Toán 10 Bài 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 ĐẾN 180Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày được các kiến thức cơ bản về việc xác định giá trị lượng giác của một góc dựa vàonửa đường tròn đơn

CHƯƠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 ĐẾN 180

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được các kiến thức cơ bản về việc xác định giá trị lượng giác của một góc dựa vàonửa đường tròn đơn vị

+ Phát biểu và vận dụng được các tính chất về giá trị lượng giác của các góc bù nhau

+ Ghi nhớ được bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

+ Xác định được góc giữa hai vectơ

 Kĩ năng

+ Tính được giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hoặc một góc bất kì khi biết một số giả thiết.+ Tính được giá trị của một biểu thức lượng giác với giả thiết cho trước

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Với mỗi góc (0   180 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM  và

giả sử điểm M có tọa độ M x y Khi đó o; o

• Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc  , kí hiệu là0 sin y0;

• Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc  , kí hiệu là0

0;

cos x

• Tỉ số 0 

0 0

Các số sin cos tan cot, , ,  gọi là các giá trị lượng giác của góc 

Tính chất giá trị lượng giác của các góc bù nhau

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 Từ một điểm O bất

kì ta vẽ OA a 

 và OB b

Góc AOB với số đo từ 0° đến 180°

được gọi là góc giữa hai vectơ a và b

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ là a b,

Nếu a b, = 90° thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y và hoành0

độ x của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị0

với góc xOM   và từ đó ta có các giá trị

1cos( , ) cos60

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho góc  135  Giá trị lượng giác tan ,cot  là

Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM 135 Gọi

N là điểm đối xứng của M qua trục tung và đặt  xON Tính cot 

A cot 1 B cot 1 C cot  3 D cot  không tồn tại Câu 8 Cho hình bình hành ABCD Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A tan( AB DC , ) 0 B sin(AB AD, ) sin( DA DC, )

32



Bài tập nâng cao

Câu 12 Cho ABC đều có trọng tâm G Giá trị của tan( AB GA, ) là

Câu 13 Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 2,AD a Gọi M là trung điểm cạnh CD  là góc giữa,

hai vectơ AM và BD Tính tan 

A tan 2

2

Dạng 2 Tính các giá trị lượng giác của một góc khi biết một giá trị lượng giác bất kì

Bài toán 1 Chứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác

Khi đó sin y0; cos x0 Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có

x y OM    cos  (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2 Cho góc  thỏa mãn 0   180  Chứng minh rằng

(điều phải chứng minh)

Ví dụ 3 Cho góc  bất kì Chứng minh rằng sin6cos63sin2cos2 1

Huớng dẫn giải

Ta có VT sin6cos6 3sin cos2 2

sin2 cos2 sin4  sin cos2 2cos43sin cos2 2

   (điều phải chứng minh)

Bài toán 2 Tính các giá trị lượng giác của một góc khi biết một giá trị lượng giác bất kì

Phương pháp giải

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của

góc  và các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các

Hướng dẫn giải

Lưu ý:

Chúng ta áp dụng kết quả của

ví dụ 1 “sin2cos2 1” để chứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác một cách nhanh chóng mà không cần sử dụng hình học.

Ta có sin2 cos2 1 1 cos2 1

Hướng dẫn giải

4cos

4

6 2cos15

sin cos 1 sin cos 1 sin ( 2 sin ) 1

Vậy sin 2;cos 2 sin 2 2 2

Câu 6 Cho biết sin cos m Giá trị của sin cos  là

A sin cos  m2 B sin cos  2m

C

2

1C.sin cos

2

m

2 1sin cos

2

m

   

Bài tập nâng cao

Câu 7 Cho 0   180 thỏa mãn sin 1 cos

Câu 8 Trên nửa đường tròn đơn vị, cho các điểm M, N, A như hình vẽ.

Biết xOM 135 , tính diện tích MNA

Dùng công thức lượng giác tính các giá trị

lượng giác có trong biểu thức lượng giác cần

tính hoặc biến đổi biểu thức lượng giác cần tính

về giá trị lượng giác đã biết

Ví dụ: Cho tanx 2 Khi dó

7sin cos

Ví dụ 3 Cho tan x 2 cotx1 và 90 x180

Giá trị biểu thức Atan2x cot2 x bằng

Ta có tan 2cot 1 tan 1 2cot ( 1 2cot ).cot 1

tan cot 1 tan cot 1

 Sử dụng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức

sin 30 cos30 sin 45 cos 45

Hướng dẫn giải

Ta có P sin 30 cos30   sin 45 cos 45 

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức

cos 60 cos80 cos100 cos120

Ví dụ 2 Giá trị của biểu thức:

cos 0 cos1 cos 2 cos178 cos179 cos180

P             thuộc khoảng nào sau đây?

cos1 cos 180 1 cos179

cos 2 cos 180 2 cos178

      

      

………

Suy ra P cos 0 cos1 cos 2   cos178 cos179 cos180

cos 0 cos180  cos1 cos179  cos89 cos91  cos90

    

Bài tập nâng cao

Câu 11: Biết tancot 6 Giá trị của biểu thức Ptan4 cot4 là

Câu 13 Cho sinxcosx m Tính Psin3xcos3x theo m

BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180

Dạng 1 Tính giá trị lượng giác của một góc đặc biệt

Xét tam giác ABC đều có G là trọng tâm tam giác, suy ra AG vừa là trung tuyến, vừa là đường cao,

đường phân giác kẻ từ đỉnh A của tam giác   60

Xét ADM vuông tại D , ta có: tan 2 2

Suy ra sin6 cos6 sin2cos2 sin4 sin2.cos2cos4

sin2 cos2  sin2 cos22 3sin2.cos2

Ta có: Psin6 xcos6x m sin4xcos4x

sin2 x cos2 x sin4x sin cos2x 2x cos4x msin2 x cos2x2 2sin cos2x 2x

26cos cos 2 0

2cos

BÀI 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Dạng 1 Tính tích vô hướng của hai vectơ

Khi đó (0;0), (4 ;0), (0;2 ), (0;3 ), (2 ;3 )A B a N a D a C a a

Suy ra NB (4 ; 2 ),a  a NC (2 ; ),a a DC (2 ;0)a

.Suy ra NB NC (6 ;a a )

.Vậy T (NB NC DC                ) 6 2a a ( a).0 12 a2

144144

Gọi tọa độ đỉnh C là (x; y)

BÀI 3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Dạng 1 Giải tam giác

Goi  G CNBM l;  AGBC Khi đó G là trọng tâm tam

giác ABC và I là trung điềm của BC

Tam giác BGC vuông tại G nên 3

Do BCAB nên BACACB

Suy ra BAC120  CAM 60

Theo tính chất đường phân giác ta có 3 1 3 1

Áp dụng định lý sin vào tam giác AMC, ta có

Quãng đường ô tô đi từ A đến C qua B là S1 AB BC 15 20 35  (km)

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có

Nếu đi theo đường hầm thì quãng đường ô tô phải đi ít hơn là S S 1 AC35 5 37 4,6(km) 

Ô tô tiết kiệm được số tiền là 4,6 : 5.20000 18400 (đồng)

Đặt AB c Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AC c BC c ,  2