Không gian liên hợp của một số không gian vectơ tôpô

Lời nói đầuMục đích của khóa luận này là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu về một loại không gian, đó là không gian liên hợp của một số không gian vectơ tôpô.. Với mục đích trê

Trêng §¹i häc Vinh

Lời nói đầu

Mục đích của khóa luận này là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu về một loại không gian, đó là không gian liên hợp của một số không gian vectơ tôpô Trong luận văn đã chứng minh chi tiết các kết quả trong [3], nghiên cứu các không gian đối ngẫu của các không gian C(S), L P ( X , ∑ , à ), l p , C0,

Kothe, các hàm nguyên một biến

Với mục đích trên luận văn trình bày theo hai chơng sau

Trong chơng I, đầu tiên chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm cơ bản của không gian vectơ tôpô chuẩn bị cho phần sau Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm

ánh xạ tuyến tính liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục

Đây là nội dung chính của luận văn, chúng tôi trình bày thành sáu phần

Đ1 Không gian liên hợp Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian

liên hợp Định lý Han - Banăc về tách biệt và các mệnh đề của nó

Đ2 Không gian đối ngẫu của không gian C(S) Phần này chúng tôi trình bày

không gian C(S), chứng minh C(S) là không gian định chuẩn, khái niệm độ đo, độ đo Borel, độ đo chính quy Borel, chứng minh định lý 2.6

Đ3 Không gian đối ngẫu của không gian LP( X , ∑ , à )và l p ( p ≥ 1 ) Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian LP( X , ∑ , à )và l p ( p ≥ 1 ), không gian L ∞ ( X , ∑ , à ), khái niệm bị chặn cốt yếu, cận trên cốt yếu Chứng minh không gian LP( X , ∑ , à )và L ∞ ( X , ∑ , à ) cùng vói chuẩn của nó là không gian Banach, chứng minh định lý 3.4

Đ4 Không gian đối ngẫu của không gian C 0 Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian C 0 Chứng minh không gian C 0với chuẩn của nó là không gian Banach Chứng minh rằng đối ngẫu của không gian C 0 là l 1 ở Định lý 4.4

Đ5 Không gian đối ngẫu của không gian Kothe Phần này chúng tôi trình bày

khái niệm không gian Kothe, chứng minh định lý 5.3

Đ6 Không gian đối ngẫu của không gian các hàm nguyên một biến Phần

này chúng tôi trình bày khái niệm không gian hàm nguyên một biến A(C), khái niệm không gian liên hợp của A(C) Chứng minh định lý 6.4

Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu làm khóa luận do điều kiện thời gian và ợng kiến thức còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiết sót Rất mong quý thầy cô và các bạn góp ý kiến

l-Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Văn Ân ngời đã trực tiếp hớng dẫn tận tình trong quá trình làm khóa luận Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại học Vinh đã nhiệt tình quan tâm giảng dạy, tất cả các bạn bè, ngời thân đã động viên giúp đỡ trong quá trình học tập nghiên cứu tại trờng

Vinh, tháng 4 năm 2006

Tác giả

CHƯƠNG I Một Số KIếN THứC CHUẩN Bị

Đ1 Không gian vectơ tôpô

1.1.Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp K là trờng số R hay C trên tập X ta

đa vào hai phép toán

2 (x y)λ + = λ + λx y với mọi x, y ∈ X, mọi λ ∈ K

3 (λ + à) x = λx + àx với mọi x ∈ X, mọi λ , à ∈ K

4 1.x = x với mọi x ∈ X, trong đó 1 là đơn vị của K

5 λ(àx) = à(λx) = (λà)x với mọi x ∈ X, mọi λ , à ∈ K

thì đợc gọi là một không gian véctơ trên trờng K.

1.2 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ U các tập con của X thoả mãn

1.3 Định nghĩa Giả sử X là một không gian véctơ trên K (thực, phức) Tôpô

ξ ở trên X sao cho các phép toán

1 Cộng X x X→X cho bởi (x, y)  x + y, với mọi x, y ∈ K

2 Nhân vô hớng K x K → X cho bởi (λ,x) λx,

liên tục đợc gọi là tôpô véctơ trên X Tập hợp X cùng với tôpô véctơ ở trên nó đợc gọi

là một không gian véctơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính và ký hiệu (X, ξ ).

1.4 Mệnh đề ( )[ ]5 Nếu U là một cơ sở lân cận (của điểm gốc) thì ta có mỗi U∈U

C3: mỗi U ∈ U là tuyệt đối lồi và hút.

Ngợc lại, cho một tập hợp (không rỗng) U những tập hợp con của một không gian véctơ E với các tính chất C1- C3, thì tồn tại một tôpô làm cho E trở thành một không gian lồi địa phơng với U là một cơ sở lân cận của điểm gốc.

1.6 Định nghĩa Hàm thực p : X → R từ không gian véctơ X vào R đợc gọi là

nửa chuẩn trên X nếu thoả mãn điều kiện sau:

1) p(x) ≥ 0;

2) p(x + y) ≤ p(x) + p(y); với mọi x,y ∈X

3) p( λ x) = λ p(x) , với mọi x ∈ X, mọi λ ∈ K

XxmọiK,mọi

1.7 Định nghĩa Cho M là một tập con hút của không gian véctơ X Ta xác

định hàm pM: X → R cho bởi công thức

M x mọi với , } M x : 0 x

p

và gọi pM là phiến hàm Mincôpki.

1.8 Định lý ( )[ ]5 Cho một tập hợp Q những nửa chuẩn trên một không gian

véctơ E Tồn tại một tôpô yếu trên E, tơng thích với cấu trúc đại số, trong đó mỗi nửa chuẩn của Q là liên tục Với tôpô ấy, E là một không gian lồi địa phơng, và một cơ sở lân cận đóng đợc thành lập bởi các tập hợp

1.9 Mệnh đề ( )[ ]5 Với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn Q, E là tách khi và

chỉ khi với mỗi véctơ khác không x∈E, đều tồn tại một nửa chuẩn p∈ Qvới

1.10 Định lý ( )[ ]5 Không gian lồi địa phơng E là khả mêtric khi và chỉ khi

nó là tách và nó có một cơ sở lân cận (của điểm gốc) đếm đợc Tôpô của một không gian khả mêtric luôn luôn có thể xác định bởi một mêtric, bất biến đối với các phép tĩnh tiến

.

Q) i p 0, ( (x) i

p n i 1 sup :

Đ2 ánh xạ tuyến tính liên tục

2.1 Định nghĩa Giả sử E, F là hai không gian vectơ tôpô f: E → F là một ánh xạ tuyến tính liên tục nếu

1, f là ánh xạ tuyến tính;

2, f liên tục theo các tôpô đã cho trên E và F

2.2 Định nghĩa Ta nói f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian

véctơ tôpô X, nếu ánh xạ f: X → R là toán tử tuyến tính liên tục

2.3 Mệnh đề ( )[ ]5 Nếu E và F là những không gian véctơ tôpô và f là một

ánh xạ tuyến tính của E vào F, thì f là liên tục trên E khi (và chỉ khi) f liên tục tại

điểm gốc.

2.4 Hệ quả ( )[ ]5 Nếu E và F là những không gian định chuẩn và f là một

ánh xạ tuyến tính của E vào F, thì f là liên tục khi và chỉ khi tồn tại một hằng số α

sao cho f(x) ≤ αx với mọi x ∈ E

2.5 Mệnh đề ( )[ ]5 Với mỗi phần tử khác không a ∈ E, đều tồn tại một dạng tuyến tính f∈E*sao cho f (a)≠0.

2.6 Định lý Nếu f là một phiến hàm tuyến tính trên một không gian véctơ

tôpô, thì f là liên tục khi và chỉ khi f−1 (0) là đóng

Chơng II Không gian liên hợp của một số không gian

VEctơ tôpô

Đ1 Không gian liên hợp

1.1 Định nghĩa Giả sử E là một không gian vectơ tôpô trờng K Ta gọi E’

= L (E, K) (Không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào K ) là

không gian liên hợp hay đối ngẫu của E và gọi E’’ = L (E’, K) là không gian liên

hợp thứ hai của E

1.2 Mệnh đề ( )[ ]5 Giả sử E là một không gian tách, lồi địa phơng với đối

ngẫu E Nếu ’ f (a) = 0với mọi f∈E , thì ’ a =0.

1.3 Định lý ( )[ ]5 (Định lý Hahn-Banach về tách biệt) Giả sử E là một không

gian lồi địa phơng, A và B là hai tập hợp lồi, rời nhau và A mở Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với f (A) và f (B) rời nhau ( f tách A và B).

1.4 Mệnh đề ( )[ ]5 Nếu B là một tập hợp con lồi của một không gian lồi địa

phơng, và a∉ B , thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với

_

) (

)

(a f B

1.5 Mệnh đề ( )[ ]5 Nếu B là một tập hợp con tuyệt đối lồi của một không

gian lồi địa phơng, và a∉ B , thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với

1

)

f với mọi x∈B và f ( a ) > 1

1.6 Mệnh đề ( )[ ]5 Giả sử E là một không gian lồi địa phơng, thực Nếu Avà

B là hai tập hợp con lồi và rời nhau của E, và A mở, thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f và một hằng số α sao cho f (x) >α với mọi x∈A và

Đ2 Không gian đối ngẫu của không gian C(S)

2.1 Định nghĩa Giả sử S là không gian tôpô Ký hiệu C(S) là không gian tất

cả các hàm liên tục f : S → K trên không gian Hausdorff compact với chuẩn cho bởi công thức

f =sup :s S∈

2.2 Mệnh đề ( ) [ ]2 Không gian C(S) là không gian định chuẩn với chuẩn

cho bởi công thức f = sup{f(s) : s ∈ S} với mọi f ∈ C(S).

Chứng minh Để chứng minh không gian C(S) là không gian định chuẩn ta thử

3 điều kiện của chuẩn

1) Với mọi f ∈ C ( S ) ta có f = sup{f(s) : s ∈ S}≥ 0 là hiển nhiên và f = 0

khi và chỉ khi sup{f(s) : s ∈ S}=0 khi và chỉ khi f ( s ) = 0 khi và chỉ khi f(s)=0

2) Với mọi λ , f ∈ C ( S ) ta có λ f = sup{λ f(s) : s ∈ S}= λ sup f(s) :s S{ ∈ } = λ f 3) Với mọi f, g ∈ C(S) ta có f + g = sup{f(s) + g(s) : s ∈ S}

≤ sup{f(s) : s ∈ S}+ sup{g(s) : s ∈ S}= f + g

Không gian C(S) thoả mãn 3 điều kiện của chuẩn Vậy C(S) là không gian

định chuẩn

2.3 Định nghĩa Giả sử M là một σ đại số những tập hợp con của một tập hợp

X Hàm số à: M →[0 , ∞] gọi là một độ đo nếu

2.5.Định nghĩa ( ) [ ]3 Giả sử à là độ đo trên X, à là Borel chính quy nếu nó

là độ đo Borel và đối với mọi A⊆X tồn tại tập Borel B⊆X sao cho A⊆B và à(A)

= à(B)

Ký hiệu rca (X) là tập các độ đo Borel chính qui trên X

2.6 Định lý ( ) [ ]3 Nếu S là không gian tôpô Hausdorff compact thì giữa

C (S) và rca (S) không gian Banach các độ đo ’ à Borel chính quy trên S, tồn tại một

đẳng cấu đẳng cự mà trong đó những phần tử tơng ứng x *∈ C (S) và ’ à ∈ rca(s) thoả mãn đẳng thức:

Chứng minh 1) Ta chứng minh mỗi f∈ C(S) khả tích đối với mỗi độ đo à

Borel chính quy trên S Thật vậy, vì f(S) compact nên có thể phủ f(S) bởi các tập mở

G1, G2, , G… n mà đờng kính mỗi Gi nhỏ hơn ε > 0 cho trớc

Đặt Ai = Gi, Aj = Gj -

j 1 i

μ

Thật vậy, cho ε > 0 và bởi định nghĩa của v( μ , S) ta tìm đợc các tập con E1,

E2, , E… n của S rời nhau từng đôi một thuộc miền xác định của à sao cho

S , ) ε μ

v(

ε μ E μ

n 1

Ta biết rằng C(S) là không gian con của B(S), ở đó B(S) là không gian Banach các hàm bị chặn trên S với chuẩn sup Bởi định lý Hahn-Banach, mỗi x* ∈ C’(S) có một mở rộng tuyến tính liên tục lên B(S) giữ nguyên chuẩn Ta lại ký hiệu mở rộng

đó là x* Khi đó dạng

λ(E) = x*(χE) với E ⊂ Sxác định độ đo khả cộng trên σ - đại số tất cả các tập con của S sao cho

n 1

n 1

i i Ei

*

)dλ α

( ) λ(E α )

χ α (

với mọi hàm đơn giản ∑

= αχ

n 1

i i EiNhờ triển khai theo nghĩa Jordan ta có thể viết

λ = λ1 - λ2 + i(λ3 - λ4)

với λi là các độ đo khả cộng hữu hạn và λi ≥ 0 Do đó có thể coi λ ≥ 0 Bây giờ ta sẽ thay độ đo khả cộng hữu hạn λ bởi độ đo chính qui khả cộng hữu hạn à trên S sao cho (2) vẫn xẩy ra Do tính compact của S, theo định lý Alexandrov (Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm – Tập I) à là độ đo chính qui khả cộng đếm đợc, nghĩa là à ∈ rca(S) và (1) xảy ra với mọi f ∈ C(S) và nh vậy định lý 1.1 đợc chứng minh Bây giờ ta xây dựng

độ đo à chính quy khả cộng hữu hạn Ta sẽ dùng các ký hiệu sau: F đợc dùng để chỉ tập con đóng của S , G là ký hiệu tập mở của S và E là tập con tuỳ ý của S Xét các hàm tập hợp à1 và à2 nh sau:

) F ( sup ) E ( , ) G ( inf ) E

E F 2

F G

λ(G) ≥λ (G ∩ G1 ) + λ ( G ∩ G2 )

và do đó

à1 (F1∪ F2 ) ≥ à1 (F1) + à1 (F2) (5)Bây giờ giả sử E và F là những tập tuỳ ý của S , F là tập đóng và giả sử F1 chạy qua những tập đóng của E ∩ F còn F2 chạy qua những tập đóng của E- F Khi đó từ (5) suy ra (4)

Từ (4) và (3) suy ra

à2 (E) = à2 (E ∩ F ) + à2 (E - F ) (6)với E ⊂ S , F đóng

Vậy hàm à2 đợc xác định trên đại số các tập con của S và từ (6) suy ra [Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm - Tập 1] nếu xét hàm à là hạn chế của à2 lên đại số đợc sinh ra bởi các tập đóng của S thì à là độ đo khả cộng hữu hạn trên đại số này Mặt khác,

do à là chính quy, nên theo định lý Alexandrov à có thể mở rộng tới hàm tập ( ta cùng ký hiệu là à ) khả cộng đếm đợc trên σ - đại số Borel

Từ định nghĩa à1 , à2 và à thì nếu F là tập đóng ta có

à1 (F) = à2(F) = à (F) Do đó à (E) = Fsup⊆E à (F) vậy à là một độ đo chính quy

khả cộng hữu hạn đợc xác định trên σ - đại số Borel của S cần tìm Bây giờ còn phải chứng minh đẳng thức

nên chỉ cần chứng minh (7) cho trờng hợp f là thực Nhng mỗi hàm thực f ∈C(S) có thể viết dới dạng hiệu của hai hàm không âm thuộc C(S) nên lại chỉ cần chứng minh (7) cho các hàm không âm Cuối cùng vì S compact nên mỗi f ∈ C(S) bị chặn, vậy khi chứng minh có thể coi 0≤ f(s) ≤ 1

Giả sử ε > 0 cho trớc nhỏ tuỳ ý và E1, E2, , E… n là một phân hoạch của tập S gồm các tập rời nhau thuộc miền xác định của à sao cho:

i = ∈ Vì tính chính qui của à tồn tại những tập đóng Fi ⊆ Ei sao cho

∑ ∫

n 1

μ(s) f(s)d ε

2 ) μ(F

ε a f(s) inf

G s i

3)μ(G

Nếu F là tập đóng thì nh trên à1(F) = à2(F) = à(F) và nếu G là tập mở chứa F thì à(F) ≤λ(G) bởi tính chính qui của à thì đối với G mở ta có à ( G ) ≤ λ ( G ) Từ đó suy ra

n 1

n 1

i i ii

f(s))dμ(s)-

(1f(s))dλ(s)-

Nhng vì 0 ≤ 1 - f(s) ≤ 1 nên trong (8) thay f bởi 1 - f và kết hợp với bất đẳng thức cuối này ta đi đến

.f(s))dμ(s)-

(1f(s))dλ(s)-

∑ à ) ,

X (

L P

và l p(p≥ 1 )

3.1 Định nghĩa Giả sử S là một tập đo đợc với độ đo Lebesgue à, nghĩa là à

là một hàm tập không âm trên Σ, σ- đại số các tập con của S và à là σ- cộng tính và σ-

hữu hạn Không gian vectơ các hàm f từ X vào K (K = C hoặc R) sao cho p

f khả tích Lebesgue trên X gọi là không gian L P(X, ∑ , à ) (p ≥ 1 )

3.2 Mệnh đề ([ ]2 ) Không gian L P(X, ∑ , à ) (p ≥ 1 )là không gian định chuẩn với chuẩn cho bởi công thức

p

1 p X

f = ∫ à ≥ 0 là hiển nhiên và

1 p X

p = khi và chỉ kh ∫ à = khi và chỉ khi f p = C , khi và chỉ khi f = C với C = const

p p

1 p X

p ( f g d ) ( f d ) ( g d ) f g g

p n

XnX

Bất đẳng thức này suy ra g p và vậy thì g hữu hạn h.k.n Nh vậy tồn tại tập

đo đợc N ⊂ X với à ( N ) = 0 sao cho g ( x ) f ( x ) x N

X

≤ à

≤

à ∫

∫ Nói cách khác f ∈Lp Để kết thúc sự chứng minh của mệnh đề ta còn phải chỉ ra rằng chuỗi hàm ∑n∞=1f n hội tụ tới f trong L Với mỗi p n ≥ 1 đặt

h ( x ) f ( x ) f ( x ) , x X

p n

Bởi vì g pkhả tích, theo định lý Lebersgue về qua giới hạn dới dấu tích phân

3.4 Định lý ([ ]3 ) Với mọi 1 <p< ∞, đối ngẫu của không gian L P(X, ∑ , à )

là không gian L q(X, ∑ , à ) với q là số thực sao cho 1 +1 = 1

đối với mọi B có dạng ( n )

1 BB

B= I với B 1 là à- đo đợc Do đó đối với mọi hàm

đơn giản x ta có =∫ à

X

)s(d)s(y)s(x)x(f

các với 0

(n) B s

và x(s) khi

Ta chia {z : z ≤ n} của mặt phẳng C thành một số hữu hạn các hình vuông mở

không giao nhau {M n , k t} ( t = 1 , 2 , , d k , n ) có đờng chéo .

k

1

≤ Đối với mỗi hàm x n ( s )

ta xác định hàm xn,k( s ) nh sau : với mọi s x 1 ( Mn,k,t)

n

−

∈ thì xn,k( s ) luôn nhận cùng một giá trị z thuộc bao đóng của Mn,k,t và z =inf {w : w ∈ Mn,kt}. Nh vậy

) s ( x ) s ( x lim , ) s ( x

f xảy ra với mọi x ∈ L p ( X ,∑, à ).

Bây giờ ta chứng minh y ∈ L q ( X ,∑, à ).

x y(s)dà(s) ≥∫

X

)s(

x = và dùng bất đẳng thức Holder ta có

q 1 q

X np 1 p

X n

X

) s ( d ) s ( y )

s ( d ) s ( x )

s ( d ) s ( y )

) s ( y ) s (

).

s ( d

(s)

y

s.

của khác trị giá

các tại 0

n y(s)

và

(n) B

s khi

f q

1

X

q n p 1

X

p p

1

X

q n

p f y d ( s ) x d ( s ) y ( s ) d ( s )

x = ∫ à  ≥ ∫ à  ∫ à  .

Vậy f y d ( s ) y q d ( s )

X np

1 q

1

= + ( 1 < p < ∞ )

sao cho với mọi x ∈ L q ( X ,∑, à )

1

= + , ta xác định phiếm hàm f trên

Dạng f tuyến tính và bởi bất đẳng thức Holder ta có

1

X

p q

1

X

q

) s ( d ) s ( x )

s ( d ) s ( y )

x (

f ≤ ∫ à  ∫ à  .

Vậy f ( x ) ≤ x p y q

Do đó f liên tục và f ≤ y q Từ đó f = y q

Định lý 3.4 đợc chứng minh

3.5 Định nghĩa Một hàm x(t) đo đợc trên X gọi là bị chặn cốt yếu trên X nếu

tồn tại tập A à đo đợc, A⊂ X, à ( A ) = 0 sao cho

sup { } :)t(x A\Xt ∞<∈

Khi đó số