Không gian liên hợp của một số không gian quen thuộc

lời nói đầuKhoá luận này nhằm trình bày có hệ thống không gian liên hợp của cáckhông gian quen thuộc, từ đó rút ra những đặc điểm của các không gian liênhợp này và nhiều tính chất quan t

Môc lôc

Trang

2 Kh«ng gian liªn hîp thø hai, kh«ng gian ph¶n x¹ 3

lời nói đầu

Khoá luận này nhằm trình bày có hệ thống không gian liên hợp của cáckhông gian quen thuộc, từ đó rút ra những đặc điểm của các không gian liênhợp này và nhiều tính chất quan trọng của chúng

Khoá luận này đợc chia thành hai mục:

Đ 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong mục này gồm có những nội dung chính sau:

- Khái niệm về không gian liên hợp, một số tính chất đơn giản của chúng

- Không gian liên hợp thứ hai, không gian phản xạ và một số tính chất cóchứng minh về không gian liên hợp thứ hai và thứ ba, … Không gian phản xạ

Đ 2: Dạng tổng quát của các phiến hàm tuyến tính

Mục này chủ yếu rút ra dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính,tính liên tục xác định trên một số không gian cụ thể, từ đó biết đợc không gianliên hợp của các không gian ấy

1 Không gian hữu hạn chiều

Vinh, tháng 5 năm 2007

Tác giả

Đ 1 Kiến thức chuẩn bị

1 Khái niệm về không gian liên hợp

Nếu X là một không gian định chuẩn trên trờng số K, thì không gian

L(X; K) tất cả các hàm tuyến tính liên tục xác định trên X đợc gọi là không gian

liên hợp và ký hiệu là X* Từ đó ta rút ra đợc một số tính chất đơn giản củachúng

i) Với mọi không gian định chuẩn X, không gian liên hợp X* luôn luôn làkhông gian Banach

ii) Nếu X là một không gian Banach, thì không gian liên hợp X* là đầy đủ

đối với sự hội tụ đơn giản

Chú ý:

- Dãy phiếm hàm {fn}gọi là hội tụ đơn giản đến f ∈ X*, nếu ∀x ∈ X, x cố

định dãy số fn(x) hội tụ đến f(x)

- Một dãy {fn} ⊂ X* gọi là một dãy cauchy đối với sự hội tụ đơn giảnnếu với mọi x ∈ X, fn(x) là một dãy cauchy

- Nếu mọi dãy cauchy đối với sự hội tụ đơn giản đều hội tụ đến một phần

tử nào đó thi không gian X* gọi là đầy đủ đối với sự hội tụ đơn giản

iii) Với mọi phần tử x của một không gian định chuẩn X tuỳ ý, ta đều có

2 Không gian liên hợp thứ hai, không gian phản xạ

+ Không gian liên hợp X* của không gian định chuẩn X đợc gọi là khônggian liên hợp thứ nhất của X

+ Không gian liên hợp của X* còn đợc gọi là không gian liên hợp thứ haicủa X và đợc ký hiệu X**

Tơng tự đối với X***, X****, …

+ Nếu X = X** thì không gian định chuẩn X gọi là phản xạ

Tính chất 1: Tồn tại một phép đẳng cực tuyến tính của không gian định chuẩn

X vào không gian hợp thứ hai X** của nó

Chứng minh Với mỗi phần tử x ∈ X , ta hãy xác định phiếm hàmtrên không gian X* cho bởi công thức

Thành thử ánh xạ đó là một phép đẳng cự tuyến tính của X vào X**

Tính chất này cho phép ta đồng nhất phần tử x ∈ X với phần tử x%∈ X**,

do đó ta có thể coi X ⊂ X**.

Nh vậy, nếu x ∈ X thì có thể coi rằng x ∈ X** và ta có ∀f ∈ X*,

x(f) = f(x)

Tính chất 2: Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều khi và chỉ khi không

gian liên hợp X* hữu hạn chiều

Chứng minh Nếu dim X = n, phép chứng minh dim X*= n xem ở phần 1của Đ 2

Giả sử đã biết dim X* = n Thế thì ta có dim X** = n

Nhng X ⊂ X**, nên dim X ≤ dim X** = n

Vậy X có số chiều hữu hạn và dim X = dim X* = n

Từ tính chất này ta thấy rằng nếu dim x < ∞ thì X = X**

Ta suy ra X là không gian phản xạ

Nh vậy, mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ

Tính chất 3 Một không gian định chuẩn là một không gian đầy đủ.

Chứng minh Theo tính chất (i) phần 1 thì mọi không gian định chuẩn X,không gian X* là không gian banach.

Mặt khác cũng theo tính chất (ii) thì ta suy ra X** là đầy đủ

Do X = X** suy ra X là không gian đầy đủ

con, đóng của X, thì Y là một không gian phản xạ

Chứng minh Mọi phiếm hàm f ∈ X* , nếu chỉ xét trên Y cũng là mộtphiếm hàm tuyến tính liên tục

Để phân biệt ta hãy ký hiệu phiếm hàm này là f%, nh vậy f% ∈ Y* và ta có

Ta hãy lấy α ∈ Y** tuỳ ý và xác định một phiếm hàm xα trên X* bởi

sao cho f0(y) = 0 ∀y ∈ Y và f0(xα) = 1

Khi đó f%0 =0, nhng theo định nghĩa của xα ta có

f0(xα) = xα (f0) = α(f%) = 1 0 ⇒ mâu thuẫn vậy xα∈ Y ⊂ Y**

Ta hãy chứng minh α = xα Quả vậy lấy g ∈ Y* tuỳ ý, tức là g là mộtphiếm hàm tuyến tính liên tục trên Y ⊂ X Theo định lý Hanln - Banach, g cóthể suy rộng thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X

Nói cách khác ta tìm đợc f ∈ X* sao cho f% = g

Ta có xα(g) = xα(f%) = f%(xα) = xα(f) = α(f%) = α(g)

với mọi g ∈ Y*, vì vậy α = xα∈ Y ⇒ Y**⊂ Y do đó Y = Y** (đpcm)

Đ2 Dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính

Mục này, sẽ chỉ ra dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính liên tụcxác định trên một số không gian cụ thể, từ đó biết đợc cụ thể không gian liênhợp của các không gian ấy, các đặc điểm và tính chất của chúng

1 Không gian hữu hạn chiều

Giả sử X là một không gian định chuẩn n - chiều và {e1, e2, …,en} là mộtcơ sở của X Nh đã biết X đồng phối tuyến tính với En (En = Rn hay Cn, tuỳ theo

Để ý rằng X* không đẳng cấu tuyến tính với X Tuy nhiên nếu trong En tadùng chuẩn Ơclit và trong X cũng dùng chuẩn Ơclit tức là:

n 2

i

uu

C đẳng cấu tuyến tính với không gian l1

Chứng minh i) Với mỗi phần tử u = (un) ∈ l 1 Ta hãy xác định phiếmhàm fu trên không gian C0 nh sau:

trong đó un = f(en) không phụ thuộc vào x Để xét tính chất của dãy u = (un)

cụ thể là ta sẽ chứng minh u = (un) ∈l1

Gọi xN = ξ( (N)n ) C∈ 0 (N là số tự nhiên) xác định nh sau:

n

n (N)

u

u0

Không gian l đẳng cấu tuyến tính với không gian l*1 ∞

Quả vậy với mỗi phần tử u = (un) ∈ l∞ thì phiếm hàm

Rõ ràng ánh xạ này là tuyến tính và từ đẳng thức vừa mới chứng minh, takết luận rằng đó là một phép đẳng cấu tuyến tính của không gian l∞ lên khônggian l (đpcm).*1

4) Không gian l p (p > 1)

Ta sẽ chứng minh rằng

Nếu p > 1 thì không gian l đẳng cấu tuyến tính với không gian lq trong*p

đó q thoả mãn điều kiện: 1 1 1

p q+ = + Thật vậy với mỗi phần tử u = (un) ∈ lq, ta hãy xác định phiếm hàm futrên không gian lp nh sau:

Trong đó un = f(en) không phụ thuộc vào x

Để khảo sát tính chất của dãy un, với mọi số nguyên dơng N ta hãy xemphần tử xN = (N)

n

(ξ ) ∈ lp xác định nh sau:

q n (N)

uu0

1 q q n

Rõ ràng ánh xạ này là ánh xạ tuyến tính và từ đẳng thức vừa chứng minh

ta suy ra rằng đó là một phép đẳng cấu tuyến tính của không gian lq lên khônggian (l ).*p

Gọi V[0, 1] là không gian tất cả các hàm g(t) có biến phân bị chặn trên

đoạn [0, 1] và thoả mãn các điều kiện

a) g(0) = 0

g =v (g) (g ∈V[0, 1])Trong đó 1

(Mệnh đề này đã đợc chứng minh trong lý thuyết tích phân Stintyexơ)

Hệ quả: Nếu g(t) ∈ V[0, 1] sao cho 1

0x(t)dg(t) 0=

∫

∀x(t) ∈ C[0, 1] thì g(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1]

Ta sẽ chứng minh cho ánh xạ nói ở (2) là một toàn ánh Thật vậy, gọi M[0,1] là không gian tất cả các hàm đo đợc (Lơbe) và bị chặn trên đoạn [0, 1] Nếu x(t)

∈ M [0, 1] thì ta định nghĩa chuẩn của x(t) bởi

nếu g(tnếu g(tnếu g(tThế thì ta có:

n 1 1

Rõ ràng xn(t) ∈ M [0, 1] và vì x(t) liên tục đều trên [0, 1] ⇒ xn(t) hội tụ

đều đến x(t) tức là xn → x trong M[0, 1] (theo chuẩn x )

Chú ý: Khi t→ t0 thì cha chắc χ [0, t) → χ [ 0,t 0 ) theo chuẩn trong M[0, 1].

Chính vì vậy ta hãy dựng hàm g(t) thoả mãn (b) nh sau:

g(0) 01

g(t) g(t 0) g(t 0)

2g(1)

Hơn nữa

n 1 1

∈ [0, 1]

f (x)=∫ x(t) dg(t)=∫ x(t) d g(t)tức f (x) f (x)= g ∀x ∈ C[0, 1]

Từ kết quả này cùng với (1) và (3) suy ra rằng:

1 0

f =v (g)= gTóm lại ta đã chứng minh đợc ánh xạ (2) là một sonh ánh Rõ ràng ánhxạ ấy là tuyến tính và theo đẳng thức trên nó bảo toàn chuẩn ⇒ C*[0, 1] đẳngcấu tuyến tính với không gian V[0, 1]

Hơn nữa C*[0, 1] Banac nên ta cũng đồng thời chứng minh V[0, 1] là mộtkhông gian Banach

6 Không gian L1[0, 1]

Trớc hết ta đề xuất ra khái niệm

* Một hàm số α(t) đo đợc trên [0, 1], gọi là thực chất bị chặn trên đoạn

ấy nếu tồn tại một tập hợp A ⊂ -[0, 1] có độ lớn Lơbe à(A) = 0 sao cho

t [0,1]\A

sup (t)

∈ α < ∞

l [0, 1] đẳng cấu tuyến tính với

L∞[0, 1] Quả vậy nếu α(t) ∈L∞ [0, 1] thì ∀ ε > 0 cho trớc, đều tồn tại một tậphợp A0 sao cho

Vậy *

1

l [0, 1] đẳng cấu tuyến tính với L∞ [0, 1]

Để chứng minh điều ngợc lại đã nói ở trên, trớc hết ta hãy chứng tỏ rằng

∀p ≥ 1, mọi f ∈ lp* và mọi tập hợp A ⊂ [0, 1] đo đợc, thì hàm tập hợp

V(A) = f(χA) là một độ đo (có dấu), liên tục tuyệt đối (đối với độ đo Lơde à)

+Thật vậy A, B, là hai tập rời nhau ⊂ [0, 1]

Để khảo sát kỹ hơn bản chất của hàm α(t), ta hãy trở về trờng hợp p =1

đợc hoàn thành.

7 Không gian Lp [0, 1] (p > 1)

Cũng lý luận nh mục 6 ta có ∀ f ∈ lp*[0, 1] đều tồn tại hàm α(t) ∈ L1[0, 1]

sao cho mọi hàm bậc thang x(t) đều có 1

0

f (x)=∫ x(t) (t)dtα Giả sử x(t) là hàm do đợc và x(t) M< Khi đó ta có thể tìm đợc dãy hàmbậc thang (hàm đơn giản) xn(t) hội tụ hầu khắp nơi đến x(t) và đồng thời

n

x (t) <M ∀ n

Thế thì x (t) x(t)n − p →0 hầu khắp nơi và bị chặn bởi (2M)p, do đó theo

định lý Lơbe về chuyển qua giới hạn dới dấu tích phân, ta có

f (x)=∫ x(t) t)dtα( với mọi hàm x(t) đo đợc và bị chặn.

Bây giờ ta xét dãy hàm:

Khi n →∞ thì u (t)n → α(t)q 1− hầu khắp nơi, bởi vì α(t) ∈L1[0, 1] nên

α(t) hữu hạn hầu khắp nơi, trong bất đẳng thức trên cho n →∞ theo định lýBepô -Lêvi ta đợc

f (x)=∫ x(t) t dtα( ) ∀x(t) ∈Lp[0, 1].

Vậy ở trên ta đã chỉ ra rằng mọi hàm f tồn tại α để

1 0

Vậy đó là một đẳng cấu tuyến tính của không gian Lq[0, 1] lên lp*

Từ kết quả trên ta rút ra các kết luận, nhận xét sau:

i) nếu p = q = 2

Không gian L2[0, 1] đẳng cấu tuyến tính với chính không gian liên hợp của nó.

ii) lp*[0, 1] là đẳng cấu tuyến tính với Lq[0, 1] (p, q vai trò nh nhau) mà

*

p

l [0, 1] đầy đủ ⇒Lq[0, 1] là đầy đủ.

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] Phan §øc ChÝnh Gi¶i tÝch hµm, TËp 1, Nxb §¹i häc vµ Trung häc chuyªnnghiÖp, n¨m 1978