Các môđun t nửa đơn và vành t nửa đơn

Thængqua lþ thuy¸t v nh v mæun, chóng ta t¼m ÷ñc mët sè c§u tróc v nhli¶n quan.. Mët mæun ÷ñc gåi l mët mæun nûa ìn n¸u méi mæun con cõa nâ l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa ch½nh nâ... Trong

Trang 2

- - - - F

-NGUYN THÀ PHÓC MINH

CC MÆ UN t-NÛA ÌN V VNH t-NÛA ÌN

Chuy¶n ng nh: ¤i sè v Lþ thuy¸t sè

M¢ sè: 8460104

LUN VN THC S TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håcPGS TS TR×ÌNG CÆNG QUÝNH

NNG NM 2018

Trang 3

Líi nâi ¦u 1

1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 31.2 C¡c k¸t qu£ li¶n quan 4

2.1 ành ngh¾a mæun t-nûa ìn 72.2 V½ dö 72.3 Mët sè t½nh ch§t cõa lîp mæun t-nûa ìn 8

3.1 V nh t-nûa ìn 173.2 Mët sè t½nh ch§t v k¸t qu£ li¶n quan 173.3 C¡c v nh t-nûa ìn v c¡c i·u ki»n d¥y chuy·n 25

Trang 4

Tæi xin cam oan c¡c sè li»u, k¸t qu£ n¶u trong luªn v«n n y l trungthüc, câ nguçn gèc rã r ng v ch÷a tøng ÷ñc ai cæng bè trong b§t cù mëtcæng tr¼nh khoa håc n o kh¡c.

Nguy¹n Thà Phóc Minh

Trang 5

Luªn v«n cõa tæi ÷ñc thüc hi»n d÷îi sü h÷îng d¨n nghi¶m tóc v tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o PGS.TS Tr÷ìng Cæng Quýnh Tæi xin b y tä líic£m ìn s¥u sc ¸n th¦y.

çng thíi tæi công xin gûi lái c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ ¢gi£ng d¤y em trong suèt thíi gian håc tªp cõa khâa håc

Cuèi còng xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh,ng÷íi th¥n, çng nghi»p,b¤n b±, °c bi»t l c¡c b¤n trong lîp cao håc khâa 33 chuy¶n ng nh ¤i

sè v Lþ thuy¸t sè ¢ ëng vi¶n gióp ï v t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡cgi£ trong suèt thíi gian håc tªp v ho n th nh luªn v«n

Nguy¹n Thà Phóc Minh

Trang 8

Kþ hi»u Þ ngh¾a cõa kþ hi»u

R : V nh câ ìn và 1 6= 0

End(M ) : Tªp c¡c tü çng c§u cõa M

M ≤ N : M l mæun con cõa N

K ≤e M : K l mæun con cèt y¸u trong M

K ≤tes M : K l mæun con t-cèt y¸u trong M

K ≤tc M : K l mæun con t-âng trong M

Z(M ) : Mæun con suy bi¸n cõa M

Z2(M ) : Mæun con suy bi¸n c§p hai cõa M

K M : K l mæun con èi cèt y¸u trong ME(M ) : Bao nëi x¤ cõa M

M ⊕ N : Têng trüc ti¸p cõa hai mæun M v Nann(X) : Linh hâa tû cõa X trong R,

ann(X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X}

Trang 9

LÍI NÂI U

1 Lþ do chån · t i

C§u tróc mæun xu§t hi»n trong h¦u h¸t c¡c lþ thuy¸t to¡n håc hi»n

¤i, nâ câ kh£ n«ng thèng nh§t mët c¡ch b£n ch§t c¡c c§u tróc v nh, i¶an,nhâm abel v khæng gian vectì T½nh linh ho¤t v phê qu¡t cõa v nh v mæun ¢ mang l¤i nhúng ¡p döng trong lþ thuy¸t v nh v mæun Thængqua lþ thuy¸t v nh v mæun, chóng ta t¼m ÷ñc mët sè c§u tróc v nhli¶n quan Gâp ph¦n l m phong phó th¶m c§u tróc ¤i sè

Trong nhúng n«m g¦n ¥y lþ thuy¸t v· mæun nûa ìn, v v nh nûa

ìn ¢ ph¡t triºn r§t nhi·u, âng mët vai trá quan trång trong lþ thuy¸tv· c¡c v nh v mæun

Mët mæun ÷ñc gåi l mët mæun nûa ìn n¸u méi mæun con cõa

nâ l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa ch½nh nâ Kh¡i ni»m v· "mæun t- nûa

ìn" l têng qu¡t hâa c¡c mæun nûa ìn Nh¬m t¼m hiºu c¡c t½nh ch§tcõa c¡cmæun t- nûa ìn v v nh t- nûa ìn tæi chån · t i cho luªnv«n th¤c s¾ cõa m¼nh l : CC MÆUN t-NÛA ÌN V VNH t-NÛA

ÌN

2 Möc ½ch v nhi»m vö nghi¶n cùu:

- Nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa mæun t-cèt y¸u, mæun t-âng v mèiquan h» giúa chóng

- Nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa mæun t-nûa ìn v h¤ng tû trüc ti¸p cõamæun t- nûa ìn

- T½nh ch§t cõa mæun t-Baer v h¤ng tû trüc ti¸p cõa mæun t-Baer

- Quan h» giúa mæun t-èi khæng suy bi¸n v mæun cèt y¸u

- Quan h» giúa mæun t-âng, mæunt-nûa ìn, mæun t-Baer v mæun t-èi khæng suy bi¸n

- V nh P

-t-nûa ìn, mèi quan h» giúa v nh t-nûa ìn vîi mæunxyclic, mæun x¤ £nh

3 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu

èi t÷ñng ch½nh m luªn v«n nghi¶n cùu l mæun t- nûa ìn v v nh

Trang 10

t- nûa ìn Trong â tªp trung c¡c t½nh ch§t cõa nâ B¶n c¤nh â luªnv«n cán tr¼nh b y h» thèng c¡c kh¡i ni»m bê trñ câ thº coi nh÷ ki¸n thùcchu©n bà phöc vö cho vi»c nghi¶n cùu c¡c èi t÷ñng ch½nh v h» thèng v½

- Kh£o s¡t t½nh ch§t mæun t-nûa ìn, v nh t-nûa ìn

- Trao êi, th£o luªn vîi ng÷íi h÷îng d¨n

5 C§u tróc luªn v«n

Nëi dung luªn v«n dü ki¸n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng (trong âCh÷ìng 2 v Ch÷ìng 3 l nëi dung ch½nh cõa luªn v«n)

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët c¡ch câ h» thèng nhúng ki¸n thùc cì b£n,

sì l÷ñc mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ v· lþ thuy¸t mæun º l m cì sð choc¡c ch÷ìng sau

3.2 Mët sè t½nh ch§t v k¸t qu£ li¶n quan

3.3 V nh t-nûa ìn v i·u ki»n d¥y chuy·n

N®ng, th¡ng 8 n«m 2018

T¡c gi£

Trang 11

CH×ÌNG 1KIN THÙC CHUN BÀ

1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n

ành ngh¾a 1.1.1 Cho MR v N ≤ M N ÷ñc gåi l h¤ng tû trüc ti¸pcõa M n¸u tçn t¤i mæun con P cõa M sao cho M = N ⊕ P Lóc â P

l mæun con phö cõa N trong M

Nh÷ vªy, N l h¤ng tû trüc ti¸p cõa M khi v ch¿ khi

∃P ≤ M

M = N + P v N ∩ P = 0

ành ngh¾a 1.1.2 Mët mæun con K cõa M l cèt y¸u trong M, kþ hi»u

K ≤e M , trong tr÷íng hñp vîi måi mæun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra

L = 0

ành ngh¾a 1.1.3 Cho UR l mët mæun UR ÷ñc gåi l nëi x¤ theo MR

(hay U l M-nëi x¤) n¸u vîi måi ìn c§u f : KR → MR v méi çng c§u

v : KR → UR tçn t¤i mët R-çng c§u v : M → U sao cho v = v.f

ành ngh¾a 1.1.4 Cho UR l mët mæun UR ÷ñc gåi l x¤ £nh theo

MR (hay U l M-x¤ £nh) n¸u vîi måi to n c§u g : MR → NR v méi çngc§u v : UR → NR tçn t¤i mët R-çng c§u v : U → M sao cho v = g.v

ành ngh¾a 1.1.5 Ph¦n tû e cõa v nh R ÷ñc gåi l lôy ¯ng n¸u e2 = e

ành ngh¾a 1.1.6 Cho MR v X ⊆ M Linh hâa tû cõa X trong R l

Trang 12

ành ngh¾a 1.1.9 Mæun con suy bi¸n c§p 2 (hay l xon Goldie) Z2(M )

l mët mæun con cõa M ÷ñc x¡c ành bði Z(M/Z(M)) = Z2(M )/Z(M )N¸u A l mët mæun con cõa M, th¼ Z(M)∩A = Z(A), do â Z2(M )∩A =

Z2(A) Mët mæun M ÷ñc gåi l mæun suy bi¸n n¸u Z(M) = M v khæng suy bi¸n n¸u Z(M) = 0

ành ngh¾a 1.1.10 Mët mæun M ÷ñc gåi l Z2-xon n¸u Z2(M ) = M

Rã r ng, måi mæun suy bi¸n l mæun Z2-xon

ành ngh¾a 1.1.11 èi vîi mët mæun tr¶n mët v nh l v nh khæng suybi¸n ph£i, c¡c kh¡i ni»m v· suy bi¸n v Z2-xon l gièng nhau

ành ngh¾a 1.1.12 èi vîi mët mæun con A cõa M, A l mæun Z2xon khi v ch¿ khi A l mët mæun con cõa Z2(M )

-ành ngh¾a 1.1.13 Mæun con N ÷ñc gåi l âng trong M n¸u vîi måimæun con K cõa M m N ≤e K th¼ K = N

ành ngh¾a 1.1.14 Mæun M ÷ñc gåi l mæun mð rëng n¸u måimæun con âng l mët h¤ng tû trüc ti¸p, ho°c t÷ìng ÷ìng, måi mæuncon l mæun cèt y¸u trong mët h¤ng tû trüc ti¸p

ành ngh¾a 1.1.15 Mët R-mæun ph£i ÷ñc gåi l mæun Baer n¸u

∀N ≤ M, ls(N ) = Se vîi e2 = e ∈ S n o â T÷ìng ÷ìng ∀I ≤s S, rM =

eM vîi méi e2 = e ∈ S n o â

ành ngh¾a 1.1.16 Mët mæun M l mæun K-èi khæng suy bi¸n n¸umåi mæun con N cõa M, ls(N ) = 0 ch¿ ra r¬ng N l cèt y¸u trong M

ành ngh¾a 1.1.17 Mæun M ÷ñc gåi l câ giao h¤ng tû m¤nh n¸u giaocõa måi h¤ng tû trüc ti¸p cõa M l mët h¤ng tû trüc ti¸p

1.2 C¡c k¸t qu£ li¶n quan

M»nh · 1.2.1 Theo Rizvi v Roman , måi mæun mð rëng khæng suybi¸n l mæun Baer

Trang 13

M»nh · 1.2.2 N¸u RR l v nh mð rëng th¼ måi R-mæun xiclic khængsuy bi¸n l mæun mð rëng.

ành l½ 1.2.3 Cho R l v nh khæng suy bi¸n ph£i v M l R-mæun ph£ib§t ký Khi â Z(M/Z(M)) = 0

M»nh · 1.2.4 B§t ký mæun con C ⊆ M, c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng

÷ìng:

(1) C ⊆C M;

(2) C l mæun (cèt y¸u) âng trong M;

(3) C = X ∩ M, X l h¤ng tû trüc ti¸p cõa bao nëi x¤ E(M)

ành ngh¾a 1.2.5 N l mæun con b§t ký MR Ta ành ngh¾a N∗ l mëtmæun con cõa M ch÷a N, N∗/N = Z(M/N ) Qu¡ tr¼nh n y ÷ñc l°p l¤i,

Trang 14

(6) Vîi méi mæun con A cõa M, tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch M/A =N/A ⊕ N0/A sao cho N l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M v N0 ≤tes M.

ành l½ 1.2.9 Cho M l mët mæun Baer Khi â, méi h¤ng tû trüc ti¸p

N cõa M còng l mët mæun Baer

ành l½ 1.2.10 C¡c kh¯ng ành sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi mët

v nh R:

(1) R l v nh P

-t-mð rëng ph£i;

(2) Måi R-mæun khæng suy bi¸n l mæun x¤ £nh;

(3) Vîi måi R-mæun M, tçn t¤i mët mæun con x¤ £nh M0 vîi M =

Z2(M ) ⊕ M0;

(4) Måi R-mæun l mæun t-Baer;

(5) Måi R-mæun l mæun t-mð rëng;

(6) Måi R-mæun x¤ £nh l mæun t-mð rëng;

(7) Måi R-mæun khæng suy bi¸n l mæun Baer, v Z2(RR) l mëth¤ng tû trüc ti¸p cõa R;

(8) Måi R-mæun khæng suy bi¸n l mæun mð rëng, v Z2(RR) l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa R

M»nh · 1.2.11 C¡c kh¯ng ành sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi måimæun con A cõa R-mæun M

(1) A l mæun t-cèt y¸u trong M

(2) (A + Z2(M ))/Z2(M ) l mæun con cèt y¸u trong M/Z2(M ).(3) A + Z2(M ) l cèt y¸u trong M

(4) M/A l mæun Z2-xon

ành l½ 1.2.12 Cho R l v nh, c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng

(1) M l mæun t-mð rëng;

(2) M l mæun t-Baer v t-èi khæng suy bi¸n;

(3) M l mæun Baer v C = tM(tS(C)) vîi måi mæun con

t-âng C;

(4) M l mæun t-Baer v vîi måi mæun con t-âng C cõa M n¸utS(C) = tS(M ), th¼ C = M

Trang 15

CH×ÌNG 2CC MÆUN T-NÛA ÌN

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· mæun t-nûa ìn,c¡c v½ dö li¶n quan v mët sè t½nh ch§t cõa lîp mæun t-nûa ìn C¡c k¸tqu£ trong ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [4],[6], [9], [10]

2.1 ành ngh¾a mæun t-nûa ìn

ành ngh¾a 2.1.1 Mæun M ÷ñc gåi l mæun t-nûa ìn n¸u vîi måimæun con N cõa M tçn t¤i mët h¤ng tû trüc ti¸p K cõa M sao cho

K ≤tes N

Chó þ 2.1.2 Kh¡i ni»m v· mæun nûa ìn v mæun t-nûa ìn tròngnhau èi vîi c¡c mæun khæng suy bi¸n Theo h» qu£ 2.3.4(1) th¼ c¡cmæun t-nûa ìn s³ ÷ñc biºu di¹n thæng qua c¡c mæun con t-nûa ìncõa nâ

2.2 V½ dö

V½ dö 2.2.1 V¼ måi mæun con cõa mët mæun Z2-xon l mæun t-cèty¸u theo M»nh · 1.1(4) n¶n t½nh ch§t t-nûa ìn trong ành ngh¾a 2.1.1

óng vîi K = 0 M°t kh¡c, måi mæun Z2-xon l mæun t-nûa ìn dâ

â vîi måi mæun M, mæun con Z2(M ) l mæun t-nûa ìn çng thíi,n¸u M câ mët mæun con cèt y¸u L th¼ M/L l mæun t-nûa ìn

V½ dö 2.2.2 Måi mæun nûa ìn M l mæun t-nûa ìn v¼ måi mæuncon N cõa M l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M v N ≤tes N

Trang 16

M1 = Q

ΓR/I, M2 = ⊕ΛL v M = M1 ⊕ M2 Ta chùng minh r¬ng M l mët R-mæun t-nûa ìn

Rã r ng Z2(M ) = M1 Gåi N l mët mæun con cõa M V¼ M2 l mæun nûa ìn, N ∩ M2 l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M2 Hìn núa,

N/(N ∩ M2) ∼= (N + M2)/M2 ≤ M/M2 ∼= M1

Vªy theo M»nh · 1.2.11(4) ta câ N ∩ M2 ≤tes N

2.3 Mët sè t½nh ch§t cõa lîp mæun t-nûa ìn

Ti¸p theo chóng tæi ÷a ra mët sè i·u ki»n t÷ìng ÷ìng èi vîi mëtmæun t-nûa ìn

ành l½ 2.3.1 C¡c kh¯ng ành sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi mët mæun

(1) ⇒ (4) Gåi N l mët mæun con khæng suy bi¸n cõa M Khi â tçnt¤i mët h¤ng tû trüc ti¸p K cõa M sao cho K ≤tes N Gi£ sû M = K ⊕ K0

th¼ N = K ⊕ (N ∩ K0) Do â N ∩ K0 ∼= N/K l mæun Z2-xon theoM»nh · 1.2.11(4) Tuy nhi¶n N ∩ K0 l mæun khæng suy bi¸n, v¼ th¸ nâph£i b¬ng 0 v do â N = K l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

(4) ⇒ (3) Gåi M0 l mët ph¦n bò cõa Z2(M ) trong M Theo M»nh

· 1.2.11(3) th¼ M0 ≤tes M v theo gi£ thi¸t M0 l mët h¤ng tû trüc ti¸pcõa M ta câ M = L ⊕ M0 vîi L l mæun con n o â cõa M i·u n y suy

ra L ∼= M/M0 l mæun Z2-xon v Z2(M ) = L suy ra M = Z2(M ) ⊕ M0.M°t kh¡c, theo gi£ thi¸t ch¿ ra r¬ng mët mæun con N0 cõa M0 l mëth¤ng tû trüc ti¸p cõa M v nâ l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M0 Chóng tak¸t luªn r¬ng M0 l mët mæun nûa ìn

Trang 17

(3) ⇒ (1) Gåi N l mët mæun con cõa M V¼ M0 l mët mæunnûa ìn n¶n N ∩ M0 l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M0 Do â N ∩ M0 l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M M°t kh¡c N/(N ∩ M0) ∼= (N + M0)/M0 ≤M/M0 ∼= Z

2(M ) Theo M»nh · 1.2.11(4) v¼ vªy N ∩ M0 ≤tes N i·u n y

câ ngh¾a l M l mët mæun t-nûa ìn

(3) ⇒ (5) Gåi N l mët mæun con cõa M câ chùa Z2(M ) Theo gi£thi¸t N = Z2(M ) ⊕ (N ∩ M0) v N ∩ M0 l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M0

Do â N l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

(5) ⇒ (2) i·u n y d¹ d ng suy ra theo ành ngh¾a

(2) ⇒ (3) V¼ måi mæun nûa ìn khæng suy bi¸n l mæun x¤ £nhn¶n M/Z2(M ) l mæun x¤ £nh V¼ vªy Z2(M ) l mët h¤ng tû trüc ti¸p

H» qu£ 2.3.2 Cho M l mët mæun t-nûa ìn Khi â, ta câ

(1) Måi mæun con cõa M l t-nûa ìn

(2) Måi £nh çng c§u cõa M l t-nûa ìn

Chùng minh

(1) Theo ành lþ 2.3.1(4)

(2) Cho f : M → L l mët to n c§u Theo ành lþ 2.3.1(3) ta câ

M = A ⊕ B, trong â A l mæun con Z2-xon cõa M v B l mæun connûa ìn cõa M Ta câ

L = f (M ) = f (A) + f (B) = f (A) + [(f (A) ∩ f (B)) ⊕ B0] = f (A) ⊕ B0vîi B0 l mët mæun con cõa B V¼ vªy L l mæun t-nûa ìn theo ành

H» qu£ 2.3.3 Têng trüc ti¸p c¡c mæun t-nûa ìn l mæun t-nûa ìn.Gåi S(M) l têng cõa t§t c£ c¡c mæun con ìn khæng suy bi¸n cõa

M N¸u khæng tçn t¤i c¡c mæun con nh÷ vªy, ta quy ÷îc S(M) = 0 Rã

r ng, S(M) l mët mæun con b§t bi¸n ho n to n cõa M

H» qu£ 2.3.4 Cho M l mët mæun Khi â

(1) Z2(M ) ⊕ S(M ) l mæun con t-nûa ìn lîn nh§t cõa M

(2) M l mæun con t-nûa ìn khi v ch¿ khi M = Z2(M ) ⊕ S(M ).H» qu£ 2.3.5 M l mæun t-nûa ìn khi v ch¿ khi M khæng câ mæuncon thüc sü t-cèt y¸u m chùa Z2(M )

Trang 18

Chùng minh Theo M»nh · 1.2.11(2) chóng ta câ mët mæun con L cõa

M câ chùa Z2(M ) l mæun t-cèt y¸u trong M khi v ch¿ khi L/Z2(M ) l mæun cèt y¸u trong M/Z2(M ) V¼ vªy, tø (1) ⇔ (2) cõa ành lþ 2.3.1 ta

câ ÷ñc mët mæun l mæun nûa ìn khi v ch¿ khi nâ khæng câ chùa

Rã r ng mæun con M vîi c¡c mæun con l mæun âng trong Mch½nh l mët mæun nûa ìn H» qu£ ti¸p theo ÷a ra mët °c iºm kh¡ccõa mët mæun t-nûa ìn li¶n quan ¸n t½nh ch§t âng

H» qu£ 2.3.6 M l mæun t-nûa ìn khi v ch¿ khi N +Z2(M ) l mæun

âng trong M, vîi måi mæun con N cõa M

K ⊕(L+Z2(M )) = M, v¼ vªy M l mæun t-nûa ìn theo ành lþ 2.3.1(4)

2Gåi N l mët mæun con cõa mæun M Theo [6] mët mæun con Kcõa M ÷ñc gåi l mët ph¦n phö (ho°c ph¦n bò cëng t½nh) cõa mët mæuncon N n¸u K l tèi tiºu cõa M vîi M câ t½nh ch§t M = K + N Thªt vªy,

K l mët ph¦n phö cõa N khi v ch¿ khi M = K + N v K ∩ N K N¸u ta thay th¸ i·u ki»n cuèi b¬ng K ∩ N M th¼ K ÷ñc gåi l ph¦nphö y¸u cõa N

H» qu£ 2.3.7 Mët mæun M l mæun t-nûa ìn khi v ch¿ khi Rad(M)

l mæun Z2-xon v méi mæun con khæng suy bi¸n cõa M câ mët ph¦n

bò y¸u

Chùng minh

(⇒) Theo ành lþ 2.3.1(3) v ành lþ 2.3.1(4)

Trang 19

(⇐) Theo ành lþ 2.3.1(4), ho n to n câ thº chùng minh ÷ñc mët mæuncon khæng suy bi¸n N cõa M l mët h¤ng tû trüc ti¸p M°t kh¡c theogi£ thi¸t tçn t¤i mët mæun con K cõa M sao cho M = K + N v

K ∩ N M Rã r ng M = (K + Rad(M)) + N Chóng ta s³ chùng minh(K + Rad(M )) ∩ N = 0 Thªt vªy, l§y x ∈ (K + Rad(M)) ∩ N Khi â

x = y + z trong â y ∈ K, z ∈ Rad(M) Do Rad(M) l mæun Z2-xonn¶n tçn t¤i mët i¶an ph£i t-cèt y¸u I cõa R sao cho (x − y)I = 0 V¼ vªy

(1) M/Rad(M) l mæun t-nûa ìn;

(2) M = M1⊕ M2 sao cho M1 l mæun nûa ìn v Rad(M) ≤tes M2.Chùng minh (1) ⇒ (2) Gi£ sû M1 l mët ph¦n bò cõa Rad(M) + Z2(M )trong M Khi â, M1/Rad(M ) ∼= M1 l mæun khæng suy bi¸n V¼ vªytheo ành lþ 2.3.1(4) ta câ M/Rad(M) = M1/Rad(M ) ⊕ M2/Rad(M ) Do

â M = M1 ⊕ M2, trong â M1 l mæun nûa ìn

Ti¸p theo chóng ta s³ chùng minh Rad(M) = Rad(M2) ≤tes M2 Thªtvªy, v¼

0 Tø â suy ra m1 ∈ Z2(M1) = 0 Tø sü ph¥n t½ch cõa m2 chóng ta câthº kiºm tra ÷ñc m2 ∈ Z2(M ) v v¼ vªy m2 ∈ Z2(M2)

(2) ⇒ (1) Theo M»nh · 1.2.11(4) ta câ M/Rad(M) ∼= M1⊕M2/Rad(M )trong â M1 l mæun nûa ìn v M2/Rad(M ) l mæun Z2-xon Do â,theo ành lþ 2.3.1(3) ta câ M/Rad(M) l mæun t-nûa ìn 2

Trang 20

Nhc l¤i nghi¶n cùu trong [6] r¬ng M ÷ñc gåi l ÷ñc phö (y¸u) n¸umåi mæun con N cõa M câ mët ph¦n phö (y¸u) Hìn núa, M ÷ñc gåi

l mæun nûa àa ph÷ìng n¸u M/Rad(M) l mæun nûa ìn Måi mæunArtin ·u ÷ñc phö, måi mæun ÷ñc phö l mæun ÷ñc phö y¸u v måimæun ÷ñc phö y¸u l mæun nûa àa ph÷ìng Cö thº, k¸t qu£ sau ch¿

ra r¬ng mët mæun nûa àa ph÷ìng l mët mæun t-nûa ìn khi v ch¿khi Rad(M) l mæun Z2-xon

H» qu£ 2.3.9 Mët mæun M l mæun t-nûa ìn khi v ch¿ khi M/Rad(M)

l mæun t-nûa ìn v Rad(M) l mæun Z2-xon

Chùng minh

(⇒) Theo H» qu£ 2.3.2(2) v ành lþ 2.3.1(3)

(⇐) Theo M»nh · 2.3.8 ta câ M = M1⊕ M2 trong â M1 l mæun nûa

ìn v M2/Rad(M ) l mæun Z2-xon V¼ Rad(M) l mæun Z2-xon n¶n

ta k¸t luªn r¬ng M2 l mæun Z2- xon Do â M l mæun t-nûa ìn

V½ dö sau ¥y ch¿ ra r¬ng t½nh ch§t mæun t-nûa ìn khæng âng d÷îi

mð rëng â l , n¸u L l mët mæun con cõa mæun M sao cho L v M/L

l mæun t-nûa ìn th¼ M khæng nh§t thi¸t l mæun t-nûa ìn

V½ dö 2.3.10 Gåi R l mët v nh Artin ph£i trong â Rad(R) khæng ph£i

M»nh · 2.3.11 C¡c kh¯ng ành sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi mëtmæun M

Trang 21

K ⊕ Z2(M ) trong M Khi â K ⊕ Z2(M ) ⊕ C ≤tes M, v¼ th¸ theo H» qu£

lþ thuy¸t xon Goldie th¼ t½nh ch§t τ-phö v nh-nûa ìn l gièng nhau èivîi mët mæun M theo M»nh · 1.2.11(4) Ph²p t÷ìng ÷ìng t÷ìng tü(1) ⇔ (3) ⇔ (4) cõa ành lþ 2.3.1 v (1) ⇔ (3) cõa M»nh · 2.3.11 ¢

÷ñc chùng minh trong [9, ành lþ 2.8 v Bê · 2.1] èi vîi lþ thuy¸t xon

di truy·n ên ành tòy þ Hìn núa, trong [11, Bê · 48], c¡c kh¯ng ành (2)

v (3) cõa ành lþ 2.3.1 l t÷ìng ÷ìng vîi kh¯ng ành (3) cõa M»nh ·2.3.11

Gåi U l mët mæun con cõa mët mæun M M l mæun U-nûa

ho n ch¿nh n¸u vîi måi mæun con N cõa M tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch

M = K ⊕ L sao cho K l mæun x¤ £nh K ≤ N v N ∩ L ≤ U N¸u U l mët mæun con x¤ £nh b§t bi¸n to n c§u cõa M (ngh¾a l f(U) ≤ U vîimåi to n c§u f : M → M) th¼ M l mæun U-nûa ho n ch¿nh khi v ch¿khi vîi måi mæun con N cõa M tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch N = K ⊕ K0

sao cho K l mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh cõa M v K0 ≤ U

H» qu£ 2.3.13 Mët mæun M l mæun t-nûa ìn khi v ch¿ khi M l

Z2(M )-nûa ho n ch¿nh

Chùng minh

(⇒) Gåi N l mët mæun con cõa M Theo H» qu£ 2.3.2(1) ta câ N l mæun t-nûa ìn V¼ vªy theo H» qu£ 2.3.4(2) th¼ tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch

N = K ⊕ K0, trong â K l mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh nûa ìn cõa M

v K0 v mæun Z2-xon ( l÷u þ r¬ng mët mæun nûa ìn khæng suy bi¸n

l mæun x¤ £nh) Do â M l mæun Z2(M )-nûa ho n ch¿nh

Trang 22

(⇐) Hiºn nhi¶n theo M»nh · 2.3.11(2) 2Mæun M ÷ñc gåi l mæun t-Baer n¸u tM(I) l mët h¤ng tû trücti¸p cõa M vîi måi i¶an tr¡i I cõa S, trong â S l End(MR) v tM(I) ={m ∈ M : Im ≤ Z2(M )}.

M»nh · 2.3.14 Cho mët mæun M Khi â

M l mæun nûa ìn ⇒ M l mæun t-nûa ìn ⇒ M l mæun t-mð rëng

⇒ M l mæun t-Baer

Chùng minh Rã r ng, måi mæun nûa ìn l mæun t-nûa ìn N¸u M

l mæun t-nûa ìn, th¼ M l mæun t-mð rëng theo ành lþ 2.3.1(3) v

ành lþ 1.2.8 Hìn núa, theo ành lþ 1.2.9 måi mæun t-mð rëng l mæun

H» qu£ 2.3.15 Mët mæun M l mæun t-nûa ìn khi v ch¿ khi M/C

l mæun t-nûa ìn, vîi måi mæun con t-âng C cõa M

Chùng minh

(⇒) Gåi C l mët mæun con t-âng cõa M Theo M»nh · 2.3.14, M l mæun t-mð rëng V¼ vªy C l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M, M = C ⊕ C0.Hìn núa,theo M»nh · 1.2.7(6) C l mæun t-âng, do â C0 ∼= M/C l mæun khæng suy bi¸n Do â theo H» qu£ 2.3.2(1), C0 v M/C l mæunnûa ìn

(⇐) Do Z2(M ) l mæun t-âng, chi·u ng÷ñc l¤i cõa h» qu£ n y óng

l mæun t-mð rëng nh÷ng khæng ph£i mæun t-nûa ìn

(iii) Rã r ng r¬ng måi mi·n l mët v nh Baer Hìn núa, mët mi·n

l mæun mð rëng tr¶n ch½nh nâ khi v ch¿ khi nâ l mi·n i·u Do âmët mi·n R câ RR khæng i·u th¼ l mi·n Baer nh÷ng khæng ph£i mi·n

Trang 23

mð rëng (xem [10, examples 10.27(a)]) V¼ R l khæng suy bi¸n n¶n R l

t-Baer nh÷ng khæng ph£i t-mð rëng

Rã r ng, theo ành lþ 2.3.1(3), mët mæun M l mæun nûa ìn khi

v ch¿ khi M l mæun t-nûa ìn v Z2(M ) l mæun nûa ìn K¸t qu£ti¸p theo ÷a ra mèi li¶n h» giúa mët mæun t-nûa ìn v mët mæun

t-mð rëng (t÷ìng ùng, mët mæun t − Baer) Cho mët mæun con N cõa

lþ 2.3(5), N l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M, ta câ thº vi¸t M = N ⊕ N0

Rã r ng, π0 ∈ tS(N ) trong â π0 : M → N0 l ph²p chi¸u ch½nh tc N¸u

m ∈ tM(tS(N )) th¼ π0(m) ∈ Z2(M ) v do N chùa Z2(M ) ta k¸t luªn r¬ng

π0(m) = 0 Do â m ∈ N v N = tM(tS(N ))

(2) ⇒ (3) Hiºn nhi¶n óng theo [2, ành lþ 3.9]

(3) ⇒ (1) V¼ M l mæun t-Baer n¶n Z2(M ) = tM(S)l mët h¤ng tûtrüc ti¸p cõa M, ta câ thº vi¸t M = Z2(M ) ⊕ M0 Gåi N0 l mët mæuncon cõa M0 Rã r ng N = Z2(M ) ⊕ N0 l mët mæun con cõa M câ chùa

Z2(M ) V¼ M l mæun t-Baer n¶n tM(tS(N )) l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa

M Theo gi£ thi¸t N l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M i·u n y k²o theo

N0 l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M0 Tø â suy ra M0 l mæun nûa ìn

v do â theo ành lþ 2.3.1(3) ta câ M l mæun t-nûa ìn 2K¸t thóc ch÷ìng n y, chóng tæi ÷a ra v chùng minh t½nh ch§t t-nûa

ìn èi vîi mæun l b§t bi¸n Morita

M»nh · 2.3.18 C¡c mæun t-nûa ìn câ t½nh ch§t b§t bi¸n Morita.Chùng minh Måi mæun ìn l ¯ng c§u vîi mët mæun nh¥n tû, l§yL/K, trong â K l mët mæun con cèt y¸u cõa L çng thíi ìn c§u cèt

Trang 24

y¸u v d¢y ch½nh x¡c ÷ñc b£o to n d÷îi t÷ìng ÷ìng Morita Do â t½nhsuy bi¸n l mët t½nh ch§t b§t bi¸n Morita èi vîi c¡c mæun.

Gåi c¡c v nh R v S l quan h» t÷ìng ÷ìng Morita v F :

Mod-R → M od-S l mët quan h» t÷ìng ÷ìng Do Z(M) ≤e Z2(M ) ta câ

F (Z(M )) ≤e F (Z2(M )) Do F (Z(M)) l ìn v¼ vªy F (Z2(M )) l mæun

Z2-xon, do t½nh ch§t Z2-xon l âng trong i·u ki»n mð rëng V¼ vªyt½nh b§t bi¸n Morita cõa t-nûa ìn tu¥n theo ành lþ 2.3.1(3) Nguy¶nnh¥n l do t½nh h¤ng tû trüc ti¸p v mæun nûa ìn ÷ñc b£o to n d÷îi

Trang 25

CH×ÌNG 3CC VNH T -NÛA ÌN

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· v nh t-nûa ìn,c¡c v½ dö li¶n quan v mët sè t½nh ch§t cõa lîp v nh t-nûa ìn C¡c k¸tqu£ trong ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [4],[5], [8], [10], [12]3.1 V nh t-nûa ìn

ành ngh¾a 3.1.1 Ta nâi v nh R l v nh t-nûa ìn ph£i n¸u RR l v nh

t-nûa ìn Rã r ng R l mët v nh nûa ìn khi v ch¿ khi R l mët v nh

t-nûa ìn ph£i khæng suy bi¸n ph£i

M»nh · sau kh¯ng ành méi v nh àa ph÷ìng Artin ph£i l v nh

t-nûa ìn ph£i

3.2 Mët sè t½nh ch§t v k¸t qu£ li¶n quan

M»nh · 3.2.1 Cho R l mët v nh Artin ph£i sao cho Rad(R) ≤tes RR.Khi â R l v nh t-nûa ìn ph£i °c bi»t, måi v nh àa ph÷ìng Artinph£i l v nh t-nûa ìn ph£i

Chùng minh Theo H» qu£ 2.3.9, ta câ Rad(R) l Z2-xon V¼ R l v nhArtin ph£i n¶n tçn t¤i mët sè tü nhi¶n n sao cho (Rad(R))n = 0 N¸u

n = 1 th¼ Rad(R) = 0 l Z2-xon

Vîi n > 1 Theo M»nh · 1.2.11(4) ta câ R/Rad(R) l Z2-xon v Rad(R) ≤tes RR Suy ra Rad(R)/(Rad(R))2 l Z2-xon V¼ vªy tø ¯ngc§u

[R/(Rad(R))2]/[Rad(R)/(Rad(R))2] ∼= R/Rad(R)

ta suy ra R/(Rad(R))2 l Z2-xon, do â (Rad(R))2 ≤tes RR B¬ng quyn¤p ta câ (Rad(R))n−1 ≤tes RR v Rad(R)(Rad(R))n−1 = 0 câ ngh¾a l Rad(R) l Z2-xon

Tiêu đề	Các môđun t nửa đơn và vành t nửa đơn
Tác giả	Nguyễn Thà Phúc Minh
Người hướng dẫn	PGS. TS. Trương Cảnh Quỳnh
Trường học	Đại Học Nông Lâm
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn
Năm xuất bản	2018
Thành phố	Đà Lạt

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	3,22 MB