ViÖc d¹y HS gi¶i to¸n BÊt đẳng thức cũng gặp nhiều khó khăn do đa phần các bài toán đòi hỏi tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải do đó dẫn đến việc tiếp t[r]
Trang 1Lời cảm ơn
Tôi xin trân thành cảm ơn:
Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên.
Ban Giám hiệu trường THPT Nam Khoái Châu.
Các thầy, cô giáo tổ Toán trường THPT Nam Khoái Châu.
Đã động viên, khích lệ và tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này!
Hưng Yên:11 2008.
Trang 2Phần i Mở Đầu
Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang bước vào những thập niên đầu tiên của thế kỉ XXI, thế kỉ của khoa học, công nghệ và thông tin Trong thế kỉ này với sự tiến bộ nhanh chóng của khoa học công nghệ, một sự chuyển biến mang tính cách mạng về kinh tế
đang diễn ra trên phạm vi toàn cầu Người ta gọi là sự chuyển dịch lên nền kinh tế tri thức, trong đó tri thức đóng vai trò then chốt đối với sự phát triển kinh tế xã hội loài người Một xã hội muốn có được sự phồn vinh phải dựa vào “tri thức”, dựa vào tư duy sáng tạo và tài năng sáng chế của con người Xã hội càng phát triển thì người ta càng quan tâm và đòi hỏi nhiều hơn đến giáo dục Bởi thế ngành giáo dục phải không ngừng đổi mới và nâng cao chất lượng giáo dục góp phần vào việc đào tạo ra những con người mới phù hợp với xu hướng phát triển của thời đại
Để đáp ứng được những điều đó nền giáo dục trên thế giới nói chung và Việt Nam nói riêng đã và đang có một số phương hướng nhằm đổi mới PPDH đảm bảo cho việc đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất, năng lực, tri thức đáp ứng
được nhu cầu đòi hỏi cấp bách về nguồn nhân lực trong xu thế hiện nay Những phương pháp chủ yếu đang được triển khai là: tích cực hoá quá trình dạy học; cá thể hoá việc học tập; thực hiện công nghệ đào tạo; dạy học lấy học sinh làm trung tâm…
Trong chương trình Đại số ở trường phổ thông, Bất đẳng thức là một phần toán chứa đựng lượng kiến thức rất rộng, rất hay nhưng cũng được coi là rất khó đối với HS, kể cả một số GV còn chưa nhiều kinh nghiệm Việc dạy HS giải toán Bất
đẳng thức cũng gặp nhiều khó khăn do đa phần các bài toán đòi hỏi tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải do đó dẫn đến việc tiếp thu kiến thức và cách giải phần toán này cũng có nhiều hạn chế: HS ngại phải đào sâu suy nghĩ, thường thụ động khi giải toán, thường HS chỉ quen dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp bài toán Bất đẳng thức, khi điều này không khả quan thì trở lên lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu, đặc biệt là đối với những bài toán có sử dụng bất đẳng thức phụ Với những lý do trên đây tôi xin trình bày một số bài toán có sử dụng Bất đẳng thức phụ để chứng minh các BĐT phức tạp khác đem lại lời giải ngắn gọn, tự nhiên, dễ hiểu và dễ trình bày phần
Trang 3nào đó giúp cho việc khai thác, dạy học chủ đề BĐT được thuận lợi hơn và có hiệu quả cao hơn; với tên đề tài: “Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh
một số bất đẳng thức phức tạp khác” hay “Sử dụng bất đẳng đơn giản để chứng minh bất đẳng thức phức tạp ”.
* Mục đích của ta không phải là giải bài toán phụ mà chỉ vì ta hy vọng rằng khi xét nó ta sẽ đi gần tới cách giải bài toán ban đầu Cái đích ta muốn đạt tới là cách giải bài toán ban đầu, cách giải bài toán phụ chỉ là một phương tiện ta nhờ đó mà
đạt tới mục đích Việc tìm bài toán phụ là một quá trình suy luận quan trọng, khả năng đặt bài toán phụ một cách rõ ràng, hiểu thấu được mục đích của nó chỉ là một phương tiện để đạt tới mục đích chính, là một thành công tinh tế của trí tuệ Vì vậy việc dạy hay học cách vận dụng những bài toán phụ một cách thông minh
là rất quan trọng
Cái lợi mà ta có được khi xét bài toán phụ, có thể mang những tính chất khác nhau Ta có thể dùng kết quả của bài toán phụ để làm cách giải cho bài toán khác
Ta khảo sát một cách thông minh bài toán phụ loại tương tự với hy vọng là nó sẽ
bổ ích, nó cho ta điều kiện làm quen với những phương pháp nhất định, những phép tính nhất định, với các công cụ mà cuối cùng chúng ta có thể dùng nó để giải bài toán ban đầu Tuy nhiên thời gian và sức lực của chúng ta để giải bài toán phụ, không phải được dùng trực tiếp cho mục đích của chúng ta Nếu việc khảo sát bài toán phụ không có kết quả thì thời gian và sức lực bỏ ra là vô ích Vì vậy cần phải có kinh nghiệm chọn bài toán phụ theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn bài toán phụ có thể dễ làm hơn bài toán xuất phát, nó có thể tỏ ra bổ ích và quyến rũ ghê gớm Đôi khi bài toán phụ chỉ có lợi ở chỗ là nó mới và nó đem lại những khả năng chưa khai thác Chúng ta chọn bài toán phụ vì việc tìm ra cách giải trực tiếp bài toán ban đầu không có kết quả và chỉ dẫn tới sự mệt mỏi Vậy làm thế nào để tìm ra bài toán phụ?
Việc giải bài toán ban đầu thường phụ thuộc vào chỗ có tìm ra bài toán phụ thích hợp hay không? Khổ nỗi trong khi lại không có một phương pháp nào toàn năng cho phép tìm được bài toán phụ, cũng như không có một phương pháp toàn mỹ luôn dẫn tới cách giải
Trang 4Phần II Nội Dung
Trông phần này tôi xin được trình bày 4 bài toán Bất đẳng thức đơn giản có trong chương trình phổ thông, qua đó khai thác – vận dụng các Bất đẳng thức đó vào chứng minh một số Bất đẳng thức phức tạp khác
Bài toán 1 (Bài 6, Đại số 10 nâng cao, trang 110; Bài số 4, Đại số 10 ban cơ
bản, trang 79).
Chứng minh rằng: Nếu a 0 và b 0 thì a 3+b3 a2b + ab2 (1)
Chứng minh
Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3+b3 - a2b + ab2 0 a2(a-b) – b2(a - b) 0
(a-b)(a2 – b2) 0 (a-b)(a-b)(a-b) 0 (a-b)2(a+b) 0 BĐT sau cùng
này luôn đúng với mọi a, b nên BĐT đã cho đúng với mọi a 0 và b 0, và dấu
bằng xảy ra khi a = b hoặc a = b = 0
Cách 2: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có: : a3+b3 a2b + ab2 (a+b)(a2 – ab + b2) ab(a+b)
(a+b)(a2– ab +b2 - ab) 0 (a-b)2(a+b) 0.Đây là BĐT đúng
Cách 3: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a(a2-b2)–b(a2 – b2) 0 (a2-b2)(a-b) 0
(a-b)2(a+b) 0 Đây là BĐT đúng
Cách 4: (Dùng PP đặt ẩn phụ ).
Ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu a = 0 thì BĐT đã cho trở thành b3 0 (Luôn đúng vì b 0 ).
+) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t 0 Thay vào BĐT đã cho ta được:
a3+t3a3 ta 3+t2a3 1+t3 t +t 2 (t+1)(t2-t +1) t(t +1)
(t +1)(t2 –t +1 -t) ) 0
(t +1)(t - 1)2 0 Đây là BĐT đúng
Cách 5: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số không âm).
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm là a3 và ab2, b3 và a2b ;Ta có:
a3 + ab2 2 a3ab2 = 2a2b; b3 + a2b 2 b3a2b = 2ab2
Trang 5Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0 hoặc a=b.
Cách 6: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số ).
Ta xét các trường hợp:
+) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì BĐT luôn đúng
+) Nếu a > 0 và b > 0 thì ta chia cả 2 vế của BĐT cho ab > 0 ta được:
+ = a+b
b
a2
a
b2
Khi đó áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là và b, và a, Ta được:
b
a2
a
b2
+b 2 = 2a, +a 2 = 2b;
b
a2
b
a2
a
b2
a
b2
Cộng theo từng vế hai BĐT lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh
Cách 7: (Dùng BĐT Côsi cho 3 số không âm).
Ta áp dụng BĐT thức Côsi cho 3 số không âm a3, a3 và b3; b3, b3 và a3; Ta có:
a3 + a3 +b3 3a2b; b3 +b3 +a3 3ab2 Cộng theo từng vế 2 BĐT lại với nhau ta
được BĐT cần chứng minh
Cách 8: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số không âm).
Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau
VT(1) = a3+b3 = (a +b)(a2 +b2-ab), mà áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm a2
và b2
Ta có: a2 +b2 2ab.
Do đó VT(1) = (a +b)(a2 +b2-ab) (a +b)(2ab - ab) = (a +b)ab = a 2b + ab2 = VP(1)
Vậy BĐT được chứng minh
Bây giờ ta sẽ áp dụng BĐT(1) để chứng minh một số BĐT phức tạp khác:
Bài toán 1.1: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng:
. (1.1)
2 2
2
3 3 3 3 3 3
c b a ca
a c bc
c b ab
b
Chứng minh
Ta sẽ sử dụng BĐT (1) như sau:
Trang 6Ta có a3+b3 a2b + ab2 a3+b3 ab(a+b) ; Tương tự, ta
ab
b a
2
3
3
2
b
a
cũng có: Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với
2 2
, 2 2
3 3 3
ca
a c c b bc
c
nhau ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.2: Cho a, b, c Chứng minh rằng:
. (1.2)
3 3 3
ca bc ab a
c c
b b
a
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3 - b 3 + a2b + ab2 a3 b(-b 2+ a2b + ab2)
-b2+ ab + a2 Tương tự ta có: Khi đó
b
a3
2 2
3 2 2
3
, a ca a a
c b bc c c
cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.3: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
3 13 3 13 3 13 1 . (1.3)
abc abc a
c abc c b abc b
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3+b3 + abc a 2b + ab2 +abc a3+b3 + abc
ab(a+b+c)
Tương tự , ta có:
, ) (
) (
1 1
3
c c
b a ab abc
b
; ) (
1 ,
) (
1
3 3 3
b abc
a c c b a abc
a abc
c
Cộng các BĐT này lại với nhau theo từng vế ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.4: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
3
2
3 2
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
Chứng minh
Trang 7Ta có: a3+b3 a2b + ab2 a3 - b 3 + a2b + ab2 2a3 +a3 2a 3 - b3 + a2b + ab2
3a3 a3 - b3 +a3+ a2b + ab2 3a3 ( a3 - b3 ) + (a3+ a2b + ab2)
3a3 (a - b)(a2 + ab +b2) +a(a2 +ab +b2) 3a3 (a2 + ab +b2)(2a - b)
Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại, ta có:
b a b
ab
a
2 2
2
3
2 ,
2 2 2
3 2
2
3
a c a ca c
c c b c
bc
b
Khi đó cộng các vế của 3 BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
. (1.5)
3
5 3
5 3
5
2
3 3 2
3 3 2
3 3
c b a a ca
c a c bc
b c b ab
a b
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -a3 b 3 - a2b - ab2 5b3- a3 5b 3+b3 - a2b - ab2
5b3- a3 6b3 - a2b - ab2 5b3- a3 2b(ab + 3b2) – a(ab + 3b2)
5b3- a3 (ab + 3b2)(2b –a) Tương tự, ta có:
b ab
a b
2 3
5
2
3 3
c a a ca
c a b c
c
bc
b
c
2 3
5
; 2
3
5
2
3 3 3
3
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta có BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.6: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
3 ( ). (1.6)
5
19 5
19 5
19
2
3 3 2
3 3 2
3 3
c b a a
ca
c a c
bc
b c b
ab
a
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -b3 a 3 - a2b - ab2
19a3 – b3 20b3 - a2b - ab2 19a3 – b3 4b(ab+5b2) - a(ab+5b2)
19a3 – b3 (ab+5b2)(4b – a) .Tương tự ta có:
b ab
a b
4 5
19
2
3 3
4 5
19 , 4
5
19
2
3 3 2
3
3
c a a ca
c a b c
c
bc
b
c
Cộng theo từng vế ta có BĐT cần chứng minh
Trang 8Bài toán 1.7: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
4 ( ). (1.7)
6
29 6
29 6
29
3
3 3 2
3 3 2
3 3
c b a c
ca
a c b
bc
c b a
ab
b a
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -b3 a 3 - a2b - ab2 29a3-b3 30a 3 - a2b - ab2
29a3-b3 5a(ab+6a2)–b(ab+6a2) 29a3-b3 (ab+6a2)(5a-b)
b a a
ab
b
5
6
29
2
3
3
6
29 , 5 6
29
2
3 3 2
3 3
a c c ca
a c c b b bc
c
lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.8: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
5 ( ). (1.8)
7
41 7
41 7
41
2
3 3 2
3 3 2
3 3
c b a c
ca
a c b
bc
c b a
ab
b a
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 -b3 a 3 - a2b - ab2 41a3 –b3 42a 3 - a2b - ab2
41a3 –b3 6a(ab + 7a2) - b(ab + 7a2) 41a3 –b3 (ab + 7a2)(6a – b)
Tương tự ta có :
7
41
2
3 3
b a a
ab
b
6 7
41 , 6 7
41 3 3
2
3 3
a c c ca
a c c b b bc
c
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
3 2
7 3 3 2
7 3 3 2
7
3 3 3 3 3 3 3 2 2 2
ca bc ab c
b a a
c
a c c b
c b b a
b a
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 3a3+7b3 2a 3 +6b3 + a2b + ab2
3a3+7b3 (2a +3b)(a2 +2b2) - ab(2a + 3b ) 3a3+7b3 (2a +3b )(a2 + 2b2 –
ab)
2
3
2
7
3 3 3 2 2
ab b a
b
a
b
Trang 9Tương tự ta có: 2
3 2
7 3 , 2
3 2
7
2 2 3 3
ca a c a c
a c bc c b c b
c
Cộng theo từng vế các BĐT trên lại vố nhau ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 1.10: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
).
( ) (
5
3
10 3
5 4 3
10 3
5 4 3
10 3
5 4
2 2 2
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
3 3
ca bc ab c
b a
a c
c a a c a c c
b
bc c b c b b
a
ab b
a b a
Chứng minh
Ta có: a3+b3 a2b + ab2 4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3 3a3 +4b3-2 a2b +11ab2
4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3 (3a +b)(a2 +4b2) - ab(3a +b)
4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3 (3a +b)(a2 +4b2- ab)
Tương tự ta có:
4
3
10 3
5
4 3 3 2 2 2 2
ab b a b
a
ab b
a
b
4
3
10 3
5 4 , 4 3
10 3
5
2 2 2 2
3
3
ca a c a
c
ca a c a c bc c b c
b
bc c
b
c
b
Cộng các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 2: Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
1 1 4 . (2)
b a b
a
Chứng minh
Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương).
Ta có BĐT
b a b
a
4 1
b a ab
b a
4
(a+b)2 4ab (a-b)2 0 BĐT này luôn đúng với mọi a, b nên BĐT (2) đúng
với a,b dương
Cách 2: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số dương ).
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là ta có:
b a
1 , 1
, lại áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có:
ab ab
b
a
2 1
2
1
1
b a ab
ab
2 1 2
Trang 10Bài toán 2.1: Cho a, b là các số dương.Chứng minh rằng:
2 2 2 (2.1)
) (
1 8
1 4
4
1
b a ab b
Chứng minh
Ta vận dụng BĐT ( 2) để chứng minh BĐT (2.1) như sau:
Ta áp dụng BĐT (2) cho 2 số dương là 4a2 +4b2 và 8ab Ta có:
2 2
2 2
2 2
1 8
1 4
4
1 8
4 4
4 8
1 4
4
1
b a ab b
a ab b
a ab b
Đây là BĐT (2.1) cần chứng minh
Bài toán 2.2: Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh rằng:
c b a c b a c b a c b
4 2
4 2
4 1
1 1
Chứng minh
Ta chứng minh BĐT (2.2) bằng BĐT (2) như sau:
) 1 1
( 4 1 1 1 1 4
4 1
1
1
1
c a b a c a b a c a b a c
a
b
c b a c
a
b
a 2
4 1
1
c b a c b a c b a c a b
16 1
1 2 2
16 1
1 1 1
c b a c b a c b a c b
16 2
1 1
; 2
16 1
2 1
các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 2.3: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
(2.3)
c b a c b a c b a c b a
1 1 1 1
1 1
Chứng minh
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a+b-c và a-b+c đều là ác
số dương
Ta áp dụng BĐT (2) như sau:
Trang 11.
a c b a c b a
a c b a c b a c b a c b a c b a c b
a
2 1
1
2
4 1
1 4
1 1
Tương tự ta cũng có:
c c b a c b a
b c b a c b a
2 1
1
; 2 1
1
Cộng các kết quả trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh
Bài toán 2.4: Cho a, b, c đều dương Chứng minh rằng:
4 (2.4)
a d
d b d c
a c c b
d b b a
c a
Chứng nminh
Để vận dụng được BĐT (2) để chứng minh BĐT(2.4), ta viết lại BĐT(2.4) như sau:
BĐT (2.4) ( )( 1 1 ) ( )( 1 1 ) 4 Khi đó, ta có:
a d c b d b d c b a c a
Tương tự ta có:
d c b a
c a d
c b a c a d c b a d
c
b
) ( 4 ) 1 1
)(
( 4
1
1
Cộng theo từng vế 2 BĐT trên lại với nhau ta
d c b a
d b a
d c
b
d
b
)( 1 1 ) 4( )
(
được BĐT cần chứng minh
Bài toán 2.5: Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh rằng:
2
1 2
1 2
1 2
1 ( 4 1 1 1 1
b a d a d c d c b c b a d
c b
Chứng minh
Ta áp dụng BĐT (2) như sau:
c b a c a b a c
b
a
c a b a c a b a c a b a c
a
b
a
2
16 )
1 1
( 4 1
1
2
) 1 1
( 4 1 1 1 1 4
4 1
1
1
1