Không gian giả lồi địa phương và không gian bị chặn địa phương

phần mở đầuCuốn luận văn này nhằm cung cấp cho bạn đọc một số tính chất củakhông gian mêtric tuyến tính và các tính chất đó mang tính đặc thù riêng khácvới không gian định chuẩn.. Luận v

Trờng đại học vinh

C

Đ 2 Các tính chất của tập giả lồi, không gian giả lồi địa phơng, không gian lồi địa phơng 8-12

Đ 1 Các khái niệm cơ bản 13-16

1.1 Tập bị chặn1.2 Không gian bị chặn địa phơng1.3 Độ lõm của không gian

Đ 2 Các tính chất của không gian bị chặn địa phơng

Mối quan hệ giữa không gian giả lồi địa phơng

và không gian bị chặn địa phơng 17-30

phần mở đầu

Cuốn luận văn này nhằm cung cấp cho bạn đọc một số tính chất củakhông gian mêtric tuyến tính và các tính chất đó mang tính đặc thù riêng khácvới không gian định chuẩn Từ đó chúng ta có thể thấy đợc rằng không gianmêtric tuyến tính khái quát hơn không gian định chuẩn

Ngoài ra các bạn có thể xem đây là một tài liệu tham khảo thêm khi

đi vào tìm hiểu nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric tuyến tính

Luận văn gồm có những nội dung nh sau:

Chơng I: Trình bày các khái niệm của không gian mêtric tuyến nh F-chuẩn, tập giả lồi, không gian giả lồi địa phơng, có chứng minh và ví dụ minhhoạ

Chơng II: + Trình bày các khái niệm về tập bị chặn, không gian

bị chặn địa phơng và các tính chất có chứng minh

+ Mối quan hệ giữa không gian giả lồi địa phơng vàkhông gian bị chặn địa phơng (chỉ xét đối với không gian N (L (Ω,∑,à))).

Cuối cùng chúng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Tiến sỹTạ Khắc C đã giúp đỡ chúng tôi hoàn thành luận văn này

Ngời thực hiện

Lê Thái Bình

Chơng I Không gian giả lồi địa phơng

Trong chơng này thông qua một số khái niệm của không gian mêtrictuyến tính làm nền tảng để nghiên cứu các tính chất của tập giả lồi, không giangiả lồi địa phơng và không gian lồi địa phơng

Đ1 Các khái niệm cơ bản

Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng Ф (thực hoặc phức)

Nếu không nói gì thêm thì các kết quả nói ra đều đợc xét trên hai trờng

đó Khi cần thiết ta sẽ chỉ rõ trờng cơ sở là trờng nào

Trong suốt cuốn luận văn này ta sẽ kí hiệu

A + B = {x+y : x∈ A, y∈B}

λA = {λx : x∈ A }

1.1 Định nghĩa Hàm ρ: XxX → R thoả mãn các điều kiện

(1) ρ(x,y) ≥ 0 với mọi x,y ∈ X và ρ(x,y) = 0 khi và chỉ khi x =y (2) ρ(x,y) = ρ(y,x) với mọi x,y ∈ X

(3) ρ(x,y) ≤ρ(x,z) +ρ(z,y) , với mọi x,y,z ∈ X,

đợc gọi một mêtric trên X

1.2 Định nghĩa Không gian tuyến tính X cùng với một mêtric trên nó đợc gọi

là không gian mêtric tuyến nếu các phép toán cộng và nhân vô hớng liên tuctheo tôpô sinh bởi mêtric ρ

+ Mêtric ρ(x,y) đợc gọi là bất biến nếu

ρ(x+y, y+z) = ρ(x,y) với mọi x,y,z ∈ X.

1.3 Định nghĩa a) Không gian mêtric tuyến tính X với mêtric bất biến xác

định trên nó đợc gọi là một F*- không gian

b) Hàm thực ||.|| : X → R đợc gọi là một F- chuẩn trên X nếuthoả mãn các điều kiện sau đây

(i) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x=0

(ii) ||ax|| = |a| ||x|| với mọi a ∈Ф, |a|=1

(iii) || x+y || ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X

1.4 Định nghĩa Cho X là một không gian mêtric tuyến tính

Tập A ⊂ X đợc gọi là hình sao nếu tA ⊂ A với mọi t, 0 ≤ t <1

Khi đó độ lõm của tập hợp A đợc ký hiệu bởi

c (A) = inf {s >0: A+A ⊂ sA }

Nếu A + A ⊄ sA với mọi s > 0 Ta đặt c(A) = + ∞

Một tập hình sao A với độ lõm hữu hạn (c(A) < + ∞) đợc gọi là tập giảlồi

1.5 Định nghĩa Một lân cận U của 0 đợc gọi là cân nếu với mọi a∈Ф mà | a | ≤ 1 thì aU ⊂ U

1.6 Định nghĩa Tập A đợc gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A và a, b > 0,

a,b∈Ф mà a+ b = 1 thì ax + by ∈ A

Nhận xét Một tập lồi thì giả lồi Điều ngợc lại không đúng.

Ví dụ Cho A = { (x,y)/ x < 2, y < 1} U { (x,y)/ x < 1, y < 2} ta sẽchứng minh A là tập giả lồi nhng nó không lồi.

Thật vậy với mọi m = (x,y) ∈ A thì x < 2, |y|<1 hoặc x < 1, |y| < 2

Khi đó với mọi 0 ≤ t < 1 thì tm = (tx, ty) Do

tx < x, |ty| < |y| nên tm ∈ A suy ra tA ⊂ A với mọi 0 ≤ t < 1

Vậy m + n ∈ 4A hay A + A ⊂ 4A

Suy ra c(A) ≤ 4 Vậy A là tập giả lồi

Giả sử A là lồi thì với mọi m, n ∈ A, m = (x1, y1), n = (x2, y2) a + b = 1,

1.7 Định nghĩa Không gian mêtric tuyến tính X đợc gọi là giả lồi địa phơng

nếu có một cơ sở lân cận {Un} của 0 là giả lồi

+ Nếu có thêm điều kiện c(Un) ≤ 21/p thì chúng ta nói rằng không gian X là p –lồi địa phơng

1.8 Định nghĩa: Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng Ф (Ф = R hoặc

1.10 Định nghĩa F giả chuẩn thuần nhất gọi tắt là giả chuẩn.

Vậy hàm . : X  R đợc gọi là giả chuẩn nên nó thoả mãn các điều kiệnsau

+ x+y ≤ x + y với mọi x,y ∈X

+ αx = αx , với mọi α∈Ф , x∈ X

+ x ≥ 0, với mọi x∈ X

Nhận xét Giả chuẩn không phải là chuẩn.

1.11 Định nghĩa Không gian mêtric tuyến tính lồi địa phơng đợc gọi là B*

0 không gian

Kn = { } x : x n 〈 1 là cơ sở lân cận của 0 Ta có c (Kn) ≤ 2 p nbởi vì nếu

x,y ∈ Kn thì x+y n < 2.Vì vậy 1

2+Pn y <

x

Do đó x+ y ∈ 2P Kn Suy ra Kn + Kn⊂ 2p Kn nên Kn là lồi

1.12 Định nghĩa Tập A trong không gian mêtric tuyến tính X đợc gọi là

p-lồi tuyệt đối nếu với 0<p ≤1 và với mọi x,y ∈A thì ax +by ∈A

Nhận xét Nếu A là p - lồi tuyệt đối thì A là giả lồi Điều ngợc lại không

đúng

Độ lõm của A đợc ớc lợng bởi công thức c(A) ≤ 2Pn.

Ví dụ {(x,y)/ |x|<1, |y| < 2} U {(x,y) / |x| < 2 , |y| < 1},

là 1 tập giả lồi nhng nó không p –lồi tuyệt đối

Đ2. Các tính chất của tập giả lồi, không gian giả lồi

địa phơng và không gian lồi địa phơng

2.1 Định lí Cho A là một tập mở, giả lồi khi đó ta có

A + A ⊂ c(A) A (1)

x ∉ c(A) A Chúng ta chọn tia xác định bởi x, nghĩa là {tx : t > 0} Vì

A + A mở nên tồn tại r > 1 sao cho rx ∈ A + A

Khi đó A + A ⊄ c(r A) A Vì x ∉ c(A) A, c(r A) < c (A) và r > 1 nên ta

đi đến mâu thuẫn vì c (A) = inf {s >0: A+A ⊂ s A }

Vậy A + A ⊂ c (A) A.

2.2 Định lí Cho X là không gian giả lồi địa phơng Khi đó tồn tại một dãy

các F giả chuẩn p– n– thuần nhất {|| || n} (nghĩa là || tx || n =|t Pn ||| x n ||, n =

1, 2…) xác định một tôpô tơng đơng với tôpô ban đầu.

Nếu X là không gian p-lồi địa phơng thì có thể gỉa thiết rằng p n = p với mọi n = 1, 2,

tổng quát ta có thể giả sử rằng Un là cân, với mọi n = 1,2,…Từ định nghĩa củatập giả lồi ta có tồn tại sn > 0 sao cho Un + Un⊂ sn Un , n = 1,2,…

Đặt Un (2q) = sn Un , (q = 0, ±1, ±2,…)

Với mỗi số hữu tỷ dơng r, r = ∑

=

t s

i ai2i trong đó ai = 0 hoặc ai = 1

aiUn(2i+q) =∑

=

t s i

aisni+ q Un

= sn ∑

=

t s i

aisn Un = sn ∑

=

t s i

aiUn(2i) = sn U(r)

§Æt || xn ||/

n = inf {r >0: x ∈ Un (r)}.Nhê c¸c tÝnh chÊt cña Un(r) ta cã c¸c tÝnh chÊt cña || x||/n

(1) ||x + y||/

n≤ ||x||/

n + ||y||/

n.(2) ||ax||/n = ||x||/n , víi mäi a, |a| = 1

(3) ||Snq x||/

n = 2q ||x||/

n.ThËt vËy

(1) ||x||/n + ||y||/n = inf {r1 > 0: x ∈ Un(r1)} + inf {r2 >0: y ∈ Un(r2)} = inf {r1 + r2: x ∈ Un(r1), y∈Un(r2)}

n.VËy ||ax||/

n = ||x||/

n víi mäi a, |a| =1

(3) Ta cã 2q ||x||/n= inf {2qr: x ∈ Un(2qr)}

= inf {2qr: snq x ∈ Un(2qr)}

= ||sn x||/n.(Vì x ∈ Un(2qr) nên snq x ∈ snq Un (2qr) = Un(2qr)).

Khi đó chúng ta đặt

Pn n

tx x

/

sup

= , pn=loglogS2n t>0

Ta sẽ chứng minh ||.||n là một F - chuẩn với n = 1,2,…

Thật vậy

+ Cho a =1 Xét ax

+ x+y n= sup pn

n

t

y x

≤ sup pn n

pn n n

t

tx t

x t

) (

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng họ giả chuẩn { }x n sinh ra tôpô tơng

đ-ơng với tôpô ban đầu Trớc hết ta chỉ ra rằng các họ { }/

n

x và { }x n sinh ra cáctôpô tơng đơng nhau

Thật vậy từ định nghĩa của x n ta có

x

x n/ ≤

Mặt khác A = {x: x n <r} ⊂ Un(r)

Thật vậy với x ∈ A thì x n < r nên /

n

x < r

Do đó x ∈ Un(r), n = 1,2,…

Ngoài ra ta có các tập Un(r) là các tập hình sao Từ đó suy ra các giả chuẩn /

n

x không tăng, nghĩa là /

n

tx là các hàm không tăng với mọi t>0, n=1,2,…và với mọi x ∈ X

Khi đó p n

n

tx x

Bây giờ ta giả sử xk →0 trong tôpô ban đầu

Giả sử với mọiε >0 tuỳ ý, tập p n

n K

x

) (

0 <

n k

x Khi đó ' 1

0 <

n k

|| f || = sup f(x), với mọi f єC(Ω),với mọi x ∈Ω (1)

x ∈Ω

Trên C (Ω) ta trang bị hai phép toán nh sau

(f+g)(x) = f(x) + g(x) ,với mọi f,g єC(Ω),với mọi x ∈Ω.

(αf)(x) = αf(x), với mọi x∈Ω, f єC(Ω).

Khi đó C(Ω) với hai phép toán đó trở thành một không gian tuyến

tính và ta sẽ chứng minh (C(Ω),||.||) là B0 -không gian.

không gian mêtric tuyến tính với mêtric d (f,g) = sup f(x)- g(x)

x∈Ω

Đặt Un = {f : f < 1}, n =1,2,…

Khi đó { }U n là một cơ sở lân cận của 0 và với mọi a, b > 0, a +b =1 ta xét

af +bg ≤af +bg =a f +b g =a f +b g < a+b =1, với mọi f,g ∈ C(Ω ).Vậy af+bg ∈ Un nên Un là lồi, n =1,2,…

Do đó C(Ω ) là không gian mêtric tuyến tính lồi địa phơng hay C(Ω ) là

B*

0 - không gian

Bây giờ ta sẽ chứng minh C(Ω ) đầy đủ với chuẩn * xác định bởi (1) Thật vậy, giả sử {fn} là một dãy Cauchy ta cần chứng minh tồn tại f ∈ C(Ω ) sao cho fn →f khi n →∞

Do {fn} là dãy Cauchy nên với mọi ε >0, tồn tại n0 ∈N* sao cho với mọi n,

Chơng 2 Không gian bị chặn địa phơng

Nội dung của chơng này là nghiên cứu các tính chất của không gian bịchặn địa phơng dựa vào các tính chất của không gian mêtric tuyến tính vàkhông gian N (L (Ω,∑,à)) Từ đó làm rõ đợc mối quan hệ giữa không gian giảlồi địa phơng và không gian bị chặn địa phơng

Đ1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Định nghĩa Cho X là một F* - không gian Một tập hợp A ⊂ X đợc gọi là

bị chặn nếu với mỗi lân cận U của 0 đều có một số a sao cho A ⊂ aU

1.2 Định nghĩa Không gian X đợc gọi là bị chặn địa phơng nếu nó có một cơ

sở lân cận bị chặn của 0

1.3 Định nghĩa c(X) gọi là độ lõm của không gian X nếu

c(X) = inf {c(U) : U chạy khắp các tập mở ,lồi ,cân }.

1.4 Định nghĩa Nếu F* - không gian có một lân cận mở, lồi, bị chặn của 0 thìgọi là không gian định chuẩn Không gian định chuẩn đầy đủ là không gianBanach

-không gian có một lân cận mở, lồi và bị chặn cửa 0

Thật vậy nếu X là không gian định chuẩn thì X là F*- không gian và

B = {x∈X: ||x||<1} là một lân cận mở, lồi và bị chặn cửa 0

Ngợc lại giả sử X là F*- không gian có một lân cận U mở, lồi và bị chặncửa 0 Không mất tính tổng quát ta giả sử U là cân khi đó đặt

(3) ϕ(x+y)≤ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ U.

Ta sẽ chứng minh (3) Giả sử với mọi ε bé tuỳ ý, từ định nghĩa của ϕ(x)

ϕ

+ = (1-ε) ( )x ( )y

y x

ϕ ϕ

+) ||y+z|| = |y+z|.ϕ(x) ≤ (|y| + |z|)ϕ(x) = ||y|| + ||z||

Vậy ||.|| là một chuẩn trên X hay X là một không gian định chuẩn

sup x < + ∞

x ∈A

b) Đặt B0 (X →Y) = {f/ f:X →Y, f tuyến tính , liên tục };

Dễ thấy B0 (X →Y) là một không gian tuyến tính Giả sử δ là một họ các tập bị chặn trong X, khi đó không gian B0 (X →Y) với tôpô đợc xác định bởi họ các lân cận có dạng với mỗi ánh xạ f0∈ B0 (X →Y) và A∈δ lân cận U(f0,A,ε) = { f∈ B0 (X →Y): sup (f − f0)(x) < ε}, đợc kí hiệu là

x ∈A

Bδ (X →Y)

Nếu δ là họ tất cả các tập bị chặn thì tôpô sinh bởi δ đợc gọi là tôpô của

sự hội tụ bị chặn Khi đó không gian Bδ (X →Y) đợc kí hiệu là

B (X → Y)

Chú ý Cho Ω là một tập hợp, Σ là một σ- đại số gồm đếm đợc các tậpcon của Ω, à là độ đo trên Σ

(3) f(ax + by) ≤ f(x) + f(y) với mọi x,y ∈ X và a,b ∈ R mà a ≥0, b≥0,a+b = 1;

 , trong đó En∈Ω, n =1,2…, E i  Ej = φ , với mọi i ≠ j , đợc gọi là một độ đo giá trị vectơ (độ đo)

Ta nói độ đo àtrên có một nguyên tử Eo nếu à(E0) ≠ 0 và với mọi E ⊂ E0 thì

à(E) =à(E0) hoặc à(E) = 0

Độ đo àgọi là nguyên tử thuần tuý nếu nó tập trung trên các nguyên tử. Độ đo àgọi là không nguyên tử nếu nó không có nguyên tử nào.

Đ2 Các tính chất của không gian bị chặn địa phơng, mối quan

hệ giữa không gian giả lồi địa phơng và không gian bị chặn

địa phơng

2.1 Đinh lí Cho X là một không gian bị chặn địa phơng với 0< p ≤ 1 đã biết thì có một F- chuẩn p- thuần nhât trong không gian X tơng đơng với tôpô ban

đầu.

Chứng minh Giả sử U là một lân cận cân, bị chặn của 0 Khi đó tập U là

giả lồi Do tập U +U là bị chặn, mở nên tồn tại a sao cho U+U ⊂ aU

Vì vậy ta xác định F - chuẩn nh sau

từ tính giả lồi cuả Un ta suy ra tồn tại sn >0 sao cho Un +Un⊂ snUn

a r

và p n

n

tx x

/

sup

= thì x 1 là F – chuẩn thoả mãn các tính chất đòi hỏi t>0

2.2 Hệ quả Cho X là không gian bị chặn địa phơng với mỗi p, 0 < p < p0 có một p thuần nhất F chuẩn t– – ơng đơng với tô pô ban đầu.

2.3 Ví dụ { }p n là dãy số dơng, 0 < pn ≤ 1 , với mọi n

x = 0 tơng đơng x = 0 với mọi n

n n

n

p n n p

n n n

p n

n Pn Pn

ã

n

n n

n n

q q

Hay A = {x: x q < 1} là bị chặn và A + A ⊂ {x x } q A

q

1

2 2

n n

t

hay {x n t n} dần tới 0 Do đó B bị chặn

2.6 Định lí Giả sử X và Y là hai không gian bị chặn địa phơng Nếu không

gian X đẳng cấu tuyến tính với không gian Y thì C(x) = C(Y).

Do X là không gian bị chặn địa phơng nên tồn tại lân cận U mở của 0, U bịchặn, cân, khi đó tồn tại n 0∈N* sao cho U+U ⊂ n0U

Ta có f(U) + f(U) ⊂ n0 f(U) Thật vậy, lấy t = x+y ∈ f(U) + f(U) thì tồn tại z1, z2∈ U sao cho

f(z 1) = x, f (z2) = y, khi đó t = x+y = f(z 1) + f (z 2),

hay t= f (z 1 +z 2) ∈ f (n0 U) = n0f (U) (do f tuyến tính )

Vậyf(U) + f(U) ⊂ n0f (U) nên c[f(U)]≤ c (U)

Nếu f: X →Y là đẳng câú thì khi đó ta có

C( )Y =C[f( )X ]≤C( )X =C[f− 1( )Y ]≤C( )Y

Vậy C(X) = C (Y)

2.7 Định lí Cho X và Y là hai không gian bị chặn địa phơng khi đó nếu

f: X →Y là tuyến tính liên tục thì C(Y) ≤ C(X).

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tôpô của

không gian X cho bởi một chuẩn p -thuần nhất x

Giả sử A là một tập mở, hình sao, bị chặn trong Y

Ngợc lại lấy y ∈ f(B) thì tồn tại x ∈ B sao cho y = f(x) suy ra x ∈f-1 (A) ,

2.8 Hệ quả Cho X là một không gian bị chặn địa phơng và Y là một không

gian con của X Khi đó C(X/Y) ≤ C(X), trong đó X/Y là không gian thơng.

Chứng minh Trên không gian thơng X/Y ta trang bị hai phép toán

(x + Y) + (y+Y) = (x+y) + Y với mọi x,y ∈X

α(x+Y) = αx + Y với mọi α∈R, x∈X

Khi đó nếu U là một lân cận mở, bị chặn của 0 thì U + Y cũng là lân cận

mở, bị chặn của Y Do đó X/Y cũng là một không gian bị chặn địa phơng

Mặt khác ánh xạ f: X → X/Y là tuyến tính liên tục nên áp dụng định lí2.7 ta có C(X/Y) ≤ C(X)

2.9 Định lý Giả sử X và Y là hai không gian bị chặn địa phơng và x X, y Y

là các p x , p y chuẩn thuần nhất trên X và Y tơng ứng.

Khi đó một toán từ f từ X vào Y là liên tục khi và chỉ

||f|| = sup||f(x)|| Y <+∞.

x X < 1

Chứng minh Tơng tự nh trong không gian định chuẩn.

+ Nếu pX= pY thì f( )x Y = f x X khi đó f đợc gọi là chuẩn củatoán tử f

+ Từ đó chúng ta có thể xây dựng các chuẩn p - thuần nhất tơng đơngvới các chuẩn px, py -thuần nhất,trong đó 0<p<min (px, py)

p Y

f f K

N khi và chỉ khi f = 0

(2) Giả sử a = 1 Khi đó ta có

ρN (af) = Ω∫N(af(t )dà =∫ΩN(a f(t) )dà =Ω∫N( f(t )dà = ρN( )f

(3) Giả sử a,b ≥ 0 , a +b =1 Đặt

Chøng minh.

Do ρN là một modular nên áp dụng tính chất

ρN (af +b ϕ) ≤ρN (f) +ρN (ϕ), với mọi a, b ≥ 0, a+b =1

Ta suy ra

ρN[21 k (f +ϕ)]≤ρN (kf) +ρN (k ϕ) ≤ρN (k1 f) + ρN (k2ϕ) <+ ∞

Vậy f+ϕ∈ XρN hay XρN là một không gian mêtric tuyến tính

Từ đó ta có ρN (f) sẽ cảm sinh trong XρN một tôpô mêtric hoá đợc

} khi đó nếu r =inf n(t) > 0 thì 0<t<+∞

không gian N (L (Ω,∑,à)) là không gian bị chặn địa phơng.

Chứng minh.

Ta có N (rt) ≥ ( )

2

t N

Bằng quy nạp ta có thể chứng minh đợc rằng