để giáo viên có thểtham khảo dùng vào quá trình xây dựng những câu hỏi gợi ý, dẫn dắt học sinhtrong quá trình dạy học.

2.2 Giải pháp 1: Lựa chọn, sắp xếp, bổ sung những bài tập

Nh chúng tôi đã trình bày trong chơng 1, việc bồi dỡng t duy sáng tạo chohọc sinh thông qua môn toán cần đợc xem là một quá trình và phải đợc tiến hànhlâu dài, thờng xuyên trong tất cả các khâu của quá trình dạy học cũng nh thôngqua tất cả các môn học ở trờng phổ thông Chúng tôi thấy rằng nếu xây dựng vàkhai thác một cách thích hợp hệ thống bài tập Đại số và Giải tích trong dạy họcthì t duy sáng tạo của học sinh sẽ đợc phát huy một cách có hiệu quả Vì lý do

đó, trong dạy học cần xây dựng đợc một hệ thống bài tập nhằm bồi dỡng từngyếu tố cụ thể của t duy sáng tạo Sau đây là một số bài tập chúng tôi xây dựngtheo cấu trúc chơng trình và theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp để minh hoạcho các dạng bài tập nói trên

2.2.1 Rèn luyện tính mềm dẻo của t duy sáng tạo

2.2.1.1 Dạng bài tập có nhiều cách giải:

a) Cấu tạo: Bài tập có những đối tợng, những quan hệ có thể xem xét dới

nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó có nhiều cách giải quyết khác nhau

b) Tác dụng: Rèn luyện chuyển từ thao tác t duy này sang thao tác t duykhác; rèn luyện khả năng nhìn một đối tợng toán học dới nhiều khía cạnh khácnhau; khả năng tìm ra giải pháp hay, lạ tuy đã biết những giải pháp khác Các bàitập này đặc biệt có tác dụng trong việc rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuầnnhuyễn của t duy sáng tạo

c) Biện pháp rèn luyện: Khi giải toán, nhiều học sinh cha có ý thức tìmnhiều lời giải cho một bài toán để tìm thấy lời giải hay nhất cho bài toán Ngờithầy cần đặt ra yêu cầu giải bài toán bằng nhiều cách và có những câu hỏi dẫndắt, gợi ý để các em hình thành thói quen tìm phơng án tối u trong lao động

Dới đây là một số các bài tập và một số các cách giải các bài tập này đểminh hoạ cho loại bài tập có nhiều cách giải

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhắt của hàm số f(x)= -3x2 +4x- 8 trên [0;1]

Giải

Cách 1: Coi f(x) là một tam giác bậc hai ta có cách giải thông thờng tìm giá

tị lớn nhất của một tam giác bậc hai với hệ số a<0 nh sau:

f(x) = -3(x-

3

2)2 - 3

20

 - 3 20

Cách 2: Biến đổi hai số hạng đầu tiên của biểu thức f(x) thành tích của các biểu thức có tổng không đổi, rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có cách giải sau:

Vì -3x2 + 4x =

3

1.3x.(4-3x) 

3

1 (

2

3 4

3x  x

) = 3 4

Nên f(x) 

3

4-8 = -

3 20

Cách 3: áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất đối với hàm số trên một đoạn ta

có cách giải sau:

f; (x) = -6x + 4 = -2(3x-2)

f; (x) = 0  x =

3 2

f (3

2) = -

3

20, f(0)= -8, f(1) = -7

Do -8 < -7 <-

3

20 nên Max f(x) = -

3

20tại x= -

3 2

f; (x) + 0 f(x)

-

3 2

-8 -7

Từ bảng biến thiên ta suy ra: Max f(x) =

-3

20 tại x= -

3 2

0 ; 1

So sánh bốn cách giải trên ta nhận thấy mỗi cách giải đều có u và nhợc

điểm riêng: cách giải thứ nhất có lời giải ngắn gọn, đơn giản nhng chỉ áp dụng

đợc với hàm số bậc hai; cách giải thứ hai cũng ngắn gọn nhng cần có điều kiện của x thì mới thực hiện đợc vì bất đẳng thức Côsi chỉ đúng cho các số âm; cách giải thứ ba là tối u nhất trong bài toán này vì áp dụng cho tất cả những hàm số liên tục trên một đoạn và có thể tìm đợc cả giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số trên đoạn đó; cách giải thứ t tuy dài nhng có thể áp dụng cho một lớp rộng các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số khác nhau, trên các khoảng hoặc đoạn nào đó.

Bài tập trên mặc dù đơn giản nhng ta có thể áp dụng nhiều phơng pháp để giải, giúp cho việc phát triển tính mềm dẻo của t duy Với bài tập này giáo viên nên yêu cầu học sinh tìm hiểu nhiều cách giải để rèn luyện khả năng nhìn một

đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, chống tính ỳ của t duy

có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = 0

Bởi vì x2 + 1 ≥ 1

x4 + x2 + 1 ≥ 1

Và các đẳng thức đồng thời xảy ra khi x = 0

Từ đó y2 ≥ 4, đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra y ≥ 2, đẳng thức xảy ra khi x = 0.Vậy ymin = y(0) = 2

1 2

2  



x x

x

+

1 2

1 2

2  



x x x

Từ đó y’ >

1 2

1 2

x

+

1 2

1 2

x

=

1 2

2

2



 x x

x

> 0

Do đó với mọi x > 0 hàm y đồng biến Từ tính chẵn của hàm số suy ra: Khi

x < 0 hàm y nghịch biến Vậy y đạt cực tiểu tại điểm (0;2) duy nhất Vì thế ta kếtluận đợc:

§¼ng thøc x¶y ra khi M trïng víi O

VËy: ymin = y(0) = 2

Do y lµ tæng cña hai c¨n bËc hai

1

2

3 ( ) 2

1 (x 

Chän A(x,0), B ( )

2

3

; 2

2

3

; 2

1

 ta cã y = AB + AC ≥ BC = 2DÊu b»ng x¶y ra khi A thuéc ®o¹n BC nªn



2 3 2 3

2 1 2

x

C¸ch 6:

Đặt ) ( 1 ; 3 );

2

3

; 2

1 ( );

2

3

; 2

Do u  v ≥ u  v nên y≥ 2

Dấu bằng xảy ra khi u v 0 0

2 3 2 3

2 1 2

x

Nh vậy với sự có mặt của nhiều lời giải của cùng một bài toán nhắc nhở các

em học sinh thấy rằng: hãy cha nên thoả mãn với một lời giải của một bài toán nào đó cho dù đó là lời giải tốt Có nghĩa là nếu biết cách nhìn, biết cách phân tích bài toán dới mọi góc , cạnh có thể đ“góc”, “cạnh” có thể đ ”, “cạnh” có thể đ “góc”, “cạnh” có thể đ ”, “cạnh” có thể đ ợc thì sẽ thu đợc những lời giải khác nhau.

Bài toán còn cha dừng lại ở đây ta còn có thể khai thác các lời giải để sáng tạo ra các bài toán mới Vấn đề này sẽ xét ở phần sau.

2 ) )(

2 1 ( ) 1 1 ( ) (ab 2  a b 2  2  2 a2 b2  a2 b2

Suy ra abab  (ab) 2  2 (a2 b2 ) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a=b.

Cách 2: Với mọi a, b ta có:

ab b a ab b a b

2 2

b a b

Gợi ý dạy học: Bài tập này tuy đơn giản nhng nó lại rất có tác dụng trongviệc rèn luyện tính mềm dẻo của t duy sáng tạo Khi dạy học ngời thầy cần đa rayêu cầu tìm nhiều cách giải cho bài toán để học sinh có cơ hội phát triển t duysáng tạo

0 0 4

2 1

2 1

2

a c x

x

a x

x

ac b

Vì   0 ,  0

a

c a

c a

0 0 4

4 3

4 3

2

c a x

x

c b x

x

ac b

chứng tỏ các nghiệm x 3 , x 4 của phơng trình cx 2 + bx +a = 0 tồn tại và là các số

dơng Lại do các nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , x 4 dơng, nên áp dụng liên tiếp BĐT Côsi đốivới các cặp số dơng ta đợc:

c c

a a

c x

x x x

Cách 2: Theo định lý Viet ta có:

2 1 2 1

2 1 4

3

1 1 /

/

x x x x

x x a c

a b c

b x

x       Suy ra:

4 4 1 1

1

2 2 2 1 1 2

1 2 1 4 3 2

x x

x x x x x x x

x= a.cos , a-x   a.sin ;  y= a.sin , a-y  2  a.cos 

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

 a.cos   a.cos   a.sin   a.sin a.

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này được chứng minh như thế nào?

cos cos    sin sin     1 cos(    ) 1  , bất đẳng thức đúng

H B

Các cặp số ( x , a x 2 ), (y, a y 2 ) đều có tổng bình phương không phụ

thuộc vào các biến số

- Để trong quá trình đánh giá có đẳng thức này cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các bộ số nào ?

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (x, a x 2 ) và (

2

a y ,y), ta có

x a y2  a x2 y2 x2 a x2a y2 y2a2

a x a y y a

x  2   2 

Bình luận : Ta vẫn dùng các cặp số ( x , 2

a x ), (y, 2

a y ) đều có tổng bình phương bằng vế phải nhưng khi thay đổi để được kết quả mới.

xy a x2 a y22 x2 a x2y2 a y2a2

a y a x a

xy  2  2 

Cách 3: Dùng bất đẳng thức Côsi

- Hãy viết lại Bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

0 ,

x 

- Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương thì vế trái được đánh giá như thế nào ?

a x a y y a x x a y y a

2 2

2 2

2 2

2

Cách 4: Bất đẳng thức giữa đường vuông góc và đường xiên trong hình học

- Mối liên hệ giữa x và a x 2

được xác định như thế nào?

 a x  a

x2  2 2  .

- Có thể dựng được không một

tam giác vuông có hai cạnh góc vuông

bằng x và a x 2 ?

OA = x, OB = a x2  AB  OA2OB2  a

- Mối liên hệ giữa y và 2

a y được xác định như thế nào?

 a y  a

2 2

sinAOt 

y a

sin sin

.

2

2 y a x a OA AOt a OB BOt a BK AH y

- Có thể dựng được hay không một

tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng y

và a  y2 , cạnh huyền là AB?

- Vế trái có thể biểu diễn qua các đại

lượng hình học như thế nào?

AB MN MB NA NB MA x

a y y a

x  2   2    (Đẳng thức Ptôlêmê)

- Cú thể dựng bất đẳng thức hỡnh học để so sỏnh biểu thức trờn với a được khụng?

a AB AB MN AB

MN    2 

Cỏch 6 : Dựng vộc tơ và tọa độ

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai vộc tơ u(x1,y1);v(x2,y2)

- Biểu thức toạ độ tớch vụ hướng của hai vộc tơ trờn được xỏc định như thế nào ?

2 1 2

1 v x x y y

u . .

Chọn trường hợp 2 ta cú đpcm

Bỡnh luận : Ngoài 6 cỏch trờn, ta cú thể dựng phương phỏp tam thức bậchai hoặc biến đổi tương đương để giải bài toỏn này

2.2.1.2 Dạng bài tập có nội dung biến đổi.

a) Cấu tạo: Dạng bài tập này gồm hai phần Phần thứ nhất là bài toán a.Phần thứ hai cũng chính là bài toán a nhng có biến đổi một vài yếu tố của nó(nhìn bề ngoài thì hình nh ít quan trọng) do đó nội dung và cách giải của bàitoán biến đổi hẳn đi (gọi là bài toán b)

b) Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sanghoạt động trí tuệ khác; chống "tính ỳ" của t duy

c) Biện pháp rèn luyện: Hiện nay, chúng ta đang gặp một thực tế kháphổ biến là: Học sinh chỉ có khả năng làm đợc những bài tập quen thuộc, tức lànhững bài tập vận dụng kiến thức cơ bản một cách máy móc hoặc những bài tập

khó hơn một chút nhng lại là những dạng đợc thầy chữa nhiều lần Khi chúng tathay đổi một vài yếu tố của bài toán bằng cách vận dụng những kiến thức khácnhau để đa ra một kết luận mới hoặc có khi kết luận này chỉ là biến đổi kết quảphần trên một chút là học sinh lại ngần ngại, hoang mang, không có hứng thútìm lời giải cho bài toán Điều đó thể hiện t duy của các em có " tính ỳ" Trongdạy học, ngời thầy cần phải đa ra những bài toán có nội dung biến đổi và cónhững phân tích cho các em để các em biết quy lạ về quen và từng bớc đơn giảnhoá bài toán Có nh vậy, các em sẽ không ngần ngại, hoang mang và có lòngquyết tâm huy động kiến thức khi đứng trớc những bài toán mới.

Dới đây là một số bài tập minh hoạ cho dạng bài tập có nội dung biến đổi

10

6 , 10

4



Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho

b/ Trong câu a ta đã sử dụng phơng pháp hàm số để giải tuy nhiên với câu bchúng ta không thể dùng cách làm của câu a vì không nhẩm đợc nghiệm, ở đây

ta phải dựa vào quan hệ giữa ba cơ số của ba hàm số mũ là:

4 = 22, 9 = 32 , 6 = 2.3 Cách giải nh sau:

Chia cả hai vế của phơng trình 9x ta đợc : ) x

3

2 ( + )x

3

2 ( = 1

Đặt t = ( )x

3

2, t>0 ta có phơng trình: t2 + t – 1 = 0 suy ra t =

Lời giải câu a phơng trình có nghiệm duy nhất là x = 0

Lời giải câu b nh sau:

Cách 1: (Sử dụng đồ thị)

Vẽ đồ thị hàm số y = 3x và

đờng thẳng y = 2x + 1 trên

cùng một hệ trục toạ độ Oxy

ta thấy chúng cắt nhau tại hai

điểm có hoành đoọ là x = 1 và x = 0

Thử lại ta thấy x = 0 và x = 1

là hai nghiệm của phơng trình đã cho

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là 0 và 1

Cách 2:

Đặt f(x) = 3x – 2x – 1, ta có f’(x) = 3x ln3 – 2

3 ln

2 (

3

O

y

S2 S1

2 1

2

1

O

một đờng cong và trục hoành Còn ở

câu b khi ta thay một đờng x = 2 “góc”, “cạnh” có thể đ ”, “cạnh” có thể đ

ở câu a thành đờng x + y = 2 thì“góc”, “cạnh” có thể đ ”, “cạnh” có thể đ

mức độ đã đợc nâng hẳn lên, học sinh không thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân để tính diện tích hình phẳng mà phải chia hình phẳng cần tính ra thành hai hình phẳng Lời giải bài toán nh sau:

3

x dx

3 8

b/ Ta có: x+y=2  y=2-x

Hoành độ giao điểm của hai đờng

thẳng y=x và y=2-x (x>0) là nghiệm

của phơng trình: x2=2-x  x2+x-2=0

 x=1 và x=-2 mà x>0 nên x=1

Hoành độ giao điểm của hai

đờng y=x2 và y=0 là nghiệm

của phơng trình: x2=0  x=0

Hoành độ giao điểm của hai

đờng y=2-x và y=0

là nghiệm của phơng trình 2-x=0  x=2

Ta chia diện tích cần tính thành hai phần:

+/ S1 là diện tích giới hạn bởi các đờng y=x2 ; y=0 và x=1

+/S2 là diện tích giới hạn bởi các đờng y=2-x ; y=0 và x=1

Diện tích cần tìm là:

S =S1+S2 =   

1 0

2 1

0

3

) 2 2 ( 3

x x

2

4 x dx

Giải

a/ Với nhận xét: 4-x2= (2-x)(2+x) từ đó cho ta cách giải sau:

dx x x

x x

dx x

2

1 2

1 ( 4

1 ) 2 )(

2 ( 4

1 0

1 0

1 0 2