Toán 10 Bài 1 bất ĐẲNG THỨC

BẤT ĐẲNG THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu được khái niệm bất đẳng thức.. + Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức Cô-si và bất đẳn

Trang 1

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1 BẤT ĐẲNG THỨC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm bất đẳng thức

+ Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Kĩ năng

+ Biết cách giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất và định nghĩa

+ Biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức Cô-si

+ Vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong các bài toán về cực trị

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm bất đẳng thức

- Các mệnh đề dạng "a b " hoặc "a b " được gọi là bất đẳng

thức

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương.

- Nếu mệnh đề "a b  c d " đúng thì ta nói bất đẳng thức

c d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a b và

cũng viết là a b  c d

- Nếu bất đẳng thức a b là hệ quả của bất đẳng thức c d và

ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau

và viết là a b  c d

Tính chất của bất đẳng thức

Điều

kiện

Nội dung

a b  a c b c   Cộng hai vế của bất

đẳng thức với một số 0

a b

a c b d

c d

 

   



 

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều 0

0

c 

a b

ac bd

c d

 



 

Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

*

n   a b a2n 1 b2n 1

   Nhân hai vế của bất

đẳng thức lên một

*

n   , a b  a2n b2n

Ví dụ:

3 5 ; a 12 0; 2

2 0

a  

Ví dụ:

Từ 3 6  2.3 2.6  6 12

Bất đẳng thức 6 12 là bất đẳng thức

hệ quả của bất đẳng thức 3 6

Chứng minh tương tự, ta thu được kết quả hai bất đẳng thức 3 6 và 6 12

tương đương với nhau.

Trang 2

0

a  a b  a b Khai căn hai vế của

một bất đẳng thức

a b  a b

Bất đẳng thức Cô-si

- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

2

a b

ab



Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b

- Hệ quả:

Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó luôn lớn hơn

hoặc bằng 2

1 2

a a

  ,  a 0

 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích

xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi xy

 Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng

x y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi xy

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau

0

x  , x x , x  x 0

a  x   a a x a  .

x a





   

a  b  a b a b

Ví dụ:

- Cho hai số thực x, y thỏa

mãn xy  Khi đó, ta có 9

x y  x y  xy 

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

3 9

x y

x y xy

 



 



Chứng minh: a  b  a b  1

- Nếu a  b thì  1 đúng.

- Nếu a  b , bình phương hai

vế, ta được

a  ab b a b  ab

  (bất đẳng thức này luôn đúng).

Suy ra điều phải chứng minh.

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ab 0

Chứng minh tương tự với bất đẳng thức a b a  b

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất

Phương pháp giải

Trang 3

 

A B A B 

1 Chứng minh A B 0A B 0 hoặc

dùng các phép biến đổi tương đương để

chứng minh A B A B    tương đương

với một bất đẳng thức đúng

2 Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng

3 Biến đổi một vế của bất đẳng thức

4 Sử dụng tính chất bắc cầu A C A B

C B









a b a b ab với mọi a 0, b 0

Hướng dẫn giải Cách 1 Xét hiệu

a b  a b ab  a  a b  ab  b

Mà a b 2 0 với mọi a, b và a 0, b 0 nên

a b  2 a b  0 Dấu " " xảy ra khi a b Vậy a3b3 a b ab2  2 với mọi a 0, b 0

Cách 2 Biến đổi tương đương

a3b3  a b ab2  2

0

a b a  2 b2 0

a b 2 a b 0

     *

Lập luận tương tự như Cách 1, ta suy ra bất đẳng

thức  * là một bất đẳng thức đúng với a 0, 0

b  Vì vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho a, b là hai số thực thỏa mãn ab 1.

Chứng minh rằng 1 2 1 2 2

1a 1b 1ab

Hướng dẫn giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

1a 1b  1ab  1a  1ab1b  1ab

Nhận xét: Khi chứng minh

bất đẳng thức dạng A B

ta nên chỉ ra trường hợp dấu đẳng thức (dấu " " )

Trang 4

 

2

1

b a



Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ab 1

Dấu " " xảy ra khi a b hoặc ab 1

Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

xảy ra.

Ví dụ 2 Cho a, b thỏa mãn a b 0

Chứng minh rằng

a b a b a b 

Ta có

a b a ab b

a b a b a b     a b a b 

a ab b

0 4

a b a b 

  (luôn đúng vì a b 0 và a b 2 0)

Dấu " " xảy ra khi a b hoặc ab

Vậy

a b a b a b 

    với a b 0

Ví dụ 3 Cho a, b, c 0 thỏa mãn 2 2 2 35

33

a b c 

Chứng minh 1 1 1 1

a b c   abc.

Ta có 0a b c  2 a2b2c22ab ac bc  

2 ac bc ab a b c

1 2

35 1 66

ac bc ab

     hay ac bc ab  1

Trang 5

Vì abc 0 nên chia cả hai vế cho abc, ta được ac bc ab 1

 



 1 1 1 1

a b c   abc (điều phải chứng minh).

Ví dụ 4 Chứng minh rằng với mọi a, b, c 0 ta có 1 a b c 2

a b b c c a

       1 Tương tự ta có b b

b c  a b c   2 ; c c

c a a b c   3 Cộng theo vế các bất đẳng thức  1 ,  2 ,  3 ta được

1

a b b c c a       *

Ta có a a b c    a2ab ac a  2ab ac bc  a b a c    

a b a b c



    4

Tương tự ta có

b c a b c





    5

c a a b c





    6

Cộng theo vế các bất đẳng thức  4 ,  5 ,  6 ta được

2

a b b c c a       **

Từ  * và  ** ta được 1 a b c 2

a b b c c a

   (điều phải chứng minh)

Ví dụ 5 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 3

bc ca ab

a bc b ca c ab 

Ta có

Trang 6

Đặt

1

a

x

bc



 ;

1

b y ca



 ;

1

c z ab



 Suy ra x, y, z 0 và thỏa mãn x y z  3.

Ta cần phải chứng minh 3

x y z 

Dễ thấy

x x y z

    ;

y  y x z

    ;

z z x y

Cộng vế với vế các bất đẳng thức, ta được

3

 

      (vì x y z  3)

Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu " " xảy ra khi trong 3 số a, b, c có một số bằng 3 và hai số còn lại cùng bằng 0

Ví dụ 6 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z

Chứng minh rằng y 1 1 1x z 1 1 x z

Bắt đẳng thức đã cho tương đương với

x z2 y x z  x z

1 0

x z y

xz xz y



    (vì x z 0)

xy yz y xz

x y z y y z

x y y z   0

Bất đẳng thức này luôn đúng vì 0 x y z  

Vây bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu " " xảy ra khi xy hoặc y z

Ví dụ 7 Cho abc 1 và a 3 36 Chứng minh rằng

2

3

a

b c ab bc ca

Xét hiệu

a

         

Trang 7

2 3

36

b c

a



    

Ta có a3 36 a 336 0 và a 3 36 0 nên

0 12

a a



 ;

Lại có

2

0 2

a

b c

Do đó

36 0

b c

a



            (điều phải chứng minh)

Ví dụ 8 Cho hai số thực dương a, b Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A

2

4

1

1 2

a

1 2

ab

ab 

C 22 1 1

2 2

a





2 2

1

0

a



 

2

1

0

ab



 

, a b, 0 Do đó B sai.

2 2

1 1

0

a

 

, a Do đó C đúng.

Chọn C.

Ví dụ 9 Nếu 0a1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A 1 a

1

a a



0

a a



      ,  a 0;1 Do đó A đúng.

0

a



      ,  a 0;1 Do đó B sai.

a a  a a   a a,  a 0;1 Do đó C sai.

Trang 8

 

a  a a a   a a ,  a 0;1 Do đó D sai.

Chọn A.

Ví dụ 10 Cho a b 0 và 1 2

1

a x

a a





1

b y

b b





  Mệnh đề nào sau đây đúng?

1 b b a ab ab 1 a a b ab a b

a b a b ab   0

     luôn đúng với mọi a b 0

Do đó x y

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Hai số a, b thỏa mãn bất đẳng thức

2

a b a b 

  thì

Câu 2: Với m, n 0, bất đẳng thức mn m n   m3n3 tương đương với bất đẳng thức

A    2 2

0

m n m n mn 

C m n m n    2 0 D m n m   22n2 0

Câu 3: Cho x, y  Bất đẳng thức nào sau đây sai?0

x y  x y

C

xy  x y . D x y 2 2x2y2

Câu 4: Với mỗi x 2, trong các biểu thức 2, 2 , 2 , 1,



  giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?

A 2

2 1

x

Câu 5: Cho các mệnh đề sau

(I): 2 2

2

a b  ab, a b,

(II): ab a b  a3b3, a b,

Trang 9

(III): ab 4 4 ab, a b,

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C (I) và (III) D (I), (II) và (III).

Câu 6: Cho các mệnh đề

(I):

2

4

1

1 2

a

1 2

ab

ab  (III): 22 1 1

2 2

a a





a b 

Số mệnh đề đúng là

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số yx25x 6 trên đoạn 2;3 là

A 5

1

Câu 8: Cho hàm số   21

1

f x

x



 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A f x có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1. 

B f x không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. 

C f x có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2. 

D f x không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 

Câu 9: Cho a, b, c, d là các số dương Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Nếu a c

b d thì

a b c d

b  d thì

a b c d

C a b c   ab bc ca D 2 ab a b 2ab a b 

Câu 10: Cho a, b, c, d là các số thực trong đó a, c 0 Nghiệm của phương trình ax b 0 nhỏ hơn nghiệm của phương trình cx d 0 khi và chỉ khi

A b c

b c

b a

b d

a  c .

Bài tập nâng cao

Câu 11: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình 1

2 1

x y

 





  

 có nghiệm x y với ;  x y lớn nhất?

A 1

4

2

Câu 12: Cho a2b2c2  Hãy chọn mệnh đề đúng.1

2

ab bc ca  

Câu 13: Bất đẳng thức a2b2c2d2e2 a b c d e    , a b c d e, , , , tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

Trang 10

A

0

B

0

C

0

D a b 2a c 2a d 2a e 2 0

Câu 14: Cho 3 số , ,a b c bất đẳng thức nào sau đây đúng?

a b c  a  b c

C ab bc ca a   2b2c2 D 1 1 4

a b a b

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 3x với x   là

A 9

4

2

2.

ĐÁP ÁN

Dạng 1 Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất

1 - C 2 - C 3 - B 4 - B 5 - A 6 - D 7 - B 8 - B 9 - A 10 - D

11 - A 12 - B 13 - B 14 - C 15 - C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 11 Chọn B.

Hệ phương trình có nghiệm là

1

x a







 

Ta có  

2

xy a  a  a a  a  a    a   

Đẳng thức xảy ra khi 1

2

a 

Vậy xy lớn nhất khi 1

2

a 

Ta có a2b2 2ab; b2c2 2bc; c2a2 2ac

Cộng vế theo vế ta có 2a2b2c22ab bc ca   ab bc ca  1

2

a b c    a b c  ab bc ca    ab bc ca  

a b c d e a b c d e  

Trang 11

2 2 2 2

            

0

            

Câu 14 Chọn C.

Đáp án C đúng vì ab bc ca a   2b2c2  a b 2b c 2c a 2 0

Câu 15 Chọn C.

Ta có x  ; 2 0 x  0 x23x 0,   x

Vây giá trị nhỏ nhất là 0 đạt được khi x 0

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si

Phương pháp giải

1 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số

không âm:

Với ,a b  , ta luôn có 0

2

a b

ab



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên

4

a b

ab  và 2 2  2

2

a b

a b  

2 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số

không âm:

Với , ,a b c  , ta luôn có 0 3

3

a b c

abc

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Dạng tương đương của bất đẳng thức trên

27

a b c abc  

3 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho n số

không âm

Với a a1, , ,2 a  , ta luôn có n 0

Ví dụ 1 Cho , ,a b c  Chứng minh 0

a b b c c a        8abc

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

2

a b  ab; 2

b c  bc;

2

c a  ca Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

a b b c c a        8 a b c2 2 2 8abc Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 2 Cho , ,a b c  Chứng minh0

3

a b c

b c a   .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

3

3 3

b c a   b c a 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Trang 12

1 2

n n

n

a a a n

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương ,a b ta có 1 1 4

a b a b

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có a b 2 ab, 1 1 2

a b  ab .

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

      



Đẳng thức xảy ra khi a b

Ví dụ 2 Cho , ,a b c là các số dương thỏa mãn 3

4

a b c   Chứng minh rằng

3 a3b3b3c3c3a 3

Cách 1

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

a b  a b   a b

3

      1

Chứng minh tương tự ta cũng có

3

b c  b c ,  2

3

c a  c a  3

Cộng từng vế các bất đẳng thức  1 ,  2 ,  3 , ta được

3

a b b c c a  a b c   

3 4

Đẳng thức xảy ra khi

3

1 4

4

a b c



  





      



Trang 13

Cách 2

Đặt x3a3b, y3b3c, z3 c3a ta có 3 3 3  

x y z  a b c   Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x y z  3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có 3 3 3

1 1 3 1.1 3

x    x  x Chứng minh tương tự, ta được 3

1 1 3

y    y, z3  1 1 3z Cộng từng vế các bất đẳng thức tương tự, ta được

9 3 x y z   x y z  3

4

x   y z a b c  

Ví dụ 3 (Đề thi đại học khối D – 2005).

Cho các số dương x y z, , thỏa mãn xyz  Chứng minh rằng1

3 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có

1x y 3 1 .x y 3xy

 

Chứng minh tương tự ta được

 

Cộng từng vế các bất đẳng thức  1 ,  2 và  3 , ta được

xy yz zx

Đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Ví dụ 4 Cho , ,a b c  Chứng minh 0

2

b c a c a b a b c

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được

Trang 14

     

Tương tự, ta chứng minh được

4 2 4

c a b    ;

4 2 4

a b c    Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được

2

b c a c a b a b c

 

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 5 Cho x y z, , là các số dương và xyz  Chứng minh rằng 1

y z x

Ta có

Tương tự

y

z   

z

x  

  3 Cộng theo vế các bất đẳng thức  1 ,  2 ,  3 ta được

x y z

 

4 x y z 4 xyz

3 1

Đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Mẹo ta cần quan tâm dấu

" " xảy ra khi nào để thêm bớt cho phù hợp.

Ví dụ 6 (Đề thi đại học khối A – 2005)

Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x y z  Chứng minh rằng

1

2x y z  x2y z x y 2z 

Trước hết với ,a b  , ta có 0 4  2 1 1 1 1 1

a b

ab a b

Đẳng thức xảy ra khi a b

Sử dụng kết quả trên, ta có

Trang 15

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z

             

Tương tự

2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z

Đẳng thức xảy ra khi 3

4

x  y z

Ví dụ 7 Giá trị lớn nhất M của hàm số f x   6x3 5 2   x, với 1 5;

2 2

x   

  là

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si:  2

4

a b

ab  , ta được

2

2 1 5 2

4

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

1

2 1 5 2

x



  





   



Vậy M  27

Chọn C.

Ví dụ 8 Giá trị lớn nhất M của hàm số f x  x 1

x



 với x 1 là

2

M 

Ta có  

f x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có  x12 1 2  x1 1 22  x1

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 2

Do đó   1 1

2

2 1

x

f x

x



Trang 16

Vậy 1

2

M 

Chọn B

Ví dụ 9 Giá trị lớn nhất M của hàm số  

 12

x

f x

x



 , với x 0 là

4

M 

2

Ta có  

f x

x

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có x2 1 2 x2.1 2 x

2 1 4

x

Dấu " " xảy ra khi x 1

Vậy 1

4

M 

Chọn B.

Ví dụ 10 Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f x   x 3 6 x lần lượt là

A m  2; M 3 B m 3; M 3 2

C m  2; M 3 2 D m  3; M 3

Hàm số xác định khi   3 x 6 Tập xác định D   3;6 .

Ta có f2 x  9 2 x3 6   x

Vì x3 6   x 0,   x  3;6 nên f2 x  9 f x 3

Dấu " " xảy ra khi x 3 hoặc x 6 Vậy m 3

Lại có 2 x3 6   x    3 x 6 x 9 f2 x 18 f x 3 2

Dấu " " xảy ra khi 3 6 3

2

x   x x Vậy M 3 2

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho x y, là hai số thực bất kì thỏa mãn xy  Giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

A x y là

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,57 MB