Bat dang thuc 1

Câu 7: Đây mới là câu hay nhất trong đề, cảm ơn các em đã gửi đến anh những bài sáng tạo của các em, đây mới là ý nghĩa của khóa học này!. Cảm ơn các em..[r]

1 Chiến thắng bản thân!

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

P

Hướng đi: Vì a b c, , có vai trò như nhau nên ta đoán a  b  c Khi đó:

2

1

a a





 

1

a

f a

a





Đến đây ta không cần giải nghiệm của đạo hàm mà dùng chức năng SOLVE của máy tính để tìm được nghiệm là a  1

Vậy ta dự đoán a    b c 1

2

a  b  c   a  b  c       a b c   

Áp dụng Cauchy ba số:      

3 3

27

a b c

a  b  c      ( Ta áp dụng  3

27

x y z xyz    , để nhớ số 1

27 thì các em chỉ cần cho x yz1, từ đây thay xa1;y b 1;z c 1 thì sẽ có được BĐT như trên)

P

a b c a b c

     

3, 3

2



 

2

t t





3 6

9 3 17 2

t t t



 



 



 

 



Mà t    3 t 6

Vẽ bảng biến thiên thì ta thấy  6 1

4

P f  khi a    b c 1 Đối với những em 11 không dùng đạo hàm thì ta làm như sau:

2 Chiến thắng bản thân!

2 2

2 54 1

f t

Vậy (1) luôn đúng Từ đó 1

4

P  khi a    b c 1

Câu 2: Cho các số dương a b c; ; Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3

P

a b c

  

Hướng đi: Nhìn vào biểu thức của P ta thấy a b c, , có vai trò như nhau nên ta dự đoán a  b  c

Khi đó

3

1

2 3 1

a a





 

2

4

1

a

f a

a





Đến đây ta dùng máy tính SOLVE thì thấy a  1 là nghiệm của phương trình trên

Vì vậy ta dự đoán a    b c 1

Giải:Trước tiên ta cần chứng minh

3

4

a b

a  b    a  b  ab a b   a  a b  b  b a   a b a   b 

a b 2 a b 0

    luôn đúng (BĐT này nên nhớ nha, nhớ số ¼ theo cách anh chỉ nhé)

Tương tự ta chứng minh: 3  1 3

1 4

c

c    (vì ta đã dự đoán c  1 )

Và ta dùng AM-GM cho ba số:      

3 3

27

a b c

a  b  c     

3 Chiến thắng bản thân!

Do đó

P

2



 

2

t t





3 6

9 3 17 2

t t t



 



 



 

 



Mà t    3 t 6

Vẽ bảng biến thiên thì ta thấy  6 1

4

P f  khi a    b c 1 Các em 11 thử làm mà không dùng đạo hàm thử nha!

Câu 3: Cho a b, và c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2

( )

a b c ab bc ca bc

P

 Hướng đi:

Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi b  c

Khi đó

2

2

P

Đến đây ta có thể dự đoán a  b(theo Cauchy)

Từ đây ta sẽ biết được a  b  c

Ta dùng Bất đẳng thức phụ: ( a b x  )(  y )  ax  by

( a b x )( y ) ax by 2 abxy ay bx 2 abxy

         (luôn đúng theo Cauchy)

4 Chiến thắng bản thân!

Dấu = xảy ra khi a x

b  y

Tiếp theo ta sẽ lồng biểu thức  a b c  1 1 1

a b c

     

  vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi

ẩn a

 a b c  1 1 1 a 1 ( b c ) 1 1 1 b c



             

Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi 2

1



Điều này đi đúng

với hướng đã vạch ra là a  b  c

( Ở bước này ta có thể làm như sau

1 b c a b c b c 1 b c 2 b c 1 b c

a b c

2 2

2



2

1

1 2

t





      nghịch biến trên 0;1

2

1

2

f t f  

  Dấu = khi 1

2

t  abc Vậy MinP  4 khi a  b  c

Cách em 11 có thể dùng như sau:

Vậy MinP  4 khi a  b  c

5 Chiến thắng bản thân!

Câu 4: Cho các số thực dương x y z , , thỏa x2  y2 z2 2 xy  3  x   y z  Tìm GTNN của

2

Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm rơi của nó Nhưng khó chứ không phải là không thể Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức 1

x  z và 1

2

y  Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều

là 20, nên rất có thể chúng bằng nhau

x   z y   x  y  z  xy  x   y z  x  y  x    y

Và P 2( x z ) 40 2

x z

 Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và x   z 4

4

  







Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT

3 x   y z  x  y  z  2 xy  x  y  z (dễ thấy x  y  z nên ta làm tiếp)

2

x  y  z

 xy z 6

4

Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất

Đặt t  x    y z 2  2 2

2

t

 

3



6 Chiến thắng bản thân!

Vậy f t  f 2 226

Vậy MinP  26 khi x1;y2; z3

Các em hãy làm thử bài này:

(moon.vn) Cho các số thực dương x y z , , thỏa 2 2 2  

x  y  z  xy  x   y z Tìm GTNN của

Câu 5: Cho a b c , , 0thỏa c  1 và a b c    3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



Hướng đi: Ta dự đoán a  b khi đó 2 3 3

2

c

a  c a 

2 2

2 3

c a



2 2

8

f c

Đạo hàm hơi vất vả, ta tiếp túc dùng máy tính SOLVE thì ta được nghiệm c  1

Nhưng để ý kĩ đề bài thì c  1nên rất nhiều khả năng c  1

Vậy ta dự đoán a    b c 1

Giải: Giờ anh xin so sánh hai cách giải như sau:

Cách 1: Khi ta chưa biết điểm rơi:

7 Chiến thắng bản thân!

8

f c

(khúc này đạo hàm hơi thấm, và không chắc có bao nhiêu bạn sẽ chứng minh được đạo hàm nhỏ hơn 0)

 

f c

 nghịch biến

  1 0

P f

   khi a    b c 1

Nhưng cách này chúng ta sẽ mất thời gian cho công việc đạo hàm và tìm nghiệm đạo hàm Chính vì vậy mình sẽ đưa thêm 1 cách nữa để các bạn có thể so sánh với cách 1

Cách 2: Để ý ta thấy c  1 và dự đoán a  b nên ta thử ngầm a    b c 1 và ta có cách nào sau

3

a b



0

c  c   

Vậy MinP  0 khi a    b c 1

Cả hai cách đều có những ưu điểm và khuyết điểm, nhưng quan trọng vẫn là ứng dụng của chúng ta vào chúng, hãy thử sáng tạo theo hướng của chính mình rồi các bạn sẽ hiểu tại sao lại có kết quả như thế

Câu 6: Cho các số thực x y z ; ; thỏa mãn xyz 1 và 4 4

x y  xy Tim giá trị lớn nhất của biểu thức

2

z



Hướng đi: Nhìn vào biểu thức của P, ta sẽ đi theo hướng dồn về biến z và lại có xy 1

z



Và 8 xy   6 x4 y4  2   xy 2   1 xy  3

 2

1

z

xy

  (ta quy về xy để biến đổi đỡ phức tạp hơn)

8 Chiến thắng bản thân!

t

t



 

2

f t

2

2

t t



 

f t

 đồng biến trên   1;3

Vậy  3 12

5

P f  khi

1

z z

xy



  





 



Câu 7: Đây mới là câu hay nhất trong đề, cảm ơn các em đã gửi đến anh những bài sáng tạo của các em, đây mới là ý nghĩa của khóa học này! Cảm ơn các em

1.(Văn Tuân Ngô) Cho các số dương x y z , , thỏa 3  3 3  

4 y  7 x  z  9 xz x  z Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

P

2

9 Chiến thắng bản thân!

4

4 2

t

2

t

1 2

P f  

    

y

xz

2.(Nguyễn Công Hoan) Cho các số thực dương a b c, , thỏa 2 2 2  

3 a  3 b  c  2 a b   2 Tìm giá trị nhỏ

2

2 6

P

c  a b   a  b c  a b   a b   a b 

2

a b

2

P

2 2

2

a b c

c a b

 

 

2

Vậy MinP  2 khi ab1;c2

3.(Ôn Cẩm Lê) Cho các số thực dương a b c d, , , thỏa a b c d     2 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu

8

8

Giải: Áp dụng AM-GM  4

4

1

a b c d abcd     

Và 3 1 1 3 1 1 3

3

10 Chiến thắng bản thân!

Tương tự ta có 3 1 1 3

Cộng vế theo vế ta được 3 3 3 3 3  3 3 3 3 3 1

1

a b c d   a b c  d  a b c d 

Vậy 8.1 27 31

1 2

8 .2 16

2

abc

4.(Phạm Văn Huy) Cho các số không âm a b c, , thỏa a b c    3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P 2 12 2 2abc

Giải:

9 2 2

2.0

0

0

abc

ab bc ca











cùng các hoán vị

2

3

2

a



 

2

f a

 

 

a

1

a

  vì

2 2

3 3 4

2

a

a



 

Vẽ bảng biến thiên  1 7

3

   khi a    b c 1

9

MinP  khi  a b c  ; ;   3; 0;0  cùng các hoán vị

11 Chiến thắng bản thân!

7

3

MaxP  khi a    b c 1

5 .(Phạm Văn Huy) Cho các số không âm a b c, , thỏa a b c    6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2

Pa b c  abc

Giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a  m ax  a b c ; ;    a  2;6   a a   2  a  6   0

2

Pa b c  abca  b c  bc abca  b c  abca  b c  a b c

2 P 2 a 2 6 a a 6 a a 8 a 12 a 72 a a 2 a 6 72 72

36

MaxP

  khi  a b c  ; ;   6; 0; 0  cùng các hoán vị

2

2

P  a  b c   a  bc  a  b c   a   a    

18

MinP

  khi  a b c  ; ;   3;3; 0  cùng các hoán vị

6.(Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x y z ; ; thỏa x y ; 1 và xy 1 z Tìm giá trị lớn nhất

4

z

Giải: Theo giả thiết, ta có zxy  1 z 0;3 và xy 1

xy  z xy  z x y  z  z

z

TH2: z 2;3

1

1  x  1  y   xy   x   y  1  x 1  x   xy

1 x 1 y 1 xy 1 x 1 y 1 xy

12 Chiến thắng bản thân!

2

1

1

(đúng)

2 2

2

P

 

.2 2

z

f z



 

1

z

 

f z

 đồng biến trên 2;3 P f  3  2 1

Vậy MaxP  2 1  khi x y1;z3

7 (Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x y z ; ; thỏa 2 2 2

3

x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Giải:Theo giả thiết  z 0;3

2 2

2 2

5

z z



t

t



13 Chiến thắng bản thân!

 t  2  t  2 t  6     0 t 2

Lập bảng biến thiên thấy MinP f  2  2 Dấu = xảy ra khi x y0;z 3

8 (Nkok Iu Bé) Cho các số thực dương a b c; ; thỏa a b c    1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

P

Đến đây các em tự làm tiếp nhé!

9 (Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x y z ; ; thỏa x2 y2 z2  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

1

P

z



3 1 2



x   x      x    

1

z



 

3

2 2

2 4 3

1 3

a z

z z





đồng biến trên 0; 3

 

14 Chiến thắng bản thân!

1 2



3 1 2



2

x y z