Tổng trực tiếp các môđun baer đối ngẫu và điều kiện cấu xạ luận văn thạc sĩ toán học

MÖC LÖCTrang MÖC LÖC.. Ki¸n thùc cì sð.. Têng trüc ti¸p c¡c mæun Baer èi ng¨u... RadM :C«n Jacobson cõa M.. :K¸t thóc chùng minh... Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng.

MÖC LÖC

Trang

MÖC LÖC 1

CC KÞ HI›U 2

MÐ †U 3

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð 7

1.1 ành lþ çng c§u 7

1.2 Ph¦n tû lôy ¯ng 7

1.3 Linh hâa tû 7

1.4 Mæun ch½nh quy v  v nh ch½nh quy 8

1.5 Mæun con tèi ¤i 8

1.6 C«n Jacobson 8

1.7 Mæun con b² 8

1.8 Mæun nûa ìn v  v nh nûa ìn 8

1.9 Mæun A- nëi x¤ 9

Ch÷ìng 2 Têng trüc ti¸p c¡c mæun Baer èi ng¨u v  i·u ki»n c§u x¤ 10

2.1 Têng trüc ti¸p c¡c mæun Baer èi ng¨u 10

2.2 Mèi li¶n h» giúa v nh Baer v  v nh c§u x¤ 22

K˜T LUŠN 27

T€I LI›U THAM KHƒO 28

CC KÞ HI›U

C¡c kþ hi»u ÷ñc ÷a ra trong luªn v«n chõ y¸u düa theo D K tuncu and R Tribak [11], W K Nicholson and Sanchez Campos [6], [7]

Tu-A⊆ Bm :A l  mæun con cõa B

Rad(M ) :C«n Jacobson cõa M

n

⊕

i=1

Mi :Têng trüc ti¸p c¡c mæun Mi, i ∈ I

lM(I) :Linh hâa tû tr¡i cõa mæun M tr¶n I

A⊂⊕B :A l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa B

 :K¸t thóc chùng minh

ra kh¡i ni»m mæun Baer v  tüa Baer (xem [8]), °t n·n mâng cho vi»cchuyºn h÷îng nghi¶n cùu tø c§u tróc v nh sang c§u tróc mæun N«m

2010, hai t¡c gi£ D K Tutuncu v  R Tribak ¢ sû döng t÷ t÷ðng èing¨u º ÷a ra kh¡i ni»m mæun Baer èi ng¨u (xem [10])

V nh c§u x¤ xu§t hi»n l¦n ¦u ti¶n trong mët b i b¡o n«m 1976 cõa

G Erlich (xem [4]) N«m 2004, W K Nicholson v  S Campos ÷a ra

i·u ki»n t÷ìng ÷ìng v  nhí i·u ki»n t÷ìng ÷ìng n y, vi»c nghi¶n cùu

v nh c§u x¤ thuªn ti»n hìn (xem [6]) Sau â n«m 2007, W K Nicholson

v  V Camillo mð rëng th nh v nh tüa c§u x¤(xem [2],[3]), v  mët sè t¡cgi£ kh¡c công nghi¶n cùu c¡c mð rëng cõa v nh c§u x¤ nh÷ Q Huang v 

J L Chen (xem [5]), H Zhu v  N Ding (xem [11]) Tr÷îc â n«m 2005,hai t¡c gi£ W K Nicholson v  S Campos chuyºn tø nghi¶n cùu v nhsang nghi¶n cùu mæun v  ÷a ra kh¡i ni»m mæun c§u x¤ (xem [7]).Trong Seminar t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh, c¡c t¡c gi£ L¶ V«n An, Tr¦n

Giang Nam, Ngæ Sÿ Tòng ¢ mð rëng kh¡i ni»m mæun c§u x¤ v  ÷a

ra kh¡i ni»m mæun tüa c§u x¤ (xem [1])

Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l  sû döng b i b¡o [10] l m s¡ng tä mët

sè k¸t qu£ v· têng trüc ti¸p c¡c mæun Baer èi ng¨u v  thi¸t lªp mèili¶n h» giúa i·u ki»n Baer v  i·u ki»n c§u x¤ Nëi dung cõa luªn v«n

÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b yc¡c ki¸n thùc cì b£n câ li¶n quan ¸n · t i nh÷: Ph¦n tû lôy ¯ng, linhhâa tû, mæun ch½nh quy v  v nh ch½nh quy, mæun nûa ìn v  v nhnûa ìn , mæun A- nëi x¤

Ch÷ìng 2 Têng trüc ti¸p c¡c mæun Baer èi ng¨u v  i·uki»n c§u x¤ Nëi dung cõa ch÷ìng 2 ÷ñc tr¼nh b y trong hai möc:2.1 Têng trüc ti¸p c¡c mæun Baer èi ng¨u Chóng tæi giîithi»u ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa mæun Baer èi ng¨u,chùng minh hai mæun Baer èi ng¨u d - l¨n nhau câ t½nh nëi x¤ th¼têng trüc ti¸p cõa hai mæun â công l  Baer èi ng¨u, chùng minh bamæun Baer èi ng¨u d - l¨n nhau câ t½nh nëi x¤ th¼ têng trüc ti¸p cõahai mæun Baer èi ng¨u vîi mæ un cán l¤i l  mæun d - l¨n nhau Tø

â têng qu¡t l¶n cho n mæun Baer èi ng¨u

2.2 Mèi li¶n h» giúa i·u ki»n Baer v  i·u ki»n c§u x¤ Möc

n y chóng tæi tr¼nh b y ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa ph¦n

tû c§u x¤, v nh c§u x¤, thº v  ÷a ra ÷ñc mèi li¶n h» giúa v nh Baer

v  v nh c§u x¤ têng qu¡t, v nh Baer, v nh π- c§u x¤ v  thº Mèi li¶n h»

n y ÷ñc chóng tæi chùng minh trong ành lþ 2.2.4 v  ành lþ 2.2.5 v 

¥y l  c¡c k¸t qu£ mîi

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n b­t ¦u tø th¡ng 11 n«m 2012 v  ÷ñc ho n

th nh vîi sü gióp ï v  t¤o i·u ki»n cõa c¡c Th¦y Cæ gi¡o Bë mæn ¤i

sè Khoa to¡n Tr÷íng ¤i håc Vinh Vîi t§t c£ t¼nh c£m cõa m¼nh, t¡cgi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi:

- Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Vinh, Pháng  o t¤o Sau ¤i håcVinh, quþ Th¦y gi¡o , Cæ gi¡o Bë mæn ¤i sè, khoa To¡n håc

- Quþ Th¦y gi¡o, Cæ gi¡o trüc ti¸p gi£ng d¤y v  gióp ï t¡c gi£, t¤onhi·u i·u ki»n thuªn lñi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v 

ho n th nh khâa håc

- °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o h÷îngd¨n TS L¶ V«n An, ng÷íi ¢ °t b i to¡n, ành h÷îng nghi¶n cùu, tªnt¼nh gióp ï, th÷íng xuy¶n quan t¥m t¤o i·u ki»n thuªn lñi, còng vîinhúng líi ëng vi¶n kh½ch l» gióp ï t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n

Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ công xin gûi líi c¡m ìn ch¥n th nh tîi c¡c anh,c¡c chà, c¡c b¤n håc vi¶n Cao håc 19 ¤i sè v  Cao håc 19 To¡n, tr¥ntrång c¡m ìn tîi ng÷íi th¥n gia ¼nh ¢ ëng vi¶n, kh½ch l», gióp ï t¡cgi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n n y

M°c dò ¢ h¸t sùc cè g­ng nh÷ng do n«ng lüc cán nhi·u khi¸m khuy¸tn¶n ch­c ch­n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât, t¡c gi£ k½nh

mong nhªn ÷ñc nhúng sü ch¿ b£o, gâp þ cõa quþ th¦y gi¡o, cæ gi¡o v c¡c b¤n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn.

T¡c gi£

CH×ÌNG 1 KI˜N THÙC CÌ SÐ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi ch¿ tr¼nh b y nhúng kh¡i ni»m v  t½nhch§t cì b£n nh¬m hé trñ cho ch÷ìng sau C¡c kh¡i ni»m, ành ngh¾a,t½nh ch§t cì b£n chóng tæi düa v o c¡c t i li»u: W K Nicholson and E.Sanchez Campos, D K Tutuncu and R Tribak

C¡c v nh luæn ÷ñc hiºu l  v nh k¸t hñp câ ìn và v  c¡c mæun l 

R- mæun ph£i unitar tr¶n v nh R n o â (n¸u khæng nâi g¼ th¶m).1.1 ành lþ çng c§u

Cho mæun M v  f l  mët tü çng c§u cõa M th¼ Imf ∼= M/Kerf.1.2 Ph¦n tû lôy ¯ng

Cho mæun M, kþ hi»u S = End(M) l  v nh c¡c tü çng c§u cõamæun M Ph¦n tû e cõa v nh S ÷ñc gåi l  ph¦n tû lôy ¯ng (idempotentelement) n¸u e2 = e

1.3 Linh hâa tû

Cho R l  mët v nh b§t ký

1) Vîi A ⊆ R th¼ lR(A) = {b ∈ R |ba = 0, ∀a ∈ A}÷ñc gåi l  linh hâa

tû tr¡i (left annihilator) cõa A tr¶n v nh R

2) Vîi M l  R - mæun ph£i th¼ lR(M ) = {r ∈ R |rm = 0, ∀m ∈ M }gåi l  linh hâa tû tr¡i cõa mæun M tr¶n v nh R

N¸u I = {a} th¼ chóng ta vi¸t l(a) t÷ìng ùng

3) Mët kh¡i ni»m èi ng¨u vîi linh hâa tû tr¡i l  i¶an ph£i cõa v nh

R ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: D(N) = {ϕ ∈ R |Imϕ ⊆ N }

1.4 Mæun ch½nh quy v  v nh ch½nh quy

1) Mæun M ÷ñc gåi l  mæun ch½nh quy (regular module) n¸u vîimåi mæun con cyclic A cõa M th¼ A l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

2) V nh R ÷ñc gåi l  v nh ch½nh quy (regular ring) n¸u RR (t÷ìngùng RR) l  mæun ch½nh quy

1.5 Mæun con tèi ¤i

Mæun con A cõa M ÷ñc gåi l  mæun con tèi ¤i n¸u A 6= M v  nâkhæng chùa trong mët mæun con thüc sü n o cõa M, ngh¾a l  A 6= M

1.8 Mæun nûa ìn v  v nh nûa ìn

1) Mæun M ÷ñc gåi l  nûa ìn n¸u vîi måi mæun A cõa M th¼ A

l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

ành lþ RR l  mæun nûa ìn n¸u v  ch¿ n¸u RR l  mæun nûa ìn.2) V nh R ÷ñc gåi l  nûa ìn n¸u RR (t÷ìng ùng RR) l  mæun nûa

ìn

1.9 Mæun A- nëi x¤ (A- injective modules)

1.9.1 ành ngh¾a Cho A l  R- mæun Mët mæun N ÷ñc gåi l 

A- nëi x¤ n¸u måi X⊆ Am th¼ måi çng c§u ϕ : X → N ·u mð rëng tîi

çng c§u ψ : A → N thäa m¢n ψi = ϕ (vîi i : X → A l  ph²p nhóng

çng nh§t)

1.9.2 Bê · Cho N l  A- nëi x¤ Khi â måi ìn c§u f : N → A

l  ch´ ra, tùc d¢y khîp ng­n:

0 → N → Af → A/f(N) → 0pthäa m¢n f(N) ⊂⊕ A

CH×ÌNG 2 TÊNG TRÜC TI˜P CC MÆUN BAER ÈI NGˆU V€ I—U KI›N C‡U X„

2.1 TÊNG TRÜC TI˜P CC MÆUN BAER ÈI NGˆU

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y l¤i mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

¸n mæun Baer èi ng¨u v  c¡c t½nh ch§t li¶n quan ¸n têng trüc ti¸pcõa mæun Baer èi ng¨u, tø â t¼m hiºu mèi li¶n h» giúa mæun Baer

èi ng¨u v  i·u ki»n c§u x¤

2.1.1 ành ngh¾a

1) Mæun M ÷ñc gåi l  Baer èi ng¨u (dual Baer module) n¸u vîiméi mæun con N cõa M tçn t¤i lôy ¯ng e cõa S sao cho D(N) = eS.2) Mæun M ÷ñc gåi l  câ SSP n¸u têng cõa hai h¤ng tû trüc ti¸pcõa M l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

3) Mæun M ÷ñc gåi l  câ SSSP n¸u têng cõa mët hå nhúng h¤ng

tû trüc ti¸p cõa M l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

4) Mæun M ÷ñc gåi l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc (indecomposable) n¸u

0 v  M l  nhúng h¤ng tû trüc ti¸p duy nh§t trong M

K¸t qu£ ch½nh cõa möc 1 l  ành lþ 2.1.13, n¶u l¶n t½nh Baer èi ng¨ucõa têng trüc ti¸p mët hå húu h¤n mæun Baer èi ng¨u d - l¨n nhau cât½nh nëi x¤ º chùng minh ành lþ n y, tr÷îc h¸t chóng ta c¦n chùngminh ành lþ 2.1.3 v· 3 i·u ki»n t÷ìng ÷ìng vîi ành ngh¾a mæunBaer èi ng¨u b¬ng vi»c sû döng Bê · sau:

2.1.2 Bê · Cho N l  mæun con cõa mæun M Khi â N l  h¤ng

tû trüc ti¸p cõa M n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i lôy ¯ng e cõa S sao choe(M ) = N

Chùng minh i·u ki»n c¦n Gi£ sû N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa Mth¼ M = N ⊕ N0 Nh÷ vªy vîi méi m ∈ M, m ÷ñc ph¥n t½ch mëtc¡ch duy nh§t d÷îi d¤ng m = n + n0(n ∈ N, n0 ∈ N0) X²t çng c§u

p : M −→ N x¡c ành bði p(m) = p(n + n0) = n, khi â p l  to n c§u

v  i : N −→ M x¡c ành bði i(n) = n, i l  ìn c§u Khi â e = i ◦ p:

M −→ M, m = n + n0 7→ n l  çng c§u thäa m¢n e2 = e v  e(M) = N

i·u ki»n õ Tø e + (1 − e) = 1, suy ra e(M) + (1 − e)(M) = M M e(M ) ∩ (1 − e)(M ) = 0 n¶n M = e(M) ⊕ (1 − e)(M) Hay e(M) l  h¤ng

f ∈IImf = e(M ) vîi e = e2 ∈ S;(iv) M câ SSSP v  vîi méi ϕ ∈ S, Imϕ l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M.Chùng minh (i) =⇒ (ii) X²t tªp A l  tªp con cõa S °t N =

P

f ∈A

Imf, ta s³ chùng minh N = e(M) vîi e = e2 ∈ S V¼ f ∈ S n¶n Imf

l  mæun con cõa M, suy ra P

f ∈AImf công l  mæun cõa M (do A ⊆ S).Hay N l  mæun cõa M V¼ M l  mæun Baer èi ng¨u n¶n tçn t¤i lôy

¯ng e ∈ S sao cho D(N) = eS Do e ∈ eS n¶n suy ra e ∈ D(N), hay

e(M ) l  mæun con cõa N Vîi méi f ∈ A ta câ f ∈ D(N) = eS (doc¡ch °t N = P

f ∈AImf) Suy ra f ∈ eS Nh÷ vªy vîi méi f ∈ A, tçn t¤i

s ∈ S sao cho f = es Khi â vîi måi y ∈ M v  vîi måi f ∈ A, ta câ

f (y) = es(y) = e(s(y)) ∈ e(M ) (do s(y) ∈ M) Suy ra N l  mæun concõa e(M) Vªy N = e(M) vîi e = e2 ∈ S Hay P

f ∈AImf = e(M ).(ii) =⇒ (iv) Vîi méi ϕ ∈ S th¼ ta câ Imϕ = e(M) (vîi e = e2 ∈ S)(theo (ii)) Suy ra, Imϕ l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M (theo Bê · 2.1.2).Gi£ sû Mi l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M (i ∈ I), ta s³ chùng minh P

i∈I

Mi l h¤ng tû trüc ti¸p cõa M Thªt vªy, Mi l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M n¶ntheo Bê · 2.1.2, tçn t¤i lôy ¯ng ei ∈ S sao cho ei(M ) = Mi(i ∈ I) Do

ei ∈ S (∀i ∈ I) n¶n P

i∈I

Mi = P

i∈IImei = e(M ) (vîi e = e2 ∈ S) Suy ra

tû trüc ti¸p cõa M Suy ra N = P

f ∈IImf l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M (do

M câ SSSP) Tø N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M n¶n theo Bê · 2.1.2, suy

ra tçn t¤i lôy ¯ng e ∈ S sao cho e(M) = N Vªy ta câ P

f ∈IImf = e(M )vîi e = e2 ∈ S

(iii) =⇒ (i) Cho N l  mæun con cõa M, ta s³ chùng minh D(N) =

eS, vîi e = e2 ∈ S Do I = D(N) = {ϕ ∈ S |Imϕ ⊆ N } l  i¶an cõa

S n¶n theo gi£ thi¸t, P

f ∈IImf = e(M ) vîi e = e2 ∈ S Vîi måi f ∈ I,Imf l  mæun con cõa N n¶n suy ra P

f ∈IImf công l  mæun con cõa N

Hay e(M) l  mæun con cõa N Hay e(M) l  mæun con cõa N Khi

Vªy tø es1(M ) + (1 − e)s2(M ) ⊆ e(M ) ta suy ra (1−e)s2(M ) = 0 Khi

â f = es1 hay f ∈ eS Do â D(N) ⊆ eS Vªy D(N) = eS vîi e = e2 ∈

2.1.4 H» qu£ Mæun M l  Baer èi ng¨u khæng ph¥n t½ch ÷ñc n¸u

v  ch¿ n¸u vîi måi ϕ ∈ S v  ϕ 6= 0, ϕ l  to n c§u

Chùng minh ∗ i·u ki»n c¦n Gi£ sû M l  mæun Baer èi ng¨u, khi

â Imϕ l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M vîi måi ϕ ∈ S M  M khæng thº ph¥nt½ch ÷ñc n¶n ho°c Imϕ = 0 ho°c Imϕ = M Do ϕ 6= 0 n¶n Imϕ = M,hay ϕ l  to n c§u

∗ i·u ki»n õ Tr÷îc ti¶n ta chùng minh M l  mæun Baer èi ng¨u.N¸u N l  mæun con thüc sü cõa M th¼ ta câ D(N) = {ϕ ∈ S |Imϕ ⊆ N } =

0 = 0S vîi 0 l  lôy ¯ng cõa S N¸u N = M th¼ D(N) = {ϕ ∈ S |Imϕ ⊆ N } =

S = iS (i l  çng c§u çng nh§t) Nh÷ vªy tçn t¤i i = i2 ∈ S thäa m¢n

D(N ) = iS Suy ra M l  mæun Baer èi ng¨u.

B¥y gií ta chùng minh M khæng ph¥n t½ch ÷ñc Gi£ sû M = N ⊕

N0(N 6= 0) V¼ N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M n¶n tçn t¤i lôy ¯ng

0 6= e ∈ S sao cho e(M) = N M°t kh¡c 0 6= e ∈ S n¶n e l  to n c§u haye(M ) = N Vªy N = M Do â M khæng ph¥n t½ch ÷ñc 

2.1.5 Bê · Cho mæun M v  N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M Khi

â:

(i) N¸u M câ SSP th¼ N công câ SSP

(ii)N¸u M câ SSSP th¼ N công câ SSSP

Chùng minh Nhªn x²t: N¸u A l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa N th¼ A công

l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M Thªt vªy, A l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa N n¶n

N = A ⊕ A0, v  N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M n¶n M = N ⊕ N0 Nh÷vªy ta câ M = A ⊕ A0 ⊕ N0 hay A l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

(i) Gi£ sû A v  B l  c¡c h¤ng tû trüc ti¸p cõa N, ta s³ chùng minh

A + B l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa N Thªt vªy, v¼ N l  h¤ng tû trüc ti¸pcõa M n¶n theo nhªn x²t ta câ A v  B l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M V¼ M

câ SSP n¶n A + B l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M °t M = (A + B) ⊕ C.Khi â, A + B l  mæun con cõa N n¶n ¡p döng luªt Mæula ta câ:

N = M ∩ N = ((A + B) ⊕ C) ∩ N = (A + B) ⊕ (C ∩ N )

Suy ra A + B l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa N Hay N câ SSP

(ii)Ho n to n t÷ìng tü câ thº chùng minh ÷ñc N câ SSSP 

2.1.6 H» qu£ Cho M l  mët mæun Baer èi ng¨u Khi â méi

h¤ng tû trüc ti¸p cõa M công l  Baer èi ng¨u.

Chùng minh Gi£ sû N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M, ta chùng minh

N l  mæun Baer èi ng¨u Thªt vªy, v¼ M câ SSSP n¶n theo Bê

· 2.1.5 th¼ N công câ SSSP °t M = N ⊕ N0 v  x²t tü çng c§u

f : N −→ N, ta s³ chùng minh Imf l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa N X²t çngc§u f ⊕ 00

N : N ⊕ N0 −→ N ⊕ N0 x¡c ành bði f ⊕ 00

N(n + n0) = f (n) + 0,

ta câ f ⊕ 00

N ∈ S n¶n Im(f + 00

N) l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M Vîi måi

m ∈ M = N ⊕ N0 ta câ m = n + n0 trong â n ∈ N v  n0 ∈ N0, suy ra

Vªy Imf l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa N n¶n theo ành lþ 2.1.3, suy ra N

2.1.7 M»nh · N¸u M l  mæun ch½nh quy Baer èi ng¨u th¼ M

2.1.8 M»nh · N¸u RR l  Baer èi ng¨u th¼ R l  v nh ch½nh quy.Chùng minh Cho b§t ký i¶an ph£i I = aR cõa R, ta s³ chùng minh

aR l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa R X²t tü çng c§u f : RR → RR x¡c ànhbði f(r) = ar Khi â Imf = aR = I M  RR l  mæun Baer èi ng¨un¶n Imf l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa RR Suy ra aR l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa

(ii) =⇒ (i) X²t tü çng c§u ϕ : RR −→ RR Ta câ Imϕ l  mæuncon cõa RR n¶n Imϕ l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa RR (do RR l  nûa ìn).Gi£ sû Mi l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa RR vîi måi i ∈ I Ta s³ chùng minh

(ii) =⇒ (iv) Ta câ RR l  nûa ìn n¸u v  ch¿ n¸u RR l  nûa ìn 

2.1.10 Bê · Cho L = xR l  mæun xyclic tr¶n v nh giao ho¡n R.Khi â L l  mæun Baer èi ng¨u n¸u v  ch¿ n¸u L l  nûa ìn

Chùng minh

∗ i·u ki»n c¦n L§y y ∈ L Khi â tçn t¤i r ∈ R sao cho y = xr.X²t tü çng c§u f : L −→ L x¡c ành bði f(xα) = yα vîi xα ∈ L ¡nhx¤ f ho n to n x¡c ành ÷ñc v¼ R l  v nh giao ho¡n V¼ L l  mæunBaer èi ng¨u n¶n theo ành lþ 2.1.3 suy ra yR l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa

L L¤i theo ành lþ 2.1.3, L câ SSSP n¶n méi mæun con cõa L l  mëth¤ng tû trüc ti¸p Do â L l  nûa ìn

∗ i·u ki»n õ Theo ành lþ 2.1.9 

2.1.11 Bê · Gi£ sû R l  v nh giao ho¡n, R khæng nûa ìn, M l mæun khæng ph¥n t½ch ÷ñc ch¿ bao gçm ph¦n tû x sao cho x /∈ Rad(M)

v  AnnR(x) = 0 th¼ M khæng l  mæun Baer èi ng¨u

L§y 0 6= r ∈ R sao cho xr ∈ L X²t tü çng c§u f : M −→ M x¡c ànhbði f(y) = yr, vîi måi y ∈ M Theo H» qu£ 2.1.4 ta câ f 6= 0, f to n

c§u n¶n Imf = M.

M  Imf = {f(y) |y ∈ M } = {yr |y ∈ M } = Mr = (xr)R + Lr ⊆ L, chon¶n L = M, m¥u thu¨n vîi L l  mæun con thüc sü cõa M V¼ vªy, i·ugi£ sû l  sai, hay M khæng l  Baer èi ng¨u 

Tr÷îc khi i ¸n ành lþ ch½nh cõa möc n y, ta câ kh¡i ni»m sau:2.1.12 ành ngh¾a Cho A v  B l  c¡c mæun N¸u vîi méi çngc§u ϕ : A → B, Imϕ l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa B, th¼ A ÷ñc gåi l  d -l¨n nhau (relatively d ) vîi B

Chóng ta công nâi mæun A v  B l  d l¨n nhau vîi nhau n¸u A d l¨n nhau vîi B v  B l  d - l¨n nhau vîi A

-Sau ¥y l  nëi dung cõa ành lþ:

2.1.13 ành lþ Cho M1, M2, , Mn l  c¡c mæun Baer èi ng¨u,vîi n ∈ N Gi£ thi¸t r¬ng vîi i, j b§t ký, i 6= j, Mi v  Mj l  c¡c mæun

d - l¨n nhau v  vîi b§t ký i < j, Mi l  Mj- nëi x¤ Khi â M = ⊕n

i=1

Mi

l  Baer èi ng¨u

Ta chùng minh ành lþ n y b¬ng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng thæng quachùng minh hai ành lþ sau ¥y:

2.1.14 ành lþ Cho M1 v  M2 l  mæun Baer èi ng¨u d - l¨n nhau.Gi£ sû M2 l  M1 - nëi x¤ (ho°c M1 l  M2 - nëi x¤), th¼ M = M1 ⊕ M2

l  Baer èi ng¨u

Chùng minh L§y I = {ϕj |j ∈ J } l  tªp con b§t ký cõa S Cho K =

P

j∈J

Imϕj Ta c¦n chùng minh M câ SSSP, ngh¾a l  chùng minh K l  h¤ng