Một số bài toán chọn lọc về bất đẳng thức doc

và ước lượng căn thức.

Một số bài toán chọn lọc về bất đẳng thức

BT1: cho các số dương x,y,z Tìm GTNN của :

P = ( ) ( ) ( )

2 2

2

xy

y x z zx

x z y yz

z y









x

y y

x







2 2

BT2: cho các số dương x, y ; x+y =

4

5 Tìm GTNN của :

S = .

4

1 4

y

x 

BT3:

Cho các số dương x,y,z : x+ y+z 1 CMR :

2 12  2 12  2 12  82

z

z y

y x

x

HD: Đặt ( ;1); ( ;1); ( ;1)

z z c y y b x x

a   và sử dụng :

|a |  | b |  | c |  | a  b  c |

BT 4: cho các số dương x, y,z sao cho 1  1  1  4

z y x

1 1

1 1







HD : sử dụng : .( 1 1 1 1 )

16

1 1

d c b a d

c b

a       

BT 5: cho các số dương x,y,z sao cho xyz =1 CMR

2 2 2

2 2

2



















xz

z x yz

z y xy

y x

HD : đánh giá đại diện:

1+ x2+y2 3xy và ước lượng căn thức

BT6 : cho các số dương x,y CMR :

( 1  )( 1  9 )( 1  9 )  256

y x

x

HD : phân tích các nhân tử , áp dụng bđt cô si

BT 7: cho số dương x Tìm GTNN của hàm số :

4 ( 1 7 )

2

11

2

x x

x

BT8 : cho các số dương x,y sao cho : x+y 4 Tìm GTNN của :

A= 2

3 2

4

4 3

y

y z x





HD : BĐT cô si

BT11: cho các số dương x,y,z Tìm GTNN của ;

) (

2 ) (

4 ) (

4 ) (

x

z z

y y

x x

z z

y y

x

HD : đánh giá đai diện : 3 4 ( x 3  y 3 )  x  y

BT10: cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z =1

Tìm GTNN của :

2 12 2 1

xyz z

y x







BT11: cho các số dương x ,y: sao cho x2  y2  1

Tìm GTNN của

( 1 )( 1 1 ) ( 1 )( 1 1 )

x

y y

x

HD : khai triển và áp dụng BĐT cô si

BT12: cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z =1 Tìm GTNN

S  x2y  y2z  z2x

HD : cô si

BT 13: cho các số x và y đều khác 0 thỏa mạn : (x+y)xy =x2y 2 xy

Tìm GTLN :

3 3

1 1

y x

A  

BT14 :cho x , y thỏa mạn đk :x ( 1  x )  y 4  x2 .

Tìm GTLN GTNN của :

y

x

BT 15:CMR :

).

2

; 0 (

; ) tan ( cos )

sin

x

x x

x

x

BT 16:cho các số dương a,b,c sao cho ab+bc + ca =abc

CMR:

2 2

2 2

2 2













ca

a c

bc

c b

ab

b a

BT 17: Cho các số dương a,b,c CMR :

2

1 1

1

2 2

2

abc

c b a ab c

ac b

bc

a

















Một số bài toán khó( thi học sinh giỏi )

CMR: .

2

3 ) (

1 )

(

1 )

(

1

3 3









 c b c a c a b b

a

BT19: cho các số dương a,b,c CMR :

1 8

8









c ac

b

b bc

a

a

BT20 : cho các số dương xi0 sao cho :

1998

1 1998

1

1

1

1









CMR : 1998

1

1





n

x x

n

n

BT21: cho các số dương a,b,c,d sao cho :

1 1

1 1

1 1

1 1

1

4 4

4













CMR :

abcd 3

BT22: cho các số dương x, y sao cho : x2  y2  1

CMR : |16 ( x5  y5)  20 ( x3  y3)  5 ( x  y ) |  2

BT 23: Vơi mọi số thực x,y,z >1 sao cho

2 1

1

1







z

y

1 1







x

BT24: Cho các số dương x,y,z chứng minh rằng :

4

9 ) ) (

1 )

(

1 )

(

1 )(















x z z

y y

x z

y

x

Dấu bằng xẩy ra khi nào

BT 25: cho các số dương a,b,c CM :

1 1

1 1

3 3 3

3 3

3

abc abc

a c abc c

b abc

b

Đẳng thức xẩy ra khi nào ?

BT 26 : cho các số dương a,b,c CMR:

) )(

)(

( )

)(

( a2b  b2c  c2a ab2 bc2  ca2  abc 3 a3 abc b3 abc c3 abc

BT 27 : cho các số dương a,b,c,d sao cho a+b+c+d =1

CM:

8

1 ) (

) (

6 a3  b3  c3  d3  a2  b2  c2  d2 

CMR :

Abc + bcd + cda + dab  abcd

27

176 27

1

HD : pp dồn biến

BT 29 : cho các số thực dương x,y,z thỏa mạn xyz =1.CMR ;

.

1 1

1 1

1 1

1

2 2















x

BT 30 : cho các số thực không âm a,b,c,d CMR :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4 4

4

d c b