Các môđun t nửa đơn và vành t nửa đơn

Mët mæun ÷ñc gåi l mët mæun nûa ìn n¸u méi mæuncon cõa nâ l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa ch½nh nâ... - Quan h» giúa mæun âng, mæunnûa ìn, mæun Baer v mæun t-èi khæng suy bi¸n.. Trong â tªp

F

-NGUY™N THÀ PHÓC MINH

CC MÆ UN t-NÛA ÌN V€ V€NH t-NÛA ÌN

Chuy¶n ng nh: ¤i sè v  Lþ thuy¸t sè

M¢ sè: 8460104

TÂM TT LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

€ NŽNG - N‹M 2018

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TS.Tr÷ìng Cæng Quýnh

Ph£n bi»n 1:

Ph£n bi»n 2:

Luªn v«n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m Luªn v«n th¤c s¾To¡n håc håp t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m v o ng y th¡ng n«m 2018

Câ thº t¼m hiºu luªn v«n t¤i:

Th÷ vi»n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc   N®ng

Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc   N®ng

Líi nâi ¦u 1

1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 41.2 C¡c k¸t qu£ li¶n quan 6

2.1 ành ngh¾a mæun t-nûa ìn 102.2 V½ dö 102.3 Mët sè t½nh ch§t cõa lîp mæun t-nûa ìn 11

3.1 V nh t-nûa ìn 153.2 Mët sè t½nh ch§t v  k¸t qu£ li¶n quan 153.3 C¡c v nh t-nûa ìn v  c¡c i·u ki»n d¥y chuy·n 19

Kþ hi»u Þ ngh¾a cõa kþ hi»u

R : V nh câ ìn và 1 6= 0

End(M ) : Tªp c¡c tü çng c§u cõa M

M ≤ N : M l  mæun con cõa N

K ≤eM : K l  mæun con cèt y¸u trong M

K ≤tesM : K l  mæun con t-cèt y¸u trong M

K ≤tcM : K l  mæun con t-âng trong MZ(M ) : Mæun con suy bi¸n cõa M

Z2(M ) : Mæun con suy bi¸n c§p hai cõa M

K  M : K l  mæun con èi cèt y¸u trong ME(M ) : Bao nëi x¤ cõa M

M ⊕ N : Têng trüc ti¸p cõa hai mæun M v  Nann(X) : Linh hâa tû cõa X trong R,

ann(X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X}

LÍI NÂI †U

1 Lþ do chån · t i

C§u tróc mæun xu§t hi»n trong h¦u h¸t c¡c lþ thuy¸t to¡nhåc hi»n ¤i, nâ câ kh£ n«ng thèng nh§t mët c¡ch b£n ch§t c¡cc§u tróc v nh, i¶an, nhâm abel v  khæng gian vectì T½nh linhho¤t v  phê qu¡t cõa v nh v  mæun ¢ mang l¤i nhúng ¡pdöng trong lþ thuy¸t v nh v  mæun Thæng qua lþ thuy¸t v nh

v  mæun, chóng ta t¼m ÷ñc mët sè c§u tróc v nh li¶n quan.Gâp ph¦n l m phong phó th¶m c§u tróc ¤i sè

Trong nhúng n«m g¦n ¥y lþ thuy¸t v· mæun nûa ìn, v 

v nh nûa ìn ¢ ph¡t triºn r§t nhi·u, âng mët vai trá quantrång trong lþ thuy¸t v· c¡c v nh v  mæun

Mët mæun ÷ñc gåi l  mët mæun nûa ìn n¸u méi mæuncon cõa nâ l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa ch½nh nâ Kh¡i ni»mv· "mæun t- nûa ìn" l  têng qu¡t hâa c¡c mæun,nûa ìn.Nh¬m t¼m hiºu c¡c t½nh ch§t cõa c¡cmæun t- nûa ìn v  v nht- nûa ìn tæi chån · t i cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh l  :

CC MÆUN t-NÛA ÌN V€ V€NH t-NÛA ÌN

2 Möc ½ch v  nhi»m vö nghi¶n cùu:

- Nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa mæun t-cèt y¸u, mæun t-âng

v  mèi quan h» giúa chóng

- Nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa mæun t-nûa ìn v  h¤ng tû trüc

ti¸p cõa mæun t- nûa ìn.

- T½nh ch§t cõa mæun t-Baer v  h¤ng tû trüc ti¸p cõa mæunt-Baer

- Quan h» giúa mæun t-èi khæng suy bi¸n v  mæun cèty¸u

- Quan h» giúa mæun âng, mæunnûa ìn, mæun Baer v  mæun t-èi khæng suy bi¸n

t V nh Pt tt nûa ìn, mèi quan h» giúa v nh tt nûa ìn vîimæun xyclic, mæun x¤ £nh

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

èi t÷ñng ch½nh m  luªn v«n nghi¶n cùu l  mæun t- nûa

ìn v  v nh t- nûa ìn Trong â tªp trung c¡c t½nh ch§t cõa

nâ B¶n c¤nh â luªn v«n cán tr¼nh b y h» thèng c¡c kh¡i ni»m

bê trñ câ thº coi nh÷ ki¸n thùc chu©n bà phöc vö cho vi»c nghi¶ncùu c¡c èi t÷ñng ch½nh v  h» thèng v½ dö ¡p döng nh¬m cõng

cè lþ thuy¸t

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Thu thªp v  h» thèng c¡c t i li»u v· lþ thuy¸t v nh, mæun

câ li¶n quan ¸n nëi dung luªn v«n °c bi»t l  t i li»u v· mæunnûa ìn, t-nûa ìn

- Kh£o s¡t t½nh ch§t mæun t-nûa ìn, v nh t-nûa ìn

- Trao êi, th£o luªn vîi ng÷íi h÷îng d¨n

5 C§u tróc luªn v«n

Nëi dung luªn v«n dü ki¸n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng (trong

â Ch÷ìng 2 v  Ch÷ìng 3 l  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n)Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët c¡ch câ h» thèng nhúng ki¸n thùc

cì b£n, sì l÷ñc mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ v· lþ thuy¸t mæun

3.2 Mët sè t½nh ch§t v  k¸t qu£ li¶n quan.

3.3 V nh t-nûa ìn v  i·u ki»n d¥y chuy·n

  N®ng, th¡ng 8 n«m 2018

T¡c gi£

CH×ÌNG 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n

ành ngh¾a 1.1.1 Cho MR v  N ≤ M N ÷ñc gåi l  h¤ng

tû trüc ti¸p cõa M n¸u tçn t¤i mæun con P cõa M sao cho

M = N ⊕ P Lóc â P l  mæun con phö cõa N trong M.Nh÷ vªy, N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M khi v  ch¿ khi

∃P ≤ MM = N + P v  N ∩ P = 0

ành ngh¾a 1.1.2 Mët mæun con K cõa M l  cèt y¸u trong

M, kþ hi»u K ≤e M , trong tr÷íng hñp vîi måi mæun con

ành ngh¾a 1.1.5 Ph¦n tû e cõa v nh R ÷ñc gåi l  lôy ¯ngn¸u e2= e.

ành ngh¾a 1.1.6 Cho MR v  X ⊆ M Linh hâa tû cõa Xtrong R l 

ann(X) = {x ∈ R|xr = 0, x ∈ X}

ành ngh¾a 1.1.7 Mët ph¦n tû x cõa v nh R ÷ñc gåi l  ph¦n

tû ch½nh quy n¸u tçn t¤i a ∈ R sao cho x = xax

Mët A mæun ph£i tr¶n v nh R ÷ñc gåi l  chia ÷ñc n¸u xA = Avîi måi ph¦n tû ch½nh quy x ∈ R

ành ngh¾a 1.1.8 Mæun con khæng suy bi¸n M, kþ hi»u Z(M)

M ÷ñc gåi l  mæun suy bi¸n n¸u Z(M) = M v  khæng suybi¸n n¸u Z(M) = 0

ành ngh¾a 1.1.10 Mët mæun M ÷ñc gåi l  Z2-xo­n n¸u

Z2(M ) = M Rã r ng, måi mæun suy bi¸n l  mæun Z2-xo­n

ành ngh¾a 1.1.11 èi vîi mët mæun tr¶n mët v nh l  v nhkhæng suy bi¸n ph£i, c¡c kh¡i ni»m v· suy bi¸n v  Z2-xo­n l gièng nhau

ành ngh¾a 1.1.12 èi vîi mët mæun con A cõa M, A l mæun Z2-xo­n khi v  ch¿ khi A l  mët mæun con cõa Z2(M ).

ành ngh¾a 1.1.13 Mæun con N ÷ñc gåi l  âng trong Mn¸u vîi måi mæun con K cõa M m  N ≤eK th¼ K = N

ành ngh¾a 1.1.14 Mæun M ÷ñc gåi l  mæun mð rëng n¸umåi mæun con âng l  mët h¤ng tû trüc ti¸p, ho°c t÷ìng ÷ìng,måi mæun con l  mæun cèt y¸u trong mët h¤ng tû trüc ti¸p

ành ngh¾a 1.1.15 Mët R-mæun ph£i ÷ñc gåi l  mæun Baern¸u ∀N ≤ M, ls(N ) = Se vîi e2 = e ∈ S n o â T÷ìng ÷ìng

∀I ≤sS, rM = eM vîi méi e2 = e ∈ S n o â

ành ngh¾a 1.1.16 Mët mæun M l  mæun K-èi khæng suybi¸n n¸u måi mæun con N cõa M, ls(N ) = 0 ch¿ ra r¬ng N l cèt y¸u trong M

ành ngh¾a 1.1.17 Mæun M ÷ñc gåi l  câ giao h¤ng tû m¤nhn¸u giao cõa måi h¤ng tû trüc ti¸p cõa M l  mët h¤ng tû trücti¸p

ành ngh¾a 1.1.18 Mët v nh R ÷ñc gåi l  v nh P-mð rëngn¸u måi R-mæun tü do l  mæun mð rëng

ành ngh¾a 1.1.19 Mæun B ÷ñc gåi l  A-x¤ n¸u måi ph¦n

bò cõa B trong A ⊕ B l  mët h¤ng tû trüc ti¸p

1.2 C¡c k¸t qu£ li¶n quan

M»nh · 1.2.1 Theo Rizvi v  Roman , måi mæun mð rëngkhæng suy bi¸n l  mæun Baer

M»nh · 1.2.2 N¸u RR l  v nh mð rëng th¼ måi R-mæunxiclic khæng suy bi¸n l  mæun mð rëng.

ành l½ 1.2.3 Cho R l  v nh khæng suy bi¸n ph£i v  M l 

R-mæun ph£i b§t ký Khi â Z(M/Z(M)) = 0

M»nh · 1.2.4 B§t ký mæun con C ⊆ M, c¡c kh¯ng ành saut÷ìng ÷ìng:

(1) C ⊆C M;

(2) C l  mæun (cèt y¸u) âng trong M;

(3) C = X ∩M, X l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa bao nëi x¤ E(M)

ành ngh¾a 1.2.5 N l  mæun con b§t ký MR Ta ành ngh¾a

N∗ l  mët mæun con cõa M ch÷a N, N∗/N = Z(M/N ) Qu¡tr¼nh n y ÷ñc l°p l¤i, ta ành ngh¾a t÷ìng tü N∗∗, N∗∗∗ D¾ nhi¶n

0∗ ch½nh l  Z(M)

ành l½ 1.2.6 B§t ký mæun con N ⊆ M, N∗∗∗ = N∗∗ Khi

â, M/N∗ câ thº khæng ph£i l  khæng suy bi¸n, M/N∗∗ th¼ luænkhæng suy bi¸n

M»nh · 1.2.7 Cho C l  mët mæun con cõa mët mæun M.C¡c kh¯ng ành sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng:

(1) Tçn t¤i mët mæun con S sao cho C l  cüc ¤i, C ∩ S l mæun Z2-xo­n;

ành l½ 1.2.8 C¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng vîi mëtmæun M:

(2) M l  mæun t-Baer v  t-èi khæng suy bi¸n;

(3) M l  mæun t-Baer v  C = tM(tS(C)) vîi måi mæuncon t-âng C;

(4) M l  mæun t-Baer v  vîi måi mæun con t-âng C cõa

M n¸u tS(C) = tS(M ), th¼ C = M

ành l½ 1.2.10 Cho M l  mët mæun Baer Khi â, méi h¤ng

tû trüc ti¸p N cõa M còng l  mët mæun Baer

ành l½ 1.2.11 C¡c kh¯ng ành sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng èi vîimët v nh R:

(1) R l  v nh P-t-mð rëng ph£i;

(2) Måi R-mæun khæng suy bi¸n l  mæun x¤ £nh;

(3) Vîi måi R-mæun M, tçn t¤i mët mæun con x¤ £nh M0

vîi M = Z2(M ) ⊕ M0;

(4) Måi R-mæun l  mæun t-Baer;

(5) Måi R-mæun l  mæun t-mð rëng;

(6) Måi R-mæun x¤ £nh l  mæun t-mð rëng;

(7) Måi R-mæun khæng suy bi¸n l  mæun Baer, v  Z2(RR)

(1) A l  mæun t-cèt y¸u trong M

(2) (A+Z2(M ))/Z2(M )l  mæun con cèt y¸u trong M/Z2(M ).(3) A + Z2(M ) l  cèt y¸u trong M

(4) M/A l  mæun Z2-xo­n

ành l½ 1.2.13 Cho R l  v nh, c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng(1) M l  mæun t-mð rëng;

(2) M l  mæun t-Baer v  t-èi khæng suy bi¸n;

(3) M l  mæun t-Baer v  C = tM(tS(C)) vîi måi mæuncon t-âng C;

(4) M l  mæun t-Baer v  vîi måi mæun con t-âng C cõa

M n¸u tS(C) = tS(M), th¼ C = M

CH×ÌNG 2 CC MÆUN T-NÛA ÌN

2.1 ành ngh¾a mæun t-nûa ìn

ành ngh¾a 2.1.1 Mæun M ÷ñc gåi l  mæun t-nûa ìn n¸uvîi måi mæun con N cõa M tçn t¤i mët h¤ng tû trüc ti¸p Kcõa M sao cho K ≤tes N

Chó þ 2.1.2 Kh¡i ni»m v· mæun nûa ìn v  mæun t-nûa

ìn tròng nhau èi vîi c¡c mæun khæng suy bi¸n C¡c mæun

t-nûa ìn s³ ÷ñc biºu di¹n thæng qua c¡c mæun con t-nûa ìncõa nâ (H» qu£ 2.3.4(1))

2.2 V½ dö

V½ dö 2.2.1 V¼ måi mæun con cõa mët mæun Z2-xo­n l mæun t-cèt y¸u theo M»nh · 1.1(4) n¶n t½nh ch§t t-nûa ìntrong ành ngh¾a 2.1.1 óng vîi K = 0 M°t kh¡c, måi mæun

Z2-xo­n l  mæun t-nûa ìn dâ â vîi måi mæun M, mæuncon Z2(M )l  mæun t-nûa ìn çng thíi, n¸u M câ mët mæuncon cèt y¸u L th¼ M/L l  mæun t-nûa ìn

V½ dö 2.2.2 Måi mæun nûa ìn M l  mæun t-nûa ìn v¼måi mæun con N cõa M l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M v 

(2) Måi £nh çng c§u cõa M l  t-nûa ìn

H» qu£ 2.3.3 Têng trüc ti¸p c¡c mæun t-nûa ìn l  mæun

t-nûa ìn

Gåi S(M) l  têng cõa t§t c£ c¡c mæun con ìn khæng suybi¸n cõa M N¸u khæng tçn t¤i c¡c mæun con nh÷ vªy, ta quy

÷îc S(M) = 0 Rã r ng, S(M) l  mët mæun con b§t bi¸n ho n

to n cõa M

H» qu£ 2.3.4 Cho M l  mët mæun Khi â

(1) Z2(M ) ⊕ S(M ) l  mæun con t-nûa ìn lîn nh§t cõa M.(2) M l  mæun con t-nûa ìn khi v  ch¿ khi M = Z2(M ) ⊕S(M )

H» qu£ 2.3.5 M l  mæun t-nûa ìn khi v  ch¿ khi M khæng

câ mæun con thüc sü t-cèt y¸u m  chùa Z2(M )

Rã r ng mæun con M vîi c¡c mæun con l  mæun ângtrong M ch½nh l  mët mæun nûa ìn H» qu£ ti¸p theo ÷a ramët °c iºm kh¡c cõa mët mæun t-nûa ìn li¶n quan ¸n t½nhch§t âng

H» qu£ 2.3.6 M l  mæun t-nûa ìn khi v  ch¿ khi N +Z2(M )

l  mæun âng trong M, vîi måi mæun con N cõa M

H» qu£ 2.3.7 Mët mæun M l  mæun t-nûa ìn khi v  ch¿khi Rad(M) l  mæun Z2-xo­n v  méi mæun con khæng suy bi¸ncõa M câ mët ph¦n bò y¸u

M»nh · 2.3.8 C¡c kh¯ng ành sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng èi vîimët mæun M

(1) M/Rad(M) l  mæun t-nûa ìn;

(2) M = M1⊕M2 sao cho M1l  mæun nûa ìn v  Rad(M) ≤tes

M2

H» qu£ 2.3.9 Mët mæun M l  mæun t-nûa ìn khi v  ch¿ khiM/Rad(M ) l  mæun t-nûa ìn v  Rad(M) l  mæun Z2-xo­n

(3) Vîi måi mæun con N cõa M th¼ N = K ⊕ K0 sao cho

K l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M v  K0 l  mæun Z2-xo­n.Chó þ 2.3.12

H» qu£ 2.3.13 Mët mæun M l  mæun t-nûa ìn khi v  ch¿khi M l  Z2(M )-nûa ho n ch¿nh

Mæun M ÷ñc gåi l  mæun t-Baer n¸u tM(I) l  mët h¤ng

tû trüc ti¸p cõa M vîi måi i¶an tr¡i I cõa S, trong â S l End(MR) v  tM(I) = {m ∈ M : Im ≤ Z2(M )}

M»nh · 2.3.14 Cho mët mæun M Khi â M l  mæun nûa

ìn ⇒ M l  mæun t-nûa ìn ⇒ M l  mæun t-mð rëng ⇒ M

(2) M l  mæun t-mð rëng v  N = tM(tS(N ))vîi måi mæuncon N cõa M câ chùa Z2(M );

(3) M l  mæun t − Baer v  N = tM(tS(N ))vîi måi mæuncon N cõa M câ chùa Z2(M )

K¸t thóc ch÷ìng n y, chóng tæi ÷a ra v  chùng minh t½nhch§t t-nûa ìn èi vîi mæun l  b§t bi¸n Morita

M»nh · 2.3.18 C¡c mæun t-nûa ìn câ t½nh ch§t b§t bi¸nMorita

CH×ÌNG 3 CC V€NH T -NÛA ÌN

3.1 V nh t-nûa ìn

ành ngh¾a 3.1.1 Ta nâi v nh R l  v nh t-nûa ìn ph£i n¸u

RR l  v nh t-nûa ìn Rã r ng R l  mët v nh nûa ìn khi v ch¿ khi R l  mët v nh t-nûa ìn ph£i khæng suy bi¸n ph£i

M»nh · sau kh¯ng ành méi v nh àa ph÷ìng Artin ph£i l 

v nh t-nûa ìn ph£i

3.2 Mët sè t½nh ch§t v  k¸t qu£ li¶n quan

M»nh · 3.2.1 Cho R l  mët v nh Artin ph£i sao cho Rad(R) ≤tes

RR Khi â R l  v nh t-nûa ìn ph£i °c bi»t, måi v nh àaph÷ìng Artin ph£i l  v nh t-nûa ìn ph£i

ành lþ sau ¥y kh¯ng ành t÷ìng ÷ìng èi vîi mët v nh

t-nûa ìn ph£i C¡c kh¯ng ành (4) v  (5) th¼ ng÷ñc l¤i vîi ành

lþ 1.2.11

ành l½ 3.2.2 C¡c kh¯ng ành sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng èi vîimët v nh R

(1) R l  v nh t-nûa ìn ph£i;

(2) Måi R-mæun ph£i l  mæun t-nûa ìn;

(3) Måi R-mæun ph£i khæng suy bi¸n l  mæun nûa ìn;(4) Måi R-mæun ph£i khæng suy bi¸n l  mæun nëi x¤;(5) Vîi måi R-mæun M tçn t¤i mët mæun con nëi x¤ M0

sao cho M = Z2(M ) ⊕ M0;

(6) R/Z2(RR) l  mët v nh nûa ìn

Chó þ 3.2.3 L÷u þ r¬ng theo H» qu£ 2.3.13 mët v nh R l 

v nh t-nûa ìn ph£i khi v  ch¿ khi R l  v nh Z2(RR)-nûa ho nch¿nh Quan h» t÷ìng ÷ìng (1) ⇔ (2) ⇔ (4) ⇔ (6) cõa ành lþ3.2.2công ¢ ÷ñc chùng minh theo [11, ành lþ 49]

Theo ành lþ 3.2.2(2) v  M»nh · 2.3.18 ta câ h» qu£ sau:H» qu£ 3.2.4 T½nh ch§t t-nûa ìn cõa c¡c mæun l  mët t½nhch§t b§t bi¸n Morita èi vîi v nh

H» qu£ 3.2.5 Mët v nh R l  v nh t-nûa ìn ph£i khi v  ch¿khi ph¤m trò c¡c R-mæun ph£i câ mët vªt sinh t-nûa ìn.H» qu£ 3.2.6 Méi v nh t-nûa ìn ph£i l  v nh P-t-mð rëngph£i

(2) Méi i¶an ph£i cüc ¤i câ chùa Z2(RR) l  mët h¤ng tûtrüc ti¸p cõa R;

(3) R = R1× R2, trong â R1 l  v nh Z2-xo­n ph£i v  R2 l 

v nh nûa ìn

H» qu£ 3.2.9 Gåi R l  mët v nh t-nûa ìn Khi â

(1) Mët i¶an ph£i cüc ¤i I cõa R l  mët h¤ng tû trüc ti¸pkhi v  ch¿ khi nâ chùa Z2(RR)

(2) Mët i¶an ph£i tèi tiºu J cõa R l  mët h¤ng tû trüc ti¸pkhi v  ch¿ khi nâ khæng suy bi¸n

Bê · 3.2.10 N¸u R = Q∧Rλvîi Rλl  mët v nh th¼ Z2(RR) =Q

B¥y gií chóng tæi ÷a ra v½ dö v· mët v nh T l  v nh t-nûa

ìn ph£i nh÷ng khæng ph£i l  v nh t-nûa ìn tr¡i

Z2(MS) = M v  theo Bê · 3.2.10 ta câ Z2(SS) = S Hìn núa

⊕ppZp 2 = Z(MS) ≤e MS °t N = ⊕ppZp 2 ta câ xN ≤ Z(MS)vîi måi x ∈ Z Hìn núa ann(RM ) = 0v  theo M»nh · 3.2.11 ta

câ Z2(TT) = T v  T l  v nh t-nûa ìn ph£i Tuy nhi¶n vîi måi

0 6= x ∈ Z linh hâa tû tr¡i cõa

M»nh · 3.2.13 Cho R l  mët v nh Lîp R-mæun t-nûa ìntròng vîi mët lîp R-mæun t-mð rëng khi v  ch¿ khi R l  mët

v nh t-nûa ìn ph£i

Bê · 3.2.14 Giao cõa t§t c£ mæun con t-cèt y¸u cõa M l têng S(M) cõa t§t c£ c¡c mæun con ìn khæng suy bi¸n cõa M

°c bi»t Z2(M )S(RR) = 0

Nh­c l¤i r¬ng mët v nh R l  nûa àa ph÷ìng n¸u R/Rad(R)

l  mët v nh nûa ìn, ho°c t÷ìng ÷ìng, R/Rad(R) l  mët v nhArtin ph£i

M»nh · 3.2.15 Cho R l  mët v nh N¸u R/S(RR) l  v nhnûa ìn th¼ lîp R-mæun t-nûa ìn tròng vîi lîp R-mæun nûa

ìn Chi·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ óng n¸u R l  v nh nûa àaph÷ìng

M»nh · 3.2.16 Gåi R l  mët v nh Ba lîp R-mæun nûa ìn,

R-mæun t-nûa ìn v  R-mæun t-mð rëng tròng nhau khi v  ch¿khi R l  mët v nh nûa ìn

3.3 C¡c v nh t-nûa ìn v  c¡c i·u ki»n

d¥y chuy·n

Nh÷ chóng ta ÷ñc bi¸t mët mæun M câ t½nh ch§t ACC (t÷ìngùng, DCC) tr¶n c¡c mæun con cèt y¸u khi v  ch¿ khi M/Soc(M)

l  mæun Noether (t÷ìng ùng, Artin); xem [8, M»nh · 5.15] Ta

câ c¡c °c tr÷ng sau cõa mët v nh t-nûa ìn ph£i

M»nh · 3.3.1 C¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng èi vîi måi

Nh­c l¤i r¬ng mët v nh R l  mët v nh èi ng¨u ph£i n¸umåi i¶an ph£i cõa R l  mët linh hâa tû ph£i Theo [12], R ÷ñcgåi l  mët v nh tüa èi ng¨u ph£i n¸u måi i¶an ph£i cõa R l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa mët linh hâa tû ph£i, ho°c t÷ìng tü,måi i¶an ph£i cèt y¸u cõa R l  mët linh hâa tû ph£i Hìn núa,theo [13], R ÷ñc gåi l  mët mët v nh èi ng¨u nhä ph£i n¸umåi i¶an ph£i nhä cõa R l  mët linh hâa tû ph£i °c bi»t, måi

v nh nûa nguy¶n thõy l  mët v nh èi ng¨u nhä

H» qu£ 3.3.4 Cho R l  mët v nh Khi â

(1) Gi£ sû R/Z2(RR) l  v nh Artin ph£i Khi â R l  v nh

t-nûa ìn ph£i khi v  ch¿ khi Rad(R) l  Z2-xo­n khi v  ch¿ khi

Z2(RR) l  nûa nguy¶n tè

(2) Gi£ sû R l  mët trong c¡c v nh li¶n : töc ph£i, tüa èing¨u tr¡i ho°c èi ng¨u nhä tr¡i Khi â R l  v nh t-nûa ìnph£i khi v  ch¿ khi R/Z2(RR) l  v nh ho n ch¿nh tr¡i

Nh­c l¤i r¬ng mët v nh R ÷ñc gåi l  v nh tüa-Frobeniusn¸u R l  v nh Artin ph£i ho°c tr¡i v  v nh tü nëi x¤ ph£i ho°ctr¡i (t§t c£ c¡c tr÷íng hñp l  t÷ìng ÷ìng) ành lþ sau ¥y ÷a

ra mët sè mèi li¶n h» giúa c¡c v nh tüa-Frobenius v  c¡c v nh