Không gian với cơ sở yếu và cs-ánh xạ phủ compắc

lời nói đầuVấn đề trung tâm của luận văn: • Giải quyết vấn đề Alexandroff về mối quan hệ giữa không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương với không gian mêtric, cụ thể là:đặc trưng khôn

Trang 1

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Văn Ân

Học viên thực hiện: Nguyễn Thị Lê

Lớp Cao học 13 - Giải tích

Trang 2

lời nói đầu

• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On someresults concerning topological and their continuous mappings đãtrở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷqua và được gọi là vấn đề Alexandroff

• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không giantôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông quacác ánh xạ khác nhau

• Quá trình nghiên cứu đã thu hút những nhà toán học tên tuổinhư: E Michel, L Foged, S Lin, Y Tanaka, Z Li, và họ đã thuđược nhiều kết quả thú vị

• Trong [5], L Foged chứng tỏ rằng một không gian tôpô là khônggian Frechet với k-lưới σ-HCP khi và chỉ khi nó là ảnh của khônggian mêtric qua ánh xạ đóng

• S Lin trong [14] đã chỉ ra một không gian tôpô là ℵ-không gianFrechet khi và chỉ khi nó là s-ảnh đóng của không gian mêtric

Trang 3

lời nói đầu

• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On some

results concerning topological and their continuous mappings đã

trở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷ

qua và được gọi là vấn đề Alexandroff

các ánh xạ khác nhau

Trang 4

lời nói đầu

• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không gian

tôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông qua

Trang 5

lời nói đầu

• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không gian

tôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông qua

• Quá trình nghiên cứu đã thu hút những nhà toán học tên tuổi

như: E Michel, L Foged, S Lin, Y Tanaka, Z Li, và họ đã thu

được nhiều kết quả thú vị

gian mêtric qua ánh xạ đóng

Trang 6

lời nói đầu

• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On someresults concerning topological and their continuous mappings đãtrở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷqua và được gọi là vấn đề Alexandroff

• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không giantôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông quacác ánh xạ khác nhau

Trang 7

lời nói đầu

• E Michel và K Nagami trong [15] chứng minh rằng không gian có

cơ sở đếm được theo điểm khi và chỉ khi nó là s-ảnh mở của không

gian mêtric,

bằng ảnh của không gian mêtric qua ánh xạ nào?

Trang 8

lời nói đầu

cơ sở đếm được theo điểm khi và chỉ khi nó là s-ảnh mở của không

gian mêtric,

Một câu hỏi đặt ra:

Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương được đặc trưngbằng ảnh của không gian mêtric qua ánh xạ nào?

Trang 9

cơ sở đếm được theo điểm khi và chỉ khi nó là s-ảnh mở của khônggian mêtric,

Một câu hỏi đặt ra:

Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương được đặc trưngbằng ảnh của không gian mêtric qua ánh xạ nào?

Trang 10

lời nói đầu

Vấn đề trung tâm của luận văn:

• Giải quyết vấn đề Alexandroff về mối quan hệ giữa không gian với

cơ sở yếu đếm được địa phương với không gian mêtric, cụ thể là:đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằngss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5;

• Trả lời câu hỏi: các không gian như ℵ-không gian, không gian với

cơ sở yếu đếm được địa phương, k-không gian với k-lưới compắc,đếm được-compắc, được bảo tồn qua những ánh xạ nào?

Trang 11

lời nói đầu

cơ sở yếu đếm được địa phương với không gian mêtric, cụ thể là:

đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng

ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5;

đếm được-compắc, được bảo tồn qua những ánh xạ nào?

Trang 12

lời nói đầu

cơ sở yếu đếm được địa phương với không gian mêtric, cụ thể là:đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằngss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5;

• Trả lời câu hỏi: các không gian như ℵ-không gian, không gian với

cơ sở yếu đếm được địa phương, k-không gian với k-lưới compắc,đếm được-compắc, được bảo tồn qua những ánh xạ nào?

Trang 13

cấu trúc luận văn

Chương 1 ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu Chúng tôitrình bày một số khái niệm về các loại họ đếm được theo điểm, đếmđược -compắc, cơ sở yếu, sn-lưới, ánh xạ mở yếu, ánh xạ 1-phủ-dãy,một số không gian tôpô đặc biệt và tập trung nghiên cứu về các bấtbiến của ℵ-không gian Đặc biệt chúng tôi chỉ ra rằng không gian tôpô

có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ khi nó là ss-ảnh mở yếucủa không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5

Chương 2 Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc Chúng tôi nghiên cứumối quan hệ giữa họ CF với các họ hữu hạn địa phương, hữu

hạn-compắc, CP, HCP, WHCP, và đưa ra được một số điều kiện đểcác họ nói trên là tương đương đồng thời chỉ ra rằng k-không gian vớik-lưới compắc, đếm được -compắc được bảo tồn qua cs-ánh xạ, đónghoặc ánh xạ Lindel¨op mạnh, đóng

Trang 14

cấu trúc luận vănLuận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1 ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu Chúng tôi

trình bày một số khái niệm về các loại họ đếm được theo điểm, đếm

được -compắc, cơ sở yếu, sn-lưới, ánh xạ mở yếu, ánh xạ 1-phủ-dãy,

một số không gian tôpô đặc biệt và tập trung nghiên cứu về các bất

biến của ℵ-không gian Đặc biệt chúng tôi chỉ ra rằng không gian tôpô

có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ khi nó là ss-ảnh mở yếu

của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5

Trang 15

Luận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1 ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu Chúng tôitrình bày một số khái niệm về các loại họ đếm được theo điểm, đếmđược -compắc, cơ sở yếu, sn-lưới, ánh xạ mở yếu, ánh xạ 1-phủ-dãy,một số không gian tôpô đặc biệt và tập trung nghiên cứu về các bấtbiến của ℵ-không gian Đặc biệt chúng tôi chỉ ra rằng không gian tôpô

có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ khi nó là ss-ảnh mở yếucủa không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5

Trang 16

Chương 1 ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu

1.1 Các khái niệm mở đầu1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và P là họ các tậpcon của X

a) P được gọi là họ đếm được theo điểm (tương ứng, hữu hạn theođiểm) nếu mỗi điểm x ∈ X thuộc đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần

tử của họ P

b) P được gọi là họ đếm được-compắc (tương ứng, hữu hạn-compắc)nếu với mọi tập compắc K của X thì K chỉ có giao với nhiều nhất làđếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P

c) P được gọi là họ cs-đếm được (tương ứng, cs-hữu hạn) nếu với mọidãy hội tụ A (bao gồm cả điểm hội tụ của nó) thì A chỉ có giao vớinhiều nhất là đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P.d) P được gọi là họ sao đếm được nếu mọi phần tử P ∈ P chỉ giao vớinhiều nhất là đếm được phần tử của họ P

Trang 17

1.1 Các khái niệm mở đầu

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và P là họ các tậpcon của X

a) P được gọi là họ đếm được theo điểm (tương ứng, hữu hạn theođiểm) nếu mỗi điểm x ∈ X thuộc đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần

tử của họ P

b) P được gọi là họ đếm được-compắc (tương ứng, hữu hạn-compắc)nếu với mọi tập compắc K của X thì K chỉ có giao với nhiều nhất làđếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P

c) P được gọi là họ cs-đếm được (tương ứng, cs-hữu hạn) nếu với mọidãy hội tụ A (bao gồm cả điểm hội tụ của nó) thì A chỉ có giao vớinhiều nhất là đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P

d) P được gọi là họ sao đếm được nếu mọi phần tử P ∈ P chỉ giao vớinhiều nhất là đếm được phần tử của họ P

Trang 18

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và P là phủ các tậpcon nào đó của X Ký hiệu Px = {P ∈ P : x ∈ P}

a) P được gọi là lưới tại điểm x ∈ X nếu x ∈ P với mỗi P ∈ P và vớimọi lân cận U bất kỳ của x , tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U

b) P được gọi là k-lưới nếu với mọi tập con compắc K và với mọi lâncận U của K trong X , tồn tại họ con hữu hạn F ⊂ P sao cho

K ⊂ ∪F ⊂ U

c) P được gọi là cs-lưới nếu với mọi dãy {xn} hội tụ tới điểm x0 và vớimọi lân cận U của x0 trong X , tồn tại số tự nhiên m và phần tử P ∈ Psao cho {xn: n ≥ m} ∪ {x0} ⊂ P ⊂ U

Trang 19

1.1.5 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y

a) f được gọi là ánh xạ 1-phủ-dãy nếu với mọi y ∈ Y tồn tại

xy ∈ f−1(y ) sao cho mỗi dãy hội tụ tới y là ảnh của một dãy nào đó hội

tụ tới xy

b) f được gọi là ánh xạ mở yếu nếu tồn tại cơ sở yếu

B =S{By : y ∈ Y } của Y và với mỗi y ∈ Y tồn tại xy ∈ f−1(y ) thoảmãn với mọi lân cận mở U của xy, tồn tại By ∈ By sao cho By ⊂ f (U)

Trang 20

c) f được gọi là ánh xạ Lindel¨op mạnh nếu f−1(L) là tập con

Lindel¨op trong X với mọi tập Lindel¨op L trong Y

d) f được gọi là cs-ánh xạ nếu f−1(K ) là tập con khả li trong X vớimọi tập compắc K trong Y

e) f được gọi là ss-ánh xạ nếu với mọi y ∈ Y tồn tại lân cận V của ysao cho f−1(V ) khả li trong X

1.1.7 Định nghĩa Tập con P của không gian tôpô X được gọi là lâncận dãy của điểm x ∈ P nếu mọi dãy hội tụ tới x đều nằm trong P chỉtrừ ra một số hữu hạn phần tử

Trang 21

1.1.8 Định nghĩa Giả sử P =S{Px : x ∈ X } là họ các tập con của Xthoả mãn với mỗi x ∈ X ,

1) Px là lưới tại điểm x ;

2) Nếu U, V ∈ Px khi đó W ⊂ U ∩ V với W nào đó thuộc Px

P được gọi là một sn-lưới nếu với mỗi phần tử P ∈ Px có P là lân cậndãy của x

P được gọi là một cơ sở yếu nếu tập G ⊂ X là mở trong X khi và chỉkhi với mỗi x ∈ G , tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ G

Trang 22

1.2 ℵ-không gian

Nội dung chính mục này chúng tôi tập trung nghiên cứu về các bất

biến của ℵ-không gian Kết quả thu được thể hiện ở Mệnh đề 1.2.4

1.2.1 Bổ đề Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian tôpô X Khi đó hai mệnh đề sau tương đương:

a) P là họ hữu hạn địa phương;

b) P là họ CP và hữu hạn theo điểm

1.2.4 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ hoàn chỉnh Khi đó nếu

X là ℵ-không gian thì Y cũng vậy

1.2.6 Hệ quả Không gian mêtric được bảo tồn qua ánh xạ hoàn chỉnh

Trang 23

1.2 ℵ-không gian

Nội dung chính mục này chúng tôi tập trung nghiên cứu về các bấtbiến của ℵ-không gian Kết quả thu được thể hiện ở Mệnh đề 1.2.4.1.2.1 Bổ đề Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian tôpô X Khi đó hai mệnh đề sau tương đương:

a) P là họ hữu hạn địa phương;

b) P là họ CP và hữu hạn theo điểm

1.2.4 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ hoàn chỉnh Khi đó nếu

X là ℵ-không gian thì Y cũng vậy

1.2.6 Hệ quả Không gian mêtric được bảo tồn qua ánh xạ hoàn chỉnh

Trang 24

1.3 Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương

Đây là trọng tâm của luận văn Trong mục này chúng tôi đưa ra một

số tính chất của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương và chỉ

ra rằng không gian tôpô có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ

khi nó là ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric

1.3.1 Mệnh đề Cho không gian tôpô X Khi đó (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒(d) ⇒ (e)

a) X là không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương;

b) X là không gian với cơ sở yếu σ-đếm được địa phương;

c) X là không gian với cơ sở yếu đếm được theo điểm;

d) X là không gian gf-đếm được;

e) X là không gian dãy

Trang 25

1.3 Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương

Đây là trọng tâm của luận văn Trong mục này chúng tôi đưa ra một

số tính chất của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương và chỉ

ra rằng không gian tôpô có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉkhi nó là ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric

1.3.1 Mệnh đề Cho không gian tôpô X Khi đó (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒(d) ⇒ (e)

a) X là không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương;

b) X là không gian với cơ sở yếu σ-đếm được địa phương;

c) X là không gian với cơ sở yếu đếm được theo điểm;

d) X là không gian gf-đếm được;

e) X là không gian dãy

Trang 26

1.3.2 Mệnh đề Cho X là không gian với cơ sở yếu đếm được địaphương Khi đó

a) X có sn-lưới đếm được địa phương;

b) X có cs-lưới đếm được địa phương;

c) X có cs∗-lưới đếm được địa phương;

d) X có wcs∗-lưới đếm được địa phương;

e) X có k-lưới đếm được địa phương

1.3.3 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ 1-phủ-dãy và X làkhông gian với cơ sở đếm được theo điểm Khi đó ta có các khẳng địnhsau là đúng

a) Nếu f là s-ánh xạ thì Y là không gian có sn-lưới đếm được theođiểm;

b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có sn-lưới đếm được địaphương;

c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có sn-lưới đếm được-compắc

Trang 27

1.3.4 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ mở yếu và X là không

gian với cơ sở đếm được theo điểm Khi đó ta có các khẳng định sau là

a) X là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương;

b) X là ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric;

c) X là không gian dãy có sn-lưới đếm được địa phương

Trang 28

1.3.4 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ mở yếu và X là khônggian với cơ sở đếm được theo điểm Khi đó ta có các khẳng định sau làđúng

a) Nếu f là s-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theođiểm;

b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được địaphương;

c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm

được-compắc

1.3.5 Định lý Với không gian tôpô X , các phát biểu sau là tươngđương

c) X là không gian dãy có sn-lưới đếm được địa phương

Trang 29

Bằng việc sử dụng Định lý này chúng tôi chứng minh được một kết quả

khá mạnh được trình bày trong [23] mà trong khuôn khổ luận văn

chúng tôi không đưa vào Nội dung của kết quả đó như sau:

c) X là ss-ảnh 1-phủ-dãy của không gian mêtric;

d) X là không gian dãy có sn-lưới đếm được địa phương;e) X là không gian dãy có cs-lưới đếm được địa phương;f) X là không gian dãy có cs∗-lưới đếm được địa phương;g) X là không gian dãy có wcs∗-lưới đếm được địa phương;h) X là không gian dãy có k-lưới đếm được địa phương

Trang 30

Bằng việc sử dụng Định lý này chúng tôi chứng minh được một kết quảkhá mạnh được trình bày trong [23] mà trong khuôn khổ luận vănchúng tôi không đưa vào Nội dung của kết quả đó như sau:

Với không gian tôpô X , các phát biểu sau là tương đương

c) X là ss-ảnh 1-phủ-dãy của không gian mêtric;

d) X là không gian dãy có sn-lưới đếm được địa phương;

e) X là không gian dãy có cs-lưới đếm được địa phương;

f) X là không gian dãy có cs∗-lưới đếm được địa phương;

g) X là không gian dãy có wcs∗-lưới đếm được địa phương;

h) X là không gian dãy có k-lưới đếm được địa phương

Trang 31

1.3.6 Hệ quả Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ thương, 1-phủ-dãy và X

là không gian với cơ sở đếm được theo điểm Khi đó ta có các điều sau:

a) Nếu f là s-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theo

đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương

1.3.9 Hệ quả Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ Lindel¨op mạnh,1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương Khi

Trang 32

là không gian với cơ sở đếm được theo điểm Khi đó ta có các điều sau:

a) Nếu f là s-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theo

1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương Khi

1.3.9 Hệ quả Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ Lindel¨op mạnh,1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương Khi

Trang 33

là không gian với cơ sở đếm được theo điểm Khi đó ta có các điều sau:a) Nếu f là s-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theođiểm;

b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được địaphương;

c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm

được-compắc

1.3.8 Mệnh đề Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ Lindel¨op mạnh,

1.3.9 Hệ quả Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ Lindel¨op mạnh,

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	687,37 KB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
[3] R. Engelking (1977), General Topology, PWN-Polish Scientific Publish, Warszawa. [4] L.Foged (1982), On g-metrizability, Pacific Journal of Mathematics, 98 (2), 327-332. [5] L.Foged (1985), Characterization of closed images of metric spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 95, 487-490	Khác
[6] Y. Ge and J. H. Shen (2004), Some questions on metrizability, Nouvelle série, 76, 143-147	Khác
[7] Y. Ikeda and Y. Tanaka (1993), Spaces having star-countable k-networks, Topology. Proc., 18, 107-132	Khác
[8] K. B. Lee (1976), On certain g-first countable spaces, Pacific Journal of Mathematics, 65, 113-118	Khác
[9] J. J. Li (2003), A note on g -metrizable spaces, Czechoslovak Math. J., 53, 491-495. [10] Z. Li (2003), Images of locally compact metric spaces, Acta Math. Hugar., 99, 81-88. [11] Z. Li (2006), Spaces with σ-locally countable weak-bases, Math. Archivum, 18, 135-140. [12] S. Lin and C. Liu (1996), On spaces with point-countable cs-networks, Topology and its Applications, 74, 51-60	Khác