tích phân của hàm với giá trị trong không gian banach có thứ tự

HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Quỳnh Anh TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012... HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Q

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Khắc Quỳnh Anh

TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Khắc Quỳnh Anh

TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN ĐÌNH THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả thầy cô cũng như các cán bộ của trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập, từ

đó có kiến thức, kỹ năng cho bản thân và hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, những người đã truyền đạt cho tôi kiến thức, đặc biệt là kiến thức chuyên ngành Toán giải tích Những kiến thức này là hành trang lớn nhất và quý báu nhất để tôi có thể tiếp tục hành trình của cuộc đời

Đặc biệt, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy Trần Đình Thanh, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, định hướng, giải đáp thắc mắc, bổ trợ kiến thức, … giúp tôi hoàn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Bích Huy, thầy đã trực tiếp giảng dạy, hỗ trợ kiến thức chuyên ngành

Độ đo và Tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến Đây là những kiến thức nền tảng, liên quan trực tiếp đến luận văn của tôi

Gia đình và bạn bè cũng là những nhân tố không thể thiếu giúp tôi hoàn tất công việc Gia đình tạo cho tôi không gian học tập thật tốt Bạn bè giúp đỡ, động viên những lúc tôi gặp khó khăn Xin cảm ơn những người thân yêu!

Cuối cùng, tôi xin gởi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất cả thầy cô, gia đình và bạn bè

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 8

1.1 Kiến thức mở đầu 8

1.1.1 σ − đại số, độ đo dương 8

1.1.2 Định lý Pettis 8

1.1.3 Nửa chuẩn 9

1.1.4 Hàm thực chất bị chặn 9

1.1.5 Bổ đề Fatou 9

1.1.6 Topo yếu ( *) , σ E E 10

1.1.7 Nón và thứ tự sinh bởi nón 11

1.2 Hàm đo được có giá trị vectơ 12

Bổ đề 1.2.1 13

Mệnh đề 1.2.2 15

1.3 Tích phân hàm có giá trị vectơ 16

1.3.1 Tích phân của hàm vectơ 16

1.3.2 Nón và thứ tự sinh bởi nón 18

Bổ đề 1.3.1 19

Mệnh đề 1.3.2 19

Hệ quả 1.3.3 21

Mệnh đề 1.3.4 (Định lý hội tụ yếu đơn điệu) 23

1.4 Tích phân Henstock – Lebesgue (HL – tích phân) 25

1.4.1 K −phân hoạch 25

1.4.2 HL – khả tích 26

1.4.3 Tích phân Henstock – Kurzweil 27

1.4.4 Ví dụ về hàm HL – khả tích 27

1.4.5 Tính chất 29

Bổ đề 1.4.1 31

Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Saks – Henstock) 32

Mệnh đề 1.4.3 32

Mệnh đề 1.4.4 32

1.5 Tích phân của đạo hàm các hàm có giá trị vectơ 33

1.5.1 Hàm có biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối 33

Bổ đề 1.5.1 35

Định lý 1.5.2 35

Hệ quả 1 42

Hệ quả 2 42

Hệ quả 3 43

Hệ quả 4 43

1.5.2 Nguyên hàm 45

Định lý 1.5.3 46

Định lý 1.5.4 46

Hệ quả 51

CHƯƠNG 2: HL – TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ 52

2.1 Các tính chất thứ tự của HL – tích phân 52

Bổ đề 2.1.1 52

Bổ đề 2.1.2 56

Mệnh đề 2.1.3 59

Mệnh đề 2.1.4 60

Mệnh đề 2.1.5 61

2.2 Các định lý qua giới hạn 62

Định lý 2.2.1 (Định lý hội tụ bị trội cho các hàm HL – khả tích) 62

Định lý 2.2.2 (Định lý hội tụ đơn điệu cho các hàm HL – khả tích) 66

2.3 Không gian định chuẩn có thứ tự các hàm HL – khả tích 67

Bổ đề 2.3.1 68

Định lý 2.3.2 70

KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

MỞ ĐẦU

“Tích phân của hàm có giá trị trong không gian Banach có thứ tự” là một đề

tài được thực hiện dựa trên ý tưởng mở rộng tự nhiên tích phân của các hàm nhận giá trị trong  lên tích phân của các hàm nhận giá trị trong không gian Banach Việc trang bị thứ tự cho không gian Banach đã góp phần làm xuất hiện thêm nhiều tính chất giống với tính chất của hàm nhận giá trị trong , làm bật lên cái hay, tính chặt chẽ của lý thuyết mới được xây dựng với hệ thống các khái niệm, định lý, mệnh đề, hệ quả cho thấy rõ ý tưởng này

Đề tài gồm hai chương Chương đầu trình bày về hai loại tích phân được xây dựng theo hai cách khác nhau, những tính chất của từng loại và mối liên hệ giữa hai loại tích phân này Tích phân Bochner có cách xây dựng khá giống với tích phân Lebesgue cho hàm nhận giá trị trong , cũng bắt đầu bằng định nghĩa hàm bậc thang, hàm đo được và tích phân của chúng Tích phân Henstock – Lebesgue lại được xây dựng khá giống với tích phân Riemann, thông qua các khái niệm phân hoạch, nhưng vẫn có những nét riêng của nó, bởi đối tượng là các hàm nhận giá trị trong không gian Banach Trong cả hai loại tích phân này, chúng ta bắt gặp nhiều kết quả gợi nhớ những tính chất đã biết của tích phân các hàm nhận giá trị trong 

Ở chương hai, chúng ta đi vào các định lý lớn với tên gọi khá quen thuộc như định lý hội tụ bị trội, định lý hội tụ đơn điệu nhưng cho các hàm nhận giá trị trong không gian Banach khi không gian này đã được trang bị thứ tự Bên cạnh

đó, chương này còn giới thiệu về không gian định chuẩn có thứ tự các hàm HL – khả tích với định nghĩa chuẩn Alexiewicz, nón và thứ tự sinh bởi nón

Đề tài được tiến hành trên cơ sở chấp nhận một số kiến thức, lý thuyết về tích phân Bochner và tích phân Henstock – Kurweil Do đó có nhiều bổ đề chỉ được phát biểu, không chứng minh bởi phần chứng minh sử dụng khá nhiều kiến thức vừa đề cập, đòi hỏi phải trình bày lại lý thuyết, làm nặng nề luận văn và không nhằm đúng vào mục tiêu của đề tài Tuy nhiên, không thể bỏ qua các bổ

đề này vì chúng rất cần cho chứng minh các tính chất trong luận văn

Đề tài chủ yếu dựa trên tài liệu tham khảo [1] và [2], còn lý thuyết về tích phân Bochner và tích phân Henstock – Kurweil có thể tham khảo trong tài liệu tham khảo [3] Bên cạnh đó, chúng ta sẽ thấy việc vận dụng các kiến thức của Giải tích thực, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, … cũng như phương pháp chứng minh của các lĩnh vực này trong luận văn

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

b) f được gọi là có hữu hạn giá trị nếu f là hàm hằng, khác θ trên hữu hạn các tập − đo được, rời nhau A i với µ( )A i < +∞ và ( )= ∀ ∈Ω ∪θ, \( )i

i

c) f được gọi là µ−đo được mạnh (hay µ−đo được) nếu tồn tại một dãy các

hàm có hữu hạn giá trị, hội tụ mạnh theo từng điểm µ− h.k.n trên Ω tới f

d) f được gọi là có giá trị khả ly nếu f ( )Ω (miền giá trị) là tập khả ly

e) f được gọi là có giá trị khả ly µ− h.k.n nếu tồn tại tập µ− không Z sao cho

Cho (Ω , ,µ) là không gian độ đo

K í hiệu L+ ={ :f Ω →[0,+∞] là hàm  đo được} −

Bổ đề: Cho { }f n là một dãy trong +

L Khi đó liminf lim inf

→∞ ≤ →∞

n f n f

1.1.6 Topo yếu ( *)

,

σ E E Cho (E, ) là không gian Banach trên trường  , 1≤ < ∞ p , dãy { }x n n ⊂E ,

Chứng minh:

Do x n  nên x { }x n n bị chặn, do đó { }p

n n

f E

f x x

x  , x x n m→∞x n nên theo i) x n ≤x Điều này đúng với mọi n∈ * 

Các khái niệm

Cho Ω = Ω , )( , µ là k hông gian độ đo, tức:

• Ω ≠ φ

•  là một σ − đại số trên Ω (gồm các tập con đo được của Ω )

• µ: →[0,+∞ là độ đo dương (] µ φ( )= , có tính chất cộng tính đếm được) 0

a) Tập ∈Z  được gọi là µ− không nếu µ( )Z =0 (tập có độ đo không)

b) Tính chất P thỏa hầu khắp nơi (h.k.n) trên Ω (hay thỏa với hầu như mọi

∈Ω

t ) nếu tồn tại tập µ− không Z sao cho P thỏa ∀ ∈Ωt \Z

c) Độ đo µ được gọi là độ đo đủ nếu ∀ ∈ Z :µ( )Z =0 thì:

∀ ⊂ ⇒ ∈F Z F ,µ( )F =0 (mọi tập con của tập µ−không là tập µ− không)

Chú ý: Nếu µ là độ đo, ∈Z  thỏa µ( )Z =0,F ⊂Z F, ∈ thì µ( )F =0 (phải có điều kiện ∈F )

d) Độ đo µ được gọi là độ đo σ −hữu hạn nếu tồn tại họ { }∞1

Định nghĩa

Cho Ω = Ω , )( , µ là không gian độ đo và E =(E,  ) là không gian Banach Hàm :Ω →

u E được gọi là µ−đo được nếu u là giới hạn theo từng điểm h.k.n của một

f xác định bởi f k =u , ∀ ∈ k * Khi đó hàm u thỏa

định nghĩa về hàm µ−đo được nên u là µ−đo được 

Bổ đề 1.2.1

Cho dãy hàm u n :Ω →E là µ−đo được, ∀ ∈ n * thỏa u t n( ) hội tụ yếu tới u t ( )

(kí hiệu là u t n( )u t( )) h.k.n trên Ω Khi đó, u là µ−đo được

Chứng minh:

i Chứng minh u là µ−đo được yếu:

Do u t n( )u t( ) h.k.n trên Ω nên tồn tại tập µ− không Z sao cho u t n( )u t( ),

\

∀ ∈Ωt Z Như vậy hàm u xác định trên \ Ω Z và nhận giá trị trong E

Lấy tùy ý ánh xạ tuyến tính, liên tục : → f E Ta chứng minh f u là hàm

u E là µ−đo được yếu, mà f ∈E (* E * là không gian các ánh xạ tuyến

tính, liên tục xác định trên E và nhận giá trị trong ), suy ra f u n:Ω → là hàm  đo được −

Với mọi t∈Ω\Z , do u t n( )u t( ) trong E và f ∈E * nên

f E Do đó u là µ−đo được yếu

ii Chứng minh u có giá trị khả ly h.k.n:

Ngoài ra, D là tập đóng yếu (do D là tập lồi, đóng mạnh trong không gian Banach

Cho E và V là các không gian Banach Hàm g V: → E được gọi là demi -

continuous nếu: với mọi dãy { }x n n ⊂V thỏa →x n x trong V suy ra g x( )n g x ( )

n u t u t (hội tụ theo trong V ) h.k.n trên Ω

Mà g V: →E là demi – continuous nên g u t( n( ) )g u t( ( ) ) h.k.n trên Ω

Như vậy g u t n( )g u t ( ) h.k.n trên Ω (1.3) Với mọi *

Như vậy, g u là n µ−đo được, ∀ ∈ n * (1.4)

Từ (1.3), (1.4) và bổ đề 1.2.1 ta được g u là µ−đo được 

1.3.1 Tích phân của hàm vectơ

a) Tích phân của hàm bậc thang:

Bước 2: Ta chứng minh cho trường hợp u là hàm µ−khả tích tổng quát

Do u là µ−khả tích nên tồn tại dãy các hàm bậc thang { }u n n có dạng ở bước 1 sao cho

Một dãy hoặc một tập con của E được gọi là bị chặn theo thứ tự nếu nó được chứa

trong một đoạn có thứ tự [ ]y z ; nào đó của E

d) Nón E + được gọi là nón chuẩn nếu ∃ >λ 0 :∀x y, ∈E, θ ≤ ≤x y ⇒ x ≤ ⋅λ y

Nón E + được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên theo thứ tự của

Cho (E, ) là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón E +

i Nếu E là nón hoàn toàn chính quy thì + E là nón chính quy +

ii Nếu E là nón chính quy thì + E là nón chuẩn +

Xét E và + { }x , ta có: 0

• E và + { }x là 2 tập lồi, khác φ

L E là u thay cho 1( )

,

u  E , nhưng ta đồng nhất các hàm bằng nhau h.k.n, viết =u v nghĩa là =u v h.k.n

Khi đó nếu E là không gian Banach thì p(Ω, )

L E là không gian Banach

Hơn nữa nếu E là không gian Banach có thứ tự thì ta định nghĩa thứ tự trên

L E đang được định nghĩa, vế phải là thứ tự trong E )

Mệnh đề 1.3.4 (Định lý hội tụ yếu đơn điệu)

Cho (E, ) là không gian Banach có thứ tự và (Ω , ,µ) là không gian độ đo,

Do u n hội tụ yếu theo từng điểm h.k.n tới u nên tồn tại tập µ− không Z1 ⊂ Ω sao cho u t n( )u t( ), ∀ ∈Ωt \Z 1

Dãy { }u n n là dãy tăng trong p(Ω, )

L E nên tồn tại tập µ− không Z2 ⊂ Ω sao cho

( )

{u t n }n là dãy tăng trong E , ∀ ∈Ωt \Z 2

Đặt Z =Z1∪Z thì Z 2 là tập µ −không và với mọi t∈Ω\Z , {u t n( ) }n là dãy tăng, hội tụ yếu tới u t trong E( ) Do đó u t n( ) ( )≤u t , ∀ ∈ n *, ∀ ∈Ωt \Z hay u t là ( )

Với mọi t∈Ω\Z, cố định lại,

Gọi v t ( ) là một cận trên tùy ý của {u t n( ) }n Ta chứng minh u t( ) ( )≤v t

Thật vậy: Do v t ( ) là cận trên của {u t n( ) }n nên u t n( ) ( )≤v t , ∀ ∈ n *

mà ( )n→∞ ( )

n

u t u t và ( )n→∞ ( )

v t v t suy ra u t( ) ( )≤v t (tính chất của thứ tự sinh bởi nón)

Từ chứng minh này kết hợp với (1.9) ta được ( ) ( )

u L E , ∀ ∈ n * nên u n là µ−đo được, ∀ ∈ n *, mà u n hội tụ yếu

theo từng điểm h.k.n tới u nên theo bổ đề 1.2.1, u là µ−đo được

−u n n là dãy tăng, bị chặn, hội tụ yếu theo từng điểm

h.k.n tới −u nên theo trường hợp 1, − ∈ p(Ω, )

Cho (E, ) là không gian Banach và µ là độ đo Lebesgue trên m, tập con Ω của

m đo được theo Lebesgue

Hàm :u Ω →E được gọi là đo được mạnh trên Ω nếu u là µ−đo được Nếu u là

µ− khả tích thì u được gọi là khả tích theo Bochner trên Ω và µ−tích phân của

u trên Ω được gọi là tích phân Bochner, kí hiệu là ( )

1.4 Tích phân Henstock – Lebesgue (HL – tích phân)

Cho (E, ) là không gian Banach và [ ]a b; ⊂ , (a<b )

1.4.1 K −phân hoạch

Định nghĩa 1

Họ ={ (ξ, ) }n=1

i i i

∈ 

n được gọi là một −K phân hoạch của [ ]a b ; nếu:

i ξi∈I , i I i là khoảng con đóng của [ ]a b , ; ∀ =i 1,n

ii intI i∩intI j =φ nếu ≠i j (ta nói I và i I j không chồng lên nhau)

D I được gọi là một −K phân ho ạch

cỡ δ của [ ]a b ; nếu D là K −phân hoạch của [ ]a b ; và thỏa

1.4.3 Tích phân Henstock – Kurzweil

Nếu u:[ ]a b; →E là HL – khả tích thì nó là HL – khả tích trên mọi khoảng con đóng I =[ ]c d; ⊂ a b và [ ]; F I ( ) được gọi là tích phân Henstock – Kurzweil của u

• Xét hàm : →F  E định bởi F I( )=θ , ∀ ∈I  thì F là hàm cộng tính trên

những khoảng con đóng không chồng lên nhau của [ ]a b ;

• Với ε > 0 cho trước,

 Với mỗi n∈ *, do 0=µ( )Z n =inf{µ( )G :G ⊃Z và G n mở} nên tồn tại

Như vậy tồn tại hàm cộng tính F: →E thỏa ∀ > , ε 0 ∃ cái đo

Chứng minh:

Nếu c=0 thì c f⋅ = (kí hiệu  chỉ ánh xạ không) là HL – khả tích

Ta chứng minh tính chất cho trường hợp c≠0

• Với hàm , : →F G  E như trên thì F+G: →E và c F⋅ : →E cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau

Thật vậy, ∀A B, ∈ thỏa intA∩intB=φ và A∪ ∈B  , ta có:

i (F+G)(A∪B)=F A( ∪B)+G A( ∪B ) (định nghĩa hàm +F G )

( ) ( ) ( ) ( )

=F A +F B +G A +G B (do F và G có tính cộng tính trên những khoảng con đóng không chồng lên nhau)

Do f là HL – khả tích nên ∃ cái đo δ1:[ ]a b; →(0;+∞) sao cho ∀ −K phân hoạch

Chọn cái đo δ0:[ ]a b; →(0;+∞) định bởi δ0( )x =min{δ1( ) ( )x ,δ2 x }, ;∀ ∈x [ ]a b

Xét tùy ý K −phân hoạch cỡ δ0 của [ ]a b ; ={ (ξ, ) }n=1

=

∑n

i i i i

a) Mọi hàm HL – khả tích thì đo được mạnh

b) Nếu hàm u:[ ]a b; →E là khả tích theo Bochner thì u là HL – khả tích và

( ) = ( )

u s ds u s ds với I là khoảng con đóng tùy ý của [ ]a b ;

D I với n∈ * là K −phân hoạch

cỡ δ hay K−phân hoạch riêng cỡ δ của [ ]a b thì: ;

f g a b E là HL – khả tích thỏa f s( )≤ g s h.k.n trên ( ) [ ]a b , I là khoảng ;

con đóng của [ ]a b; Khi đó:

• Nhận xét: Do ,f g là HL – khả tích trên [ ]a b nên ,; f g là HL – khả tích trên I

Ngoài ra, f s( )≤g s h.k.n trên ( ) [ ]a b nên ; f s( )≤g s h.k.n trên I( ) Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề cho trường hợp I =[ ]a b; Khi đó nếu I =[ ]c d là ;khoảng con đóng thực sự của [ ]a b thì ta thay ; [ ]a b ; trong chứng minh thành [ ]c d ;

sẽ được điều phải chứng minh

• Xét I =[ ]a b ; và không mất tính tổng quát, giả sử f s( )≤g s , ( ) ∀ ∈s [ ]a b ;

1.5.1 Hàm có biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối

Định nghĩa

Cho (E, ) là không gian Banach và [ ]a b; ⊂ , a<b

a) Hàm u:[ ]a b; →E được gọi là có biến phân bị chặn (kí hiệu là ∈ u BV ) trên

[ ]a b ; nếu đại lượng sau hữu hạn

b) Hàm u:[ ]a b; →E được gọi là liên tục tuyệt đối (kí hiệu là ∈ u AC) nếu với

0

ε > cho trước, tồn tại δ > thỏa với mọi họ 0 { (a b i, i):i=1,n } các khoảng con

đôi một không giao nhau của [ ]a b ; thỏa ( )

a) Hàm u:[ ]a b; →E được gọi là thỏa điều kiện Lusin mạnh nếu với mọi tập có

độ đo không Z ⊂[ ]a b và ; ε > 0 tùy ý, tồn tại cái đo δ:[ ]a b; →(0,+∞) sao cho với mọi −K phân hoạch riêng cỡ δ ={ (ξi,[ 2i−1, 2i] ) }

Khi đó z được gọi là đạo hàm của u tại t Kí hiệu z=u t '( )

• Nếu t∈[a b và (1.10) t, ) hỏa khi s→t thì ta nói z là + đạo hàm phải của u tại t Kí hiệu z=u'+( )t

Nếu t∈(a b và (1.10, ] ) thỏa khi s→t thì ta nói z là − đạo hàm trái của u tại t Kí hiệu z=u'−( )t

• Hàm u được gọi là khả vi trên [ ]a b ; nếu u khả vi tại mọi t∈( )a b và ,

''

t là một phân hoạch của [ ]a b , ; ∀ ∈ n *)

⇒ dãy hàm { }f n n bị chặn theo trong không gian 1  các hàm khả tích theo

Bochner trên [ ]a b (Trong ;  , 1 =∫b ( )