Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

Ngoài các tính chất củamôđun giả nội xạ cốt yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữamôđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đềcập t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THẾ HẢI

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS TS Lê Văn Thuyết

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Trung tâm học liệu-Đại học Huế

2 Thư viện trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế

Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất vào năm

1940 Theo đó, một môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của

N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun

M được gọi là nội xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N Không chỉ đưa ra kháiniệm môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khinào thì một R-môđun M là nội xạ Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" vàđược phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọiđồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR → MR Từ khi có tiêuchuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mở rộng của môđun nội xạ đãđược đề cập Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc và từTiêu chuẩn Baer Vì mục đích của luận án này, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mởrộng của môđun nội xạ từ định nghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm

1961, đó là môđun tựa nội xạ Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếuM là M-nội xạ.Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ

Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát củamôđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ Theo đó, môđun M được gọi là N-giảnội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn cấu từ A vào M đều mở rộngđược đến đồng cấu từ N vào M Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M-giảnội xạ Có thể nói môđun giả nội xạ là một khái niệm đã và đang nhận được nhiều

sự quan tâm đặc biệt của các nhà nghiên cứu Tổng quan chung về các nội dungđược các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ bao gồm: Nghiên cứu cáctính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các tính chất của môđun tựa nội xạ;xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụ

để chứng tỏ tồn tại môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm cáctính chất riêng của môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọngnhư vành Artin nửa đơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv .Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ ra đờivới nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành đã tạo nên độnglực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến sự mở rộng của môđunnày Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội xạ là lớp môđun giả nội xạ cốtyếu, môđun nội xạ cốt yếu, môđun C2, vv

Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứu một số

mở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành quen thuộc Vì vậy,chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án là "Một số mở rộng củalớp môđun giả nội xạ và vành liên quan"

Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương.

Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đã biếtnhằm sử dụng cho các chương sau

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ cốtyếu

Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu một trường hợptổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốt yếu Theo đó, môđun

M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con A cốt yếu của N thìmọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấug : N → M Môđun M đượcgọi là môđun giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu Những kết quả đầutiên mà chúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N-giả nội

xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7) Chúng ta đã biết, mọimôđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2 Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu,chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điềukiện C3 (Định lý 2.2.11) Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ vàtựa nội xạ, H Q Dinh đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạ

và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên cứu tính chất củamôđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh được rằng: Một môđun M làtựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ và CS Ngoài các tính chất củamôđun giả nội xạ cốt yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữamôđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đềcập trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ cốt yếunếu vành EndR(M ) là giả nội xạ cốt yếu phải

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế mịn nếuvới bất kỳ M, N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M ) ' Soc(N ) khi và chỉ khi M ' N Mộtmôđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu vớimọi R-môđun phải N Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốtyếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ ảnh Khi đó chúng tôi chứng minhđược rằng, R là vành QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15).Trong trường hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R làArtin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịnkhi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16) Ngoài các tính chất liên quan đếnvành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạcốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và mở rộng vành cũng đượcchúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý 2.2.18

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của môđunADS, đó là: Môđun ADS tổng quát

Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđun ADS.Theo đó, mộtR-môđun phảiM được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tíchM = S ⊕T

và với mỗi phần bù giao T0 của S thì M = S ⊕ T0 Trong công trình của mình, cáctác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự củamôđun tựa liên tục Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mậtthiết đến định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N

là các môđun và X = N ⊕ M thì N là M-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ

phần bù giao K củaN trong X mà K ∩ M = 0thìX = N ⊕ K Từ mối liên quan này,chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát Mộtmôđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M

và mỗi phần bù giao T0 của S mà T0∩ T = 0 thì M = S ⊕ T0 Lớp môđun ADS tổngquát là một mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2) Đối với môđunADS, người ta đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sựphân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ Đối với môđun ADStổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quát thì với bất kỳ

sự phân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ (Định lý3.2.1) Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối với môđun ADS tổng quát là tương tựvới các kết quả của môđun ADS Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđunADS không còn đúng nữa đối với môđun ADS tổng quát Chẳng hạn, để hạng tửtrực tiếp của môđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm một

số điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp củamôđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6)

Một số tính chất của môđun ADS trong phạm trù σ[M ] đã được chỉ ra là: M lànửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđunhữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] làADS Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng,M là nửa đơnnếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđunhữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđun 3-sinh trong

σ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10) Do đó, một vành R là Artin nửa đơn khi

và chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phảihữu hạn sinh là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADStổng quát (Hệ quả 3.2.11) Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựanội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14 Trong phần cuối của chươngnày, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộngvành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15

Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của môđun C2,

đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C) Việc nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điềukiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để từ đó đặc trưng một số lớp vànhquen thuộc

Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) được Nakayamagiới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía Một trongnhững kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun nội xạ liênquan đến vành QF là định lý Faith-Walker Định lý được phát biểu rằng: Vành R

là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi

R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QF

đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vào năm 1967, Faith-Walker đãchứng minh được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) nhúngđược vào một môđun tự do Như vậy, nếu mỗi R-môđun phải nhúng được vào mộtmôđun tự do thìR là vành QF Một câu hỏi được đưa ra ở đây là: Nếu mỗiR-môđunphải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì R có phải là vành QF haykhông? Vành R mà mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun

tự do thì được gọi là vành FGF Do đó, câu hỏi mà chúng ta vừa đề cập có thể viết

ngắn gọn lại là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Câu hỏi này chính làgiả thuyết FGF nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời Đến nay, người ta đãchứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành QF Như vậy, việcnghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làm sáng

tỏ giả thuyết FGF nói trên

Cho M là một môđun và S = EndR(M ) Trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôi chứngminh được rằng, môđun M là môđun C2 nếu và chỉ nếu với bất kỳs ∈ S, mà Ker(s)

là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếp của M Từ kết quả này,chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun C2, đó là môđun thỏa mãn điều kiện

(C) Một môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) nếu với mỗi s ∈ S và s 6= 0,tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn)

là hạng tử trực tiếp của M Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) phảinếu RR là môđun thỏa mãn điều kiện (C) Một số mệnh đề tương đương với mộtmôđun thỏa mãn điều kiện (C) đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.10 Từđịnh nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng ta có mọi môđun C2 đều thỏamãn điều kiện (C) Khi môđun M có vành các tự đồng cấu S = EndR(M )là vành địaphương thì chúng tôi chứng minh được 2 lớp môđun này là trùng nhau (Mệnh đề4.1.7) Đối với môđun C2 thì hạng tử trực tiếp của môđun C2 cũng là môđun C2.Trong Định lý 4.1.12, chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hạng tử trực tiếp củamôđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C)

Về mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tự đồng cấu

S = EndR(M ) của nó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđun tự sinhthì M thỏa mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải(Định lý 4.1.17)

Đối với môđun Rickart và d-Rickart, các tác giả Lee, Rizvi và Roman đã chứngminh được rằng: S là vành chính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏamãn điều kiện C2 khi và chỉ khi M là môđun d-Rickart và thỏa mãn điều kiện D2.Đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng chứng minh được rằng, S làvành chính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện (C) khi

và chỉ khi M là môđun d-Rickart và s(M ) là M-nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S (Định lý4.1.21)

Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành được chúngtôi quan tâm trong phần cuối của luận án này Khi R là vành chính quy (theo nghĩavon Neumann), một số tính chất của R-môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúngtôi đưa ra trong Định lý 4.2.2 Khi R là vành di truyền, một kết quả quan trọng đãbiết là, vành R là di truyền nếu và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđunphải nội xạ là nội xạ Trong Định lý 4.2.4, chúng tôi chứng minh được rằng R làvành di truyền phải nếu và chỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội

xạ là môđun thỏa mãn điều kiện (C) Chúng tôi cũng thu được một số kết quả vềviệc đặc trưng vành Noether đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Định lý4.2.5 Cuối cùng, các đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin được chúng tôi nghiêncứu trong Định lý 4.2.6

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R đã cho luôn được giả thiết làvành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita phải hoặctrái

1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản

Với vành R đã cho, ta viết MR (RM ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư., trái).Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận án, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun,

để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR Chúng tôi dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của môđun M Nếu A là một hạng

tử trực tiếp của môđun M thì ta viết A ≤⊕ M Ký hiệu Mn (R) là để chỉ vành các

ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R Nếu I là một tập với card(I) = α

và M là một môđun, ta sẽ kí hiệu tổng trực tiếp α bản sao của M bởi M(I) hoặc

M(α), tích trực tiếp α bản sao của M bởi MI hoặc Mα Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod)

là phạm trù các R-môđun phải (t.ư., trái) ChoM và N là các R-môđun phải, đồngcấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N.Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂ M Linh hóa tử phải của X trong

R được ký hiệu làrR(X)và được xác định như sau:rR(X) = {r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X}

Khi không sợ nhầm lẫn về vành cơ sởRchúng ta có thể viết gọn làr(X)thay vìrR(X).Khi X = {x1, x2, , xn} thì chúng ta viết r(x1, x2, , xn) thay vì r({x1, x2, , xn})

Ta có rR(X) là một iđêan phải của vành R Hơn nữa, nếu X là môđun con của M

thì rR(X) là một iđêan (phải và trái) của R Linh hóa tử trái của X trong R được

ký hiệu là lR(X) và được định nghĩa tương tự

Môđun MR được gọi là trung thành nếu rR(M ) = 0 Điều này tương đương vớiviệc tồn tại một đơn cấu ι : RR → M (X) với X là một tập chỉ số nào đó

Cho N là một môđun con của M, khi đó môđun con K của M được gọi là phần

bù giao của N trong M nếu K là môđun con cực đại thỏa mãn điều kiện K ∩ N = 0.Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu với mỗimôđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B 6= 0 Khi đó, chúng ta cũng gọi M

là một mở rộng cốt yếu của A và được ký hiệu A ≤e M Một đơn cấu f : M → N

được gọi là đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúng cốt yếu) nếu Im(f ) ≤e N Đối ngẫu với khái

niệm cốt yếu, môđun con A của môđun M được gọi là đối cốt yếu hoặc bé trong M,

ký hiệu A  M, nếu với mỗi môđun con B 6= M của M chúng ta đều có A + B 6= M.Một toàn cấu g : M → N được gọi là toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé ) nếu

Ker(g)  M

Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x Các cặp phần

tử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao nếu e1.e2 = e2.e1 = 0

Cho M và N là các R-môđun Khi đó, môđun N được gọi là được sinh bởi M

(M-sinh) hay M sinh ra N nếu tồn tại toàn cấu f : M(Λ) → N, với tập chỉ số Λ nào

đó MôđunM được gọi là tự sinh nếu nó sinh ra mọi môđun con của nó, có nghĩa làvới mọi môđun con N của M thì luôn tồn tại toàn cấu f : M(Λ) → N với tập chỉ số

Λ nào đó Ta nói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M hoặc M là một vậtsinh con của N nếu N đẳng cấu với một môđun con của một môđun M-sinh Ta kýhiệu σ[M ] là phạm trù con của phạm trù Mod-R mà các vật là các R-môđun phảiđược sinh con bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun Rõ ràng, σ[M ] là phạmtrù con đầy đủ của phạm trù Mod-R

Đế phải của môđun MR được kí hiệu là Soc(MR), nó là tổng các môđun conđơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của MR Nếu MR khôngchứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR) = 0 Căn của môđun MR được kí hiệu

là Rad(MR), nó là giao của tất cả các môđun con tối đại của MR, là tổng tất cảcác môđun con bé của MR Nếu MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta địnhnghĩa Rad(MR) = MR Đặc biệt, chúng ta đã biếtRad(RR) = Rad(RR) = J (R) Do đókhông sợ nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu J (R)để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng làcăn của RR

Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M Ta nói L thỏa mãnđiều kiện dây chuyền tăng, viết là ACC, nếu mọi dãy tăng A1≤ A2≤ ≤ An ≤

các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho A n = A n+i với mọi i ∈N.

Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm, viết là DCC, nếu mọi dãy giảm

D1≥ D2 ≥ ≥ Dn ≥ các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈N sao cho

Dn = Dn+i với mọi i ∈N Một R-môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cảcác môđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tập tất

cả các môđun con của M thỏa mãn DCC

1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của

Một môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọiđồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Nếu môđun M

là M-nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ Nếu M là N-nội xạ vớimọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ Các môđun M1, , Mn được gọi là nội xạtương hỗ nếu M i là M j-nội xạ với mọi i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Bao nội xạ của môđun M

là một môđun nội xạ N cùng với một đơn cấu cốt yếu ι : M → N Lúc này, người

ta vẫn thường gọi N là bao nội xạ của M và ký hiệu là N = E(M ) Hơn nữa, mọimôđun được nhúng cốt yếu vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nộixạ

Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là N-xạ ảnh nếu với mọitoàn cấu g : N → M và mỗi đồng cấuf : P → M đều tồn tại một đồng cấuh : P → N

sao cho f = gh Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là N-xạ ảnh với mọi môđun N

thuộc Mod-R Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với mộttoàn cấu đối cốt yếu p : P → M Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnh của M.Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ của một R-môđun M, ta phải kiểmtra xem M có làN-nội xạ với mọi R-môđun N hay không Tuy nhiên, trên thực tế,

ta chỉ cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không là đủ nhờ tiêu chuẩn Baer sau đây.Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R,mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu f : R¯ R → MR

Có hai hướng mở rộng chính về môđun nội xạ, đó là: Mở rộng từ định nghĩa gốc

và mở rộng từ tiêu chuẩn Baer Các mở rộng của môđun nội xạ theo hướng từ địnhnghĩa gốc là môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội xạ, FP-nội xạ, vv Các mởrộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer là môđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội

xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv

Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộng củamôđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ

Cho R là một vành và M, N là các R-môđun phải Khi đó, môđun M được gọi

là N-giả nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều

mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là

M-giả nội xạ Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N-giảnội xạ và N là M-giả nội xạ Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là mộtmôđun giả nội xạ

Môđun M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A

của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M.Môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu Hai môđun

M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và

N là M-giả nội xạ cốt yếu Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR

là một môđun giả nội xạ cốt yếu

Vào năm 1961, trong công trình của mình, Utumi đã định nghĩa về các vànhthỏa mãn các điều kiện C1, C2 và C3 Sau đó, việc mở rộng từ các vành C1, C2 vàC3 sang môđun lần lượt thuộc về Jeremy, Takeuchi, Mohammed và Bouhy Để giớithiệu các khái niệm về môđun C1, C2, C3 và các mở rộng của nó, trước tiên, chúngtôi nhắc lại một số điều kiện sau đây đối với môđun:

Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M, tồn tại mộthạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B

Điều kiện C2 : Nếu môđun conA của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M

Điều kiện C3 : Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0

thì A ⊕ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.2.7 Cho M là một môđun Khi đó:

(1) Môđun M được gọi là C1 nếu M thỏa mãn điều kiện C1 Môđun C1 còn đượcgọi là môđun CS hoặc môđun mở rộng

(2) Môđun M được gọi là C2 nếu M thỏa mãn điều kiện C2 Môđun C2 còn đượcgọi là môđun nội xạ trực tiếp

(3) Môđun M được gọi là C3 nếu M thỏa mãn điều kiện C3

(4) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và C2

(5) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và C3.Môđun tựa liên tục còn được gọi là môđun π-nội xạ

Cuối cùng, một khái niệm liên quan đến luận án mà đã được Alahmadi, Jain

và Leroy đề xuất vào năm 2012, đó là môđun ADS Theo đó, một R-môđun phải M

được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T0

Định nghĩa 1.3.11 Vành R được gọi là tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) nếu

nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái)

Một đặc trưng đẹp đẽ của vành QF thông qua các lớp môđun nội xạ, xạ ảnh làđịnh lý Faith-Walker sau đây:

Định lý 1.3.13 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius

(2) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh

(3) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ

Trong phần cuối của mục này, chúng tôi giới thiệu về vành nửa Artin

Định nghĩa 1.3.14 Một môđun M được gọi là nửa Artin nếu mọi môđun thươngkhác không có đế khác không Một vành R được gọi là vành nửa Artin phải nếu RR

là môđun nửa Artin

1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1 Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ có đúng hai môđuncon là 0 và M

Định nghĩa 1.4.2 Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M phân tích đượcthành tổng trực tiếp của các môđun con đơn Một vành R được gọi là nửa đơn phải(trái) nếu RR (RR) là môđun nửa đơn

Sau đây là một số đặc trưng quan trọng của vành nửa đơn liên quan đến phạmtrù Mod-R, sự phân tích thành tổng trực tiếp vành, vành chính quy và vành Artin.Định lý 1.4.5 (Osofsky) Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải(trái) xiclic là nội xạ

Định lý 1.4.6 (Wedderburn-Artin) Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổngtrực tiếp vành của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể

Định lý 1.4.7 Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy và khôngchứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao

Định lý 1.4.8 Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là Artin phải hay trái và

J (R) = 0

Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề liên quan đến căn của vành, đã có lúcJacobson định nghĩa một vành R là nửa đơn khi J (R) = 0 và cho đến nay vẫn cònmột số nhà toán học sử dụng định nghĩa này Chính vì thế, để khỏi nhầm lẫn, từĐịnh lý 1.4.8, một số nhà toán học đã gọi vành nửa đơn trong Định nghĩa 1.4.2 làvành Artin nửa đơn Trong luận án này, kể từ đây về sau, chúng tôi gọi vành nửađơn như trong Định nghĩa 1.4.2 là vành Artin nửa đơn

CHƯƠNG 2

Môđun giả nội xạ cốt yếu

Trong chương này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun giảnội xạ cốt yếu ngoài những tính chất mà đã được Alahmadi, Er và Jain nghiên cứu.Một số áp dụng để nghiên cứu các vành Artin nửa đơn, vành QF, vành Noether vàvành đối nửa đơn cũng được đưa ra

(2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu

(3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N-giả nội

xạ cốt yếu và N là M-giả nội xạ cốt yếu

(4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun giả nội

(1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu

(2) Zp3 là Zp 2-giả nội xạ cốt yếu

(3) Zp2 không là Zp 3-giả nội xạ cốt yếu

2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt

yếu

Một môđun con N của M được gọi là bất biến đầy đủ trong M nếu f (N ) ≤ N

với mọi f ∈ EndR(M )

Các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã chứng minh được rằng, một môđun M làgiả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu nó bất biến qua các đơn cấu trong EndR(E(M )).Trong định lý dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một môđun M là N-giả nội xạ cốtyếu nếu và chỉ nếu α(N ) ≤ M với mọi đơn cấu α : E(N ) → E(M )

Định lý 2.2.2 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun M và N:

(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu

(2) α(N ) ≤ M với mọi đơn cấu α : E(N ) → E(M )

Tiếp theo là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự như các kếtquả của môđun giả nội xạ

Mệnh đề 2.2.6 Cho M và N là các môđun Khi đó:

(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K-giả nội xạ cốt yếu với mọi K

là môđun con cốt yếu của N

(2) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K ' N, thì M là K-giả nội xạ cốt yếu

(3) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K ' M thì K là N-giả nội xạ cốt yếu

(4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ Nếu tồn tại một đẳngcấu giữa các môđun con A và B trong đó A ≤e N và B ≤e M thì M ' N

(5) Giả sử A và B là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ Nếu E(A) ' E(B) thìmỗi đẳng cấu từ E(A) → E(B) thu hẹp được thành đẳng cấu từ A → B Hơn nữa,

A và B là giả nội xạ cốt yếu

Chúng ta đã có N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N-nội xạ với mọimôđun M Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu được một kết quả mởrộng sau đây:

Định lý 2.2.7 Cho M và N là các môđun Khi đó:

(1) N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun

M

(2) Giả sử N = A ⊕ B vàM = C ⊕ D sao cho B được nhúng trong D Nếu M là N-giảnội xạ cốt yếu thì C là A-giả nội xạ cốt yếu

Tiếp theo là các tính chất khác của môđun giả nội xạ cốt yếu

Định lý 2.2.9 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M:

(1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu.

(2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biến đầy đủdưới các đơn cấu của EndR(M )

(3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu

Chúng ta đã biết, mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu làgiả nội xạ cốt yếu Tuy nhiên, để tổng trực tiếp của hai môđun giả nội xạ cốt yếu

là môđun giả nội xạ cốt yếu thì chúng tôi cần thêm một số điều kiện

Định lý 2.2.10 Cho M = M1⊕ M2 và E(M1), E(M2) là các môđun con bất biến đầy

đủ dưới các tự đơn cấu của E(M ) Khi đó M là giả nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi

M1, M2 là giả nội xạ cốt yếu

Chúng ta đã có, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2 Đối vớimôđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứng minh được:

Định lý 2.2.11 Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3

Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ, H Q Dinh

đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđuntựa nội xạ hay không? Trong định lý dưới đây, chúng tôi chứng minh được rằng,một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS

Từ đó chúng tôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của H Q Dinh

Định lý 2.2.12 Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu vàCS

Hệ quả 2.2.13 Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và CS

Kết quả sau đây nói về mối quan hệ giữa một môđun giả nội xạ cốt yếu và vànhcác tự đồng cấu của nó

Định lý 2.2.14 Cho M là một môđun tự sinh Nếu EndR(M ) là giả nội xạ cốt yếuphải thì M là giả nội xạ cốt yếu

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế mịn nếuvới bất kỳ M, N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M ) ' Soc(N ) khi và chỉ khi M ' N

Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N-giả nội xạ cốtyếu với mọi R-môđun phải N Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các R-môđun phải giảnội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các R-môđun phải xạ ảnh

Một kết quả đã biết là: R là vành QF khi và chỉ khi hoặc lớp các R-môđun xạảnh hoặc lớp cácR-môđun nội xạ là đế mịn Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu mạnh,chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:

Định lý 2.2.15 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành QF

(2) Lớp PR ∪ SE là đế mịn.

Một mối quan hệ giữa vành Artin nửa đơn R với các R-môđun nội xạ đã đượcchỉ ra là: R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun nội xạ là đếmịn Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu và giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng tôi thuđược định lý sau đây:

Định lý 2.2.16 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn

(2) Lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn

(1) R là giả nội xạ cốt yếu phải

(2) Nếu SM là trung thành thì MR là giả nội xạ cốt yếu

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 2

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

Trong phần đầu của chương, chúng tôi thu được các đặc trưng của môđun N-giảnội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7) Ngoài ra, chúng tôicũng đã thu được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9

và Định lý 2.2.10) Đặc biệt, chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội

xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11) và môđun M là tựa nội xạkhi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12) Hơn nữa, chúng tôicũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn, vành QF, vành Noether

và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý2.2.16 và Định lý 2.2.17) Cuối cùng, một kết quả liên quan đến mở rộng vành giảnội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 2.2.18

CHƯƠNG 3

Môđun ADS tổng quát

Trong chương này, chúng tôi khảo sát một trường hợp tổng quát của môđunADS, đó là môđun ADS tổng quát Như chúng tôi đã đề cập trong phần đầu củaChương 2, khái niệm môđun giả nội xạ cốt yếu là do các tác giả Alahmadi, Er vàJain đưa ra Kết quả mà chúng tôi quan tâm trong công trình của họ là họ đã chứngminh được rằng nếu M và N là các môđun và X = N ⊕ M thì N là M-giả nội xạcốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì

X = N ⊕ K Mặt khác, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phântích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T0 của S, chúng ta có M = S ⊕ T0 Tổ hợpcác khái niệm vừa nêu ở trên, chúng tôi xét một mở rộng của môđun ADS, đó làmôđun ADS tổng quát Một số tính chất của môđun ADS tổng quát đã được đưa

ra và việc vận dụng chúng để đặc trưng vành Artin nửa đơn cũng được chúng tôinghiên cứu Các kết quả chính của chương này là Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.10 vàĐịnh lý 3.2.14

3.1 Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi nêu định nghĩa về môđun ADS tổng quát

Định nghĩa 3.1.1 Một môđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi sự phântíchM = S ⊕ T của M và với mỗi phần bù giaoT0 của S màT0∩ T = 0thìM = S ⊕ T0.Một vành R được gọi là ADS tổng quát phải nếu RR là môđun ADS tổng quát

Từ các định nghĩa về môđun ADS và môđun ADS tổng quát, chúng ta dễ dàngsuy ra được mỗi môđun ADS là ADS tổng quát Tuy nhiên, điều ngược lại khôngphải bao giờ cũng đúng Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng, một môđun ADS tổng quát thì

có thể không là môđun ADS

 trong đó F là một trường có 2 phần tử Khi đó

N = e11R là một R-môđun phải bất biến đẳng cấu, không phân tích được, khôngtựa nội xạ và EndR(N ) là vành địa phương Bây giờ, ta xét R-môđun M = N 1 ⊕ N 2

trong đó N 1 = N 2 = N Khi đó, M là môđun ADS tổng quát nhưng không là ADS

3.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát

Nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và

B là nội xạ tương hỗ Trong trường hợp môđun ADS tổng quát, chúng tôi thu đượckết quả sau đây:

Định lý 3.2.1 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M:

(1) M là ADS tổng quát

(2) Nếu M = A ⊕ B thì A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ

(3) Với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, thì phép chiếu chính tắc πB : M → B làmột đẳng cấu khi nó được hạn chế đến bất kỳ phần bù giao C của A trong M mà

(2) Với mỗi sự phân tích M = A ⊕ B và với mỗi đơn cấu

f ∈ HomR(E(B), E(A)) thì M = A ⊕ X trong đó X = {b + f (b) | b ∈ B, f (b) ∈ A}.

Chúng ta biết rằng, hạng tử trực tiếp của một môđun ADS cũng là môđunADS Tuy nhiên, để một hạng tử trực tiếp của môđun ADS tổng quát là môđunADS tổng quát thì chúng tôi cần bổ sung thêm một số điều kiện

Một môđun M được gọi là phân phối nếu A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) vớimọi môđun con A, B và C của M

Mệnh đề 3.2.6 Cho M là môđun ADS tổng quát Khi đó:

(1) Mỗi hạng tử trực tiếp thỏa mãn điều kiện CS của M là ADS tổng quát

(2) Nếu M là môđun phân phối thì mỗi hạng tử trực tiếp của M là ADS tổng quát

Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu các tính chất liên quan đến kháiniệm ADS tổng quát đối với môđun M khi M là môđun nửa đơn trong phạm trù

σ[M ] Từ đó chúng tôi thu được một số kết quả về vành Artin nửa đơn

Định lý 3.2.10 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M:

(1) M là nửa đơn

(2) Mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát

(3) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát

(4) Mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát.

Hệ quả 3.2.11 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là Artin nửa đơn

(2) Mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát

(3) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát

(4) Mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát

Tiếp theo là mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ.Định lý 3.2.14 Cho M =

(2) Mi là tựa nội xạ với mọi i = 1, 2, , n và M2 là ADS tổng quát

(3) Mk là ADS tổng quát với mọi số nguyên dương k ≥ 3

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên quan đến

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 3

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

Chúng tôi đã đưa ra được một số điều kiện tương đương để một môđun là ADStổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.5) Mặc dù, chúng tôi chưa biết được mộthạng tử trực tiếp của một môđun ADS tổng quát có là ADS tổng quát hay khôngnhưng nếu thêm một số điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặchạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS thì khi đó, chúng tôichứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếpcủa môđun M cũng là ADS tổng quát (Mệnh đề 3.2.6) Chúng tôi cũng nghiên cứuđược một số tính chất của môđun ADS tổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun

M là nửa đơn (Định lý 3.2.10) và từ đó đưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artinnửa đơn (Hệ quả 3.2.11) Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđun tựanội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14 Cuối cùng, cũng giống nhưmôđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liên quan đến mở rộng vành ADS tổng quátđược chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 3.2.15

CHƯƠNG 4

Khi nghiên cứu về môđun giả nội xạ, tác giả H Q Dinh đã chứng minh đượcrằng, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2 Ngoài ra, tác giả cũng đãđưa ra được ví dụ để chỉ ra rằng, môđun C2 là một mở rộng thực sự của môđun giảnội xạ Liên quan đến việc nghiên cứu môđun C2, chúng tôi xin nhắc lại ở đây mộtgiả thuyết nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời, đó là giả thuyết FGF, nộidung của giả thuyết là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Đến nay, người

ta đã chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành QF Như vậy,việc nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hy vọng là sẽ góp phần làmsáng tỏ giả thuyết FGF nói trên Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một mởrộng của môđun C2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C) và từ mở rộng này, chúngtôi nghiên cứu để áp dụng vào việc đặc trưng vành bao gồm vành chính quy, vànhArtin nửa đơn, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin

4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđun thỏamãn điều kiện (C) Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) với môđun C2cũng được chúng tôi đề cập Việc áp dụng một số tính chất của môđun thỏa mãnđiều kiện (C) để đặc trưng vành Artin nửa đơn và vành chính quy cũng được nghiêncứu Các kết quả chính trong phần này là Mệnh đề 4.1.7, Định lý 4.1.10 và Định lý4.1.21

Chúng tôi bắt đầu phần này bằng một tính chất đơn giản của môđun C2 nhưsau:

Bổ đề 4.1.1 Cho M là một R-môđun phải và S = EndR(M ) Khi đó, các mệnh đềsau là tương đương:

Định nghĩa 4.1.2 Một môđun MR được gọi là thỏa mãn điều kiện (C)nếu với mỗi

s ∈ S và s 6= 0, tồn tại n ∈N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) là hạng tử trực tiếp của

M thì Im(sn) là hạng tử trực tiếp của M

Một vành R được gọi là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là môđunthỏa mãn điều kiện (C)

Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện (C) ở trên, chúng ta dễ dàng cóđược mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 4.1.3 Mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C)

Khi S = EndR(M ) là vành địa phương thì chúng tôi nhận thấy các môđun C2

và môđun thỏa mãn điều kiện (C) là trùng nhau thể hiện trong mệnh đề dưới đây:Mệnh đề 4.1.7 ChoM là mộtR-môđun phải có vành các tự đồng cấuS = EndR(M )

là vành địa phương Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) M là C2

(2) M thỏa mãn điều kiện (C)

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các điều kiện tương đương với một môđun thỏamãn điều kiện (C)

Định lý 4.1.10 Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M ) Khi đó, các mệnh đềsau đây là tương đương:

(1) Môđun M thỏa mãn điều kiện (C)

(2) Với mỗi 0 6= s ∈ S, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 và nếu Ker(sn) = Ker(e) với

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện

(C) và vành các tự đồng cấu S = EndR(M ) của nó

Định lý 4.1.17 Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M ) Khi đó:

(1) Nếu S là vành thỏa mãn điều kiện (C) phải thì M là môđun thỏa mãn điều kiện

B là môđun con bất kỳ của M và với mỗi R-đồng cấu α : N → B đều tồn tại một

R-đồng cấu β : N → M sao cho πα = β Hiển nhiên, M là nửa xạ ảnh nếu M là

M-nửa xạ ảnh

Trong mệnh đề dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra mối quan hệ giữa môđun Rickart

M và khái niệm M-nửa xạ ảnh

Mệnh đề 4.1.20 Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M ) Khi đó, các điều kiệnsau đây là tương đương:

(1) M là môđun Rickart

(2) s(M ) là M-nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S

Đối ngẫu với môđun Rickart là môđun d-Rickart đã được các tác giả Lee, Rizvi

và Roman giới thiệu như sau: Một R-môđun M được gọi là d-Rickart nếu ∀s ∈ S = EndR(M ) thì Im(s) = e(M ) với e2= e ∈ S

Sau đây là đặc trưng của vành chính quy thông qua các môđun Rickart, Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C)

d-Định lý 4.1.21 Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M ) Khi đó, các điều kiệnsau đây là tương đương:

(1) S là vành chính quy

(2) M là môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C)

(3) M là môđun d-Rickart và s(M ) là M-nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S

4.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun

thỏa mãn điều kiện (C)

Trong phần này, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành thông qua môđun thỏa mãnđiều kiện (C) Các đặc trưng vành mà chúng tôi thu được bao gồm vành chính quy,vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin Các kết quả chính của phần này

là Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6

4.2.1 Đối với vành chính quy

Mối liên hệ giữa vành chính quy và môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúngtôi thu được là:

Định lý 4.2.2 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành chính quy

(2) Mỗi iđêan phải chính của vành M2 (R) thỏa mãn điều kiện (C)

(3) Mỗi iđêan phải chính của vành M2 (R) được sinh bởi ma trận đường chéo thỏamãn điều kiện (C)

(4) Mỗi môđun con hữu hạn sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa mãnđiều kiện (C)

(5) Mỗi môđun con 2-sinh của một R-môđun phải xạ ảnh là môđun thỏa mãn điềukiện (C)

4.2.2 Đối với vành di truyền

Một kết quả đã biết về vành di truyền là: Vành R là di truyền phải nếu và chỉnếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ Đối với môđunthỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng thu được kết quả tương tự sau đây:

Định lý 4.2.4 Cho R là một vành Khi đó, R là vành di truyền phải nếu và chỉnếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏa mãn điều kiện

(C)

4.2.3 Đối với vành Noether

Một môđun M được gọi là Σ-(tựa) nội xạ (đếm được) nếu mỗi tổng trực tiếp(đếm được) của các bản sao của M là (tựa) nội xạ Nếu mỗi tổng trực tiếp (đếmđược) của các bản sao của M là môđun thỏa mãn điều kiện (C) thì M được gọi làthỏa mãn điều kiện Σ-(C) (đếm được)

Một kết quả của Faith và Walker đã được đưa ra là: Một vành R là Noetherphải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ Hơn nữa, tác giả Fullercũng đã chỉ ra được rằng: Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ là Σ-tựa nội xạ khi và chỉkhi mỗi R-môđun phải nội xạ là Σ-nội xạ

Định lý 4.2.5 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(4) Mỗi R-môđun phải nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được.

(5) Mỗi R-môđun phải tựa nội xạ thỏa mãn điều kiện Σ-(C) đếm được

4.2.4 Đối với vành nửa Artin

Môđun M được gọi là N-đế nội xạ nếu bất kỳ R-đồng cấu f : Soc(N ) → M đều

mở rộng được đến đồng cấu từ N → M Môđun M được gọi là đế nội xạ mạnh, nếu

M là N-đế nội xạ với mọi R-môđun phải N

Một kết quả liên quan giữa vành Artin phải và R-môđun phải đế nội xạ mạnhlà: R là nửa Artin phải khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là nội

xạ Kết quả tương tự đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi đưa ratrong định lý sau đây:

Định lý 4.2.6 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là nửa Artin phải

(2) Mỗi R-môđun phải đế nội xạ mạnh là môđun thỏa mãn điều kiện (C)

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 4

Trong chương này, chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

∗ Trong phần đầu của chương, chúng tôi đưa ra các mối quan hệ giữa môđunC2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7 Cáctính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi nghiên cứu trong Định

lý 4.1.10 và Định lý 4.1.12 Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) vàvành các tự đồng cấu S = EndR(M ) của nó được chúng tôi trình bày trong Định lý4.1.17 Ngoài ra, tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR(M )của môđun

M liên quan đến môđun Rickart, d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũngđược chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.21

∗ Trong phần thứ hai của chương, chúng tôi chủ yếu đặc trưng vành đối vớimôđun thỏa mãn điều kiện (C) Các đặc trưng vành mà chúng tôi đã nghiên cứubao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin (Định lý4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6)

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 KẾT LUẬN

Trong luận án này, chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau đây:

1.1 Từ việc nghiên cứu về môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã đưa ra đượcmột số đặc trưng của môđun N-giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 vàĐịnh lý 2.2.7) Ngoài ra, chúng tôi cũng đã thu được một số tính chất của môđungiả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.9 và Định lý 2.2.10) Đặc biệt, chúng tôi chứng minhđược rằng mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11)

và môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý2.2.12) Kết quả này đã trả lời khẳng định câu hỏi của H Q Dinh nêu ra là: Mộtmôđun không suy biến, giả nội xạ và môđun CS có phải là môđun tựa nội xạ haykhông?

Ngoài ra, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn,vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu(Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17) Cuối cùng, một kết quả liên quanđến mở rộng vành giả nội xạ cốt yếu cũng được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý2.2.18

1.2 Từ việc kết nối môđun ADS với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đềxuất khái niệm môđun ADS tổng quát Sau đó, chúng tôi đã đưa ra được một sốđiều kiện tương đương để một môđun là ADS tổng quát (Định lý 3.2.1 và Định lý3.2.5) Mặc dù, chúng tôi chưa biết được một hạng tử trực tiếp của một môđun ADStổng quát có là ADS tổng quát hay không nhưng nếu thêm một số điều kiện nhưmôđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđunM phải thỏamãn điều kiện CS thì khi đó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M là môđunADS tổng quát thì mọi hạng tử trực tiếp của môđun M cũng là ADS tổng quát(Mệnh đề 3.2.6) Chúng tôi cũng nghiên cứu được một số tính chất của môđun ADStổng quát trong phạm trù σ[M ] khi môđun M là nửa đơn (Định lý 3.2.10) và từ đóđưa ra các đặc trưng vành đối với vành Artin nửa đơn (Hệ quả 3.2.11) Mối quan hệgiữa môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trongĐịnh lý 3.2.14 Cuối cùng, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quảliên quan đến mở rộng vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trong Định

cũng được chúng tôi đề cập trong Mệnh đề 4.1.3 và Mệnh đề 4.1.7 Các tính chấtcủa môđun thỏa mãn điều kiện (C) được chúng tôi nghiên cứu trong Định lý 4.1.10

và Định lý 4.1.12 Mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tựđồng cấu S = EndR(M )của nó được chúng tôi trình bày trong Định lý 4.1.17 Ngoài

ra, tính chính quy của vành các tự đồng cấu S = EndR(M ) của môđun M liên quanđến môđun Rickart, d-Rickart và môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng được chúngtôi đưa ra trong Định lý 4.1.21 Trong phần cuối của luận án này, chúng tôi chủyếu đặc trưng vành đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) Các đặc trưng vành màchúng tôi thu được bao gồm vành chính quy, vành di truyền, vành Noether và vànhnửa Artin (Định lý 4.2.2, Định lý 4.2.4, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6)

1.4 Từ các kết quả mà chúng tôi đã nghiên cứu được về môđun giả nội xạ cốtyếu, môđun ADS tổng quát và môđun thỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi thu đượcmột sơ đồ về mối quan hệ giữa các môđun đã được đề cập trong luận án như sau:

Mi là tổng trực tiếp của các môđun ADS tổng quát Mi và Mi

là Mj-giả nội xạ cốt yếu với mọi j 6= i Khi đó M có là môđun ADS tổng quát haykhông?

2.2 Chúng tôi sẽ xem xét một môđun thỏa mãn điều kiện (C) có phải là mởrộng thực sự của môđun C2 hay không

2.3 Vì môđun D2 là môđun đối ngẫu với môđun C2 nên chúng tôi sẽ xem xétmột mở rộng của môđun D2 là môđun thỏa mãn điều kiện (C∗) Từ đó chúng tôi hyvọng sẽ đưa ra được các kết quả liên quan đến môđun D2 cũng như các mở rộngcủa nó để từ đó nhận được các đặc trưng vành