giải tích trong không gian banach có thứ tự

Vậy nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L[ ]0,1 là nón chính qui... Chương 2: T Ự đơn điệu tăng Trong chương này chúng ta thấy các kết quả tương tự cũng đúng cho ánh xạ đơn điệu tăn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Xin chân thành c ảm ơn

văn này

trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này

Tp HCM, tháng 10 năm 2009

Học viên

M Ở ĐẦU

…

1.1 Nón và th ứ tự sinh bởi nón

Định nghĩa 1.1.1:

Trong không gian Banach X với nón chuẩn K, tồn tại chuẩn *tương đương với chuẩn

Do định nghĩa tập A ta tìm được , y z n n∈B( ,1),θ u v n, n∈ sao cho K x n = y n +u n =z n −v n

Vậy tồn tại r >0 sao cho A⊂B( )θ,r

* 2

Cho ε >0, ta tìm được λ>0 sao cho

Cho t → ∞ ta được ( ) 0f x ≥ Do x∈ tùy ý nên K *

i) Giả sử { }f n là dãy tăng, bị chặn trên bởi g trong L[ ]0,1

Ta có thể coi f t n( ), ( )g t hữu hạn tại mọi t∈[ ]0,1

Bằng cách xét dãy f n − f1 nếu cần, ta có thể coi f n ≥0

Vậy nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L[ ]0,1 là nón chính qui

ii) Xét dãy { }f n trong C[ ] 0,1 , với ( ) 1= − n

Ta có f0∉C[ ] 0,1 nên dãy { }f n không hội tụ trong C[ ]0,1

Suy ra { }S n tăng và bị chặn trên

1

n n x

Xét dãy { }x n tăng, bị chặn trên Ta chứng minh { }x n hội tụ

chuẩn)

Chương 2:

T Ự

đơn điệu tăng

Trong chương này chúng ta thấy các kết quả tương tự cũng đúng cho ánh xạ đơn điệu tăng trong các không gian Banach có thứ tự Ngoài ra chúng ta còn tìm thấy những mối liên

2.1 Tính liên t ục của ánh xạ tuyến tính, ánh xạ tăng

Định lí 2.1.3 (định lí Hahn- Banach trong không gian có thứ tự):

Thật vậy, lấy x∈ tùy ý, X t> Ta có 0

Do giả thuyết (7) nên số p x( )∈ −∞ ∞ Ta s[ , ) ẽ chứng minh ( )p x ≠ −∞ bằng phản chứng

Giả sử tồn tại x0∈X sao cho ( )p x0 = −∞ Khi đó

sau được thoả mãn

Giả sử:

Do đó ta tìm được phiếm hàm tuyến tính F thoả các điều kiện

Định nghĩa 2.1.6:

Vậy A liên tục tại x

.4

n

n n

R

ε

ε ε αε

α = và r là số thoả B u r( 0, )⊂int K1 và ta có thể coi r <1

1 0 1 1

0 0

,(12)

• Ta xây dựng dãy ( )δn sao cho x n +δn u0 ≤x n+1−δn+1 0u hay (δn +δn+1)u0 ≤x n+1− x n

+ +

' '

2 3 3

' ' 1

ε εδ

,,

0 0

0 0 0

Khi đó A là ánh xạ tăng trên M

Định lí 2.2.6:

Đặt t0 =sup , ta có ( )A g t0 ≥g t( )1 Thật vậy do tính chất của sup ta luôn tìm được dãy

0 0 0

0 0

• g liên tục (do f, A đều liên tục),

• g lồi (vì A tuyến tính, f lồi),

Cho u0∉−K và x∈K Khi đó tồn tại số t x ≥0 cực đại thoả x≥t u x 0

(t x cực đại theo nghĩa nếu x≥tu0 và t≥ thì 0 t≤t x)

⇒ ∈−u0 K (mâu thuẫn với giả thuyết u0∉−K)

1 A gọi là u0- bị chặn dưới (trên) nếu với mỗi x∈K \{ }θ tồn tại số

ii) A là ánh xạ u0- dương, liên tục và có vectơ riêng dương x0, tương

ứng với giá trị riêng λ0

Khi đó:

1) λ0 là giá trị riêng đơn (bội 1) của A

Có thể coi t> (n0 ếu không, ta xét x − thay cho x ) Ta chứng minh x∉−K

Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của t0

Mâu thuẫn với tính cực đại của t0

3) Để chứng minh 3) ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.3.7:

bất biến X (ngh0 ĩa là A( )X0 ⊂X0 với dim X0 < ∞,x0∉X0) Khi đó X0 ∩K={ }θ

Giả sử trái lại K =X0 0∩ ≠K { }θ

Ta có K0 nón, x0∉K ,0 A(K )0 ⊂K0 Ánh xạ A xét trên X0với nón K0 thoả điều kiện i) của

định lí 2.3.2 (do A compắc trên X0 vì dimX0 < ∞)

Khi đó

C hương 3:

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN

động của ánh xạ dương, compắc và không compắc

3.1 B ậc tôtpô của toán tử dương, compắc

B ổ đề 3.1.1:

Gọi  : XA →X là ánh xạ compắc sao cho

1

( )

t

⇒ A đồng luân dương với A x0( )≡θ

với giá trị riêng bằng 1

Khi đó :

1) i B GK( , ) 1= nếu B không có vectơ riêng trong K với giá trị riêng λ >1

2) i B GK( , )=0 nếu B có vectơ riêng trong K với giá trị riêng λ >1

Chứng minh:

2) Giả sử Bx0 =λx x0, 0∈K \{ }θ λ, >1 Ta có x−Bx=tx x0, ∈ ∩ ∂K G

Định lí được chứng minh đầy đủ

3.2 Điểm bất động của ánh xạ dương, compắc

Ta kí hiệu B r = ∈{x X : x <r r}, >0

Điều này mâu thuẫn với (31) do 1 1

đều đối với t∈[ ]0,ω

2) Tồn tại hàm ϕ: →[0,∞) có chu kì ω, số ρ > sao cho 0

3.3 Điểm bất động của ánh xạ không compắc

Nguyên lí Entropy Brezis – Browder 3.3.1

Giả sử:

ii) S: X→ −∞ +∞[ ; ) là một hàm đơn điệu tăng (nghĩa là u≤ ⇒v S u( )≤S v ) và b( ) ị

Khi đó F có điểm bất động trong M

Đặt M0 ={x∈M x: ≤F x( )}, ta có M0 ≠ ∅

g x( )=sup{ F y( )−F z( ) : ,z y∈M y0, ≥ ≥z x }

Xét dãy tuỳ ý { }x n ⊂M0,{ }x n tăng Theo ii) thì {F x( )n } là dãy hội tụ trong M nên

Theo nguyên lí Entropy ∃ ∈a M0:∀ ∈x M x0, ≥ ⇒a g x( )= g a( )

Hệ quả 3.3.3:

i) u≤Fu Fv, ≤v

Do K là nón chính qui nên {F x( )n } hội tụ

theo biến x và y

Mệnh đề 3.3.5:

Bước 1

,( )

[ ] [ ]

2

0

1 2

văn này có thể coi là một tài liệu nhập môn về ”Lý thuyết phương trình trong không gian

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

1 K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer-

Verlag

2 M.A Krasnoselskii, P.P.Zabreiko (1985) Geometrical methods

of Nonlinear Analysis, Springer- Verlag

3 E.Zeidler (1985), Nonlinear Funtional Analysis and its

Applications, T.1, Springer- Verlag