Môđun ice nội xạ và vành chính quy von neumann

Yue Chi Ming gọi một môđun M là I-nội xạ nếu với mọi đẳng cấu giữa hai môđun con của M có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của M.. Ở chương này, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa môđun IC

để xây dựng các khái niệm mới Năm 1997, nhà Toán học R Yue Chi

Ming gọi một môđun M là I-nội xạ nếu với mọi đẳng cấu giữa hai

môđun con của M có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của M Đây

chính là động lực để xây dựng nên các khái niệm, tính chất của môđun

ICE-nội xạ

Môđun ICE-nội xạ là một trường hợp tổng quát của môđun nội

xạ và vành chính quy Von Neumann Môđun ICE-nội xạ được dùng để

nghiên cứu về vành chính quy Von Neumann, vành di truyền và vành

Artinian Đó là lí do để chúng tôi chọn đề tài này

Trong đề tài này thông qua một số kết quả của lý thuyết vành và

môđun, đặc biệt là môđun ICE-nội xạ của tác giả Yu Zenghai, chúng tôi

cố gắng làm rõ hơn các vấn đề của ICE-nội xạ, mối quan hệ của môđun

ICE-nội xạ với các vấn đề quan trọng khác của lý thuyết môđun

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo:

Chương 1: Các kiến thức cơ bản

Chương 2: Môđun ICE-nội xạ

Ở chương này, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa môđun ICE-nội xạ và

nghiên cứu một số vấn đề sau:

 Hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ và môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ

 Mối quan hệ giữa môđun ICE-nội xạ, môđun CS, môđun liên tục

và tựa liên tục

 Đưa ra tiêu chí để có thể chứng minh mỗi môđun tựa nội xạ, xạ ảnh là môđun nội xạ

 Tìm hiểu tính chất của vành di truyền

 Đưa ra một số điều kiện đủ để tổng trực tiếp các R-môđun nội xạ là R-môđun ICE-nội xạ

ICE-LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Trương Công Quỳnh Nhân

dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy

giáo hướng dẫn – người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn chu đáo và

tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, tập thể cán

bộ giảng viên khoa Toán, Phòng Đào tạo-Trường Đại học Sư phạm Đà

Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học

Khổng Hoàng Phương

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong toàn bộ luận văn, ta qui ước vành R có đơn vị khác

không và được kí hiệu là 1

Ở chương 1, chúng tôi sẽ đưa ra một số kiến thức cơ bản để phục

vụ cho việc nghiên cứu chương tiếp theo

(iii) Qui tắc unita: m.1 m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tuỳ ý của M, r1 , r2 R

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta

thường kí hiệuM M R Tương tự ta cũng định nghĩa R-môđun trái

Cho R, S là hai vành Nhóm aben (M, +) là một song môđun bên phải S-bên trái (kí hiệu S M R) nếu

R-(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái

(b) Ta phải có: sx rs xr , (r  R, s  S, x  M )

Định nghĩa 1.2: Cho môđun M và N M Môđun con N được gọi là cốt

yếu trong M nếu với mọi môđun con K khác 0 của M ta luôn có

Định nghĩa 1.3: Cho môđun M và NM Môđun con N được gọi là

N K

thì K N

Định nghĩa 1.4: Cho môđun M và NM Môđun con N được gọi là

hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con K của M sao cho

M NK Lúc đó ta nói K là môđun con phụ của N trong M Kí hiệu:

(2) Không phải mọi môđun con của một môđun đều có môđun

con phụ, chẳng hạn ta xét LấyN n vớin 0 Với mọim , m 0ta

có mnm n nênm n  0có nghĩa làn m không là tổng trực

tiếp Vậyn không có môđun con phụ nào trong

Định nghĩa 1.5:

Vành R được gọi là vành chính quy Von Neumann nếu với mỗi

phần tử aR thì tồn tại phần tử bR sao cho aaba

Vành R được gọi là vành chính quy mạnh nếu với mỗi phần tử

aR thì tồn tại phần tử bR sao choaa b2

Định nghĩa 1.6: Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu với mỗi

đơn cấu f K: N, mỗi đồng cấug K: Mthì tồn tại một đồng cấu

:

f N M sao cho f f g

Định nghĩa 1.7: Môđun M được gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu

với mỗi đơn cấu f K: M, mỗi đồng cấug K: Mthì tồn tại một tự

đồng cấu :f M M sao cho f f g

Mệnh đề:

(1) Cho môđun M'là nội xạ vàM M' Khi đóM cũng là nội xạ

(2) Cho môđun M là nội xạ và B là hạng tử trực tiếp của M Khi

Vì M' là nội xạ nên tồn tại đồng cấuh N: M'sao chohf g

Phải chứng minh tồn tại f N: M sao cho f f g Đặt f N: Msao cho f 1h Khi đó, 1 1

f f hf   gg Vậy Mlà môđun nội xạ

(2) Xét biểu đồ, trong đó f K: Nlà đơn cấu, g K: Blà đồng cấu, : BMlà đơn cấu chính tắc và: MB là toàn cấu chính tắc

Vì M là nội xạ nên tồn tại đồng cấu h N: Msao chohf g

Phải chứng minh: Tồn tại đồng cấu f N: B sao cho f f g Đặt:

f NB thỏa mãn f h Khi đó ta có f f hf g g Vậy B là

môđun nội xạ

Định nghĩa 1.7: Chúng ta xét các điều kiện sau cho R-môđun M:

(1) M thỏa mãn điều kiện C1 nếu N M, M' M N: e M'

(2) M thỏa mãn điều kiện C2 nếu A B B M

Định nghĩa 1.8: Cho M là R-môđun Khi đó:

(1) M được gọi là môđun CS nếu nó thỏa mãn điều kiện C1

(2) M được gọi là môđun liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện C1

và C2

(3) M được gọi là môđun tựa liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện

C1 và C3

Định nghĩa 1.9: Cho R-môđun M và Z M( ) { mM mK/ 0, Ke R}

NếuZ M( )M thì M được gọi là môđun suy biến

NếuZ M( )0 thì M được gọi là môđun không suy biến

Vành R được gọi là không suy biến phải nếu môđun R R là

môđun không suy biến

Định nghĩa 1.10: Môđun E được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E

là nội xạ và E cốt yếu trong M Kí hiệu E M( )

Định nghĩa 1.11: Cho M là R-môđun M được gọi là môđun

Noetherian nếu mọi dãy tăng của những môđun con của M:

Định nghĩa 1.12: Cho M là R-môđun M được gọi là môđun Artinian

nếu mọi dãy tăng của những môđun con của M: M1M2  M n

đều dừng, nghĩa là tồn tại m nguyên dương để M mM m1với m đủ lớn

Vành R được gọi là vành Artinian phải nếu R R là môđun

Artinian

Định nghĩa 1.13: Cho M là R-môđun M được gọi là p-nội xạ nếu với

mỗi iđêan chính B của R, mỗi R-đồng cấu f B: M tồn tại mM sao

cho f b( )mb( b B)

Vành R được gọi là vành p-nội xạ phải nếu R R là môđun p-nội

xạ

Định nghĩa 1.14: Môđun M R được gọi là đơn nếu M 0 và M chỉ có

hai môđun con là 0 và M

Vành R được gọi là đơn nếu R0 và R chỉ có hai iđêan hai phía

là 0 và R

Định nghĩa 1.15: Vành R được gọi là QI-vành phải nếu mỗi R-môđun

phải tựa nội xạ là nội xạ

Định nghĩa 1.16: Vành R được gọi là V-vành phải nếu mỗi R-môđun

phải đơn là nội xạ

Định nghĩa 1.17: Vành R được gọi là tựa Frobenius nếu mỗi R-môđun

phải xạ ảnh là nội xạ

Định nghĩa 1.18: Cho I là iđêan của vành R và I R I được gọi là

J I hoặc J R

Định nghĩa 1.19: Gọi { }I j j A là họ tất cả các iđêan cực đại của vành R

Khi đó căn Jacobson của vành R, kí hiệu là J R( ) được xác định như

CHƯƠNG 2: MÔĐUN ICE-NỘI XẠ

Ở chương này, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa môđun ICE-nội xạ và

nghiên cứu một số vấn đề sau:

 Hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ và môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ

 Mối quan hệ giữa môđun ICE-nội xạ, môđun CS, môđun liên tục

và tựa liên tục

 Đưa ra tiêu chí để có thể chứng minh mỗi môđun tựa nội xạ, xạ ảnh là môđun nội xạ

 Tìm hiểu tính chất của vành di truyền

 Đưa ra một số điều kiện đủ để tổng trực tiếp các R-môđun nội xạ là R-môđun ICE-nội xạ

ICE-Định nghĩa 2.1 ([5 ]): Một R-môđun phải M được gọi là ICE-nội xạ nếu

mỗi môđun con N mà đẳng cấu với môđun con đóng C, bất kỳ R-đẳng

cấu của N vào C được mở rộng thành một tự đồng cấu của M Vành R

được gọi là vành ICE-nội xạ phải nếu R R là ICE-nội xạ Tức là, với mỗi

biểu đồ gồm các đồng cấu:

trong đó: i: AM là đơn cấu chính tắc f: AC là đẳng cấu, thì tồn

tại tự đồng cấu h: M M sao cho h A f

Mệnh đề 2.1: Mỗi hạng tử trực tiếp của một R-môđun ICE-nội xạ là

ICE-nội xạ

Chứng minh:

Giả sử M là R-môđun ICE-nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M

Ta xét biểu đồ, trong đó: i: N Alà đơn cấu chính tắc, :

f N Clà đẳng cấu, : AM là một đơn cấu chính tắc Vì M là

ICE-nội xạ nên tồn tại tự đồng cấu g: MMsao chog N  f Xét

Mệnh đề 2.2: Nếu K M thì tồn tại LM sao cho:

(1) L là môđun con đóng của M

L K M

Chứng minh:

Xét tập hợp {HM /H cực đại với tính chất H K 0} Ta thấy  

(1) LấyL Gọi N là môđun con của M sao cho e

L N

Giả sử N L, ta có LK 0 Vì L cực đại nên N K 0 Mà

N K Nvà e

L Nnên (NK)  L N (KL)0 Điều này vô lí

vìLK  0 Do đóNL Vậy L là môđun con đóng của M

Lúc đó, do L cực đại nên LN L N 0 Điều này trái giả thiết Do đó N (L K)0 Vậy L K e M

Mệnh đề 2.3: Cho M là một R-môđun ICE-nội xạ EEnd M( )và J(E)

là căn Jacobson của E Khi đó J E {f E , Ker f e

M

 vàKer uM nên Ker u 0

Vì u: M  uM là một đẳng cấu nên ta có ánh xạ ngược v: uM

M Từ uMM và M là môđun ICE-nội xạ nên tồn tại tự đồng cấu đồng

cấu h của M sao cho h uM v, mà vu 1nênhu 1 Do đóH J E( )

Bây giờ, lấy 0 g E J E/ ( ), gJ E( )điều này cho thấygH

Cho K là một môđun con đóng khác không của M, như vậy theo Mệnh

đề 2.2 thì LKer gK là một môđun con cốt yếu của M

Xét đồng cấu: hg| :K Kh K( ) VìLKer gKnên

0

Ker g K Do đóKer h 0 suy ra h đơn cấu

Xét tương ứng r h K: ( )K

h k( ) k

Lấy x x1, 2h K( )sao chox1h k( ), 1 x2 h k( )2 với k k1, 2K

Giả sử x1 x2 h k( )1 h k( )2   k1 k2 r x( )1 r x( )2 (do h là đơn cấu)

Với mọi xh K( ) sao cho xh k( ) với kK

Giả sử r x( ) 0 r h k( ( ))    0 k 0 x 0 Vậy r là đơn cấu

Imr{yK y/ r x( ), xg K( )}

={yK y/ r g k( ( )), kK}

={yK y/ k k, K}K Vậy r là toàn cấu

Vậy r là đẳng cấu hay h K( ) K Xét biểu đồ gồm các đồng cấu:

trong đó, i h K: ( )Mlà đơn cấu chính tắc vàr h K: ( )Klà đẳng cấu

Vì M là R-môđun ICE-nội xạ nên tồn tại tự đồng cấu t M: Msao cho

Ta chứng minh J E( )H Giả sử tồn tại zJ E( ), zH Từ giả thiết suy ra tồn tại bE sao chozbz z H Từ bzJ E( ), tồn tại aE

sao cho (1bz a) 1 Vậyzz(1bz a)  (z zbz a) H, điều này mâu

thuẫn

Mệnh đề 2.4: Cho R là vành ICE-nội xạ phải Khi đó:

(1) Ta đặt J R( ) là căn Jacobson của R và

Z R  r R rK K R Khi đó R Z R/ ( ) một vành chính quy Von

Neumann và Z R( ) J R( )

(2) Nếu A là một iđêan của R sao cho A là không suy biến Khi

đó, A là một vành chính quy Von Neumann

Chứng minh:

(1) Ta chứng minh dựa vào Mệnh đề 2.3

(2) Ta đặt r a R( ) {  x R ax/  0} Nếu 0  a AvàKlà một iđêan khác 0 thì r a R( )K là một iđêan cốt yếu của R, từ A là không suy biến

theo (2), ta có aaba với bR Đặt cbab thì cAvà

(2)(1) Nếu R là vành nguyên tố, từ R là vành Notherian phải ta

cóZ R( )  0 Vậy R là vành chính quy theo Mệnh đề 2.3 Từ R là vành

Notherian phải, ta có R là vành Artinian đơn Ta giả sử, R không phải là

vành nguyên tố Với mỗi iđêan nguyên tố khác không P của R, theo [1,

Lemma 18.34B] ta có vành R/P là Artinian phải Vậy R là vành Artinian

phải

Mệnh đề 2.6: Nếu M là R-môđun ICE-nội xạ thì bất kỳ đẳng cấu môđun

con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là một hạng tử trực

tiếp của M

Chứng minh:

Cho N là một môđun con của M đẳng cấu với S, trong đó

M  S D Nếu j N: Mlà đơn cấu chính tắc, g N: Slà một đẳng

cấu, p M: S là phép chiếu chính tắc thì g mở rộng thành một tự đồng

cấu h của M Xét biểu đồ sau:

với mỗinN thì h n( )g n( ) và g phj n1 ( )g pg n1 ( )g g n1 ( )n Vậy

( )k n'

  vàN  K N ( )K

Chúng ta sẽ chứng minh: N( )K  M

Ta có: | :K K ( )K là một đơn cấu, do đóK ( )K Vì M thỏa

mãn điều kiện C2 nên( )K  M Ta lại có( )K N' nên theo Bổ đề

2.6.1 suy ra tồn tại môđun con W của M sao cho N'( )K W Ta

đượcM  N ( )K W Vậy M thỏa mãn điều kiện C3

Mệnh đề 2.8: Nếu môđun M là ICE-nội xạ thì M là môđun CS khi và

chỉ khi M là tựa liên tục khi và chỉ khi M là liên tục

Chúng ta chứng minh: Nếu môđun M là ICE-nội xạ thì M là môđun CS khi và chỉ khi M là liên tục

()Theo Mệnh đề 2.7, ta có ngay nếu M liên tục thì M là tựa

0 jM jN của R-môđun, trong đó

N là nội xạ và MN là ICE-nội xạ Khi đó, M là ICE-nội xạ Hơn nữa,

ánh xạ đồng nhất Điều đó chứng tỏ rằng M là hạng tử trực tiếp của N

Vì N nội xạ nên M cũng nội xạ

Ta biết rằng vành R là di truyền khi và chỉ khi bất kì môđun thương của một R-môđun nội xạ là nội xạ khi và chỉ khi bất kì tổng của

hai R-môđun nội xạ là nội xạ Xét mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.10: Các điều kiện sau là tương đương với vành R đã cho:

(1) R là vành di truyền phải

(2) Mọi môđun thương của R-môđun phải nội xạ là ICE-nội xạ

(3) Tổng hai môđun con của R-môđun phải nội xạ là ICE-nội xạ

(4) Tổng hai môđun con nội xạ đẳng cấu của R-môđun phải là

(M M ) / (Ker f ) M M Từ (2), ta có(M1M2) / (Ker f )là môđun

ICE-nội xạ nên M1M2là môđun ICE-nội xạ

(3)(4): Hiển nhiên

(4)(2): Giả sử E là R-môđun nội xạ và N là R-môđun con

của E Đặt U  E E, V{( , )n n U n/ N}, U U V/

E  e U eE vàE2 {(0, )e U e/ E} Khi đó ta có được

1 2

U E E vàE i E(i1, 2), vậy theo (4) U là môđun là ICE-nội xạ

Ta có E1E2 0nênE2là hạng tử trực tiếp củaU, mà ta lại có

Ta dễ dàng chứng minh được f là một đẳng cấu Vậy E N/ U E/ 1

nênE N/ là môđun là ICE-nội xạ

(2)(1): Cho M là R-môđun nội xạ và N là môđun con của M

Ta có i M N: / M là đơn cấu chính tắc, M nội xạ và M N/ là ICE-nội

xạ Do đóM(M N/ )là ICE-nội xạ Theo Mệnh đề 2.9, ta được M N/

là nội xạ

Mệnh đề 2.11: Các điều kiện sau là tương đương với vành R đã cho:

(1) R là vành nửa đơn và Artinian phải

(2) Mọi R-môđun là ICE-nội xạ

(3) R R là ICE-nội xạ và tổng trực tiếp của hai R-môđun ICE-nội

xạ là ICE-nội xạ

(4) Một R-môđun là phẳng khi và chỉ khi nó là ICE-nội xạ

(5) R R là ICE-nội xạ và mọi môđun ICE-nội xạ là nội xạ

(6) Bất kì tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một

R-môđun tựa nội xạ là ICE-nội xạ

Chứng minh:

Các chứng minh: (1)(2)(3),(5)(1),(1)(4),(5),(6)là hiển nhiên

(3)(1): Cho M là R-môđun ICE-nội xạ, khi đó theo (3) ta có

E M M là môđun là ICE-nội xạ Do đó, theo Mệnh đề 2.9 M là

môđun nội xạ Vậy với mỗi R-môđun là ICE-nội xạ ta chứng minh được

nó cũng là môđun nội xạ nên R R là nội xạ Ta có mỗi R-môđun tựa nội

xạ là ICE-nội xạ, khi đó tổng trực tiếp của hai R-môđun tựa nội xạ là nội

xạ Theo [2, Corollary 2.4], ta được R là vành nửa đơn và Artinian phải

(4)(1): Cho M là R-môđun ICE-nội xạ Khi đó, M và E M( )là các môđun phẳng nênE M( )M là phẳng Vậy theo (4) E M( )Mlà

ICE-nội xạ và theo Mệnh đề 2.9, ta suy ra được M là nội xạ

Ta biết rằng, mỗi R-môđun xạ ảnh là R-môđun phẳng Theo (4)

và cách chứng minh ở trên, ta suy ra được nó là R-môđun nội xạ Vậy R

là vành tựa Frobenius bởi [1, Theorem 24.10] Ta lại có, mỗi R-môđun

đơn là R-môđun ICE-nội xạ nên nó cũng là R-môđun nội xạ Vậy R là

V-vành phải Vậy R là vành nửa đơn và Artinian phải

(6)(1): Theo Mệnh đề 2.9, ta có thể chứng minh được mỗi môđun xạ ảnh là môđun nội xạ Do đó, R là vành tựa Frobenius Như

R-vậy, với mỗi môđun đơn S, E S( )là bao xạ ảnh của S, theo (6) ta có

( )

SE S là môđun ICE-nội xạ Chứng minh tương tự như trên S là