Bat dang thuc cuc tri dai so

Vậy ta có đpcm. Câu 9.[r]

Cõu 5 HÀ TĨNH Cho cỏc số a, b, c đều lớn hơn

25

4 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 5 2 5 2 5

Q

Áp dụng bất đẳng thức Cụ si cho 2 số dương, ta cú:

a

b     (1);

b

c     (2) ;

c

Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta cú: Q  5.3 15 

Dấu “=” xẩy ra  a b c    25 (thỏa món điều kiện

(*))

Vậy Min Q = 15  a b c    25

Baứi 5: (1,0 ủieồm) BèNH ĐỊNH

2 2

x 2x 2011 Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực A =

x

(vụựi x 0 )

Caựch 1: (Duứng kieỏn thửực ủaùi soỏ lụựp 8)

 



 

 

     

2

2

2

2

2

2 2

x 2x 2011

A = vụựi x 0

x

= 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (vụựi t = 0)

2011 2011 2011

1 2010 2010 = 2011 t

2011 2011 2011

1 daỏu"=" t = x 2011 ; thoừa x

2011



0

*

2010 Vaọy MinA = x = 2011

2011

* Caựch 2: (Duứng kieỏn thửực ủaùi soỏ 9)

 

2

2

x 2x 2011

A = vụựi x 0 A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 *

x

coi ủaõy laứ phửụng trỡnh aồn x

2011 Tửứ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1)

2

Neỏu A 1 0 thỡ (*) luoõn laứ phửụng trỡnh baọc hai ủoỏi vụựi aồn x. 

x toàn taùi khi phửụng trỡnh (*) coự nghieọm

 

      



/

/

2

0 1 2011 A 1 0

A daỏu "=" (*) coự nghieọm keựp x = 2010 2011 ; thoừa x 0 (2)

2011

So saựnh (1) vaứ (2) thỡ 1 khoõng phaỷi laứ giaự trũ nhoỷ

nhaỏt cuỷa A maứ:

*

2010 MinA = x = 2011

2011

Bài 5: ( 1 điểm ) THANH HểA

Cho các số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức:

2











z z

x

y z

y x

Áp dụng BĐT Cosi ta có :

z y x

x z

y

x x

z y x x

z y x

z y























2 2

1 1

z y x

y z

x

y y

z y x y

z x y

z x























2 2

1 1

z y x

z x

y

z z

z y x z

x y z

x y























2 2

1 1

Cộng vế với vế ta có :

2 ) (

2





















z y x x y

z z

x

y z

y

x

dấu bằng xảy ra

y+ z = x x+ z = y  x + y + z = 0 y+ x = z

Vì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra

=>

2











z z

x

y z

y

x

với mọi x, y , z > 0 (

Đpcm )

Câu 5: (0,5 điểm) bắc giang

Cho hai số thực dơng x, y thoả mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y

Đặt a = x+y = M; b = xy; a2 4b Từ giả thiết có:

3 3 3 2 6 2 4 2 4 3

a  ab a b b  ab  b =

2







+) NÕu a =2b Th×: x+y = 2xy Mµ (x+y)2 4xy nªn

(x+y)2 2(x y )  M  x y2;" " khi x:  y 1.

(*)

+) NÕu a2 ab2b2 3b0

Gi¶ sö  (1) cã nghiÖm b tho¶ m·n b

2

4

a

 th×

b=

2

3



( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0

2 2 1

 VËy a  1 7 (**)

Tõ (*) vµ (**) suy ra a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt

b»ng 2 khi x = y =1

Bài V (0,5 điểm) Hà Nội Với x > 0, tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

4x

Cách 1:

Vì (2x 1)2 0 và x > 0

1 0

4x

, Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +

1

4x

2 2 1

x x

 M =

(2 1) ( ) 2010

4

x

 0 + 1 + 2010

= 2011

 M  2011 ; Dấu “=” xảy ra 

2

1

1

0

0

x x

x

x

x

x x

x

x















 













1 2

Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x =

1 2

Bài 5: Cách 2:

2 2

x x

        

Áp dụng cô si cho ba số x x 8x

1 , 8

1 , 2

ta có 4

3 8

1 8

1 3 8

1 8

1

3 2 2









x x

x x x

x

Dấu ‘=’ xẩy ra khi x

= 1/2

mà

0 2

1

















x

Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = ½ Vậy

2011 2010

4

1 4

3



M

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M =

1 2

NAM ĐỊNH Chứng minh rằng : Với mọi

2 2

3 x 2 x 1 (vì x 1 nên x 0) (2)

          

Đặt

2

x t thì x t 2

, ta có (2)

2

Vì

x 1 nên x 1 0 x 1 2x x 2 hay t 2

x

=> (3) đúng Vậy ta có đpcm

Câu 9.(2.0 điểm) VĨNH PHÚC Cho a, b, c là ba số

thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

c ab  a bc  b ca Có: a b c   1 ca b c c ac bc c      2

 c ab ac bc c    2ab a c b (  )c b c(  )=

(c a c b )(  ) ( )( ) 2



Tương tự:

a bc a b a c

b ca b c b a



( )( ) 2



c a c b a b a c b c b a          

=

2

a c c b b a

a c c b b a

=

3 2 Dấu “=” xảy ra khi

1 3

a b c  

Từ đó giá trị lớn nhất của P là

3

2 đạt được khi và chỉ khi

1 3

a b c  

Câu 5 (1,0 điểm) HẢI DƯƠNG Cho ba số x y z, ,

thoả mãn 0x y z, , 1 và x y z  2 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức: A =

(x 1) (y 1) (z 1)

Do x, y, z  1 đặt a = 1 – x  0, b = 1- y  0, c = 1- z

 0 và a + b + c = 1

suy ra z = 1 – x + 1- y = a + b, y = 1 – x + 1- z = a + c,

x = 1- z + 1- y = c + b

Khi đó A =

a b b c c a    

Với m, n  0 thì  m n2  0 m n 2 mn 

(*) Dấu “=” khi m = n

Áp dụng (*) ta có:

2

a





Tương tự ta có:

2

b



 

2

c



 

ra:

a b b c c a    

a b c 2

 



=

1 2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

1

3suy ra x = y = z =

2 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

1

2 khi x = y = z =

2 3

Bài 5 ( 0,5 điểm) THÁI BÌNHCho a, b, c là các số

thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3 Chứng minh

rằng:  a 1 3  b 1 3  c 1 3 3

4

Đặt x = a -1; y = b - -1; z = c – -1; Đ/K x -1 ; y - 1; z - 1

⇒ x + y + z = 0 và VT = x3 + y3 +z3 = 3xyz

Bài 5 (1,0 điểm) HƯNG YÊN Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức: y4(x2 x1) 3 2 x1 với -1

< x < 1

y 4 x   x 1 3 2x1

với -1< x < 1

y 4x 4x 1 3 2 1 3

(2 1) 3 2 1 3 (2 1) 3 2 1

x

2

2 1

x

      

  Vậy ymax =

3 4



Khi và chỉ khi

3

2 1

2

x  

= 0 *

5 4

x 

(loại ); * 1

4

x 

(thoả mãn các điều kiện )

Bài 5 (1,0 điểm) b¾c ninh Cho biểu thức:

 2  6 12 2 24 3 2 18 36

Chứng minh P luôn dương với mọi giá trị x y;  

P x  2x y 6y 12 x  2x 3 y 6y 12

Vậy

P luôn dương với mọi giá trị x, y  

Câu 5: (0,5 điểm) BẮC GIANG Cho hai số thực

dương x, y thoả mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y

ta có

     

     

       

           

         

2 0

2 0

y x

x xy

        

   

       

          

      



 

 

2

2 2

2

2

3( ) 0

2 4

2 0 2 2

4 2( ) 2

x y

   



        

      

Vậy x+y nhỏ nhất bằng 2 khi x=y=1