toán học liên quan.Trong giải tích cổ điển và giải tích hàm khi học về giới hạn của một dãy hàm từ $\r$ vào $\r$ ta đã biết rằng một dãy hàm hội tụ Định lý Dini đã cho ta một điều kiện đ
Trang 1\usepackage[tcvnnocaptions]{vietnam}
\renewcommand\contentsname{\hfill \up{Mục lục} \hfill~}
\def\refname{\hfill \up{Tài liệu tham khảo}\hfill~}
\setcounter{tocdepth}{1}%% M?c l?c kh?ng cỳ \subsection (thay s¯ 3 0-4)
\def\cp{{f_n \xrightarrow[]{\text{ \tiny CP}}{f}}}
\def\dgl{được gọi là\xspace}
{\large{\up{trường đại học vinh}}}
Trang 2\hspace*{240pt}{\sc PGS.TS \up{đinh huy hoàng}}
%\hspace*{150pt}\textbf{Sinh viờn thủc hiđn:} {\sc Lấ TH˜ HOAN}
%\hspace*{220pt}\textbf{Lắp:} {42E$_2$ - Toỏn}
\vspace{0.2in} {\textbf{\up{ngành cử nhân sư phạm toán}}}
\hspace*{220pt}\textbf{Cán bộ hướng dẫn khóa luận:}
\hspace*{20pt}Tôpô đại cương có một nội dung hết sức phong phú.Các phương pháp và kết quả của nó đã được ứng dụng vào nhiều ngành
Trang 3toán học liên quan.
Trong giải tích cổ điển và giải tích hàm khi học về giới hạn của
một dãy hàm từ $\r$ vào $\r$ ta đã biết rằng một dãy hàm hội tụ
Định lý Dini đã cho ta một điều kiện đủ để một dãy hàm hội tụ theo
điểm là hội tụ đều: \textit{Cho $X$ là không gian tôpô compact.Khi đó nếu dãy $\{f_n\}$ các hàm nhận giá trị thực liên tục trên
$X$ đơn điệu tăng và hội tụ theo điểm đến hàm $f$ liên tục trênmột cách tự nhiên là có thể mở rộng Định lý Dini cho dãy hàm nhậngiá trị trong không gian với tôpô thứ tự hay không? Mục đích chínhcủa khóa luận là giải quyết vấn đề này Với mục đích đó khóa luận
Phần 1 trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng
cho khóa luận
Phần 2 dành cho việc xây dựng tôpô thứ tự
\cite{KL} \up{ở} cuối mục này
không gian với tôpô thứ tự đó là các Mệnh đề \ref{md213}
\ref{md214} \ref{md215}
Trong phần 3 chúng tôi trình bày sự mở rộng Định lý Dini cho dãy
các hàm nhận giá trị trong không gian với tôpô thứ tự Trong
niệm \textit{hội tụ đều} của dãy hàm nhận giá trị thực Do đó(Định nghĩa \ref{dn34}) Chúng tôi chỉ ra khi áp dụng Định nghĩanày cho dãy hàm nhận giá trị thực thì sự hội tụ compact là độc
lập với sự hội tụ theo điểm và hội tụ đều Hơn nữa sự hội tụ đềukéo theo sự hội tụ compact và sự hội tụ compact kéo theo sự hội tụtheo điểm (Mệnh đề \ref{md35} Mệnh đề \ref{md36} và Chú ý
\ref{cy37}) Sau đó
hàm hội tụ theo điểm là hội tụ compact đó là Định lý \ref{dl38}
Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Đinh Huy
Hoàng
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo cô giáo trong Khoa toán
đặc biệt là các thầy giáo cô giáo trong tổ giải tích đã quan tâm
tập các số thực $\r$ là đối tượng được nghiên cứu
nhiều trong lý thuyết và thực hành Tôpô thông thường trên $\r$ có
b$ là hai số thực Các tập dạng trên được xác định nhờ vào
thứ tự "<" thông thường trên $\r$ Do đó vấn đề đặt ra là
trên tập $X$ có trang bị một thứ tự thì có thể xây dựng được mộttôpô tương tự như tôpô trên tập các số thực hay không? Vấn đề này
đã được giới thiệu ở phần bài tập trong \cite{KL}
đều thì hội tụ (hội tụ theo điểm) nhưng điều ngược lại không đúng
$X$ thì dãy $\{f_n\}$ hội tụ đều đến hàm $f$} Vấn đề được đặt ra
được viết thành ba phần:
tính chất với tôpô thứ tự đã được đưa ra trong phần bài tập của chúng tôi đưa ra và chứng minh một
số tính chất liên quan đến $k$-lưới và tính đếm được thứ nhất của
trường hợp tổng quát này không có khái niệm tương tự như khái
chúng tôi đưa ra khái niệm \textit{hội tụ compact} của một dãy hàm
chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ để một dãy
nó có nội dung tương tự Định lý Dini
người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này
Trang 4và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận không tránh
%\addtocounter{section}{1} % éua vào cỏi này
%\setcounter{subsection}{0} % và cung cỏi này n?a
\section{Các khái niệm và tính chất cơ bản}
\vskip 0.4cm
\hspace*{20pt}Trong mục này ta nhắc lại một số khái niệm và kết
quả đã biết cần dùng cho các mục sau
\begin{definition}\label{dn11}{\em\cite{KL} Cho $X$ là một tập hợp khác rỗng và
trên $X$ cho một quan hệ hai ngôi ký hiệu là $<$ Quan hệ $<$
\dgl \textit{một thứ tự trên} $X$ nếu nó có tính bắc cầu nghĩa là
ii) Giao của hai phần tử tuỳ ý của {\LARGE $\tau$} là một phần tử
của {\LARGE $\tau$}
iii) Hợp của các phần tử của một họ con tuỳ ý của họ {\LARGE
$\tau$} cũng thuộc {\LARGE $\tau$}
Tập $X$ cùng với một tôpô trên nó \dgl một \textit{không gian tôpô} ký hiệu là $(X
Ta gọi mỗi phần tử của {\LARGE $\tau$} là một \textit{tập mở}
trong $X$ Tập con $F$ của $X$ \dgl \textit{tập đóng} nếu
$X\setminus{F}$ là tập mở.}
\end{definition}
khỏi thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy
y$ khác nhau thuộc $X$ hoặc $x < y$ hoặc $y < x$ được thực
\begin{definition}\label{dn13}{\em i) Tôpô {\LARGE $\tau$} được gọi là \textit{tôpô thô nhất} trong
Trang 5tất cả các tôpô có thể có trên $X$ nếu {\LARGE$\tau$}$ \subset
${\LARGE $\tau'$} với mọi {\LARGE $\tau'$} là tôpô trên $X$
ii) Giả sử $(X${\LARGE $\tau$}) là không gian tôpô và $Y$ là tập
con của nó Khi đó có thể xác định một tôpô $\mathcal{U}$ nào đó
họ tất cả các giao của các phần tử của {\LARGE $\tau$} với tập
$Y$
là \textit{tôpô rời rạc} nếu phần tử của nó bao gồm tất cả các
tập con của $X$.}
\end{definition}
\begin{definition}\label{dn14}{\em i) Giả sử $(X${\LARGE $\tau$}) là không gian tôpô
và $x \in X$ Tập con $U$ của $x$ \dgl \textit{lân cận} của $x$
nếu tồn tại $V \in$ {\LARGE$\tau$} sao cho $x \in V \subset U$
ii) Họ $\mathcal{U}$ các tập con của không gian tôpô $(X$ {\LARGE
nếu với mọi lân cận $V$ của $x$ đều tồn tại $U \in \mathcal{U}$
sao cho $x \in U \subset V$
iii) Họ $\mathcal{B}$ các tập con của không gian tôpô $(X${\LARGE
mọi điểm $x$ của không gian với mọi lân cận $U$ tuỳ ý của nó
tại phần tử $V \in \mathcal{B}$ sao cho $x \in V \subset U$
của tôpô {\LARGE $\tau$} lập nên cơ sở khi và chỉ khi mỗi phần tử
thuộc {\LARGE $\tau$} là hợp của các phần tử nào đó thuộc
$\mathcal{B}$
iv) Họ $\sigma$ các tập con của $(X
\textit{tiền cơ sở} của tôpô {\LARGE $\tau$} khi và chỉ khi họ mọi
giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc họ $\sigma$ lập thành cơ
sở của tôpô {\LARGE $\tau$}.}
(ii) Không gian tôpô $X$ gọi là \textit{compact} nếu mọi phủ mở
$\{G_\alpha\}_{\alpha \in I}$ của $X$ tồn tại tập con hữu hạn $J
\subset I$ sao cho
$$
\bigcup\limits_{\alpha \in J}G_\alpha = X
$$
trên tập $Y$ thường gọi là \textit{tôpô cảm sinh} bởi tôpô {\LARGE
$\tau$} trên $Y$ Tôpô cảm sinh $\mathcal{U}$ được định nghĩa là
iii) Tôpô {\LARGE $\tau$} được gọi là \textit{tôpô thô} nếu nó chỉ
có hai phần tử rỗng và $X$ Tôpô {\LARGE $\tau$} trên $X$ được gọi
$\tau$}) được gọi là \textit{cơ sở lân cận tại} $x$ (hay của $x$)
$\tau$}) được gọi là \textit{cơ sở của tôpô} {\LARGE $\tau$} khi
và chỉ khi $\mathcal{B}$ được chứa trong {\LARGE $\tau$} và với
Có một đặc trưng rất đơn giản của cơ sở là: Họ con $\mathcal{B}$
${\LARGE $\tau$}) được gọi là
Trang 6Tập hợp $A$ của không gian tôpô $X$ gọi là \textit{compact} nếu không gian con $A$ của $X$ là mộtkhông gian compact tức A là không gian compact với tôpô cảm
sinh.}
\end{definition}
\begin{remark}\label{nx16}{\em i) Tập hợp con đóng của một không gian compact
là một tập hợp compact
ii) Tập hợp $A$ của không gian tôpô $X$ là compact khi và chỉ khi
mỗi phủ mở của $A$ đều có một phủ con hữu hạn.}
\end{remark}
\begin{definition}\label{dn17}{\em\cite{DTC} Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tôpô và ánh xạ
$f:~X~\to~Y$ \up{á}nh xạ $f$ gọi là \textit{liên tục tại} $a \in
X$ nếu mọi lân cận $V$ của $f(a)$ trong $Y$ tồn tại lân cận $U$
của $a$ trong $X$ sao cho $f(U) \subset V$
\up{á}nh xạ $f$ gọi là \textit{liên tục} nếu nó liên tục tại mọi
$a \in X$.}
\end{definition}
\begin{proposition}\label{md18} \textit{Cho $X Y$ là các không gian tôpô và ánh xạ
liên tục $f: X \to Y$ Khi đó nếu $A$ là tập compact trong $X$ thì
$f(A)$ là tập compact trong Y.}
\end{proposition}
\begin{definition}{\em Không gian tôpô $(X
của hai tập mở rời nhau và khác rỗng.}
\end{definition}
nếu với mỗi tập con $A$ của $X$ và mọi phần tử $x \in
\overline{A}$ luôn tồn tại dãy $\{x_n\}$ trong $A$ hội tụ về
$x$.}
\end{definition}
\in X$.}
\end{definition}
một \textit{phủ của tập con} $A$ trong $X$ nếu $A \subset \cup\{P:
P \in \p\}$ Ta viết $\cup\p$ thay cho $\cup\{P: P \in \p\}$
\textit{phủ của không gian} $X$ nếu $X \subset \cup\p$.}
\end{definition}
\textit{$G_\delta$-tập}
tập mở chứa $A$
$$
${\LARGE {\LARGE $\tau$}}) được gọi là \textit{liên
thông} khi và chỉ khi tập $X$ không biểu diễn được dưới dạng hợp
\begin{definition}{\em Không gian tôpô $X$ được gọi là \textit{không gian Frechet}
\begin{definition}{\em Không gian tôpô $X$ được gọi là \textit{thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất} nếu $X$ có cơ sở lân cận đếm được tại mỗi điểm $x
\begin{definition}{\em (i) Họ $\p$ các tập con của không gian tôpô $X$ được gọi là
(ii) Họ $\p$ các tập con của không gian tôpô $X$ được gọi là một
\begin{definition}{\em Tập con $A$ của không gian tôpô $X$ được gọi là một
nếu $A$ là giao của một họ đếm được các
nghĩa là $A$ có thể biểu diễn được dưới dạng
Trang 7A = \bigcap\limits_{n \in \n}U_n
$$
trong đó $U_n$ là tập mở trong $X$ với mọi $n \in \n$.}
\end{definition}
\begin{definition}{\em Cho không gian tôpô $X$ $\p$ là một phủ của $X$ Ký hiệu
$\p^{<\omega}$ là họ tất cả các tập con hữu hạn của $\p$ $\p$
mỗi tập compact $K$ và mọi tập mở $U$ chứa $K$ $(K \subset U)$ của
không gian tôpô $X$ luôn tồn tại $\f \in \p^{<\omega}$ sao cho
tuyến tính bởi quan hệ phản xứng "<"
\begin{definition}\label{dn21}{\em \cite{KL} \textit{Tôpô thứ tự} (tôpô < -thứ tự) trên tập
ý sao cho $a < b$ đều tồn tại các lân cận $U$ của $a$
$V$ của $b$ sao cho từ $x \in U y \in V$ suy ra $x < y$.}
\end{proposition}
\textit{Chứng minh.} Giả sử $\mathcal{B}$ là cơ sở của tôpô thứ
tự {\LARGE $\tau$} trên $X$ Do mọi phần tử của cơ sở là giao của
một số hữu hạn các phần tử thuộc tiền cơ sở nên với mỗi $U \in
\mathcal{B}$ thì $U = \emptyset$ hoặc $U$ có một trong các dạng
$$
\{x \in X: x < a \}; \\
< x < b\}
$$
Giả sử {\LARGE $\tau'$} là tôpô trên $X$ sao cho thứ tự trên $X$
liên tục Việc chứng minh {\LARGE $\tau$} là tôpô thô nhất trong
minh thứ tự trên $X$ liên tục đối với tôpô {\LARGE $\tau$} và
{\LARGE $\tau$} $\subset$ {\LARGE $\tau'$}
được gọi là một \textit{k-lưới} của không gian tôpô $X$ nếu với
\hspace*{20pt}Trong mục này ta luôn giả sử $X$ là tập được sắp
tất cả các tôpô làm cho thứ tự liên tục tương đương với việc chứng
Trang 8Giả sử $a b \in X$ tuỳ ý và $a < b$
thứ tự đã cho là liên tục theo nghĩa chỉ ra
Việc còn lại là chứng minh {\LARGE $\tau$} $\subset$ {\LARGE
$\tau'$} Muốn vậy ta chỉ cần chứng tỏ với mọi $U
\in\mathcal{B}$ mọi $x_0 \in U$
sao cho $x_0 \in V \subset U$
U$ Khi đó $a < x_0$ Theo giả thiết thứ tự trên $X$ liên tục đối
với {\LARGE $\tau'$} nên tồn tại các lân cận $U'$ của $a$ $V$
của $x_0$ sao cho từ $x \in U'$
$a < x$ với mọi $x \in V$ hay $V\subset U$
ta chỉ
\in U$ thì $a < x_0 < b$ Vì thứ tự trên $X$ liên tục đối với
{\LARGE $\tau'$} nên tồn tại các lân cận của $a$ $x_0$
$V_{x_0}$
V_{x_0}$ $z \in V_b$ suy ra $y < x < z$ Do đó với mọi $x \in
V_{x_0}$ thì $a < x < b$ hay là $V_{x_0} \subset U$
\begin{corollary}\label{hq23} \textit{Nếu {\LARGE $\tau$} là tôpô thứ tự trên
$X$ thì $(X${\LARGE {\LARGE $\tau$}}) là $T_2$-không gian.}
lập thành cơ sở của {\LARGE $\tau$}
Thật vậy giả sử $V = \{x \in X: x < a\}$ Do trong $X$ không có
phần tử bé nhất nên tồn tại $c \in X$ sao cho $c < x < a$ Đặt
$$
U = \{x \in X: c < x < a\}
$$
x\}$
V$ lần lượt là lân cận của $a$ và $b$ sao cho với mọi
Khi đó $U$ và $V$ lần lượt là lân cận của $a
\textit{Trường hợp 1.} $U = \{ x \in X : a < x\}$ Lấy $x_{0} \in
\textit{Trường hợp 2.} $U = \{x\in X: x < a\}$ Tương tự
ra được tồn tại $V \in$ {\LARGE $\tau'$} sao cho $V \subset U$
\textit{Trường hợp 3.} $U = \{x \in X: a < x < b \}$ Với $x_0
lượt là $V_a$
thì $U \subseteq V$ Tương tự với trường hợp $V = \{x \in X: a <
ta cũng tìm được $U = \{x \in X: a < x < c\}$ sao cho $U
Trang 9\textit{Chứng minh.} Thật vậy giả sử $X$ là tập số thực $\r$.
b)\cup\{c\}$ trong đó $a < b < c$ Khi đó
$Y$ bởi tôpô thứ tự trên $X$ thì tập $\{c\}$ mở còn với tôpô thứ
tự trên $Y$ thì tập $\{c\}$ không mở Do đó tôpô cảm sinh trên
$Y$ bởi tôpô "<" thứ tự trên $X$ không trùng với tôpô thứ tự trên
$Y$
trên} của tập $A$ nếu mọi $y$ tuỳ ý thuộc $A$ thì hoặc $y < x$
tập $A$ nếu mọi $y \in A$ thì $x < y$ hoặc $x = y$
là \textit{cận trên nhỏ nhất} nếu nó là cận trên của tập $A$ và
gọi là \textit{tập sắp thứ tự toàn phần} (đối với "<") nếu mọi
tập con khác rỗng mà có cận trên thì có cận trên bé nhất Hay
$\sup A$ và $\inf A$.}
\textit{Chứng minh.} Giả sử $X$ không toàn phần Tức là $A \subset
X$ $A \not= \emptyset$ và $A$ có cận trên mà không có cận trên bé
nhất Gọi $B$ là tập tất cả các cận trên của $A$ Khi đó $B \not=
\emptyset$ và $B \cap (X\setminus{B}) = \emptyset$
thường thì tôpô thứ tự trên $\r$ trùng với tôpô thông thường
Như đã biết
thì $Y$ được sắp bởi quan hệ "<"
Trên $\r$ xét tôpô ứng với thứ tự thông thường Giả sử $Y = (a
\begin{definition}\label{dn26}{\em Giả sử $A$ là tập con của tập $X$ được sắp thứ
tự bởi quan hệ "<" Phần tử $x \in X$ được gọi là \textit{cận
hoặc $y = x$ Phần tử $x \in X$ được gọi là \textit{cận dưới} của
Một tập có thể có nhiều cận trên khác nhau Phần tử $x$ được gọi
nếu $x'$ là một cận trên nào đó của A thì $x < x'$ Tương tự ta có
định nghĩa \textit{cận dưới lớn nhất} của tập $A$ Tập $X$ được
tương đương với mọi tập con khác rỗng mà có cận dưới đều có cận
dưới lớn nhất
Tập $A$ \dgl \ \textit{bị chặn} nếu nó có cận trên và cận dưới Ta
ký hiệu cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất của $A$ lần lượt là
Trang 10Với $x \in B$ thì $x$ là cận trên của $A$ Vì $B$ không có phần tử
nhỏ nhất nên tồn tại $a \in B$ sao cho $a < x$ Chọn $U = \{y \in
X: a < y\}$ thì $U$ là lân cận của $x$ và $U \subset B$ Do đó B
mở
Với $x \in X\setminus{B}$ thì $x$ không phải là cận trên của $A$
nên tồn tại $a \in A$ sao cho $x < a$ Khi đó $U = \{y \in X: y <
a\}$ là lân cận của $x$ và $U \subset X\setminus{B}$ Hiển nhiên
$X\setminus{B} \not= \emptyset$ Do đó $X\setminus{B}$ mở
Vậy ta có $X = B \cup(X\setminus{B})$ trong đó $B$ và
$X\setminus{B}$ là các tập mở khác rỗng Do đó $X$ không liên
thông Điều mâu thuẫn này dẫn đến thứ tự trên $X$ là toàn phần
\begin{proposition}\label{md29}{\em\cite{KL}} \textit{Không gian $X$ liên thông đốivới tôpô thứ tự khi và chỉ khi thứ tự trên $X$ là toàn phần và
không có lỗ hỗng.}
\end{proposition}
\textit{Chứng minh.} \textit{Điều kiện cần.} Giả sử $X$ liên
thông theo Mệnh đề \ref{md28} thì $X$ toàn phần Bây giờ ta chứng
minh $X$ không có lỗ hổng Thật vậy giả sử $X$ có lỗ hổng Khi
thì ta có $X = A \cup B$ và $A \cap B = \emptyset$ Từ đó suy ra
$X$ không liên thông Đây là một mâu thuẫn Vậy $X$ không có lỗ
hổng
giả sử thứ tự trên $X$ là toàn
phần và không có lỗ hổng
tại các tập $A B$ vừa mở
$A \cap B = \emptyset$ và $X = A\cup B$ Ta luôn có thể giả sử
rằng tồn tại $a \in A$ $b \in B$ sao cho $a < b$ Đặt
trong đó $c < a_1 < d$ $U \cap A_1 \not= \emptyset$
hỗng nên tồn tại $c \in X$ sao cho $a_1 < c < b_1$ Nếu $c \in A$
thì do $c < b$ nên $c \in A_1$ và do đó $c < a_1$ hoặc $c = a_1$
Điều này mâu thuẫn với $a_1 < c$ Nếu $c \in B$
b \in X$ sao cho $a < b$ nhưng không tồn tại $c \in
\textit{Điều kiện đủ.} Ngược lại
nhưng $X$ không liên thông Khi đó tồn
ngược lại thì $a_1$ không phải là cận trên bé nhất của $A_1$ Như
vậy $a_1$ là điểm giới hạn của $A$ Tương tự ta chứng minh được
$B_1$ có cận dưới lớn nhất là $b_1 \in B_1$ Vì $X$ không có lỗ
lập luận tương
Trang 11tự ta suy ra mâu thuẫn Vậy $X$ liên thông.
\begin{proposition}\label{md210} \textit{Nếu thứ tự trên $X$ là toàn phần thìmỗi tập con của $X$ là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.}
\end{proposition}
\textit{Chứng minh.} \textit{Điều kiện cần.} Giả sử $K$ là tập
compact trong $X$ Do $X$ là $T_2$-không gian nên $K$ là tập đóng.Mặt khác do $K$ compact nên từ phủ mở của $K$ bởi các phần tử
Đặt $\alpha = \min\limits_{1 \leq i \leq n}a_i b =
\max\limits_{1 \leq i \leq n}b_i$
Khi đó với mọi $x \in K$ ta có $a < x < b$
\textit{Điều kiện đủ.} Giả sử $K$ là tập con đóng bị chặn của
$X$ Vì thứ tự trên $X$ là toàn phần nên tồn tại $a_0 a_1$ lần
cận trên bé nhất của $K$ và $a_0
\in K$ Khi đó $K \subset [a_0 a_1]$ Kí hiệu $[a_0
$$
\{x \in X: a_0 < x < a_1\}\cup\{a_0 a_1\}
$$
Vì $K$ đóng nên ta chỉ cần chứng minh $G = [a_0 a_1]$ là tập
compact Giả sử $\mathcal{U}$ là phủ mở bất kì của $G$ Gọi $c$ làcận trên bé nhất của tập
$$
B = \{x \in G: [a_0
$$
Lúc đó $B \not= \emptyset$ vì ít nhất có $a_0 \in B$ B có cận
trên bé nhất là $a_1$ nên phần tử $c$ là tồn tại Nếu $c = a_1$
thì có ngay $G$ compact Nếu $c \not= a_1$ vì $\mathcal{U}$ phủ
$G$ nên tồn tại $U \in\mathcal{U}$ sao cho $c \in U \in
\mathcal{U}$ Khi đó trong $U$ sẽ không có phần tử $d$ nào thuộc
$G$ mà $c < d$ vì nếu trái lại thì suy ra $c$ không phải là cận
$$
U' = \{x \in X: x_0 < x < x_1\}
$$
sao cho $U' \subset U$ $c \in U'$ và không tồn tại $y \in G
< y < x_1$ Từ đó suy ra $x_1 \leq a_1 (x_1 < a_1$ hoặc $x_1 =
a_1)$ Khi đó do $x_1 \in G$ nên tồn tại $U_1 \in \mathcal{U}$
sao cho $x_1 \in U_1$ Lấy $d\in (a_0 c)$ sao cho $d \in U$ Theo
cách xác định $d$ và $c$ thì tồn tại họ con hữu hạn $\mathcal{U}'$
của $\mathcal{U}$ phủ $[a_0 d]$ Đặt $\mathcal{U}_1 =
\mathcal{U}'\cup\{ U U_1\}$ Ta thấy $\mathcal{U}_1$ là họ con
hữu hạn của $\mathcal{U}$ phủ $[a_0 x_1]$ Điều này mâu thuẫn với
cách xác định $c$ Vậy $c = a_1$
\begin{proposition}\label{md211} \textit{Nếu thứ tự trên $X$ là toàn phần $Y$
đều trích được phủ con hữu hạn Giả sử đó là :
lượt là cận dưới lớn nhất
x] \text{ được phủ bởi hữu hạn các phần tử của họ $\mathcal{U}$}\}
trên bé nhất của $B$ Ta tìm được
Trang 12là không gian compact và $f: Y \to X$ là ánh xạ liên tục thì $f$
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên $Y$.}
\end{proposition}
\textit{Chứng minh.} Theo giả thiết $Y$ compact $f$ liên tục
nên $f(Y)$ compact \up{á}p dụng Mệnh đề \ref{md210} thì $f(Y)$
đóng và bị chặn Mặt khác thứ tự trên $X$ là toàn phần nên tồn
đó $a$ là điểm giới hạn của $f(Y)$ Vì $f(Y)$ đóng nên $a \in
trị lớn nhất và nhỏ nhất trên $Y$
tuyến tính bởi quan hệ "<" và trên $X$ có cấu trúc tôpô thứ tự
Khi đó mỗi tập hợp con đóng và bị chặn của $X$ là compact khi và
chỉ khi thứ tự trên $X$ là toàn phần đối với quan hệ "<".}
\end{proposition}
\textit{Chứng minh.} \textit{Điều kiện cần.} Giả sử mỗi tập con
đóng và bị chặn của không gian $X$ là compact và tập $A$ là tập
con khác rỗng bị chặn của $X$ Ta cần chứng minh $A$ có cận trên
Lấy bất kì $a \in A$ và $b \in B$ Khi đó ta có $a \leq b$ ($a <
b$ hoặc $a = b$) và vì $[a b]$ là tập đóng và bị chặn trong $X$
nên nó là tập compact Nếu $x \leq a$ $(x < a $ hoặc $x = a)$ với
mọi $x \in A$ hoặc $b \leq z \ (b < z $ hoặc $b = z)$ với mọi $z
\in B$ thì $a = b$ và đó là cận trên đúng của $A$ Bây giờ ta giả
sử tồn tại $a_1 \in A$ $b_1 \in B$ sao cho $a < a_1 < b_1 < b$
b_1$
tồn tại $a_2 \in A$ $b_2 \in B$ sao cho $a_1 < a_2 < b_2 < b_1$
Tiếp tục quá trình này thì hoặc $A$ có cận trên đúng hoặc tồn tại
họ các đoạn $[a_i b_i]
1) $a_i \in A b_i \in B
2) $a < a_i < b_i < b$ với mọi $i \in I$
Theo cách xây dựng các đoạn $[a_i b_i]$ ta thấy họ $\{[a_i
i \in I\}$ là các tập con đóng có giao hữu hạn trong tập compact
$[a b]$
$$
Y = \bigcap\limits_{i \in I}[a_i b_i ] \not= \emptyset
$$
với mọi $y \in Y$ ta có $x \leq y \leq z \ (x < y < z$ hoặc $x =
y$ hoặc $y = z)$ với mọi $x \in A z \in B$
Từ đây suy ra tập $Y$ chỉ có duy nhất một điểm và điểm đó chính là cận trên đúngcủa $A$
\textit{Điều kiện đủ.} Đây là nội dung của Mệnh đề \ref{md210}
\vskip 0.3cm
tại cận trên bé nhất $a$ và cận dưới lớn nhất $b$ của $f(Y)$ Do
f(Y)$ Tương tự ta chứng minh được $b \in f(Y)$ Vậy $f$ đạt giá
\begin{proposition}\label{md212} \textit{Cho $X$ là tập hợp được sắp thứ tự
đúng và cận dưới đúng Gọi $B$ là tập tất cả các cận trên của $A$
Lí luận tương tự cho $a_1
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được tập $A$ có cận dưới đúng
Trang 13Trong không gian tôpô tổng quát
Tuy nhiên trong không gian với tôpô thứ tự
sau Trong các Mệnh đề sau ta giả thiết $(X
$\tau$}}) là không gian tôpô với tôpô thứ tự {\LARGE $\tau$} liên
thông
$(A)$.}
\end{proposition}
tôpô $X$ Ta sẽ chứng minh $\p$ có tính chất $(A)$ Thật vậy giả
sử $U$ là lân cận của $x$ Khi đó tồn tại $\alpha
\textit{Chứng minh.} Giả sử $\p$ là phủ có tính chất $(A)$ của
$X$ Gọi $K$ là tập compact và $U$ là tập mở trong $X$ sao cho $K
\subset U$ Với mỗi $x \in K$ tồn tại họ con hữu hạn $\f_x$ của
Thật vậy nếu điều đó không đúng thì với mọi lân cận mở $(\alpha
\beta)$ của $x$ đều có
$$
(X\setminus{\f_x})\cap(\alpha \beta) \not= \emptyset
$$
Do đó $x \in \overline{X\setminus{\cup\f_x}}$ Từ giả thiết $X$
là không gian Frechet suy ra tồn tại $\{x_n\} \subset
phủ có tính chất $(A)$ chưa hẳn
là $k$-lưới và ngược lại $k$-lưới chưa hẳn đã có tính chất $(A)$
\begin{proposition}\label{md213} \textit{Mọi $k$-lưới trong $X$ đều có tính chất
\textit{Chứng minh.} Giả sử $\p$ là một $k$-lưới của không gian
\beta]$ là tập compact và $\p$ là một $k$-lưới nên
phủ có tính chất $(A)$ đều là $k$-lưới.}
Trang 14X\setminus{\f_x}$ sao cho $x_n \to x$ Điều này mâu thuẫn với $x
Từ đó suy ra $\{(\alpha \beta): x \in K\}$ là một phủ mở của $K$
Vì $K$ compact nên tồn tại $x_1 \ldots
$$
\bigcup\limits_{i = 1}^{n}(\alpha \beta)_{x_i} \subset
\bigcup\limits_{i = 1}^{n}(\cup\f_{x_i}) \subset U
$$
Đặt $\f = \f_{x_1}\cup\f_{x_2}\cup\ldots\cup\f_{x_n}$ Khi đó $\f
\in \p^{<\omega}$ và $K \subset \cup\f \subset U$
\begin{proposition}\label{md215} \textit{Không gian tôpô $X$ thỏa mãn tiên đềtập.}
1}^{\infty}U_n(x)$ Khi đó tồn tại $y\in \bigcap\limits_{n =
1}^{\infty}U_n(x)$ và $y \not= x$ Nếu $x < y$ suy ra $U =
(\alpha y)$ là lân cận của $x$ $(\alpha < x < y)$ Do đó tồn tại
$U_n(x) \subset (\alpha y)$ Đây là một mâu thuẫn Nếu $y < x$
ta cũng gặp mâu thuẫn
Vậy $ \{x\} = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty}U_n(x)$ hay $\{x\}$ là $G_\delta$-tập
\textit{Điều kiện đủ.} Giả sử mọi $x \in X$ $\{x\}$ là
$G_\delta$-tập Khi đó $\{x\} = \bigcap\limits_{n =
1}^{\infty}{U_n}$ trong đó $U_n$ là tập mở trong $X$ Không mất
tính tổng quát có thể giả thiết $U_1 \supset U_2 \supset\ldots$
Vì $U_n$ là lân cận mở của $x$ và $X$ không có lỗ hỗng nên tồn tại
$\alpha_n \beta_n \in X$ sao cho
\lim\limits_{n \to \infty}\alpha_n = \alpha \
\to \infty}\beta_n = \beta
$$
\in Int_s(\cup\f_x)$ Như vậy tồn tại lân cận $(\alpha
Vậy P là k-lưới
đếm được thứ nhất khi và chỉ khi mọi điểm của $X$ là
$G_\delta$-tiên đề đếm được thứ nhất và $\{U_n(x): n = 1
lân cận đếm được của $x \in X$ Ta sẽ chứng minh rằng
giả sử ngược lại $\{x\} \not= \bigcap\limits_{n =
lập luận tương tự như trên
Như vậy
$\{\beta_n\}$ giảm và bị chặn dưới Do đó tồn tại
Trang 15Vì $\alpha \beta \in (\alpha_n
$\bigcap\limits_{n = 1}^{\infty}(\alpha_n \beta_n) = \{x\}$ nên
ta có $\alpha = \beta = x$ Từ điều này suy ra nếu $\{x_n\}
\subset X$ mà $x \in (\alpha_n \beta_n)$ với mọi $n \in \n$ thì
là cơ sở lân cận tại $x$ Giả sử $\mathcal{U}$ không là cơ sở lân
cận tại $x$ Khi đó tồn tại lân cận $U$ của $x$ sao cho
$(\alpha_n \beta_n)\cap(X\setminus{U}) \not= \emptyset$ Từ đó ta
\beta_n)$
$x_n \notin U$ với mọi $n \in \n$ Khi đó theo chứng minh trên
$x_n \to x$ Điều này mâu thuẫn với $x_n \notin U$ với mọi $n \in
\n$
\newpage
\section{Các loại hội tụ trong không gian hàm và Định lý Dini}
\hspace*{20pt}Trong mục này ta sẽ mở rộng Định lý Dini về điều
kiện đủ để một dãy các hàm nhận giá trị thực hội tụ là hội tụ đều
cho dãy các hàm nhận giá trị trong không gian với tôpô thứ tự Đầu
tiên ta nhắc lại các khái niệm sau:
\begin{definition}\label{dn31}{\em\cite{DTC} Giả sử $\{f_n\}$ là dãy các hàm xác định trênkhông gian tôpô $X$ và nhận các giá trị trong không gian tôpô $Y$
và $f$ cũng là một hàm từ $X$ vào $Y$ Ta nói dãy hàm $\{f_n\}$
\textit{hội tụ theo điểm} đến hàm $f$ trên tập con $A$ của $X$ nếu
$f_n(x) \to f(x)$ với mọi $x \in A$ Khi đó ta kí hiệu $f_n \to
f$ trên $A$.}
\end{definition}
\begin{definition}\label{dn32}{\em\cite{DTC} Cho dãy hàm $\{f_n\}$ xác định trên không giantôpô bất kì $X$ nhận giá trị trong không gian định chuẩn $Y$
\textit{hội tụ đều} về hàm $f$ trên $A \subseteq X$ nếu với mọi
$\varepsilon > 0$ tồn tại $n_0 \in \n$ sao cho với mọi $n \leq
\begin{remark}\label{nx33}{\em Giả sử các $f_n$ và $f$ là các hàm từ $\r$ vào
$\r$ Trong giải tích cổ điển chúng ta đã biết rằng nếu $f_n
\rightrightarrows f$ trên $A \subset \r$ thì $f_n \to f$ trên $A$
xây dựng được dãy $\{x_n\}$ sao cho $x_n \in (\alpha_n
$f$ là một hàm từ $X$ vào $Y$ Dãy hàm $\{f_n\}$ được gọi là
Điều ngược lại nói chung không đúng Tồn tại những dãy hàm hội tụ
theo điểm (nói gọn là hội tụ) nhưng không hội tụ đều Như vậy một
câu hỏi được đặt ra là với điều kiện nào thì từ sự hội tụ theo
Trang 16điểm kéo theo sự hội tụ đều Định lí Dini cho ta một điều kiện đủ
nếu dãy $\{f_n\}$ các hàm nhận giá trị thức liên tục trên $X$ đơn
điệu tăng và hội tụ theo điểm đến hàm $f$ liên tục trên $X$ thì
dãy $\{f_n\}$ hội tụ đều đến hàm $f$}
Theo Chú ý \ref{cy24}
Định lí Dini cho dãy các hàm nhận giá trị trong không gian với
vào một khái niệm mới về sự hội tụ của một dãy hàm mà ta gọi là
hội tụ compact.}
\end{remark}
\begin{definition}\label{dn34}{\em Giả sử $X$ là không gian tôpô bất kì $Y$ làkhông gian tôpô thứ tự với thứ tự "<" $\{f_n\}$ là dãy các hàm
từ $X$ vào $Y$ và $X' \subseteq X$ Ta nói dãy $\{f_n\}$
\textit{hội tụ compact} trên $X'$ tới hàm $f: X \to Y$ nếu với
mỗi tập compact $K$ trong $X'$ đều có:
ta đã có các khái niệm về sự hội tụ
đều của một dãy hàm Do đó
\ref{dn34} ta cần so sánh sự hội tụ compact với sự hội tụ
\begin{proposition}\label{md36} \textit{Giả sử $\{f_n\}$ là dãy các hàm từ $\r
\to \r$ Khi đó nếu $f_n \rightrightarrows f$ trên $A \subseteq
\r$ thì $\cp$ trên A.}
\end{proposition}
\textit{Chứng minh.} Do $f_n \rightrightarrows f$ trên $A$ nên
để từ sự hội tụ điểm suy ra sự hội tụ đều Định lí Dini được phát
biểu như sau: \textit{Cho $X$ là không gian tôpô compact Khi đó
để thấy được ý nghĩa của Định nghĩa
đều của một dãy hàm Điều này được thực hiện bởi Mệnh đề sau
Trang 170 \leq |\sup\limits_{x \in K}f_n(x) - \sup\limits_{x \in K}f(x)|
\leq \sup\limits_{x \in K}|f_n(x) - f(x)| \text{ với mọi } n \in
\n^*
$$
nên
$$
\big|\sup\limits_{x \in K}f_n(x) - \sup\limits_{x \in K}f(x)\big|
\to 0 \text{ khi } n \to \infty
Vậy $\{f_n\}$ hội tụ compact đến $f$ trên $A$
không hội tụ đều Chẳng hạn xét dãy hàm $\{f_n\}$ với
0 & \text{ nếu } x \in [0 1)\\
1 & \text{ nếu } x = 1
\end{cases}
\end{equation*}
do đó ta có $f_n$ không hội tụ đều trên $[0 1]$
Bây giờ ta chứng minh $\cp$ trên [0
tập compact trong $[01]$ Đặt $\alpha = \max K$ Vì $K$ compact
nên $\alpha \in K$ Nếu $\alpha < 1$ thì
\sup\limits_{x \in K}f_n(x) = 1 = \sup\limits_{x \in K}f(x)
\text{ với mọi } n \in \n^*
Trang 180 \text{ nếu $x = 0$ hoặc }\dfrac1n \leq x \leq 1\\
1 \text{ nếu }x = \dfrac1{n + 1}\\
\text{Tiếp nói tuyến tính trên các đoạn } \left[0 \dfrac{1}{n +
1}\right] \left[\dfrac{1}{n + 1}
\end{cases}
\end{equation*}
Ta sẽ chứng tỏ $f_n \to 0$ trên $[0
hội tụ compact về 0 trên $[0 1]$ Thật vậy
1]$ ắt tồn tại $n_0 \in \n$ sao cho $\dfrac{1}{n_0} < x$ Do đó
f$ trên $A$ suy ra $\cp$ trên $A$
Định lý Dini (xem Nhận xét \ref{nx33})
\begin{theorem}\label{dl38} \textit{Giả sử $X$ là không gian tôpô bất kỳ
$Y$ là không gian liên thông đối với tôpô thứ tự $f$ và $f_n$
($n \in \n)$ là các hàm liên tục từ $X$ vào $Y$ sao cho $f_n \to
f$ trên $X$ Khi đó nếu $\{f_n\}$ là dãy tăng thì $\cp$ trên X.}
Như vậy $f_n \to 0$ trên $[0 1]$ Nhưng ta lại có
Như vậy dãy $\{f_n\}$ không hội tụ compact trên $[0
Bây giờ một vấn đề được đặt ra là tìm điều kiện để cho từ $f_n \to
Ta sẽ giải quyết vấn đề này trong trường hợp các hàm nói tới nhậngiá trị trong không gian tôpô thứ tự Định lý sau đây tương tự
Trang 19víi mäi $n \geq n_x$ V× $f_{n_x}$ liªn tôc t¹i $x$ nªn
tån t¹i l©n cËn më $V_x$ cña $x$ sao cho:
Trang 20\text{ víi mäi } n.
Trang 21$\{f_n\}$ là dãy tăng" bởi "$\{f_n\}$ là dãy giảm" thì Định lí
vẫn đúng và cách chứng minh cũng tương tự
\newpage
\section*{Kết luận}
\addcontentsline{toc}{section}{Kết luận}
\hspace*{20pt}Khóa luận đã đạt được một số kết quả chính như sau:
1) Dựa vào tài liệu tham khảo \cite{KL} để xây dựng tôpô thứ tự và
chứng minh một số tính chất của không gian với tôpô thứ tự, đó là
các Mệnh đề \ref{md22}, \ref{md25}, \ref{md28}, \ref{md29},
\ref{md210}, \ref{md211}, \ref{md212}
Đưa ra và chứng minh một số tính chất của không gian với tôpô thứ
tự, đó là Mệnh đề \ref{md213}, \ref{md214}, \ref{md215}
2) Đưa ra khái niệm về sự hội tụ compact của một dãy hàm nhận giá
trị trong không gian với tôpô thứ tự thông qua Định nghĩa
\ref{dn34}
Xét mối liên hệ giữa sự hội tụ compact với sự hội tụ theo điểm và
hội tụ đều của dãy hàm nhận giá trị trong $\r$, đó là các Mệnh đề
\ref{md35}, \ref{md36}
Đưa ra và chứng minh một điều kiện đủ để một dãy hàm nhận giá trị
trong không gian với tôpô thứ tự hội tụ theo điểm là hội tụ
compact, tương tự như Định lí Dini, đó là Định lí \ref{dl38}
\newpage
\addcontentsline{toc}{section}{Tài liệu tham khảo}
\begin{thebibliography}{999}
\bibitem{DTC} Đậu Thế Cấp, \emph{Giải tích hàm}, Nhà xuất bản Giáo dục, 2000
\bibitem{PDC} Phan đức Chính, \emph{Gải tích hàm}, Nxb Giáo dục,
1980
\bibitem{KL} J Kelly, \emph{Tôpô đại cương}, Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tường (dịch), Nxb Đại học và THCN, Hà Nội, 1973
\end{thebibliography}
\end{document}
Trang 22amssymb}
{\normalfont\large\filcenter\bfseries\MakeUppercase}{\S\thesection.}{0.5em}{}
\setcounter{tocdepth}{1}%% M?c l?c kh?ng cú \subsection (thay s¯ 3 0-4)
Trang 23\ \
Các phương pháp và kết quả của nó đã được ứng dụng vào nhiều ngành
Trang 24Định lý Dini đã cho ta một điều kiện đủ để một dãy hàm hội tụ theo
giá trị trong không gian với tôpô thứ tự hay không? Mục đích chính
của khóa luận là giải quyết vấn đề này Với mục đích đó khóa luận
chứng minh một số
$X$ thì dãy $\{f_n\}$ hội tụ đều đến hàm $f$} Vấn đề được đặt ra
Trang 25\begin{definition}\label{dn11}{\em\cite{KL} Cho $X$ là một tập hợp khác rỗng và
\begin{definition}\label{dn12}{\em Giả sử {\LARGE $\tau$} là họ các tập con của tập $X$ Khi đó {\LARGE $\tau$} \dgl một \textit{tôpô} trên $X$ nếu thoả mãn ba điều kiện
\begin{definition}\label{dn13}{\em i) Tôpô {\LARGE $\tau$} được gọi là \textit{tôpô thô nhất} trong
Trang 26con của nó Khi đó có thể xác định một tôpô $\mathcal{U}$ nào đó
tồn
giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc họ $\sigma$ lập thành cơ
\begin{definition}\label{dn15}{\em \cite{DTC} i) Cho $X$ là một không gian tôpô Một họ các tập mở $\{G_\alpha\}_{\alpha \in
có hai phần tử rỗng và $X$ Tôpô {\LARGE $\tau$} trên $X$ được gọi
Trang 27Tập hợp $A$ của không gian tôpô $X$ gọi là \textit{compact} nếu không gian con $A$ của $X$ là một
\begin{remark}\label{nx16}{\em i) Tập hợp con đóng của một không gian compact
\begin{definition}\label{dn17}{\em\cite{DTC} Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tôpô và ánh xạ
\begin{definition}{\em Không gian tôpô $X$ được gọi là \textit{không gian Frechet}
\begin{definition}{\em Không gian tôpô $X$ được gọi là \textit{thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất} nếu $X$ có cơ sở lân cận đếm được tại mỗi điểm $x
\begin{definition}{\em (i) Họ $\p$ các tập con của không gian tôpô $X$ được gọi là
\begin{definition}{\em Tập con $A$ của không gian tôpô $X$ được gọi là một
Trang 28mçi tËp compact $K$ vµ mäi tËp më $U$ chøa $K$ $(K \subset U)$ cña
\begin{definition}\label{dn21}{\em \cite{KL} \textit{T«p« thø tù} (t«p« < -thø tù) trªn tËp
\begin{proposition}\label{md22}{\em\cite{KL}} \textit{T«p« thø tù trªn $X$ lµ t«p«
vµ l©n cËn
Trang 29nếu không tồn tại $c \in X$
tồn tại $V \in$ {\LARGE $\tau'$}
$y\in V$ suy ra $x < y$ Từ đó
$b$ lần
\begin{corollary}\label{hq23} \textit{Nếu {\LARGE $\tau$} là tôpô thứ tự trên
\begin{re}\label{cy24} {\em 1) Từ đây về sau ta luôn giả thiết tôpô trên
2) Nếu trong $X$ không có phần tử lớn nhất và phần tử bé nhất thì
Trang 30song ta cã kÕt qu¶ sau.}
\begin{proposition}\label{md25}{\em\cite{KL}} \textit{T«p« thø tù trªn $Y$ cã thÓ
víi t«p« c¶m sinh trªn
\begin{definition}{\em \cite{KL} Quan hÖ thø tù trªn $X$ gäi lµ \textit{cã lç hçng}
\begin{proposition}\label{md28}{\em \cite{KL}} \textit{NÕu kh«ng gian $X$ liªn th«ng
\textit{Chøng minh.} Gi¶ sö $X$ kh«ng toµn phÇn Tøc lµ $A \subset
\begin{definition}\label{dn26}{\em Gi¶ sö $A$ lµ tËp con cña tËp $X$ ®îc s¾p thø
Trang 31\begin{proposition}\label{md29}{\em\cite{KL}} \textit{Không gian $X$ liên thông đối
Khi đó $A_1$ bị chặn trên và do thứ tự trên $X$ là toàn phần nên $A_1$ có cận
vì nếu
thì do $c < b$ nên $c \in A_1$ và do đó $c < a_1$ hoặc $c = a_1$